4 无零因子环的特征

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R,则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有( d ）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是(b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合;,则有-1,0，1，-2，2。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环.4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---—-—-—-。

9、一个除环的中心是一个—域---——.三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。

近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。

本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。

它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。

它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。

它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。

其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。

通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。

2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。

由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。

并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。

还要注重培养抽象思维和推理的能力。

3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。

本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。

4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。

6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。

第四节 多项式环基本概念：多项式、未定元．重点、难点: 未定元的概念、未定元的存在性．本节中的环均指有单位元的交换环．设R 是环R ＇的子环，且二者有相同的单位元．定义3.4.1 设'R α∈，记集合0101[]{|,,,,}nn n R a a a a a a R n ααα=+++∈∈L L ?，在[]R α中规定运算如下：01010011010101()()()()());()(),.n n n n n n n n m n n m n k i ji j ka a ab b b a b a b a b a a a b b bc c c c a b αααααααααααα+=+++++++=+++++++++⋅+++=+++=∑L L L L L L 其中则[]R α构成一个环，称之为R 上的关于α的多项式环，称[]R α中的元素为R 上的关于α的多项式．注1 []R α是R ＇中包含R 和α的最小子环．注2 与高等代数中类似，对每个()[]f R αα∈，可以定义()f α的次数、系数、首项系数等．值得注意的是，可能存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010m m a a a αα+++=L ．例如，在i ∈£，但2110i +=．又如，若R α∈，则1(1)0αα+-=．于是有下面的概念．定义 3.4.2 设'x R ∈．若不存在不全为零的元素01,,,m a a a R ∈L ，使得010,m m a a x a x m +++=∀∈L ?，则称x 是环R 上的一个未定元．称R 上关于x 的多项式是为R 上的一元多项式．自然会问：环R 上的未定元是否存在？一般而言，对于给定的环R ＇， R ＇中未必含有环R 上的未定元．例如，环[]i ¢中就不含有¢上的未定元．但是有定理3.4.1 假设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在环R 上的未定元x ，因此 R 上的一元多项式环[]R x 是存在的．上述结果可以推广到多个的情形，即有定理3.4.2 假设R 是一个有单位元的交换环，n 为任意正整数，则一定存在环R 上的n 个无关的未定元1,,n x x L ，因此 R 上的多元多项式环1[,,]n R x x L 是存在的．（其中无关的意思是指：11111100,n n n n ni i i i n i i i i i i ax x a a R =⇔=∀∈∑L L L L L ．） 定理3.4.3 假设1[,,]n R x x L 和1[,,]n R ααL 都是有单位元的交换环R 上的多元多项式环，若1,,n x x L 是R 上的n 个无关的未定元，则一定存在环的同态满射1111[,,][,,];(,,)(,,)n n n n R x x R f x x f αααα→L L L a L ．作业：Page 109 第1题，第2题。

第19 讲§4 无零因子环的特征（Characteristic of the ring without zero-division）本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法{}+,R做成一个加群。

所以群中元素自然存在阶的概念。

本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。

而将无零因子环的问题只是作为一种特例。

这里要求：（1）对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是()Rch与{}+,R中元素的阶的本质区别。

（2）无零因子R环中的特征的几个性质的证明应该掌握。

（3）对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。

一、环的特征的定义定义 ： 设R 为任意环，如果存在自然数n ，使得任意Ra ∈都有0=na ，那么称这样的最小的自然数n 为环R 的特征，记为()R Ch 。

如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记().∞=R Ch例1． 整数环Z 中上述定义的自然数n 不存在. ∴ ()R Ch =∞. 不仅如此,还可知 ()()()().,∞=∞=F M Ch x F Ch n例 2. 在模4的乘余类环4Z 中,][][][][]{}3,2,1,04=∈∀Z i ,当取 ,16,12,8,4=n 时,都有[][]0=i n 而最小的显然是4 ()44=∴Z Ch 明示1: 模剩余类环而言,().m Z Ch m =注意1：1°如果环R 的加群中有一个元素的阶为无穷，由()R Ch 的定义知 必有()∞=R Ch .2° 如果R 的加群{}+,R 中每个元素都是有限阶而最大的阶若为()n R Ch n =⇒.譬如中∆Z ;最大者是[][][]4317,10===, []22=, ()44=⇒∆Z Ch .结论1. 若()n R Ch =,那么,加群{}+,R 中每个元素a ,都有n a =1. 明示2. 在此,我们要强调二点:① 确定存在这样的环R ,使得其加群{}+,R 中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素.设()()c G b G ==21,是两个循环加群,又设,∞=b 而n c =. 所以{}.00,1=⇔=∈∀=h hb Z h hb G 且 {}n kc Z k kc G ⇔=∈∀=0,2且 k .现令 (){}Z k h kc hb G G R ∈∀=⨯=,,21并规定R 中加法“+”: ()()()c k c k b h b h c k b h c k b h 21212211,,,++=+乘法“·”： ()()()0,0,,2211=c k b h c k b h 。

第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。

第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。

b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。

群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。

6.群满足左右消去律。

推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。

7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。

8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。

9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。

交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。

元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。

若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。

有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。

一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。

定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。

若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。

无零因子环的特征
一个环被称为无零因子环，如果它不含有非零的因子，即对于环中的任意元素a和b，如果ab=0，则a=0或b=0。

一个无零因子环的特征可以有以下性质：
1. 加法群：无零因子环一定是一个加法群，因为它满足加法封闭性、结合律、存在加法单位元和加法逆元。

2. 乘法幺元：无零因子环一定存在乘法幺元，即一个元素可以与环中的任意元素乘得自身。

3. 分配律：无零因子环满足左分配律和右分配律，即对于环中的任意元素a、b和c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc。

