特殊四边形中的最值问题

特殊的平行四边形中的最值模型--将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列

非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归

等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行

梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称

变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)

【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧：

【最值原理】两点之间线段最短。上图中A'是A关于直线m的对称点。

1(2022·山东德州

·

统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角

线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是()

A.62B.35C.213D.413

【答案】C

【分析】连接AM，AE，根据正方形的对称性可得AM=CM，进而可知EM+CM=EM+AM，再

利用A，M，E三点共线时，EM+AM的值最小，将EM+AM转化为AE，最后运用勾股定理即可

解答．

【详解】如图，连接AM，AE，∵A、C关于BD对称，∴AM=CM，∴EM+CM=EM+AM

当A，M，E三点共线时，EM+AM=AE的值最小，即EM+CM的值最小，

∵AB=6，BE=BC-CE=4，由勾股定理得：AE=AB2

+BE2

=62

+42

=213，

即EM+CM的最小值为213，故选C．

·1·

【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当A，M，

E三点共线时，EM+AM有最小值是解题的关键．

2(2022·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点

1专题03特殊的平行四边形中的最值模型-费马点

费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以

中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而

是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知

的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC

的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大

角的顶点A。

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，∵ABBE

ABMEBN

BMBN













，∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点

为M，则点M即为△ABC的费马点。

特殊四边形最值问题解题技巧和方法

我折腾了好久特殊四边形最值问题解题技巧和方法，总算找到点门道。

说实话，这事儿我一开始也是瞎摸索。就拿矩形来说吧，遇到求矩形内某线段最大值的问题，我一开始就只会硬算，把相关的边长啊角度啊全用坐标表示出来，然后根据两点间距离公式去求，那算起来可麻烦了。有时候运气好能算出结果，但大部分时候都是算到一半就乱套了。

后来我想到平移啊旋转这些变换。比如说遇到平行四边形的问题，有一道题是求平行四边形对角线差的最大值，我就想能不能把其中一条对角线平移一下让它们共线呢。我就试着这么做，结果发现这样问题变得简单多了，就像把一团乱麻捋顺了一样。

我也在菱形的最值问题上翻过车。有个求菱形边上一动点到对角顶点距离之和的最小值问题，我当时第一反应是直接用距离公式，可是算了半天也算不出来。最后才知道可以利用菱形的轴对称性，把问题转化到对称轴上，就像把东西从难走的小道搬到了方便的大路上去。

对于正方形呢，因为它性质更多更特殊，有时候需要结合勾股定理和它的直角情况。我做过一道题是求正方形内一个点到四个顶点距离平方和的最小值。我一开始完全没思路，就在那儿乱转。后来想着把四个距离分别用勾股定理表示出来，再转化成对角线和一些线段关系，这才做出来。

在解决这些特殊四边形最值问题时啊，我的心得就是一定要充分利用特殊四边形的性质。像平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；菱形对角线互相垂直且平分内角；矩形对角线相等；正方形兼具矩形和菱形的性质。看到问题先别急着算，好好琢磨琢磨能不能从这些性质入手，把问题转化得简单明了。

还有一点不确定的就是，有时候一个问题看起来能用多种方法解决，但不知道哪种最简便，还得要多做一些类似的题，多积累些经验吧。这就是我在特殊四边形最值问题解题方面摸索出来的一些经验，希望能有点帮助。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题

例1．如图所示，正方形ABCD

的边长为2，点E为边BC

的中点，点

P在对角线BD上移动，则PCE周长

的最小值是（）

A．

5B．

51C．

25D．

252

【答案】B

【分析】作点E关于BD的对称点为'E

，连接'

CE交BD于点P，可得

'PEPE

，'BEBE

，根据勾股定理

求出'

CE，可得PCE周长

'+PEPCCEPEPCCE=，即可求解．

【详解】解：作点E关于BD的对称点为'E

，连接'

CE交BD于点P，如图所示，

∵E关于BD的对称点为'E

，

∴'PEPE，

'BEBE，

∵正方形ABCD

的边长为2，点E为边BC

的中点，

∴2BC，1BEEC，

∴'1BE，

∴''221+25CEBEBC==

，

∵PCE周长PEPCCE，

又∵''

PEPCPEPCEC，∴PCE周长''+5+1PEPCCEPEPCCEECCE=，

∴PCE周长最小值为

51，故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对

称的性质．

例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，

当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（）

A．0B．3C．4D．6

【答案】C

【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先

在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG

与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然

后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的

长度．

【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点