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用配方法解一元二次方程

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《用配方法解一元二次方程》

教案教学目标：

（一）教学知识点

1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

2．理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

（二）水平训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法。2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤。

（三）情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和水平。

教学重点： 用配方法求解一元二次方程。

教学难点： 理解配方法。

教学方法 讲练结合法。

教学过程：

导学探究：阅读教材P6-9，回答以下问题：1.将以下各式配成完全平方式：(1)x2

-12x+_____=(x+_____)

2;(2)x2 – x +______=(x-_____)2;(3)x2 - x +_______=(x-____)

2.2.回顾：(1)等式的基本性质是什么?(2)用直接开平方法解一元二次方程x2 + 6x + 9 = 7 3.

(1)解一元二次方程x2+12x=15的困难在哪里? 如何转化才能将其化为上面方程的形式求解?

试试看. (2)对于一元二次方程x2-2x -2 =0，如何转化才能化为上面方程的形式求解? 试试看. 4.上面解一元二次方程的方法叫什么方法比较适宜? 请你给这种方法下一个定义，并简要说明这种方法的基本思想.

归纳梳理

1. 配方法的基本要求是把一元二次方程的一边配方化为一个__________，另一边化为_________________,然后用法求解.2.配方法的一般步骤：(1)移项，使方程左边为_________项、_______项，右边为_____项：(一移)

2. (2)方程两边都除以______系数，将________系数化为l：(二除) (3)配方,方程两边都加上_________________的平方，使方程左边成为一个__________,右边是一个______________的形式;(三配)(4)假如右边是___________,两边直接开平方，求这个一元二次方程的解

3. .(四开) 假如右边是负数.则这个方程没有实数解. 典例探究1．配方法解一元二次方程【例1】用配方法解以下方程时，配方有错误的选项是（ ）A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=

D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法解这个方程.练1用配方法解方程：(1)x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120. 2．用配方法求多项式的最值

4. 【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 练3已知a、b、c为△ABC三边的长．

（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．

夯实基础一、选择题1．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（ ）A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2 C．（x﹣1）2+4

D．（x+1）2+22．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（ ）A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=173.一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（ ）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4

二、填空题4．一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．5．当x=

时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题6．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

7．试说明：不管x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？

5. 8．阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？假如能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程准确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？假如能，写出你的求解过程． 9．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值． 10．已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值． 11．配方法能够用来解一元二次方程，还能够用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最 （填写大或小）值为 ．②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

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一元二次方程配方法例题20道

一元二次方程配方法例题20道

一元二次方程配方法例题20道

例题 1

求解方程：x² - 5x + 6 = 0

解：

(x - 3)(x - 2) = 0

x = 3 或 x = 2

例题 2

求解方程：x² - 8x + 15 = 0

解：

(x - 5)(x - 3) = 0

x = 5 或 x = 3

例题 3

求解方程：x² + 3x - 10 = 0

解：

(x + 5)(x - 2) = 0

x = -5 或 x = 2

例题 4

求解方程：x² - 2x - 3 = 0

解：

(x - 3)(x + 1) = 0

x = 3 或 x = -1

例题 5

求解方程：x² + 5x + 6 = 0

解：

(x + 2)(x + 3) = 0

x = -2 或 x = -3

例题 6

求解方程：x² - 4x + 3 = 0

解：

(x - 3)(x - 1) = 0

x = 3 或 x = 1

例题 7

求解方程：x² - 7x + 12 = 0

解：

(x - 4)(x - 3) = 0

x = 4 或 x = 3

例题 8

求解方程：x² + 6x + 8 = 0

解：

(x + 2)(x + 4) = 0

x = -2 或 x = -4

例题 9

求解方程：x² - 3x + 2 = 0

解：

(x - 2)(x - 1) = 0

x = 2 或 x = 1

例题 10

求解方程：x² + 7x + 10 = 0

解：

(x + 5)(x + 2) = 0

配方法解一元二次方程计算题

配方法解一元二次方程计算题

配方法解一元二次方程计算题

一、配方法解一元二次方程的基础概念

配方法解一元二次方程呢，就像是给方程来个大变身。一元二次方程大家都知道吧，就是那种ax²+bx+c = 0（a≠0）的式子。配方法的关键就是在方程两边加上一次项系数一半的平方。比如说方程x²+6x+5 = 0，这里一次项系数是6，它的一半就是3，那我们就在方程两边加上3²，也就是9。这就变成了x²+6x+9+5 - 9 = 0，进一步得到(x+3)² - 4 = 0。这样就把原来的方程变成了一个完全平方式，然后就可以很容易地求解啦。