4. 可交换性：无零因子环不一定是可交换环，即乘法不一定是可交换的。

总结起来，一个无零因子环的特征是它满足加法群、乘法幺元和分配律，但不一定满足可交换性。

第31卷　第2期　吉首大学学报(自然科学版)Vol.31　No.2 2010年3月J ournal of J is ho u Uni ver s i t y (Nat ural Sci ence Editio n)Mar.2010 文章编号:100722985(2010)022*******无零因子环的刻画及各种环的例子3陈祥恩(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州　730070)摘　要:总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件.给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.关键词:环;无零因子环;刻画中图分类号:O175 文献标识码:A环是近世代数中的一个很基本的概念,对环的教学也显得尤为重要.根据笔者的教学实践,首先总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件,然后给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.所用术语如无特别说明请参看文献[1].1　无零因子环的刻画设R 是一个环,a 是R 中的一个非零元.如果存在R 中非零元b 使得ab =0,那么称a 为R 的一个左零因子.同理可定义右零因子.如果一个环没有左零因子,那么称它为无零因子环.先给出刻画一个环是无零因子环的若干充要条件.定理1　设R 是一个环.下述几条彼此等价:1)R 中左消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ab =ac ,a ≠0,就有b =c;2)R 是无零因子环;3)R 中没有“既是左零因子又是右零因子”的元;4)R 中没有右零因子;5)R 中右消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ba =ca ,a ≠0,就有b =c;6)R 中任意2个非零元的乘积还是非零元;7)Πa ,b ∈R,一旦ab =0,就有a =0或者b =0.2　各种环的例子图1　各种环的关系先用文氏图给出环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系.如图1所示,方框的内部表示所有环的集合.包含数字2,5,6,7,8的圆的内部表示所有交换环的集合.包含数字4,6,7,8,9,10的圆的内部表示所有含单位元的环的集合.包含数字3,5,7,8,9,10的圆的内部表示所有无零因子环的集合.虚线的内部表示所有除环的集合.3收稿日期:2009211206基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771091);西北师范大学数学与应用数学专业代数课程(校级及省级)教学团队经费资助()作者简介陈祥恩(652),男,甘肃天水人,西北师范大学数学与信息科学学院教授,主要从事代数与图证研究2009-07:19.为了更好地理解环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系,下面给出各种环的例子.用E表示所有能够被2整除的整数所组成的集合,用Z表示整数集.例1　令R1={a bc d|a,b,c,d∈E}.R1关于矩阵的加法、乘法作成环.R1不是交换环,不是有单位元的环,也不是无零因子环.例2　设(Z,+)是整数加群.对Πa,b∈Z,令a.b=0,则(Z,+,.,)是交换环,但不是有单位元的环,也不是无零因子环.例3　令R2={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈E}.R2关于矩阵的加法、乘法作成环.R2不是交换环,不是有单位元的环,但它是无零因子环.例4　设M n(F)表示数域F上全体n(>1)阶方阵所构成的集合.M n(F)关于矩阵的加法、乘法作成环.M n(F)是有单位元的环,但它不是交换环,不是无零因子环.例5　E关于整数的加法、乘法构成一个环.它是交换环、无零因子环,但它不是有单位元的环.例6　设n(>1)是合数,则模n的剩余类环Z n是交换环、有单位元的环,但它不是无零因子环.例7　设整数环Z是整环,但它不是域.例8　设p(>1)是素数,则模p的剩余类环Z p是域.例9　四元数除环是除环,但不是域[1].例10　令R3={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈Z}.R3关于矩阵的加法、乘法作成环.R3是有单位元的环、无零因子环,但它不是交换环,不是除环.参考文献:[1]　张禾瑞.近世代数基础[M].第1版.北京:高等教育出版社,1978.Char acter iza tion f or Rings Without Zer o Divisor andExa mples of V ar ious RingsC H EN X ia ng2en(College of Mathematics a nd Infor mation Science,Nort hwest Normal Univer sity,La nzhou730070,China)Abstract:The equivalence condi tions for charact erizing ri ngs wit hout zero divi sor are summarized a nd t he exa mple s of va rious rings are gi ven i n t hi s paper.K ey w or ds:ri ng;ri ng wit hout zero di vi sor;charact erizat io n(责任编辑　向阳洁) 2吉首大学学报(自然科学版)第31卷。

