谈简易逻辑中命题的否定

命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。

而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。

而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。

一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。

如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。

1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。

例如，“¬p”表示对p进行了否定。

1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。

即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。

二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。

如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。

2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。

2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。

例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。

三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。

”否定：“今天不是星期一。

”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。

3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。

”否命题：“今天不是星期二。

”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。

结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。

而这些概念在日常生活中也经常被运用到。

因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。

否命题与命题的否定之辨析一、否命题与命题的否定概念与形式的辨析如何正确地表达一个命题的否定形式及其否命题是简易逻辑知识的难点之一，因为命题的否定和否命题是两个根本不同的概念，而有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些学生在反证法的第一步，却假设条件和结论都不成立，暴露了他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念．事实上“否命题”与“命题的否定”是不同的，命题p的否定即¬p，只是否定结论，条件并不变．对于命题“若p则q”的否定就是“若p则非q”．“否命题”既否定条件又否定结论．对于命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”．例如命题P：对顶角相等．写出命题P的否命题．误解：命题P的否命题为：对顶角不相等辨析：命题的否定形式与否命题不一样．对命题“若P则Q”来说，其否命题应为：“若非P则非Q”，即否命题是对命题的条件和结论都加以否定．而命题“若P则Q”的否定形式应为“若P则非Q”，即命题的否定形式是仅对命题的结论加以否定．所以该命题的否命题应是“不是对顶角的两个角不相等”．二、词语的否定12．“都”与“不都”的辨析一般地，“都”表示全部，“不都”表示不是全部，即包含一部分或没有，而“都不”表示全不，即一个也没有．如命题“a、b都是零”的否定不是“a、b都不是零”，而是“a、b不都是零”，即“a b中至少有一个为零”．因“a、b都是零”是复合命题“p且q”的形式，其否定应该为“¬p或¬q”，即“a=0且b=0”的否定应为“a≠0或b≠0”，也就是“a,b中至少有一个不为零”.3．“一定”的否定对“全…”、“都…”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定…”的否定却不一样，因两者的词性不同，“全”、“都”是副词，是对某一个范围而言的；而“一定”是一个语气助词，带强调意味，这两者有一定的区别．因此，在对“一定…”、“一定都…”否定时，可分两步：①先将“一定”两字拿下；②否定后再放在“不”的前面．如命题“三角形两边之和一定大于第三边”的否定，先是“三角形两边之和不大于第三边”，后得“三角形两边之和一定不大于第三边”．又如命题“若∠A是直角，则∠B, ∠C一定是锐角”的否定，这里的“一定是”含有“两个角一定都是”之意，因此可先否定“若∠A是直角，则∠B, ∠C不都是锐角”，再放上“一定”得“若∠A是直角，则∠B、∠C一定不都是锐角”.三、注意复合命题的否定例1．写出下列复合命题的“非p形式”(1)2是偶数且是质数；(2) ΔABC是等腰三角形或是直角三角形．解：（1）2不是偶数或不是质数．(2) ΔABC不是等腰三角形且不是直角三角形．评注：命题p或q”与p且q”形式命题的否定分别是“¬p且¬q”与“¬p或¬q”四、写出命题的否命题，关键要分清命题的条件与结论例2．写出下列命题的否命题．（1）若x=3，则x2-9x+18=0；（2）实数a，b，c，d中，若a=b，c=d，则a+c=b+d；（3）正数a的平方大于零．解：（l）若x≠3，则x2-9x+18≠0．（2）实数a，b，c，d中，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d．（3）若a不是正数，则a的平方不大于零．评注：要写一个命题的其他几种形式的命题，应首先将其写成“若p，则q”的形式，再根据其他命题的结构形式，写出其他形式的命题，这样才能有效地避免出错。

命题的否定形式与否命题作者：王海燕来源：《教师·中》2012年第08期如何正确地表达一个命题的否定形式或其否命题是学生学习逻辑课程的难点之一。

“命题的否定形式”也称“非命题”，与原命题必然一真一假：而“否命题”的定义教材上是以“若p则q”形式的命题定义的：“若p则q”为原命题，“若非p则非q”为它的否命题。

