高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲

1 数学归纳法的解题运用

【高考能力要求】

数学归纳法是证明与自然数有关的问题，在近年的高考题中，一般不作单独的考题，而是以应用为主，且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查，主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法，若出现在押轴题中则往往难度较大，分值为7分左右。涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等)，才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳猜想证明。在用数学归纳法证明时，要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤，特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。

【例题精讲】

【例1】已知函数)(xf满足1)1(),0,,()()(fbRbabxafxxf，且使xxf)(成立的实数x是唯一的。

（1） 求函数)(xf的解析式、定义域、值域；

（2） 如果数列na的前n项和为nS，且12)(nafnSnn，试求此数列的通项公式。

分析：（1）由1)1(f及xxf)(有唯一解建立关于ba,的方程组，解出ba,即可；（2）利用nnnSSa11将已知条件转化为1na与na的递推关系式，从而猜想出na的表达式并用数学归纳法加以证明。

解：（1）axbxf)(，∵ baf11)1( ①

由xxf)(得 02baxx有唯一解，∴ 042bb ②

由①②得 1,2ba，∴xxf21)(，其定义域为2|xx，值域为0|yy 2 （2）∵ 12)(nafnSnn，xxf21)(，∴nnnnannanS)14(12)2(，

当1n时，255111aaS。

∵nnnanS)14(，∴11)1()54(nnannS，

两式相减，得 2424)1(111nannanaanSSnnnnnn，

∴ 1225,61332aa，猜想：)1(12nnan，下面用数学归纳法证明。

① 当1n时，猜想成立；

② 假设当kn时猜想成立，即)1(12kkak，

由当1kn时，24224])1(12[22421kkkkkkkkakkakk

]1)1)[(1(12)2)(1(1kkkk，即1kn时猜想成立。

由①②知)1(12nnan对Nn成立。

说明：观察、归纳、猜想、证明是解决数列综合题的重要方法，也是考查数学能力的途径之一，本题体现了通过特殊情况的分析、归纳猜想出一般结论，再用数学归纳法证明的数学思维方法。

【例2】在x轴上有点列NnaAnn|)0,(，其中naa,00为递增数列，以1nnAA为一边的正三角形的另一顶点nB在曲线xy上，求：（１）321,,aaa；（２）归纳出na的通项公式并加以证明；

分析：由1nnnABA为正三角形的几何性质可建立1na与na的递推关系式，从而求得321,,aaa，然后猜想na的表达式并用数学归纳法加以证明。

解：设),(nnnyxB，则由已知)(23),(2111nnnnnnaayaax， 3 ∴311213)(21)(23111nnnnnnnaaaaaaa，

（1） 由00a得 312,36,32321aaa；

（2） 猜想3)1(nnan，下面用数学归纳法证明：

①当1n时命题成立；

②假设当kn时命题成立，即3)1(kkak，则当1kn时，

3)2)(1()23(31)1441(31]13)1(1213)1(3[313112132221kkkkkkkkkkkkaaakkk，

即当1kn时，命题也成立。

∴ 对Nn都有 3)1(nnan成立。

说明：本题结合几何条件建立递推关系，通过归纳、猜想、证明的解题方法加以解决，这是用数学归纳法解决以几何为背景的数列问题的常用策略。

【例3】（04辽宁）已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当

.81)(,]21,41[xfx时

（1）求a的值；

（2）设.11.),(,21011naNnafaannn证明

分析：（1）由二次函数的性质可求出函数的最大值，再根据条件建立a满足的条件组，从而可求出a的值；（2）由函数)(xf的解析式可得出数列na的递推关系式，然后用数学归纳法去证明所证不等式。

（1） 解：由于6)3(2323)(222aaxxaxxf的最大值不大于,61

所以 .1,616)3(22aaaf即 ① 4 又,81)(]21,41[xfx时 所以 1.813234,81832,81)41(,81)21(aaaff解得即.

②

由①②得 .1a

（2）证法一：（i）当n=1时，2101a，不等式110nan成立；

因2,3161)(0),32,0(,0)(12nafaxxf故所以时不等式也成立.