《抽象代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。

集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。

理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：黑板板书与口授教学法。

教学时数：12学时。

教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。

2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。

近世代数课后习题参考答案第三章 环与域1 加群、环的定义1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+⇒∈,'0是S 的零元,即a a =+'0对G 的零元,000'=∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈, S a S a ∈-⇒∈今证S 是子群由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件:若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00 故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(,2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:+ 0 a b c ⨯0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0c0 a b c证明,R 作成一个环 证 R 对加法和乘法的闭的.对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=事实上.当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0.当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz . 这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)(事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx剩下的情形就只有0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环.2 交换律、单位元、零因子、整环1. 证明二项式定理 n n n n n b b aa b a +++=+- 11)()(在交换环中成立. 证 用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的:k i i k k i k kk k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11看1+=k n 的情形)()(b a b a k++))()()((11b a b b a b a a ki i k k i k k k ++++++=--1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k ii k k i k i k k k k b b ab a a b a 111111)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a(因为)()()(11kr k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立.2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.证 设a 是生成元 则R 的元可以写成na (n 整数)2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na ===2))((mna na ma =3． 证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他条件的结果 (利用)11)((++b a ) 证 单位元是1,b a , 是环的任意二元,1)11(1)()11)((⋅++⋅+=++b a b ab a b a +++= )11()11(+++=b a b b a a +++=b b a a b a b a +++=+++∴ b a a b +=+4． 找一个我们还没有提到过的有零因子的环.证 令R 是阶为2的循环加群 规定乘法:R b a ∈,而0=ab 则R 显然为环.阶为2 ∴有R a ∈ 而 0≠a但 0=aa 即a 为零因子 或者R 为n n ⨯矩阵环.5． 证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.证 令2{b a R +=b a ,(整数)}(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++ 适合结合律,交换律自不待言.零元 200+2b a +的负元2b a --(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++ 乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.(ⅲ)单位元 201+(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=⇒=a ab 或0=b3 除、环、域1. =F {所有复数bi a + b a ,是有理数}证明 =F 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环. 并且 (ⅰ)F 有01≠+i(ⅱ) 0≠+bi a 即 b a , 中至少一个0≠022≠+∴b a 因而有,i b a b b a a 2222+-++ 使)((bi a +i b a bb a a 2222+-++1)= 故F 为域2. =F {所有实数,3b a + b a ,( 是有理数)} 证明 F 对于普通加法和乘法来说是一个域.证 只证明 03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说0322≠-b a 不然的话,223b a =,0(≠b 若0=b 则 0=a 矛盾)223b a = 但 3 不是有理数既然0322≠-b a则 3b a + 的逆为3332222b a bb a a -+-4. 证明 例3的乘法适合结合律.证),)](,)(,[(332211βαβαβα=),)(,(331212121βααββαββαα--+----+--=,)()[(3212132121βαββααββαα ---+--])()(3212132121ααββαβββαα 又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα],)[,(3232323211--+-=αββαββααβα -----------------+--=)()([3232132321αββαβββααα, )]()(3232132321----------------++ββααβαββαα ),([32321321321----------+--=βββαβββαααα )](32321321321----------++αββαβαβαβαα,[321321321321αβββαβββαααα-------= ]321321321321βββααβαβαβαα-----++ ,)()[(3212132121βαββααββαα--+--= 3212132121)()(---++-ααββαβββαα )])()[(())]()([(332211333211βαβαβαβαβαβα=∴5. 验证,四元数除环的任意元 )(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式. 证 ),(),(),(di bi c a di c bi a +=++ ),0()0,(),0()0,(di bi c a +++=),0)(0,()0,)(0,()1,0)(0,()0,(i d i b c a +++=4 无零因子环的特征1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.(a )的特征是2;(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程 证 (a ) 设F 的特征为P 则P 的(加)群F 的非零元的阶 所 4P (4是群F 的阶) 但要求P 是素数, .2=∴P (b ) 设},,1,0{b a F =由于2=P ,所以加法必然是,0=+x x ,而b a a a =+⇒≠+11 故有0 1 a b0 0 1 a b 1 1 0 b a a a b 0 1 bb a 1 0 又 },,1{b a 构成乘群,所以乘法必然是 1,=⇒≠≠ab b ab a ab1,22≠≠a a a (否则b a = )b a =⇒2故有.1 a b 11 a b a a b 1 bb a 1这样, b a , 显然适合12+=x x2. 假定 ][a 是模 的一个剩余类.证明,若a 同 n 互素,那么所有][a 的书都同n 互素(这时我们说][a 同n 互素). 证 设][a x ∈ 且d n x =),( 则11,dn n dx x ==由于)(1111q n x d q dn dx nq x a nq a x -=-=-=⇒=-故有 ,a d ,且有 n d因为 1),(=n a 所以1=d3. 证明, 所有同 n 互素的模 n 的剩余类对于剩余类的乘法来说作成一个群(同 互素的剩余类的个数普通用符号)(n φ 来表示,并且把它叫做由拉φ函数)证]{[a G =而][a 同n 互素}G 显然非空,因为)1),1((]1[=∈n G(ⅰ)G b a ∈][],[则][]][[ab b a =又1),(,1),(==n b n a 有1),(=n abG ab ∈∴][(ⅱ)显然适合结合律.(ⅲ)因为n 有限,所以G 的阶有限. 若]][[]][['x a x a = 即][]['ax ax =由此可得)(''x x a ax ax n -=-',1),(x x n n a -∴= 即有][]['x x =另一个消去律同样可证成立.G 作成一个群4. 证明,若是1),(=n a , 那么)(1)(n an ≡φ(费马定理)证 ),(n a 则G a ∈][而 ][a 的阶是G 的阶 )(n φ的一个因子 因此]1[][)(=n a φ即]1[][)(=n aφ)(1)(n a n ≡∴φ5 子环、环的同态1. 证明,一个环的中心是一个交换子环.证 设N 是环的中心.显然N O ∈ N b a ∈,，x 是环的任意元N b a b a x xb x bx ax x b a ∈-⇒-=-=-=-)()( N ab ab x b xa b ax xb a bx a x ab ∈⇒=====)()()()()()(是子环,至于是交换环那是明显的.2. 证明, 一个除环的中心是个域.证 设!是除环！是中心 由上题知N 是R 的交换子环,1R ∈显然N ∈1,即N 包含非零元,同时这个非零元1是的单位元.R x N a ∈∈,即xa ax = N a x a xa x axa xaa axa∈⇒=⇒=⇒=------111111N ∴!是一个域3. 证明, 有理数域是所有复数b a bi a ,(+是有理数）作成的域)(i R 的唯一的真子域. 证 有理数域R 是)(i R 的真子域.设F !是)(i R 的一个子域,则R F ⊇(因为R 是最小数域) 若,F bi a ∈+ 而0≠b则)(i F F F i =⇒∈这就是说,R 是)(i R 的唯一真子域.4. 证明, )(i R 有且只有两自同构映射.证 有理数显然变为其自己. 假定α→i则由i i =⇒-=⇒-=αα1122或 i -=α这就证明完毕. 当然还可以详细一些:bi a bi a +→+:1φbi a bi a -→+:2φ21,φφ确是)(i R 的两个自同构映射.现在证明只有这两个.若bi a i +=→αφ: (有理数变为其自己)则由12)(12222-=+-=+⇒-=abi b a bi a i 1,0222-=-=b a ab若 102-=⇒=a b 是有理数,在就出现矛盾,所以有0=a 因而.1±=b 在就是说, 只能i i → 或i i -→i5. 3J 表示模3的剩余类所作成的集合.找出加群3J 的所有自同构映射,这找出域3J !的所有自同构映射.证 1）对加群3J 的自同构映射 自同构映射必须保持!00←→ 故有i i →:1φ2）对域3J 的自同构映射.自同构映射必须保持00←→，11←→ 所有只有i i →:φ6. 令R 是四元数除环, R 是子集=S {一切)}0,(a 这里a 阿是实数,显然与实数域-S 同构.令-R 是把R 中S 换成-S 后所得集合;替R 规定代数运算.使-≅R R ,分别用k j i ,,表示R 的元),,0(),1,0(),0,(i i ,那么-R 的元可以写成d c b a dk cj bi a ,,,(+++是实数）的形式(参看.3.3 习题5). 验证.1222-===k j i ，.,,j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=证 1）对a a →)0,(:φ来说显然-≅S S 2）=S {一切)}0,(a a 实数 =-S {一切（)0,a a 实数 βα,{(=R 一切)}0,(a 复数对)(αβ是不属于S 的R 的元. =-R βα,{(一切}a规定a a →→)0,(),,(),(:βαβαψ由于S 与-S 的补足集合没有共同元,容易验证ψ是R 与-R 间的一一映射. 规定-R 的两个唤的和等于它们的逆象的和的象. -R 的两个元的积等于它们的逆象的积的象.首先,这样规定法则确是-R 的两个代数运算.其次,对于这两个代数运算以及R 的两个代数运算来说在ψ之下-≅R R （3）由.3.3习题5知),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(),(i d c i b a di c bi a +++=++ 这里 d c b a ,,, 实数这是因为令),0(),1,0(),0,(i k j i i ===（4）1)0,1()0,)(0,(2-=-==i i i1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==j 1)0,1()1,0)(1,0(2-=-==k k i ij -===)1,0()1,0)(0,( k i i ji -=-==),0()0,)(1,0(同样j ik ki i kj jk =-==-=,6 多项式环1. 证明, 假定R 是一个整环,那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环. 证 R !是交换环][x R ⇒交换环, R 有单位元11⇒是][x R 的单位元, R 没有零因子][x R ⇒没有零因子事实上，0,)(10≠++=a x a x a a x f nn0,)(10≠++=m mm b x b x b b x g则mn m n x b a b a x g x f +++= 00)()(因为R 没有零因子,所以0≠m n b a 因而0)()(≠x g x f 这样][x R 是整环2． 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 ])3[]4])([4[]5[]3([23+--+x x x x 计算出来解 原式=]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x3. 证明:(ⅰ) ],[],[1221ααααR R =(ⅱ) 若n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ）=],[21ααR {一切}211221i i i i aαα∑{],[12=ααR 一切}112212j j j j aαα∑由于=∑211221i i i i aαα112212j j j j a αα∑ 因而=],[21ααR ],[12ααR（ⅱ）设00=∑=nk ki k x a 即∑=+-nk n i h i i k x x x x x a 00010101因为n x x x ,,21是R 上的无关未定元,所以即i x 是R 上的未定元4. 证明:(ⅰ) 若是n x x x ,,21和n y y y ,,21上的两组无关未定元,那么],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅(ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f →φ 根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ≠⇒ 这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅（ⅱ）令{][=x R 一切}2210nn x a x a a +++显然][][2x R x R ⊂ 但][2x R x ∉不然的话m m m m x b x b x b x b x b b x 22102210 ++-⇒++=这与x 是R 上未定元矛盾. 所以][2x R 是][x R 上未定元显然 故有（ⅰ）}[][2x R x R ≅这就是说,][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.7 理想1. 假定R 是偶数环,证明,所有整数r 4是ϑ的一个理想,等式!对不对? 证 R r r r r ∈∈2121,,4,4ϑϑ∈-=-)(4442121r r r r R r r ∈-21ϑ∈=∈)(4)4(,'1'1'r r r r R r R r r ∈'1ϑ∴ 是R 的一个理想. 等式 )4(=ϑ不对这是因为R 没有单位元,具体的说)4(4∈但ϑ∉42. 假定R 是整数环,证明.1)7,3(=证 R 是整数环,显然)1(=R .1)7,3(=又 )7,3()7(13)2(1∈+-=1)7,3(=∴3. 假定例3的R 是有理数域,证明,这时),2(x 是一个主理想.证 因为2与x 互素,所以存在)(),(21x P x P 使),2(11)()(221x x xP x P ∈⇒=+),2()1(][x x R ==∴ 。