“命题的否定形式与否命题”都含有一个“否”字作为关键词，从而导致学生学习时容易混淆，即使是一些青年教师理解时也不易正确把握，以致一些教参上也出现错误。

下面我们根据教材中的概念与一般逻辑书上的细微差别来谈谈不同形式的命题的“非命题”与“否命题”。

一、简单命题“p”的否定在现行教材上简单命题“p”所指的内容可以分为以下几种情况：①单称肯定判断（其逻辑形式是“某个S是p”），它的否定“非p”相应为单称否定判断（其逻辑形式是“某个S不是p”）②全称肯定判断（其逻辑形式是“所有S都是p”）它的否定“非p”相应为特称否定判断（其逻辑形式是“有S不是p”）③特称肯定判断（其逻辑形式是“有S是p”）它的否定“非p”相应为全称否定判断（其逻辑形式是“所有S都不是p”）。

二、命题“p且q”“p或q”的否定命题“p且q”的否定为“非p或非q”，而命题“p或q”的否定为“非p且非q”。

借助集合运算的摩根率，例如：①平行四边形的对角线互相垂直且平分。

②5与10或18的约数。

以上命题的否定对应为：①平行四边形的对角线不互相垂直或不互相平分。

②5不是10的约数且不是18的约数。

三、命题“若p则q”的否定命题“若p则q”中的p、q在数学中一般为开语句，而不是命题，但是开语句的否定与简单命题“p”的否定在形式上十分类似，如x>3的否定为x≤3，同样与集合中的“补”相对应。

命题“若p则q”的否定在教材上为“p且非q”。

在许多教参上被理解为“若p则非q”，是对结论q的否定，从而导致错误。

错解：命题的否定：“若x，y是无理数，则x+y不是无理数”。

命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别定义原命题：若p，则q 命题的否定指对结论的否定若p，则非q 否命题指对命题的条件与结论同时否定若非p，则非q2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：原命题否定形式否命题真假与原命题的真假无关假真3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：正面词语大(小)于是或有全都任何所有的否定词语不大(小)于不是且无不都某些有几个不全正面词语至少有一个任意两个至多有n个任意的都是否定词语一个都没有某两个至少有n+1个某个不都是二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下命题p或q p且q非p形式(┐p)且(┐q) (┐p)或(┐q)⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．。

“命题的否定”与“否命题”“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 .分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.评注：该命题的否定形式为“若122-≤>ba b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加，否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；否定形式（p ⌝）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加；原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加，否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.二、不能转化成“若，则”形式的命题的否定形式除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.例4.写出下列命题的否定(即非p )：(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；(5)a ，b 都是1.解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．2.复合命题的否定由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.例5.写出下列命题的否定：(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。

