高考一轮复习：函数单调性

导数与函数单调性

一、回顾： 将函数xxfysin)(的图象向左平移4个单位，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf是 ▲ （写出一个即可）

二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析

2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B级要求.

导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.

2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用

2009年03题考查 导数研究函数单调性

2010年14题考查 导数研究函数性质

2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义

2012年考查 导数研究函数零点

导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数.

三、知识点梳理：

函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

注：①)('xf＞0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有)('xf＞0，有一个点例外即x=0时)('xf = 0，同样)('xf＜0是f（x）递减的充分非必要条件.

第二节 函数的单调性与最值

1．函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义．

2．函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

知识点一 函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的

图象描述

自左向右看图象是逐渐上升的

自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

易误提醒 求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式：

设x1，x2∈[a，b]，那么 ①fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

[自测练习]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )

A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

3．已知函数f(x)＝ －x2－ax－5，x≤1，ax，x>1在R上为增函数，则a的取值范围是( )

函数的单调性与

适用学科 数学 适用年级 高二年级

适用区域 全国 课时时长（分钟） 120

知识点 求函数的值域

学习目标 1 理解和掌握函数的值域是，研究函数的最值问题。

2 能应用常用的方法来正确求函数的定义域,来培养学生应用数学分析、解

决实际函数的能力.

3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，

合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动

脑和动手的良好品质

学习重点 函数值域就是求函数最值的问题。

学习难点 求函数的值域解决函数的取值范围

学习过程

一、复习预习

1.函数的值域

1．定义：在函数()yfx中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数()yfx用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；

②当函数()yfx用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；

③当函数()yfx用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数()yfx由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、知识讲解

常见函数的值域：

1 一次函数的)0(abaxy的定义域为R，值域为R，对于一个R中的任意一个数，对R中都有为唯一的数与它相对应。

2 二次函数)0(2acbxaxy的定义域为R，值域为B。当0a时，}44{2abacyyB，当0a时，}44{2abacyyB，对R中都有为唯一的数与它相对应。

3反比例函数0kykx的值域为0yRy.

4求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。

单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

1．函数与映射的概念

函数 映射

定义 建立在两个_________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应 建立在两个_________A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的__________元素x，在集合B中都有_________的元素y与之对应

记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B

2.函数的三要素

函数由定义域、__________和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做________，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做________。

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是_____个函数。当自变量不确定时，需__

____________ 。

4.判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象_______(填” 至多”,” 至少”等)有1个交点。

5．常见函数定义域的求法

类型 x满足的条件

2nfx，n∈N＋

1fx与[f(x)]0

logaf(x)(a>0，a≠1)

logf(x)g(x) 

tan f(x) ,k∈Z

(文字叙述)求函数定义域常见结论：

(1)分式的分母_______；

(2)偶次根式的被开方数_________；

(3)对数函数的真数必须_________；

(4)指数函数和对数函数的底数___________；

(5)正切函数y＝tan x，____________(k∈Z)；

(6)零次幂的底数_________；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．