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

判断题1。

整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

（ ）2.主理想环不一定是欧氏环,但主理想环一定是唯一分解环。

( ）3。

若G 是60阶群,则G 有14阶子群。

（ ）4.在多项式环R ［x]中，两个多项式积的次数等于两个多项式的次数的和。

( )5。

设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法，如果（1)G 对乘法运算是封闭的（2)G 对乘法适合结合律(3）G 对乘法适合消去律,则G 构成群。

( )6。

偶数环2Z 是整环。

（ )7。

若N ∆H ，H ∆G ，则N ∆G 。

（ ）8.在5S 中,（12）(345）的阶是3. ( ）9。

在整数环Z 中,（—3)是极大理想。

（ )10。

有限群都同构于一个置换群.( )11。

实数集R 关于数的乘法成群。

( )12。

设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆， N=1-ϕ（N ）, 则N ∆G,且--≅N G N G //。

( ）13。

偶数环是有单位元的环。

（ ）14。

设整环{}Z b a b a I ∈-+=,3， 则4在I 中是唯一分解元。

( ）15. 3次对称群3S 是循环群。

( ）16。

设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条:A ）G 对于这个乘法运算是封闭的;B)∀a ，b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc ）成立；C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D)∀a ∈G ，都存在a 1-∈G,使得a 1-a=e r 成立. 则G 关于这个乘法运算构成一个群。

