【专题练习】四边形最值问题

1 / 12 C

D E B A

图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题

一、折叠、剪切类问题

1、折叠后求度数

（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）

A．600 B．750 C．900 D．950

（2）如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（

）

A．50° B．55°

C．60° D．65°

（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝____________度.

2、折叠后求长度

（1）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．

A、 B、2 C、3 D、

（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

图①

A

B C D E

F

2 / 12

（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

（4）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

（5）如图，是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=

专题9.4 四边形中的线段最值问题

【典例1】如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

是边长为2

的正方形，𝐸

为线段𝐵𝐶

上一动点，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶

，垂足为𝐹

．

（1）如图1

，连接𝐷𝐸

交𝐴𝐶

于点𝑀

，若∠𝐷𝐸𝐹=15°

，求𝐴𝑀

的长；

（2）如图2

，点𝐺

在𝐵𝐶

的延长线上，点𝐸

在𝐵𝐶

上运动时，满足𝐶𝐺=𝐵𝐸

，

①连接𝐵𝐹

，𝐷𝐺

，判断𝐵𝐹

，𝐷𝐺

的数量关系并说明理由；

②如图3

，若𝑄

为𝐶𝐺

的中点，直接写出𝐷𝐸+2𝐷𝑄

的最小值为 ．

（1）如图1，过点𝑀

作𝑀𝐻⊥𝐴𝐷

于点𝐻

，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：∠𝐷𝐴𝐶=45°

，

∠𝐴𝐷𝑀=60°

，设𝐷𝐻=𝑥

，则𝐷𝑀=2𝑥

，运用勾股定理即可求出答案；

（2）①如图2，过点𝐹

作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶

于点𝐻

，设𝐶𝐺=𝐵𝐸=𝑦

，则𝐸𝐻=1−𝑦

2，运用勾股定理即可证得结论；

②如图3，取𝐷𝐸

、𝐷𝐶

的中点𝑃

、𝐻

，延长𝐷𝐶

至𝐾

，使𝐶𝐾=𝐶𝐻=1

，延长𝑃𝐶

至𝐿

，使𝐶𝐿=𝐶𝑃

，连接𝑃𝐻

，𝐾𝐿

，

过点𝑄

作𝑄𝑅//𝐶𝐿

，延长𝐾𝐿

交𝑄𝑅

于𝑅

，先证得𝛥𝐶𝐾𝐿≅𝛥𝐶𝐻𝑃(𝑆𝐴𝑆)

，再证得四边形𝐶𝑄𝑅𝐿

是平行四边形，得出

当𝐷

、𝑄

、𝑅

三点共线时，𝑄𝑅+𝐷𝑄

最小，故当𝐷

、𝑄

、𝑅

三点共线时，1

2𝐷𝐸+𝐷𝑄=𝑄𝑅+𝐷𝑄=𝐷𝑅

最小，即

2𝐷𝑅=2(1

2𝐷𝐸+𝐷𝑄)=𝐷𝐸+2𝐷𝑄

最小，再运用勾股定理计算即可．

解：（1）如图1，过点𝑀

作𝑀𝐻⊥𝐴𝐷

于点𝐻，∵

四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

是边长为2的正方形，

∴𝐴𝐷=2

，𝐴𝐷//𝐵𝐶

，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐶=45°

，

∴∠𝐴𝐷𝑀=∠𝐷𝐸𝐶

，

∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐶

，

∴∠𝐹𝐸𝐶=90°−∠𝐴𝐶𝐵=90°−45°=45°

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题

例1．如图所示，正方形ABCD

的边长为2，点E为边BC

的中点，点

P在对角线BD上移动，则PCE周长

的最小值是（）

A．

5B．

51C．

25D．

252

【答案】B

【分析】作点E关于BD的对称点为'E

，连接'CE交

BD于点P，可得

'

PEPE

，'

BEBE

，根据勾股定理

求出'CE，可得PCE周长

'+PEPCCEPEPCCE=，即可求解．

【详解】解：作点E关于BD的对称点为'E

，连接'CE交BD于点P，如图所示，

∵E关于

BD的对称点为'E

，

∴'

PEPE，

'

BEBE，

∵正方形ABCD的边长为2，点

E为边BC

的中点，

∴2BC，1BEEC

，

∴'1BE

，

∴''221+25CEBEBC==

，

∵PCE周长PEPCCE，

又∵''PEPCPEPCEC，∴PCE周长''+5+1PEPCCEPEPCCEECCE=，

∴PCE周长最小值为

51，故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对

称的性质．

例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，

当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（）

A．0B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先

在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG

与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然

后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的

长度．

【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点

专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接

PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）

A．43+3B．221C．23+6D．45

【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的

长即为所求．

【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE

的长即为所求．

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，

∴PC＝PF，

∵PB＝EF，

∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，

∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90

°，∴AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=43，

∴AC＝2AB，

∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，

∵∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝90°，

∴AE=(43)2+62=221，

故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角

线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）

A．5B．7C．72D．722

【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝

CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，

推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解

决问题；

【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．

由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，

∴△ADM是等腰直角三角形，

∴AD=22AM，

∴当AM的值最大时，AD的值最大，