浅谈命题的否定及其应用简易逻辑的引入，给同学们思考问题带来了逻辑思维的应用工具，否命题的应用及处理常被同学们忽视.下面就解题过程中，对常见命题否定的理解及应用问题举例如下.一、常见语句的否定①联言命题“1p 且2p 且…且n p ”的否定是“1p 或2p 或…或n p ”. ②选言命题“1p 或2p 或…或n p ”的否定是“1p 且2p 且…且n p ” ③“都是(所有的)”的否定是“不都是(存在一个)”而不是“都不是” ④“至少有一个(n 个)” 的否定是“一个也没有(至多有n -1个)” ⑤“至多有一个(n 个)” 的否定是“至少有两个(至少有n +1个)” ⑥ “对任意x ∈A ,使P (x )成立”的否定是“存在x ∈A ,使P (x )不成立” ⑦“存在x ∈A ,使P (x )成立” 的否定是“对任意x ∈A ,使P (x )不成立” 二、常见否定命题的应用 例1． 写出下列命题的否命题(1)有些三角形是直角三角形; (2)所有的质数都是奇数 .分析:(1) 学生常易错误回答为“有些三角形不是直角三角形”.这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.(2) 学生常易错误回答为“所有质数都不是奇数”.这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的质数不都是奇数”.例2．若()22f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a的取值范围.解：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .∴有()()1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩解之得11a a ≥≤-或故实数a的取值范围为()1a ∈- .注:利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.例3.设数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列, n n n c a b =+ . 证明:数列{}n c 不是等比数列. 分析:以下是一部份学生的解法,设数列{}n a 、{}n b 是公比分别为p 、q ，p ≠q ，则()()22211222222111111112n n n n n n n n n c a b a p b q a p b q a b p q ------=+=+=++而 ()()22111111n n nn n n c c a p b qa pb q ---+=++()222222222222111111n n n n n n a p a p b q a p a b p q p q ------=+++++∵p ≠q 22112,0p q pq a b +>≠ ∴211n n n c c c -+≠故数列{}n c 不是等比数列.评析:“ {}n c 是等比数列”的含义是数列{}n c 中如果从第二项起每一项与前一项的比均等于同一个常数，则称{}n c 是等比数列.要证明数列{}n c 不是等比数列,只需破坏命题中的 “都是”即可.即需证明存在连续三项11,,n n n c c c -+使211n n n c c c -+≠ .为此只需首先验证2213c c c ≠,而标准答案就是如此.本题的证明主要考察学生对否命题的理解 .例4. 有三位运动员参加跳高比赛,他们能顺利跳过某个高度的概率依次是23、12、25，求这三人中至少有一人跳过这一高度的概率.解:“三人中至少有一人跳过这一高度”的对立事件(命题的否定)是“三人中没有一个跳过这一高度”，由于3个人跳高是相互独立事件，故所求概率为21219111113251010p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 例5.已知: A ={}2|(2)240,x x a x a x R ---+=∈,B={}22|(23)230,x x a x a a x R +-+--=∈,若AB ≠∅,求实数a 的取值范围.分析:由题意, AB ≠∅即两个方程2(2)240x a x a ---+=,与22(23)230x a x a a +-+--=中,至少有一个方程有实数解.设全集为I=R,所求实数a 的集合为A ,则使上述两个方程均设无实数解的实数a 的集合为I ()AB ð.由2(2)240x a x a ---+=，得()22124(24)412a a a a ∆=---+=+- 由22(23)230x a x a a +-+--=,得()2222234(23)4821a a a a a ∆=----=--+∴22412048210a a a a ⎧+-<⎪⎨--+<⎪⎩解得:762a -<<-或322a << . 即当762a -<<-或322a <<时,A B ≠∅. ∴所以所求AB ≠∅的a 的取值范围是(][)73,6,2,22⎡⎤-∞-⋃-⋃+∞⎢⎥⎣⎦.规律概括:由于I I,,A A I A A ⋃=⋂=∅痧以及()I I A A =痧,因此在分析集合A 的性质时,也可以通过分析I A ð的性质即通过间接法来实现对问题的解决,这也反映了否命题应用的基本思想实质.。

命题的“否定”与“否命题”的辨析（邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。

由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。

鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。

一、命题的“否命题”关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。

写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。

即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。

命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。

如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。

又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。

写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。

二、命题的“否定”“非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。

一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。

“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。

但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。

以下分别举例说明：（一）简单命题的否定。

简单命题是不含逻辑联结词的命题。

常见的有：1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。

命题的否定与否命题辨析在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．一、辨析1、定义区别2、真假关系表命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：3、常用关键词的否定把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：二、例题讲解[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．[例2]写出下列命题的否命题：⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．解：原命题的否命题分别是：⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．[例3]写出命题“若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等”的否命题和逆否命题，并判断其真假．解：否命题：若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等(真)；逆否命题：若△ABC的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形(真)．评注：逆否命题(若┐q则┐p)是否命题(若┐p和┐q)的逆命题．[例4]写出下列命题的“非p形式”的复合命题．⑴p：对顶角相等；⑵p：平行四边形一定是菱形；⑶p：2123x x+-≥0．分析：⑴p：对顶角相等(真)，┐p：对顶角不相等(假)；⑵p：平行四边形一定是菱形(假)，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”呢?若为“平行四边形一定不是菱形”，仍为假命题，与真值表相违，故原命题的┐p：平行四边形不一定是菱形(真)．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．评注：写出命题p的“非p”形式，要注意对命题p进行整体考虑或考虑“p”与“┐p”的真假，不能与真值表相悖．[例5]写出下列命题的“非p”形式的复合命题：⑴x＝0或y＝0；⑵△ABC是等腰直角三角形．分析：命题“p或q”与“p且q”的“非p”形式如下⑵┐p：△ABC不是等腰三角形或不是直角三角形．[例6]用反证法证明：△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．分析：“∠B一定是锐角”的否定是“∠B一定不是锐角”(注意：不能否定为“∠B不一定是锐角”)，即∠B≥90°，则∠C＋∠B≥180°，矛盾．(证明略)评注：反证法与命题的否定形式关系密切，它是从假设“命题结论的否定成立”出发，经过推理得出矛盾从而肯定命题结论正确的一种证明方法．友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