（ ）17. 任何一个有限群都与一个循环群同构。

（ ）18。

若H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立,则H 是G 的一个子群。

（ ）19。

若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且NG ≅)(N G ϕ . （ ) 20。

设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。

近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆 〔一〕填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2、设群G 的元a 的阶是n,则a k的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n=,那么m 与n 存在整除关系为———. 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————.8、9-置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————.9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S 的单位元是____________. 10.24中的所有可逆元是：__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构.12. 设()G a =为循环群,那么〔1〕若a 的阶为无限,则G 同构于___________,〔2〕若a 的阶为n,则G 同构于____________. 13. 在整数环中,23+=__________________；14、n 次对称群S n 的阶是_____.15. 设12,A A 为群G 的子群,则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________. 16、除环的理想共有____________个.17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________. 18、在整数环Z 中,由｛2,3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环,则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi<a,b 是整数>},则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.23、设Z 7 ={0,1,2,3,4,5,6}是整数模7的剩余类环,在Z 7 [x]中, <5x-4><3x+2>=________. 24. 设G 为群,a G ∈,若12a =,则8a =_______________.25、设群G=｛e,a 1,a 2,…,a n-1｝,运算为乘法,e 为G 的单位元,则a 1n=___. 26. 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.28. 整数加群Z有__________个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么R I是一个域当且仅当I是————————.30. 已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S上的元素,则1σ-＝__________.31. 每一个有限群都与一个__________群同构.32、设I是唯一分解环,则I［x］与唯一分解环的关系是——————.二、基本概念的理解与掌握.〔二〕选择题1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有〔〕个元素.A.2B.52.设A＝B＝R<实数集>,如果A到B的映射ϕ：x→x＋2,∀x∈R,则ϕ是从A到B的〔〕A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有〔〕个.4、G是12阶的有限群,H是G的子群,则H的阶可能是< >A 5；B 6；C 7；D 9.5、下面的集合与运算构成群的是 < >A {0,1},运算为普通的乘法；B {0,1},运算为普通的加法;C {-1,1},运算为普通的乘法；D {-1,1},运算为普通的加法;6、关于整环的叙述,下列正确的是 < >A 左、右消去律都成立；B 左、右消去律都不成立;C 每个非零元都有逆元；D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述,下列不正确的是 < >A 在环的同态满射下,理想的象是理想;B 在环的同态满射下,理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想,即零理想和单位理想D 环的最##想就是该环本身.8.整数环Z 中,可逆元的个数是< >.A.1个B.2个C.4个D.无限个 9. 设M 2<R>=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R,R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和 乘法构成R 上的二阶方阵环,那么这个方阵环是< >. A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环10. 设Z 是整数集,σ<a>=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a,Z a ∈,则σ是R 的< >.A. 满射变换B. 单射变换C. 一一变换D. 不是R 的变换11、设A={所有实数x},A 的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A 到A 的一个子集 的同态满射的是< >.A 、x →10xB 、x →2xC 、x →|x|D 、x →-x .12、设 是正整数集Z 上的二元运算,其中{}max ,a b a b =〔即取a 与b 中的最大者〕,那么 在Z 中〔 〕A 、不适合交换律B 、不适合结合律C 、存在单位元D 、每个元都有逆元.13.设3S ={〔1〕,〔1 2〕,〔1 3〕,〔2 3〕,〔1 2 3〕,〔1 3 2〕},则3S 中与元〔1 2 3〕不能交换的元的个数是< >A 、1B 、2C 、3D 、4. 14、设(),G 为群,其中G 是实数集,而乘法:a b a b k =++,这里k 为G 中固定的常数.那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是〔 〕A 、0和x -；B 、1和0；C 、k 和2x k -；D 、k -和(2)x k -+15、设H 是有限群G 的子群,且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH .如果H =6,那么G 的阶G =〔 〕A 、6B 、24C 、10D 、12 16.整数环Z 中,可逆元的个数是<>.A 、1个B 、2个C 、4个D 、无限个.17、设12:f R R →是环同态满射,()f a b =,那么下列错误的结论为〔 〕A 、若a 是零元,则b 是零元B 、若a 是单位元,则b 是单位元C 、若a 不是零因子,则b 不是零因子D 、若2R 是不交换的,则1R 不交换 18、下列正确的命题是〔 〕A 、欧氏环一定是唯一分解环B 、主理想环必是欧氏环C 、唯一分解环必是主理想环D 、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则,哪个是集A 的代数运算< >.A. A=N, a b=a+b-2B. A=Z,a b=ba C. A=Q, a b=ab D. A=R, ab=a+b+ab20. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是< >. A. x →-x B. x →x1 C. x →x1-D. x →5x 21. 在3次对称群S 3中,阶为3的元有< >.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 22．剩余类环Z 6的子环有< >.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x 〔 〕A.11--a bc ；B.11--a c ；C.11--bc a ；D.ca b 1-. 24、设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是〔 〕A.f 的同态核是1G 的不变子群;B.1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.C.1G 的子群的象是2G 的子群；D.2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；25、设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,.如果H =6,那么G 的阶=G 〔 〕A.6；B.24；C.10；D.12. 〔三〕判断题〔每小题2分,共12分〕1、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算.〔 〕2、除环中的每一个元都有逆元.〔 〕3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构.〔 〕4、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群.〔 〕5、域是交换的除环.〔 〕6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子.〔 〕7、设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射,a ∈G ,则a 与f <a>的阶相同.〔 〕 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群.〔 〕 9、循环群的子群也是循环群.〔 〕10、整环I 中的两个元素a,b 满足a 整除b 且b 整除a,则a ＝b.〔 〕 11、一个环若没有左零因子,则它也没有右零因子.〔 〕 12、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f .〔 〕13、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元10≠.〔 〕 14、指数为2的子群不是不变子群.〔 〕15、在整数环Z 中,只有±1才是单位,因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号.〔 〕16、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位.〔 〕17、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元.〔 〕18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积,所以零元和单位都不能唯一分解.〔 〕19、整环必是唯一分解环.〔 〕20、在唯一分解环K 中,p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元.〔 〕 21、设K 是唯一分解环,则K 中任意二个元素的最大公因子都存在,且任意二个最大公因子相伴.〔 〕22、整数环Z 和环[]Q x 都是主理想环.〔 〕 23、K 是主理想环当且仅当K 是唯一分解环.〔 〕24、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环[]P x 和Gauss 整环[]Z i 都是欧氏环.〔 〕 25、欧氏环必是主理想环,因而是唯一分解环.反之亦然.〔 〕 26、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环.〔 〕 27、设环>•+<,,R 的加法群是循环群,那么环R 必是交换环. 〔 〕 28、对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子. 〔 〕 29、剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. 〔 〕 30、整数环是无零因子环,但它不是除环.〔 〕 31、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. 〔 〕 32、在环同态下,零因子的象可能不是零因子.〔 〕 33、理想必是子环,但子环未必是理想. 〔 〕34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. 〔 〕35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶.〔 〕 三、基本方法与技能掌握. 〔四〕计算题 1．设为整数加群,,求 ?]:[=H Z解 在 Z 中的陪集有:,,,,,所以, 5]:[=H Z . 2、找出3S 的所有子群.解：S 3显然有以下子群： 本身；〔〔1〕〕={〔1〕}；〔〔12〕〕={〔12〕,〔1〕}； 〔〔13〕〕={〔13〕,〔1〕}；〔〔23〕〕={〔23〕,〔1〕}； 〔〔123〕〕={〔123〕,〔132〕,〔1〕}若S 3的一个子群H 包含着两个循环置换,那么H 含有〔12〕,〔13〕这两个2-循环置换,那么H 含有〔12〕〔13〕=〔123〕,〔123〕〔12〕=〔23〕,因而H=S 3.同理,若是S 3的一个子群含有两个循环置换〔21〕,〔23〕或〔31〕,〔32〕.这个子群也必然是S 3. 用完全类似的方法,可以算出,若是S 3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换,那么这个子群也必然是S 3. 3．求18Z 的所有子群. 解 18Z 的子群有;;;;;.4． 将 表为对换的乘积.解.容易验证:<4 2><2 6><1 2><1 3><27><1 2>.5． 设按顺序排列的13X 红心纸牌A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K经一次洗牌后牌的顺序变为3, 8, K, A, 4, 10, Q, J, 5, 7, 6, 2, 9问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?解 每洗一次牌, 就相当于对牌的顺序进行一次新的置换. 由题意知, 第一次洗牌所对应的置换为则3次同样方式的洗牌所对应的置换为 6． 在 6Z 中, 计算:<1> ;<2>; <3> ; <4>. 解 <1> ;<2>; <3>;<4>.7．试求高斯整环 的单位.解 设<> 为的单位, 则存在, 使得, 于是因为, 所以. 从而,, 或. 因此可能的单位只有 显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:8． 试求12Z 中的所有零因子与可逆元, 并确定每个可逆元的逆元素. 解 由定理可知: <1>为 12Z 的全部零因子.<2>为 12Z 的全部可逆元. 直接计算可知, 相应的逆元为,,,.9、找出模6的剩余类环6Z 的所有理想. 解：R={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.若I 是R 的一个理想,那么I 一定是加群R 的一个子群.但加群R 是循环群,所以它的子群一定也是循环群, 我们有G 1=〔[0]〕={[0]} G 2=〔[1]〕=〔[5]〕=R G 3=〔[2]〕=〔[4]〕={[0],[2],[4]} G 4=〔[3]〕={[0],[3]} 易见,G 1,G 2,G 3,G 4都是R 的理想,因而是R 的所有理想. 10． 在 12Z 中, 解下列线性方程组: 解: 即,.11．求 18Z 的所有子环.解 设 为 18Z 的任一子环, 则 是 18Z 的子加群, 而 为有限阶循环群, 从而也是循环群, 且存在,, 使得. 的可能取值为1,2, 3, 6, 9, 12.相应的子加群为,,,,,.直接验证可知, 以上六个子加群都关于剩余类的乘法封闭, 所以它们都是 18Z 的子环. 于是 18Z 恰有6个子环: 12. 试求 的所有理想. 解 设 为的任意理想, 则 为的子环, 则,, 且 .对任意的,, 有,从而由理想的定义知, 为 的理想. 