2018年高考数学走出题海之黄金30题系列
1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）已知抛物线C ： 2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点()04,A y 作1AA l ⊥于点A ，若123
A AF π
∠=，则p =（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C
2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ MOD ”表示除以的余数）， 若输入的，分别为72，15，则输出的=（ ）
A. 12
B. 3
C. 15
D. 45
【答案】B
【解析】辗转相除法求的是最大公约数，
的最大公约数为.
3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】
B
4．（等比数列与定积分相结合的创新题）等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3
2
3d x x ?
，则公比q 的值
是 ( )
A. 1
B. －12
C. 1或－12
D. －1或－1
2
【答案】C
【解析】由题意得33
30|27S x ==．
①当q ≠1时，
则有(
)3
13231127
{
19
a q S q
a a q -=
=-==，解得1
2
q =-或1q =（舍去）．
②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上1
2
q =-
或1q =．选C ． 5．（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（ ）
A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果
B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹
C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹
D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚
【答案】A
【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.
6．（统计与数列相结合的创新题）统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为( )
A. 0.001
B. 0.1
C. 0.2
D. 0.3
【答案】D
2700,3000克【解析】根据直方图的含义，每组的频率即为相应小长方形的面积，所以新生婴儿体重在(]?=,故选D.
内的频率为3000.0010.3
7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）
A. 性别与喜欢理科无关
B. 女生中喜欢理科的比为80%
C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些
D. 男生不喜欢理科的比为6O% 【答案】C
【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%；男生中不喜欢理科的有40%．故选C ． 8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式
(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指
数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可
知, 3i
e π
表示的复数的模为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】B
9．（导数与不等式相结合的创新题）已知定义在R 上的偶函数()f x （函数f (x )的导函数为()f x '）满足
()1102f x f x ?
?-++= ??
?，e 3f (2018)＝1，若()()f x f x >'-，则关于x 的不等式()12e x f x +>的解集为
A. (),3-∞
B. ()3,+∞
C. (),0-∞
D. ()0,+∞
【答案】B 【解析】
()f x 是偶函数， ()()f x f x ∴=-， ()()()'''f x f x f x ??=-=--??， ()()'f x f x ∴-=-，
()()()''f x f x f x >-=-，即()()'0f x f x +>，设()()x g x e f x =，则
()()()''0x x
e f x e f x f x ????=+>????， ()g x 在(),-∞+∞上递增，由()1102f x f x ??-++= ???，得 ()()330,
3022f t f t f t f t ????
++=+++= ? ???
??
，相减可得()()3f t f t =+， ()f x 的周期为3， ()()33201821e f e f ∴==， ()()2122g e f e ==， ()1
2x f x e
+>，结合()f x 的周期为3可化为
()()121
12x e f x e f e
-->=， ()()12,12,3g x g x x ->->>， ∴不等式解集为()3,+∞，故选B.
10．（线性规划的创新题）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）
A. 1800元
B. 2100元
C. 2400元
D. 2700元 【答案】C
【解析】
设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得
2212
{212 ,0,,x y x y x y x y N
+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.
11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知向量()()sin ,cos ,1,1a x x b ωω==-，函数()f x a b =?，且
1
,2
x R ω>∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间()3,4ππ，则ω的取值范围
是（ ） A. ][7151319,,12161216????
??? B. ][711
1115,,1216
1216???????
C. ][171119,,2121216???
??? D. ][111
1115,,216
1216??? ???
【答案】B
12．（解三角形与向量相结合的创新题）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点G 为ABC ?的重心且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A c B λ=，则实数λ=（ ） A. 3 B. 2 C.
12 D. 2
3
【答案】C 【解析】如图
连接AG ，延长交AG 交BC 于D ， 由于G 为重心，故D 为中点，
1
2
CG BG DG BC ⊥∴=
，， 由重心的性质得， 3AD DG =，即3
2
AD BC =
， 由余弦定理得， 22222222AC AD CD AD CD cos ADC AB AD BD AD BDcos ADB =+-??∠=+-?∠，，
222222ADC BDC CD BD AC AB BD AD π∠+∠==∴+=+，，，
2222219
522
AC AB BC BC BC ∴+=
+=，
2
2
2
5b c a ∴+= ，可得： 22222
4222b c a a a cosA bc bc bc +-===，
tan sin a A c B λ=， 222
1
2sin 2asinA a a a c BcosA bccosA
bc bc
λ∴=
===?
． 故选D ． 13．（三视图的创新题）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯
粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积
（其中 为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为 ，则该石雕构件的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为5，圆柱体的直径为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖
该石雕构件的体积为
14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上, 3,3AB BC AC ==
=,若三棱锥
D-ABC 体积的最大值为
33
4
,则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 16π C. 12π D. 16π
3
【答案】B
15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A.
