2.5《等比数列的前n项和(1)》

等比数列前n项和教学设计

一、教学内容与任务分析

《等比数列的前n项和》的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修五第二章第五节2.5等比数列前n项和，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”，以及生活中如储蓄、分期付款的应用作准备。

二、学生者分析

学生是高中刚入学的学生，有一定的分析问题、解决问题的能力，已经学习了等比数列的概念及通项公式，学习了等差数列前n项和，对于公式推导归纳的过程有了一定的了解。

但等比数列前n项和的公式与等差数列有所差别，而学生的思维虽然活跃，但看问题可能不够严谨全面，公式中的一些注意点往往会被忽视。

三、教学重难点

重点：等比数列前n项和的推导及其简单应用。

难点：等比数列前n项和的推导，推导过程中错位相减的思想的掌握

四、教学目标

1. 知识与技能目标

（1）理解等比数列的前n项和公式的推导方法

（2）能说出等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题

2. 过程与方法目标

（1）通过公式的推导过程，提高建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力（2）体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想 3. 情感态度价值观目标

（1）经历对公式的探索，激发求知欲，大胆尝试、勇于探索、从中获得成功的体验

（2）体会数学的应用价值，理论联系实际的辩证思维

五、教学过程

一、创设情境

情境：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……”

高二数学组集体备课教案（第七周10月17日）

课题：2.5等比数列的前n项和(两个课时)

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；

教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教 具：多媒体

教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式

（1）等比数列定义：qaann1（2n，)0q

（2）等比数列通项公式：)0,(111qaqaann

（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算

引出课题:等比数列的前n项和。

三、问题探讨：

问题：如何求等比数列na的前n项和公式

nS123naaaa

22111111nnaaqaqaqaq

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 23636412222S 2 倒序相加法。

等差数列naaaa,,321它的前n项和是nSnaaaa321

根据等差数列的定义1nnaad

1111()(2)（n-1)nSaadadad （1）

()(2)-（n-1)nnnnnSaadadad （2）

（1）+（2）得：12()nnSnaa

word 1 / 5 第1课时 等比数列前n项和的求解

A级 基础巩固

一、选择题

1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()

A．63 B．64 C．127 D．128

解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，

所以q＝2，数列的前7项和为S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.

答案：C

2．设在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为()

A.154B.152C.74D.72

解析：根据等比数列的公式，得S4a3＝a1（1－q4）（1－q）·a1q2＝（1－q4）（1－q）q2＝1－24（1－2）×22＝154.

答案：A

3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()

A．190 B．191 C．192 D．193

解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.

答案：C

4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()

A．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)

C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－43≠0，

所以an≠0，所以an＋1an＝－13， word

2 / 5 所以数列{an}是以－13为公比的等比数列．

因为a2＝－43，所以a1＝4，

所以S10＝41－－13101－－13＝3(1－3－10)．

答案：C

5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为()

A．－2 B．2 C．－3 D．3

佛山顺德龙泰教育 高一数学必修5 数列

1 等比数列的前n项和

【知识要点】

1. 等比数列的前n项和公式；

2. 等比数列的前n项和公式推导方法．

【学习要求】

1．掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题；

2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式；

3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）

1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和.

2.公式推导 一般地，对于等比数列

a1，a2，a3，．．．, an,．．．

它的前n项和是 Sn= a1+a2+a3+．．．+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成

Sn= ①

① 式两边同乘以公比q 得

qSn= ②

思考：①,②的右边相同的项有 1 ；

如何消去这些相同的项？

得(1-q)Sn= a1－a1qn ，

当ｑ≠１时，

Sn= （q≠1）；

又an =a1qn-1 所以上式也可写成

Sn= （q≠1）；

上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是：

当ｑ=１时，Sn= ．

3. 等比数列的前n项和Sn（q≠1）中含有5个量，

（1）注意公比q是否为1；

（2）应用公式能解决哪些问题？ ；

（3）在公式中，当1q时，如果令1,1aAq那么ns ，从函数的角度看，可以由指数函数nq的图象变换得到．