由此知,的全部理想为且.13、数域F 上的多项式环[]F x 的理想253(1,1)x x x +++是怎样的一个主理想. 解 由于()()5332111x x xx++-+=,所以()25311,1x x x ∈+++,于是得()()2531,11[]xx x F x +++==.14、在 中, 求 的全部根.解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , ,为的根.15．试举例说明,环[]x R 中的m 次与n 次多项式的乘积可能不是一个 m+n 次多项式.解 例如,环[]x Z 6中多项式532)(23+-+=x x x x f 与 13)(2+=x x g的乘积5343)()(234+-+-=x x x x x g x f 就不是3+2次多项式.16.求出域3Z 上的所有2次不可约多项式.解 经验算得知,3Z 上的2次不可约多项式有三个,它们是： 17、指出下列哪些元素是给定的环的零因子.(1) 在)(2F M 中.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2421011-0B ,0012 ， C A . (2) 在12Z 中,它的全部零因子是哪些.(3)11Z 中有零因子吗?解 <1> C A C A ,0||||⇒==是零因子,但B 不是. <2> 12Z 中的零因子为]10[],9[],8[],6[],4[],3[],2[ <3> 11Z 中没有零因子. 18.求二阶方阵环)(2R M 的中心.解 高等代数已经证明,n 阶方阵A 与任何n 阶方阵可交换⇔A 是纯量矩阵.因此)(2R M 的中心 .1001⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R k k C19．举例说明,非零因子的象可能会是零因子.解：设 6:Z Z →ϕ是环同态满射,其中:()[]n n =ϕ.则显然Z 是整环, 所以Z 中没有零因子.但在 6Z 中,[]2 和 []3、[]4 都是零因子.即 2显然不是Z 中的零因子,但()[]22=ϕ却是6Z 中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.20.设R 为偶数环.证明： 问：4=N 是否成立？N 是由哪个偶数生成的主理想？解： R m n N m n ∈∈∀,,4,4： R m n N m n m n ∈-∈-=- ,)(444 故,)44(N m n ∈-另外R r N r R n ∈∈∀∈∀,4, 故.)4(),4(N n r r n ∈总之有{}.4R R r r N∈=另方面,由于且.4N ∉而且实际上N 是偶数环中由8生成的主理想,即{}{}{}Z n n Z n R r n r R r r N ∈=∈∈+==∈=8,8884,但是因此,4≠N .实际上是.48⊂=N21、举例说明,素理想不一定是极##想.解 例如[]x Z 是有单位元的交换环,容易证明()x 是它的一个素理想.而理想()2,x 真包含()x 且()[]x Z x ≠2,.从而知()x 是[]x Z 的素理想但不是极##想.22、设{(1),(12)}H =,求3S 关于H 的所有左陪集以与右陪集.解 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =,H 的所有左陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H H ===;(13)(123){(13),(123)}H H ==;(23)(132){(23),(132)}H H ==．H 的所有右陪集为:(1)(12){(1),(12)}H H ==;13(132){(13),(132)}H H ==（）;(23)(123){(23),(123)}H H ==.四、综合应用能力. 〔五〕证明题 1．在群 中, 对任意 , 方程与 都有唯一解. 证明 令 , 那么, 故为方程的解. 又如为的任一解, 即,则.这就证明了唯一性.同理可证另一方程也有唯一解. 2．全体可逆的 阶方阵的集合 <>关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵.每个元素<即可逆矩阵> 的逆元是 的逆矩阵 .证明 <1> 设 都是 阶可逆矩阵, 则,, 从而.所以也是 阶可逆矩阵. 这说明矩阵的乘法是 的代数运算;<2> 因为矩阵的乘法满足结合律, 所以的乘法也满足结合律;<3> 设 为 阶单位矩阵, 则 , 故, 且对任意的, 有 所以, 是的单位元.<4> 设, 则. 从而 可逆, 设为 的逆矩阵, 则 , 故, 且.. 所以 的逆矩阵为 在 中的逆元. 因此, 构成群. 由矩阵的乘法易知, 当时是非交换群.3．,.那么H 是3S 的一个子群.证明 I.H 对于G 的乘法来说是闭的,<1><1>=<1>,<1><12>=<12>,<12><1>=<12>,<12><12>=<1>；II.结合律对于所有G 的元都对,对于H 的元也对；IV.；V.<1><1>=<1>,<12><12>=<1>.4．一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是：证明 必要性.H 是G 的非空子集且H 的每一个元素的阶都有限.若H 是子群,则由子群的条件必有;,H ab H b a ∈⇒∈∀充分性.由于H 是G 的非空子集,若;,H ab H b a ∈⇒∈∀又H 的每一个元素的阶都有限Ha a e aa e a N n H a n n n ∈=⇒=⇒=∍∈∃∈∀⇒---111,,,综上知H 是G 的子群.5．设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合. 则是的子群.证明首先, 单位矩阵的行列式为 1, 所以非空. 又对任一阶方阵, 如果, 则, 所以可逆, 故是的子集. 又对任意的, 有, 所以. 这说明. 从而由定理知, 是的子群.6．群的任何两个子群的交集也是的子群.证明设为的两个子群, 则<1> , 所以, 即;<2> 任给, 则, 因此;<3> 任给, 那么, 因此, 所以. 从而由定理2知, 是的子群. 7．设为的子群. 则在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明设, 分别表示在中的左、右陪集所组成的集合. 令, .则是到的双射. 事实上<1> 如果, 那么, 故, 所以, . 于是, 为到的映射.<2> 任给, 有, 因此, 为满射.<3> 如果, 那么, 因此, 从而得为双射.即在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.8．有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.证明设G的元a的阶为n, 则a生成一个阶是n的子群,由以上定理,n整除G的阶. 9．设与为群, 是与的同构映射, 则<1> 如果为的单位元, 则为的单位元;<2> 任给, 为的逆元, 即证明 <1> 因为由消去律知, 为的单位元.<2> 任给,从而知为的逆元. 所以, .10．如果是交换群, 则的每个子群都是的正规子群.证明因为为交换群, 所以的每个左陪集也就是右陪集.11．设为群的子群. 若, 那么.证明任给, 如果, 那么. 如果, 那么与是在中的两个不同的左陪集, 所以,同理,.因为, 而, 所以. 同理可证: . 从而. 由此知.12．设, , 则.证明 <1> , , , 则所以, 为的子群.<2> 任给, , 则所以, , 从而.13．群的任何两个正规子群的交还是的正规子群.证明设与为的两个正规子群, , 则为的子群. 又任给, , 则因为与都是的正规子群, 所以所以, . 故.14．设与是群, 是到的同态映射.<1> 如果是的单位元, 则是的单位元;<2> 对于任意的, 是在中的逆元. 即证明 <1> 因为是的单位元, 设是的单位元, 则从而有消去律得: .<2> 因为从而可知, .15．设与是群, 是到的满同态.如果是的正规子群, 则是的正规子群.证明由定理知, 是的子群. 又对任意的, 因为是满同态, 所以存在, 使得. 从而所以, 是的正规子群.16．设,的阶为,证明的阶是,其中.证明：首先,；其次,若,即,因为的阶为,所以,而,故的阶是.17．设是循环群,G 与同态,证明是循环群.证明：设G ＝<>,,下证.,存在,使,又,所以.18．证明循环群的子群也是循环群.证明：设,H 是G 的子群,又设是属于H 且指数最小的正整数,下证.,设,则,若,这与的取法矛盾,故.19．假定和是一个群G 的两个元,并且,又假定的阶是,的阶是,,证明：的阶是.证明：一方面,；另一方面,若,则；同理,；于是由,有,故,的阶是.20．假定H 是G 的子群,N 是G 的不变子群,证明HN 是G 的子群.证明：,,,.21．设 是一个环, 如果 有单位元, 则 的单位元是唯一的. 的单位元常记作 .证明 设 都是 的单位元, 则所以,.22、设R 为实数集,,,0a b R a ∀∈≠,令(,):,,a b f R R xax b x R →+∀∈,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}(,),,0a b G f a b R a =∀∈≠,试证明：对于变换普通的乘法,G 作成一个群.证明 <1><封闭性> ()(),,,,R x G f f d c b a ∈∀∈∀ 我们有: 由于00,0≠⇒≠≠ac c a∴()G G b ad ac f ⇒∈+,中元素是封闭的.<2><结合律>凡是映射的合##满足结合律.故G 中的元素也满足结合律. <3><单位元>显然()G f ∈0,1是R 的恒等变换ε,由定义2知()0,1f 必是G 的单位元.<4><左逆元>()G f b a ∈∀, 那么001≠⇒≠aa 故()G f a b a ∈-1 并且()()()()ε==--b a b a f f f f ab a a b a ,,11 .<这个等式可以验证>故知()()()b a b a f f f ab a ,1,1--=. 由上述()()(){}0,,41,≠∈∀=⇒-a R b a f G b a 是一个R 的变换群. 23．全体偶数 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.证明 <1> 任给, 则所以, 数的加法与乘法是的代数运算.<2> 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法满足分配律, 所以 的加法与乘法也满足这些运算律. <3> 因为 , 且对任意的, 有所以数零是 的加法零元. <4> 任给 ,,所以的每个元都有负元, 且. 从而由环的定义知, 构成交换环, 显然无单位元. 事实上,如果有单位元 , 则, , 且对任意的, 有,即, 所以,, 矛盾.24、设群G 的每个元素x 都适合方程x 2= e,这里e 是G 的单位元,求证：G 是交换群. 证明：任意x 、y ∈G,由x 2= e,y 2= e 有x -1= x,y -1= y.又由<xy>2= e 有<xy>-1= xy.从而yx= y -1x -1= <xy>-1= xy ．即G 是交换群． 25． 证明数集 关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环. 证明 <1> 任给,, 则所以, 数的加法与乘法是的代数运算.<2> 因为数的加法与乘法满足交换律, 结合律, 且乘法对加法有分配律, 所以 的加法与乘法也满足这些运算律.<3> 因为, 且对任意的, 有所以数零为的零元.<4> 任给, , 且所以, 的负元为.<5> 因为, 且对任意的, 有所以数1为的单位元.26．在一个无零因子环中, 两个消去律成立. 即设, , 如果, 或, 则.证明设, 则. 因为无零因子, 且, 所以, 从而. 同理可证另一个消去律成立.27、群G的两个子群的交集还是G的子群.证明：设H1、H2为G之子群,a、b∈H1∩H2,则a、b∈H1,且a、b∈H2．又H1、H2为子群,故ab-1∈H1,ab-1∈H2,从而ab-1∈H1∩H2．又显然e∈H1∩H2,即H1∩H2非空,故H1∩H2是G之子群．28．证明为域.证明可先证是有单位元的交换环. 下证, 的每个非零元都可逆.设, , 则. 令, 则, 且. 故为域.29、设R是阶大于1的交换环.证明：当R不含零因子时,R[x]亦然.证明：因为 R >1,故R[x]有非零多项式.设R[x]有零因子,即存在非零多项式f<x>,g<x>,f<x>g<x> ∈ g<x>,使f<x>g<x>=0. <*>令a≠0,b≠0分别是f<x>,g<x>的最高次项系数,则ab为f<x>g<x>的最高次项系数.从而由<*>知,ab≠0即是R的零因子,这R与无零因子矛盾.因此,当R无零因子时,R[x]也没有零因子.30．在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的.证明：如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大,那么定理是对的.假定的某一个元的阶是有限整数,而是的另一个不等于零的元.由 ,可得,所以 的阶的阶；同样可得,的阶的阶.所以的阶的阶.31、设f ：R R →是环R 到环R 的同态满射,求证：f 是R 到R 的同构当且仅当f 的核是R 的零理想.证明：由于f 为同态满射,故f 为同构当且仅当f 为单射,从而只须证明f 为单射当且仅当f 的核是R 的零理想．若f 单射,则由f<0>＝0知f 的核是{0}.反之,若f 的核是{0},对任意x 、y ∈G,若f<x>＝f <y>,则f<x-y>＝0即x-y ∈Kerf={0},故x-y ＝0即x= y,f 为单射. 32．如果无零因子环的特征是有限整数,那么是一个素数.证明：假设n 不是素数,,但这与环R 无零因子矛盾.33、求证：若a 生成一个n 阶循环群G,k 与n 互素,则a k也生成G. 证明：只须证明a k的阶是n ．设a k的阶是r,e 是G 的单位元.由于a 的阶是n,故 <a k >n=a k n=e,知r 整除n.又由a k的阶是r 知a k r=<a k >r=e,而a 的阶是n,故n 整除kr ．但k 与n 互素,故n 整除r,从而n 等于r,即a k的阶是n ． 34． 设 为 的非空子集. 证明: 为的子环的充分必要条件时, 存在非负整数 ,使得证明 <充分性> 设. 则任给 ,, 有<1>;<2>.从而由定理知, 为的子环. <必要性> 设 为的子环, 则为的子群. 因为无限循环群,所以存在非负整数 , 使得.35、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环.证明：不妨设R={0,a 1,…,a n-1},a 1,…,a n-1不为0,R 是一个没有零因子的有限环.由于R 没有零因子,故a 1,21a ,…,11-n a 是R 的n 非0元,但R 只有n-1个非0元,故必有i<j,使i a 1=j a 1．对任意的R 0∈≠k a 有i k j k a a a a 11=,k ik j a a a a 11=,即 i k i i j k a a a a a 111=-,k ik i j i a a a a a 111==．又由于R 没有零因子,则k i j k a a a =-1,k k i j a a a ==1,知i j a -1是R 之单位元,且a 1是R 之单位．同理,对任意的R 0∈≠k a 可有s<t,使得s t k a -是R 之单位元,故a k 是R 之单位．从而R 是一个除环．36． 设 为环. 证明 的中心 是 的子环. 证明 <1> 因为对任意,, 所以. 故. <2> 对,, 所以,,. 从而由定理2知,为 的子环.37、设R 是主理想环,a ∈R,a ≠0且<a>是R 的最##想,求证：a 是R 的素元.证明：由于<a>是R 的最##想,故()a R 是域．任意x 、y ∈R,若a 整除xy,则[x][y]=[0],这里[x]表示x 所在的等价类,故[x] =[0]或[y]=[0],即a 整除x 或a 整除y,故a 是R 的素元． 38．环 的两个理想 与 的和 与交都是 的理想.证明 <1> 设 ,,. 则且对任意的 , 所以, 为 的理想.<2> 设 , 则 , , 从而, 且, 所以. 又对任意的 ,有 , 且. 故. 从而知,为 的理想.39、证明[]Q x 是主理想环.证明设A 是[]Q x 的任意理想,若{}0A =,则()0A =.若{}0A ≠,则在A 中取一个次数最低的多项式()f x ,对()g x A ∀∈,有()[]q x Q x ∈,()[]r x Q x ∈使得()()()()g x f x q x r x =+,其中()0r x =或))(())((x f x r ∂<∂.因()f x ,()g x A ∈ ,所以()r x A ∈,故()0r x =.从而 ()()()g x f x q x =,即(())A f x =,因此[]Q x 是主理想环.。

