初中数学之三角形综合

1． 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）

A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0

【答案】D

【解析】

试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，

∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，

∴原式=a+b-c+（c-a-b）

=0．

2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B．

【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=12AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．

【解析】∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=12AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEADBCAB，即51610DE，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选B．

考点：相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．

3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）

A．2 B． C． D．

【答案】D．

【解析】

试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，

∴BC==5，

∵CD=DB，

∴AD=DC=DB=，

∵•BC•AH=•AB•AC，

∴AH=，

∵AE=AB，DE=DB=DC，

∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，

∵•AD•BO=•BD•AH，

∴OB=，

∴BE=2OB=，

在Rt△BCE中，EC= .

故选D．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理． 5453752234521212125121212524522222475()55BCBE4．如图，AB⊥数轴于A，OA＝AB＝BC＝1，BC⊥OB，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）

A． B．2 C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理分别求出OB、OC的长，再由作图可得答案．

【详解】

解：∵OA＝AB，AB⊥数轴于A，

∴OB2＝OA2+AB2＝12+12＝2，

∵BC＝1且BC⊥OB，

∴OC＝ ＝＝，

由作图知OP＝OC＝，

所以点P表示的数为，

故选：C．

5．如图，AB⊥数轴于A，OA＝AB＝BC＝1，BC⊥OB，以O为圆心，以OC长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（ ）

A． B．2 C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理分别求出OB、OC的长，再由作图可得答案．

【详解】 解：∵OA＝AB，AB⊥数轴于A，

∴OB2＝OA2+AB2＝12+12＝2，

∵BC＝1且BC⊥OB，

∴OC＝ ＝＝，

由作图知OP＝OC＝，

所以点P表示的数为，

故选：C．

6．如图，把三角形纸片ABC折叠，使C的对应点E在AB上，点B的对应点D在BC上，折痕分别为AD，FG，若∠CAB＝30°，∠C＝135°，DF＝4，则AC的长为_____．

【答案】2+6.

【解析】

【分析】

如图，作DH⊥AB于H，在AH上取一点M，使得AM=DM，连接DM．想办法求出AH，EH即可解决问题．

【详解】

解：如图，作DH⊥AB于H，在AH上取一点M，使得AM＝DM，连接DM．

∵∠CAB＝30°，∠C＝135°，

∴∠B＝180°﹣30°﹣135°＝15°，

∵FB＝FD，

∴∠FDB＝∠B＝15°，

∴∠DFH＝15°+15°＝30°，

∵∠DHF＝90°，DF＝4，

∴DH＝DF＝2，

∵∠ACD＝∠AED＝135°， ∴∠DEH＝45°，

∴DH＝EH＝2，

∵∠DAM＝∠DAC＝15°，MA＝MD，

∴∠MAD＝∠MDA＝15°，

∴∠DMH＝30°，

∴DM＝AM＝2DH＝4，MH＝DH＝6，

∴AH＝4+6，

∴AC＝AE＝AH﹣EH＝4+6﹣2＝2+6，

故答案为2 +6．

7．将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1

（1）当点A1落在AC上时

①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；

②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；

（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）①首先证明△A1B是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．

②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．

【详解】 （1）证明：①如图1中，

∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等边三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四边形ABD1C是平行四边形．

②如图2中，连接BD1．

∵四边形ABD1C是平行四边形，

∴CD1∥AB，CD1＝AB，

∠OCD1＝∠ABO，

∵∠COD1＝∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS），

∴OC＝OB，

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，

∴CA1＝＝4， ∵•A1C•A1B＝•BC•A1F，

∴A1F＝，

∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，

∴四边形A1EBF是矩形，

∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，

∴AE＝3﹣＝，

在Rt△AA1E中，AA1＝＝．

8. 如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°

①求证：AD=BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=23CM+233BN．

【答案】（1）①证明见解析；②80°；（2）证明见解析． 【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；

②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；

（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．

【解析】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．

在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．

∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．

∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．

（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=12×（180°﹣120°）=30°．

∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．

在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×tanCMCDM=23CM．

∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．

在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE=sinBNBEN=233BN．

∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=23CM+233BN．

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．

9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A