12 B. 35 C. 45 D. 710
【答案】C
16．（直线与二项式相结合的创新题）下列说法正确的是___________.(填序号) ①直线：与直线：平行的充要条件是
；
②若
，则
的最大值为1；
③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为；
④若二项式
的展开式系数和为1，则
.
【答案】②③ 【解析】当
且
时，
，故①错；若
同为正，则
，同为负，则；
异号，
，所以②正确；③作图即可确认正确；当时，
，则
或
，故④错．
17．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量ξ服从正态分布()
2,N μσ，
()0.6826P μσξμσ-<<+=， (22)0.9544P μσξμσ-<<+=，设()
21,N ξσ~，且
()30.1587P ξ≥=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上有四个点到直线1250x y c -+=的
距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】()1313-，
【解析】()()1
31[1(13)](13)0.6826112
P P P P ξξξξσ≥=≤-=
--<
13σ+=，因此2σ=，由题意，圆心(0，0)到直线的距离d 满足01d ≤<． 2
2
13
125
c c
d ==
+，
013c ∴
≤<，即()1313c ∈-，．
18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段
的中点，四边形
与四边形
也是正方形，连接
，则向多边形
中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．
【答案】 【解析】设
，则
，
，故多边形
的面积
；阴影部分为
两个对称的三角形，其中
，故阴影部分的面积，故所求概率
.
19．（抛物线与定积分相结合的创新题）已知抛物线的焦点坐标为
，则抛物线与直线
所
围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】
【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积
,故填.
20．2，则该三棱锥的内切球的体积为__________． 3
【解析】由题意可知,该三棱锥为正三棱锥, 0
626sin60,,3AE AB AO AE =?=
== 2223,DO AD AO =
-=
三棱锥的体积1
1
,3
3
D ABC ABC
V S DO -=?=设内切圆的半径为r ,则()3ABC 1
1343,,=.3
33D ABC ABD BCD ACD V r S
S
S
S
r V r ππ-=+++=
==内切球
21．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知数列{a n }为等差数列,且a 2 013+a 2 015=20
4x -?
则a 2 014(a 2
012
+2a 2 014+a 2 016)的值为_.
【答案】2π
【解析】
2
2
4x -?
表示半圆)2
402y x x =-≤≤的面积， 20
4x dx π∴-=，
2013201520142014=2=
2
a a a a π
π∴+=，，则()20142012201420162a a a a ++=
()()2014201220142014201620142013201522=
2=2
a a a a a a a a π
π+++=+? 2π，故答案为2π.
22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）函数f (x )＝2sin x sin 2x π?
?
+ ??
?
－x 2
的零点个数为________．
【答案】2
【解析】函数f (x )＝2sin x sin 2x π??
+
??
?
－x 2
的零点个数等价于方程2sin
x ·sin 2x π?
?
+ ??
?
－x 2
＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin 2x π??
+
??
?
＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2
的图象交点个数．于是，分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故函数f (x )有2个零点．
23．（函数的性质与数列相结合的创新题）高斯函数又称为取整函数，符号
表示不超过的最大整
数.设
是关于的方程
的实数根，
，
.则：（1）
__________；（2）__________.
【答案】 2
【解析】 设
，则
，所以函数单调递增，
当时，
且，
所以在
内有唯一的实数根， 所以
，所以
，
所以
.
24．（双曲线与圆相结合的创新题）已知双曲线22
2y x b
-=1的离心率为52,左焦点为1F ,当点P 在双曲线右
支上运动、点Q 在圆()2
21x y +-=1上运动时, 1PQ PF +的最小值为_____. 【答案】
5
2
25．（独立性检验与分布列相结合的创新题）随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：
支付宝用户非支付宝用户合计
中老年90
青年120
合计300
(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用X表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X的分布列与数学期望.
附:
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（1）列出22?列联表，利用公式求得2
K ，即可作出判断；
（2）把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0,1,2,3，且X 服从二项分布，即可求解分布列和数学期望. 详解：(1)列联表补充如下
22
300(603012090)50 6.635150150180120
K ?-?==>???,
故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以X 的取值依次为0,1,2,3，且X 服从二项分布3B 3,5?? ???
()()2
313
3383336P X 0(1);11512555125
C P X C ??==-===-= ??? ()()2
13
23333354327P X 21;3551255125
C P X C ??
????==-==== ?
?
???
???? 所以X 的分布列为
83654279EX 01231251251251255
=?
+?+?+?= 26．（函数与导数的创新题）已知函数()2433x f x x =+ ()()0,2x ∈， ()2
1ln 2
g x x x a =--. （1）求()f x 的值域；
（2）若[]
1,2x ?∈使得()0g x =，求a 的取值范围；
（3）对()10,2x ?∈，总存在[]
21,2x ∈使得()()12f x g x =，求a 的取值范围. 【答案】（1）20,3?
? ??
?；（2）1,2ln22
a ??∈-????；（3）14,ln223a ??∈-????