（ii）假设)2(kkn时，不等式110kak成立，

因为223)(xxxf的对称轴为,31x知]31,0[)(在xf为增函数，

所以由31110kak 得 )11()(0kfafk，

于是有

,21)2()1(24212121)1(123110221kkkkkkkkkak

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何Nn，不等式11nan成立.

证法二：（i）当n=1时，2101a，不等式110nan成立；

（ii）假设)1(kkn时不等式成立，即110kan，则当n=k+1时，

)231()2(21)231(1kkkkkaakkaaa

因,0231,0)2(kkaak所以

.1]2)21(1[]2)232(1[)231()2(22kkkkakakaak

于是.2101kak 因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何Nn，不等式11nan成立. 5 说明：本题主要考查二次函数的性质和用数学归纳法证明不等式的能力，属于中高档题。证法一充分结合了函数的单调性，证法二则是巧妙地利用了重要不等式，从而使问题得到快速解决，体现了较高的数学综合解题能力。

【例4】（04湖北）已知.,2,1,1,}{,011naaaaaaannn满足数列

（1）已知数列}{na极限存在且大于零，求nnaAlim（将A用a表示）；

（2）设;)(:,,2,1,1AbAbbnAabnnnnn证明

（3）若,2,121||nbnn对都成立，求a的取值范围.

分析：（1）由递推关系式两边取极限即可；（2）通过代换转化为1nb与nb的关系式；（3）先考查特殊发情况21||1b，得出一个必要条件23a，再用数学归纳法证明其充分性。

解：（1）由两边取极限得对且存在nnnnnnaaaAaAa1),0(lim,lim1

.24,0.24,122aaAAaaAAaA又解得

（2）.11,11AbaAbaaaAbannnnnn得由

都成立对即,2,1)(.)(11111nAbAbbAbAbAbAAbAabnnnnnnnn

（3）.21|)4(21|,21||21aaab得令

.,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得nbaaaaaann

（i）当n=1时结论成立（已验证）. 6 （ii）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kkbkkn

kkkkkAbAAbAbb21||1|)(|||||1

故只须证明.232||,21||1成立对即证aAbAAbAkk

.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222kkkkkkkbaAbAbAAbAaaaaaaaA时故当即时而当由于

即n=k+1时结论成立.

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.

故).,23[,2,121||的取值范围为都成立的对anbnn

说明：本主要考查数列极限的概念、运算法则，换元法和猜想与归纳的方法，第（3）问实质上是要寻找“nnb21||恒成立”的充要条件，通过特殊情况先找到一个必要条件，猜想其可能也是充分条件，最后用数学归纳法加以了证明，可见其能力要求较高、难度较大。

【例5】已知数列na的通项为2)1(nnan,问是否存在这样的等差数列nb,使11bannnbbb3232对一切Nn都成立,并证明你的结论.

分析 考查数学归纳法以及探索猜想、归纳、推理能力.

解: (1)令1n,则41,4)11(1111121bbbaa,

令2n,则22a72421,18)12(222122bbbba

令3n,则1031832,48)13(333321323bbbbbaa

令4n,则13448432,100)14(4444321424bbbbbbaa

猜想)(13Nnnbn 7 下面用数学归纳法证明

(1)当1n时,4,411ba,∴111ba成立.

(2)假设当kn时,猜想成立,即2)1(,13kkakbkk且,则当1kn时,1ka )1(2)1()1(2)1(]1)1)[(1(222kkkkkkkkk

]1)1(3)[1(21]1)1(3)[1()1(1212kkbkbbkkkkk

若令1)1(31kbk,则1211)1(21kkbkbba成立,

∴当1kn时,1)1(31kbk,且1211)1(21kkbkbba成立.

由(1)(2)可知,猜想正确,所以存在等差数列nb,其通项为13nbn,使11bannbnb22对一切Nn成立.

说明:本题是“是否存在”型问题，一般采用“先假定存在，再设法证明（或导出矛盾）”的方法解题，本题的困难在于n为变量，故采用对n取特殊值求出nb，再就n为任意值时进行论证的方法.在用数学归纳法证明的第二步中要考虑到nnba,同时在变化,否则不能完成证明.

【能力演练】

1.用数学归纳法证明)1,(111212aNnaaaaann在验证1n成立时,左边的项应为

( )

A.1 B.a1 C. 21aa D. 321aaa