细说“否命题”与“命题的否定”江苏省姜堰中学 张圣官（225500)在学习《常用逻辑用语》的过程中，不少同学常常把“否命题”与“命题的否定”混为一谈。

其实这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的。

“否命题”出现在“命题及其关系”中，指的是当原有命题（即原命题）为“若P 则q ”形式时，同时否定它的条件和结论得到“若¬p 则¬q（读作若非p 则非q ）”，这称为原命题的否命题；而“命题的否定”是指将命题p （通常是较简单的命题）直接进行否定得到¬p，也即是直接得到命题的反面。

1.要写出否命题，首先要将原命题改写成“若P 则q ”形式 例1.已知命题“全等三角形一定相似”，试写出它的否命题，并判断这两个命题的真假。

解:将原命题改写为：若两个三角形全等，则它们一定相似。

其否命题即为：若两个三角形不全等，则它们一定不相似。

原命题为真，否命题为假。

点评：将原命题首先改写成“若P 则q ”形式，是正确写出否命题的关键。

当然还要注意这里的“一定”是语气助词而不是谓语动词，不能把否命题写成：若两个三角形不全等，则它们不一定相似。

这样写就错了！违背了常用逻辑的基本规则。

事实上，在处理命题中含有“一定”、“必然”等词语的问题时有一个办法是切实可行的，这就是将它们去掉，因为它们仅仅是加强语气而已。

还有一点需要强调的是，原命题为真（假）时，否命题的真假性并不确定，即否命题可能为真也可能为假，这要根据具体的问题结论来确定。

在四种命题关系中，原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同。

例2.写出命题“若0,,,<∈ac R c b a ，则方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根。

”的否命题。

分析：本题中对“P ”的理解很关键，“R c b a ∈,,”必须当做前提条件才行，而不能对它进行否定。

否命题应该写成“若0,,,≥∈ac R c b a ，则方程02=++c bx ax 没有两个不相等的实数根。

逻辑学中的否定概念例子在逻辑学中，否定是指对命题的否定或拒绝。

否定可以通过不同的方式进行表达，包括否定词的使用、逻辑运算符的引入以及语境的变化等等。

以下是一些关于否定概念的例子。

1. 否定词的使用：在日常生活中，我们经常使用否定词来表达对某个命题的否定。

例如，当我们说“我不喜欢狗”时，实际上是在对“我喜欢狗”这个命题进行否定。

在这个例子中，“不”是用作否定词，用来表示反向的意思。

2. 逻辑运算符的引入：除了使用否定词，我们还可以使用逻辑运算符来表达否定。

在命题逻辑中，最基本的逻辑运算符是否定符号（¬）。

通过使用否定符号，我们可以将一个命题变为它的否定形式。

例如，如果我们用P表示命题“今天是晴天”，那么¬P表示“今天不是晴天”。

3. 否定在谓词逻辑中的应用：在谓词逻辑中，否定也是一个重要的概念。

在谓词逻辑中，我们可以对含有逻辑变量和谓词的命题进行否定。

例如，考虑一个命题：“对于任意的x，如果x是正整数，则x不是负整数”。

我们可以对这个命题进行否定，即“存在一个x，使得x是正整数，但是x是负整数”。

4. 否定的逻辑等价性：在逻辑学中，否定的逻辑等价性是一个重要的概念。

逻辑等价性是指两个命题具有相同的真值。

当我们对一个命题进行否定时，它的真值与原命题的真值相反。

例如，如果命题P为真，那么¬P为假；如果命题P为假，那么¬P为真。

5. 否定的运用：在日常推理中，否定也被广泛运用。

当我们面对一个陈述时，我们可以通过否定来进行推理。

例如，如果某人声称“所有的猫都有尾巴”，我们可以通过否定来反驳这个论断，找出一个没有尾巴的猫作为例子来推翻这个命题。

6. 否定和包含关系：否定和包含关系之间存在着密切的联系。

在逻辑学中，两个命题之间的包含关系可以通过否定进行表示。

例如，如果一个命题A包含另一个命题B，则否定命题B可以推出否定命题A。

这种关系在逻辑推理和证明中发挥着重要的作用。

辨析简易逻辑中的是与非鲁宁简易逻辑题，比较抽象，不少学生在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑，有时还出现激烈的争执，可又拿不出让他人信服的根据，为了解除这些疑惑，现将简易逻辑中易错易混的一些问题做以归纳介绍。