. 【解析】分析：（1）求函数导数，利用函数单调性求最值即可得值域； （2）原问题等价于方程
21ln 2x x a -=在[]1,2x ∈上有解，令()21
ln 2
h x x x =-，求函数导数，利用单调性求得得值域即可得解；则原问题等价于A B ?，分别求值域即可. （3）令()(){|,0,2}A y y f x x ==∈， ()[]
{|,1,2}B y y g x x ==∈， 详解：（1）由题可知， ()(
)(
)
2
2
2121'33
x f x x -=+，不难得到， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，
∴()()max 213f x f ==
， ()00f =， ()82015f =>， ∴()f x 的值域为20,3?? ??
?
（2）原问题等价于方程
2
1ln 2
x x a -=在[]1,2x ∈上有解， 令()2
1ln 2
h x x x =-， ()211'0x h x x x x -=-=
≥， ∴()h x 在[]
1,2上单调递增，
∴()h x 的值域为1
,2ln22??-????，∴1,2ln22a ??∈-????
.
27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）;(2).
【解析】试题分析：（1）余弦定理，结合已知条件求的大小，得到角，（2）根据两角差的正弦公式以及化简等式，得到，结合（1）的结果再计算面积.
试题解析：（1）把整理得，，
由余弦定理有，
∴.
(2)中，，即，故，
由已知可得，
∴，
整理得.
28．（圆锥曲线的创新题）已知点(),P x y ()
()
2
2
22114x y x y ++-+=.
（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l 与圆O ： 2
2
1x y +=相切，与曲线C 相较于A ， B 两点，若4
3
OA OB ?=-，求直线l 的斜率.
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=;（Ⅱ）3
（Ⅱ）当l x ⊥轴时，l ： 1x =±， 代入曲线C 的方程得32
y =±
， 不妨设312A ?
?- ???，， 312B ??-- ??
?
，， 这时()3354·
112243
OA OB ??=-?-+?-=-≠- ???， 所以直线斜率存在． 设()11A x y ，， ()22B x y ，， 直线l 的方程为y kx m =+，
由直线l 与圆O ： 22
1x y +=相切222111
m m k k ?=
?=++，
()
22222
{34841203412
y kx m k x kmx m x y =+∴?+++-=+=，
． ∵直线与曲线相交，
()()()
2
2228434412144960km k m k ∴?=-+-=+>成立，
122
834km
x x k ∴+=-
+， 212241234m x x k -=+， 1212·OA OB x x y y ∴=+
()
()2212121k x x km x x m =++++ 222
71212
34m k k --=+ 22
5534k k
+=-+ 4
3
=- 233k k ?=?=±．
29．（立体几何的创新题）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形， 22BC AB ==，
BD BA ⊥， 2PA PB PD ===， M 为PD 的中点.
（1）求证： //PB 平面AMC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离. 【答案】(1)见解析15
【解析】试题分析：
（1）连接BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点，连接MO .由三角形中位线的性质可得//MO PB ，结合线面平行的判断定理可得//PB 平面AMC .
（2）取AD 的中点N ，连接PN ， BN ， NC .由几何关系可证得PN ⊥平面ABD .且3PN =
13P ABC ABC V S PN -?=? 1
2=.在NDC ?中，由余弦定理可得222120NC ND DC ND DC cos =+-??
3=由勾股定理可得226PC PN NC =+，则等腰PBC ?15
，设点A 到平面PBC 的
距离为h ，利用体积相等列方程可得点A 到平面PBC 的距离为15. 试题解析：
（1）连接BD 交AC 于点O ， 则O 为BD 的中点，连接MO .
在PBD ?中， //MO PB ，
∵PB ?平面AMC ， MO ?平面AMC ， ∴//PB 平面AMC .
（2）取AD 的中点N ，连接PN ， BN ， NC . ∵PA PD =，∴PN AD ⊥， 又∵AB BD ⊥，∴BN AN =， ∴PAN PBN ???， ∴90PNB PNA ∠=∠=， ∴PN NB ⊥，∴PN ⊥平面ABD . ∵2BC =， 1AB =， AB BD ⊥， ∴2AD =， 1BN =， 3BD =
，∴3PN =
∴1
3
P ABC ABC V S PN -?=
? 1131123322=??=. 在NDC ?中， 1ND =， 1CD =， 120NDC ∠=， 由余弦定理，得222120NC ND DC ND DC cos =+-??3=∴226PC PN NC =
+=，
∴PBC ?的面积为2
21615
62222??-= ? ???
，
设点A到平面PBC的距离为h.
∵
1
2
P ABC A PBC
V V
--
==，
∴1151
322
h
??=，∴
15
5
h=.
即点A到平面PBC的距离为15
.
30．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且. （1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）借助题设条件及等差数列的定义求解；（2）运用列项相消法求解：
试题解析：
解：（1）∵，
∵，∴，
，∴，∴，∵，∴.