无零因子环的特征设R 是一个无零因子环,那么关于R 的特征问题就有一种“新的感觉”. 定理1. 设R 是无零因子环,那么加群{}+,R 中每个非零元的阶都是一致的.本定理已在§2中论证过.上述定理告诉我们:非零的无零因子环R 中元素的阶只有二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数n . 定理2. 若非零无零因子环R 的特征 ()∞= n R Ch ,那么n 必是一个素数. 本定理在§2中也已证过.由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述性质,综合而言:推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数p .下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容.如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫测”的话,那下面的命题也许会让你踏实些.练习1: 设R a ∈≠0.如果a 不是零因子 ()a R Ch =⇒.证明: 若 ∞=a ,由本讲附注()∞=⇒R Ch .若 n a =( R 未必是无零因子环 ∴ n 未必是素数)0=na ,那么 ()().00..===∈∀b b na nb a R b 而a 不是左零因子0=⇒nb .由于n a =.由特征的定义()n R Ch ⇒.上练习提醒我们:非零环的特征就是任一个非零因子的阶.( ∴ 本讲结论是显而易见的)练习2. 若域F 的阶为偶数,即 n F 2=,那么 ().2=R Ch证明: (反证法) 若()2≠=p F Ch .那么 b a F b a ≠∈≠≠∀且0,0则 ()(){}0=b a . 显然F 中这样的p 阶循环子群只有有限个。