二、配方法解一元二次方程的练习题

1. 方程x² - 4x+3 = 0，用配方法求解。

首先，一次项系数是 - 4，它的一半就是 - 2，在方程两边加上(-2)²，也就是4。方程就变为x² - 4x+4+3 - 4 = 0，即(x - 2)² - 1 = 0。然后(x - 2)²=1，解得x - 2 = 1或者x - 2=-1，所以x = 3或者x = 1。这道题占10分哦。

2. 对于方程2x²+8x - 10 = 0，用配方法求解。

先把方程两边同时除以2，得到x²+4x - 5 = 0。一次项系数4的一半是2，在方程两边加上2²，也就是4。方程变为x²+4x+4 - 5 - 4 = 0，即(x+2)² - 9

= 0。接着(x+2)²=9，解得x+2 = 3或者x+2=-3，所以x = 1或者x=-5。这道题也是10分。

3. 方程x²+10x+21 = 0，用配方法解。

一次项系数10的一半是5，在方程两边加上5²，即25。方程变为x²+10x+25+21 - 25 = 0，也就是(x+5)² - 4 = 0。然后(x+5)²=4，解得x+5 =

2或者x+5=-2，所以x=-3或者x=-7。这题占8分。

4. 求解方程3x² - 6x - 9 = 0，用配方法。

先把方程两边同时除以3，得到x² - 2x - 3 = 0。一次项系数 - 2的一半是 -

用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程

第 1 页 共 2 页 用配方法解一元二次方程

1. 解方程：x2+4x﹣1=0．

【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．

【答案与解析】

解：∵x2+4x﹣1=0

∴x2+4x=1

∴x2+4x+4=1+4

∴（x+2）2=5

∴x=﹣2±

∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

【总结升华】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

举一反三：

【变式】用配方法解方程.

(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.

【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．

第 2 页 共 2 页 两边都加4，得x2-4x+4=2+4．

利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．

解这个方程，得x-2=或x-2=-．

于是，原方程的根为x=2+或x=2-．

(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．

两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得

x2+6x+32=-8+32，

∴ (x+3)2=1．

用直接开平方法，得x+3=±1，

∴ x=-2或x=-4．

利用配方法解一元二次方程

利用配方法解一元二次方程

利用配方法解一元二次方程

一元二次方程是初中数学中重要的内容之一，也是学生们比较困惑的部分。在解一元二次方程时，配方法是一种常用的方法，它可以将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而更容易求解。本文将详细介绍如何利用配方法解一元二次方程，并通过实例加以说明。

一、什么是配方法

配方法是指通过将一元二次方程中的常数项与一次项相结合，将其转化为一个完全平方的形式。这样做的目的是为了方便求解方程，因为完全平方往往更容易求解。

二、如何我们以一个具体的例子来说明如何利用配方法解一元二次方程：

例子：解方程x²+6x+5=0

1. 将方程中的常数项与一次项相结合，即将5与6x相加，得到x²+6x+5。

2. 接下来，我们需要找到一个数，使得它的平方等于x²+6x+5。观察方程，我们可以发现5的平方等于25，而6的一半是3，那么我们可以将方程转化为(x+3)²=25。

3. 然后，我们对方程两边开方，得到x+3=±√25。

4. 继续化简，我们可以得到两个方程：x+3=5和x+3=-5。

5. 最后，解方程得到两个解：x=2和x=-8。

通过以上步骤，我们成功地利用配方法解出了一元二次方程x²+6x+5=0的解。这个方法可以帮助我们将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而更容易求解。

三、配方法的应用举例 配方法不仅适用于一元二次方程的求解，还可以用于解决其他与一元二次方程相关的问题。下面我们来看两个具体的例子：

例子1：求解方程x²-4x+4=9

1. 将方程中的常数项与一次项相结合，即将4与-4x相加，得到x²-4x+4。

2. 我们可以发现4的平方等于16，而-4的一半是-2，那么我们可以将方程转化为(x-2)²=9。

3. 对方程两边开方，得到x-2=±√9。

4. 继续化简，我们可以得到两个方程：x-2=3和x-2=-3。

5. 最后，解方程得到两个解：x=5和x=-1。

例子2：求解方程x²+8x-12=0