高考数学专题《数学归纳法》练习

专题7.6 数学归纳法

1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)nnn时，从nk

到1nk等式左边需增添的项是（ ）

A．22k

B．2(1)1k

C．[(22)(23)]kk

D．(1)12(1)1kk

2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-111

234+…+1

-1n=2

111

…

242nnn时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）

A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立

C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立

3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋1

2＋1

3＋…＋1

21n＜n(n∈N*，n≥2)”时，

由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）

A．2k－1B．2k－1

C．2kD．2k＋1

4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式*1114

,2

1225nNn

nnn

时，

可将其转化为证明（ ）

A．*11141

,2

122521nn

nnnnN



B．*14

,2

122521111

nn

nnnnN



C．*114

,2

1225211

Nnn

nnnn



D．*11141

,2

12252Nnn

nnnn



5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，111

1...(,1)

2321nnnNn

练基础由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ）

A．B．C．D．

6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明2511222nnN能被31整除时，从k到

1k添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足

，则数列的通项公式为______________．

8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1,𝑎𝑛+1=1+𝑎𝑛

1+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)用数学归纳

法证明：𝑎𝑛<𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗).

9.（2021·全国高三专题练习）数列

na满足*2N

nnSnan.

（1）计算123aaa、、，并猜想na的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{an}满足：11a

，点*

1(,)()

nnaanN

在直线21yx

上．

（1）求234,,aaa的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

1．（2021·全国）已知数列

na满足*

1nn

nn

aanN

a，10a，则当2n时，下列判断一定正确的

是（ ）

A．1

nanB．211nnnnaaaa



C．nanD．1

nan

2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列

na，满足

101aaa，

*

11ln1

nnnaaanN

，则（ ）

A．11

0

nnaa

nB．11

0

nnaa

nnk1nk

k1k2k21k

{}

na

11an

nS

2

14(3)(2,)

nnSannN

≥{}

na

na

练提升C．11

0

nnaa

nD．11

0

xnaa

n

3．（2020·浙江省桐庐中学）数列

na满足2*

1nnnaaanN

，11

0,

2a

，则以下说法正确的个数

（ ）

①10

nnaa

；

②2222

1231naaaaa；

③对任意正数b，都存在正整数m使得

1231111

1111

mb

aaaa

成立；④1

1na

n

.

A．1B．2C．3D．4

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列

na满足：10a，

1ln1na

nnaean

N，前n项

和为nS（参考数据：ln20.693，ln31.099，则下列选项错误的是（ ）.

A．

21na

是单调递增数列，

2na是单调递减数列

B．1ln3

nnaa



C．2020670S

D．212nnaa



5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如2的“积数”

为2，2,3的“积数”为6，111

1,,,,

23n

的“积数”为1

!n，则数集*1

,22021,MxxnnN

n



的所有非空子集的“积数”的和为___________.

6．（2021·浙江高三期末）已知数列

na满足0

na，前n项和为nS，若33a，且对任意的*kN，均

有2112

22ka

ka，21222log1

kkaa

，则1a_______；20S______.

7．（2020·江苏南通·高三其他）数列

na的前n项和为nR，记

11n

n

iS

i，数列

nb满足11ba，

12n

nnnR

bSan

n，且数列

nb的前n项和为nT．（1）请写出nR，nS，nT满足的关系式，并加以证明；

（2）若数列

na通项公式为11

2nna

，证明：22lnnTn．

8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列

na的公比1q，且23414aaa，

31a是2a，4a的等差中项，数列

nb满足：数列

nnab的前n项和为2nn．

（1）求数列

na、

nb的通项公式；

（2）数列

nc满足：13c，*

1,n

nn

nb

ccnN

c，证明*

12(2)

,

2nnn

cccnN



9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列

na的前n项和为nS，已知1a，na，nS成等差数列，且

542aS，*nN．

（1）求数列

na的通项公式；

（2）记2n

n

na

b

S，*nN，证明：

1231

4421nnbbb

，*nN．

10.已知点𝑃𝑛(𝑎𝑛,𝑏𝑛)满足𝑎𝑛+1=𝑎𝑛.𝑏𝑛+1，𝑏𝑛+1=𝑏𝑛

1―4𝑎2𝑛(𝑛∈𝑁∗)，且点𝑃1的坐标为(―1,1).

（1）求过点𝑃1,𝑃2的直线的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于𝑛∈𝑁∗，点𝑃𝑛都在（1）中的直线𝑙上.

1．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，134nnaan．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

2.（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；{}

nx

11x

11ln(1)

nnnxxx

()n*N

n*N

10

nnxx



1

12

2nn

nnxx

xx



≤练真题（Ⅲ）．

3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

4.（2021·全国高三专题练习）设数列

{an}满足a1=3，134nnaan．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．

（Ⅰ）求的值；

（2）证明：对任意的

，等式

成立．

6.（2021·上海普陀区·

高三其他模拟）如图，曲线:10Cxyx与直线:lyx相交于1A，作11ABl

交x轴于1B，作12BA//l交曲线C于2A，……，以此类推.

（1）写出点123,,AAA和123,,BBB的坐标；

（2）猜想

nAnN的坐标，并用数学归纳法加以证明.1211

22nnnx

≤≤

{}na1(1)()n

nnbnan

nN

()1exfxx1(1)n

n

1

1b

a12

12bb

aa123

123bbb

aaa12

12n

nbbb

aaa



1

12()nnncaaa{}na{}ncnnSnTennTS

0sin()(0)xfxxx()

nfx

1()

nfx

nN



122222ff

nN

12

4442nnnff