没有1+m 个.那么这1+m 个子群所含的中元素共有()1-+p m p 个.即 ()1-+p m p =偶数2=n .但()1-+p m p 不可能是偶数,矛盾.无零因子环的一个重要特性设},;{⋅+R 是一个无零因子环,那么加群},{+R 中每个非零元素的阶彼此必相同.并且,若有限时必是素数.说明:}0{.0,0≠∈≠≠∀R R b a 且设(ⅰ)若每个非零元的阶都是无限⇒它的阶都相同.(ⅱ)若0,||=+++=⇒=na a a na n a ∴)()(0nb a b na ==, .0≠a 且R 中无零因子..||0n b nb ≤⇒=⇒若m b =||则n m ≤,重复上述的证明,同理m n ≤⇒∴m n =.即 n b =||.由b a ,的任意性⇒它们的阶都相同.(ⅲ)若R 中每个非零元的阶都是n .如果n 是合数⇒21n n n =其中n n n <<21,1.∴))(()(021b n a n ab n ==,但由于0,0121≠⇒<<a n n n n 且 02≠b n ,进而知a n 1是左零因子,而b n 2是右零因子.⇒↑, ∴n 不是合数,又 1}0{≠⇒≠n R 即n 为素数.例4.},;{⋅+Z 作为整数环,易知是一个无零因子环.而加群},{+Z 中每个非零元a 的阶都是无穷大.例5.剩余类环7Z 是一个无零因子环,而加群},{7+Z 是7阶循环( 7是素数),进而知,群中每个非零元的阶为7.有单位元的环(幺环)设},;{⋅+R 为环,就加法”+”而言.加法群},{+R 中自然有单位元,习惯上换为群},{+R 的零元,并记为.对乘法”·”而言,},{⋅R 中是会有单位元呢?定义4.一个环},;{⋅+R 中若有元素e ,使得.R a ∈∀都有a ae ea ==,那么称这个元素e 叫做环},;{⋅+R 的单位元.习惯上,记单位为R 1注意:①环中的单位元R 1显然不只代表整数1.②并不是每个环都不得有单位元?R 1的.譬如偶数环Z 2.③环R 中若有单位元,那么这个单位元必是唯一的.并且我们规定:R a a R ∈∀=,10 和 n n n a a a )()(11---==④有单位元1的环有时候为了突出单位元,常记为}1,,;{R R ⋅+定义5.设}1,,;{R R ⋅+是一个幺环,如果R a ∈具有下列条件:R b ∈∃使R ba ab 1==那么称a 是R 中的可逆元.并称b 就是a 的逆元.注意2:①只有在幺环中才能谈论逆元的问题.②既使}1,,;{R R ⋅+是幺环,也不能保证每个元素都可逆.③在幺环R 中,若a 可逆,那么a 的逆元必是唯一的,习惯上记为1-a ,显然a a =--11)(.例6. ①因为偶数环Z 2中没有单位元,故Z 2中没有谈论逆元的“资格”.②整数环Z 中有单位元R 1(整数1).但除了1±外,,其余元都不可逆.③在)(F M n 中.单位元是E .而)(F M A n ∈可逆0||≠⇔A .思考题3.①“ 幺环中必有可逆元”对吗?②在][x F 中,)(x f 可逆的充要条件是什么?③若}0{=R —零环，R 中有单位元吗？④若幺环},0{≠R ,那01≠R 对吗?⑤左(右)零因子会是可逆元吗? 0会是可逆元吗?明示:设}1,,;{R R ⋅+是 幺环.那么①若a 可逆1-⇒a 也可逆,且a a =--11)(②若a 和b 都是R 中元素:那么:a 与b 都可逆ab ⇔可逆.③111)(---=a b ab结论2.设}1,,;{R R ⋅+是个幺环,由R 中所有可逆元构成的集合为 }|{可逆a R a S ∈=.那么},{⋅S 是一个乘法群.证明:由于R 1本身是可逆的.S R ∈⇒1.即 ∅≠S .(ⅰ).)(,111---=⇒∈∀a b ab S b a ∴S ab ∈(ⅱ)因为},{⋅R 是半群S ⇒满足结合律.(ⅲ)S R ∈1(ⅳ)S a ∈∀,则1-a 的逆元恰是S a a ∈⇒-1.由(ⅰ)～(ⅳ)},{⋅⇒S 是乘法群.域我们知道,整环是可变换的,而除环未必能变换,将这两者统一在一起.则得到一种新的代数体系—域.定义2:设除环R 是变换环,那么称R 为域,记为F .明示:域必是除环⇒域具有除环所有的性质.前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域):有理数域Q ,实数域R ,复数域C .当p 为素数时,p Z 也是域,我们很容易发现:要找一个非域的除环是不容易的,下面“编造”出一个—四元数除环。