一、否命题与否定命题不同否命题是将原命题的“条件”和“结论”分别否定后得到的命题。

否定命题是将原命题的结论否定后所得的命题。

“若p则q”形式的命题的否命题为：若“若┐p则┐q”，而否定命题为“若p则┐q”，意义完全不同。

而且，原命题为真，它的否命题不一定为真，也不一定为假；原命题为真，它的否定命题一定为假。

例1. 命题p：“若x=2且y=3，则x+y=5”的否命题和“┐p”命题是什么？否命题是：“若”。

否定命题，即“┐p”是：“若”。

二、掌握一些词语的否定规则一些词语的否定必须掌握，否则在表达否命题和否定命题时就会出错误。

现列表如下：只有熟练掌握了这些特殊的词语的否定，对一些命题的否命题及否定命题才能表达正确。

例2. 命题：a、b都是奇数，则a+b是偶数的逆否命题是（）A. 不是偶数，则a、b都不是奇数B. 不是偶数，则a、b不都是奇数C. 不是偶数，则a、b都是偶数D. 是偶，则a、b不都是奇数很显然B正确。

例3. 命题：p：“所有三角形的内角和是180°”，它的否定命题是什么？解：它的否定命题是：有些三角形的内角和不是180°。

像这种全称性命题的否定命题有其规律：p：“对任意，有P（x）存在”，┐p为：“存在，使P（x）不存在”。

例4. 命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是（）A. 有些三角形不是等腰三角形B. 所有三角形是等腰三角形C. 所有三角形不是等腰三角形D. 所有三角形是等腰三角形像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题p：“存在使P（x）成立”，┐p为：“对任意”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故例4的答案为C。

再如命题：“部分同学没有参加期中考试”，它的否定命题是：“所有同学参加了期中考试”。

否命题与命题的否定卢敏摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。

关键词：否命题 命题的否定 辨析如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。

有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。

说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。

事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“”q p 则若那么这个命题的否命题是“”,而这个命题的否定是“”。

可见，q p 则非若非q p 则非若否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。

本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。

一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，即若表示命题p p p p “若则”，则其否命题是“若非，则非”。

A B A B 2．“非”叫做命题的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，p p p 即如果命题是“若，则”，那么命题“非”是：若，则非。

由此可知命题p A B p A B 与的条件相同，结论相反；命题与的真假相反；。

p ⌝p p ⌝p ()p p ⌝⌝=定义原命题：若，则p q 命题的否定指对结论的否定若则，非p q 否命题指对命题的条件结论同时否定若非，则非p q二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题的否定为“非p ”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若则”既否定它p p ⌝p p q 的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命p 题“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。

“非”的含义有四条：p p U U C P ①“非”只否定的结论；p p ②与“非”的真假必须相反；p p ③“非”必须包含的所有对立面；p p ④“非”必须使用否定词语。

浅谈“命题的否定”与“否命题”柏青（贵州省惠水县民族中学550600）【摘要】：本文主要讲述简易逻辑中命题的否定与命题的否命题这两个极易混淆的概念。

【关键词】：命题的否定否命题命题的“否命题”与“命题的否定” 是两个不同的概念。

首先，它们研究的对象范围不相同，否命题仅针对假言命题（即若A则B）而言的，否命题是对一个假言命题的条件和结论都加以否定所得到的新命题（即若非A则非B）。

而对任意一个命题它的否定都是存在的．其次，从命题的真假来看，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者必有一真一假，而假命题的否命题则不然，与原命题的真值可能相同也可能相反。

几类常见命题否定的制作：1．简单命题的否定：简单命题是不能分解为更简单命题的命题。

常见的有：(1)形如“A是B”或“A不是B”的命题。

这类命题的否定为：“A不是B”或“A是B”。

例如命题“e是无理数。

” 的否定为“e不是无理数。

”(2)全称命题和存在命题的否定：形如“所有A是B”的简单命题称全称命题。

形如“存在某一个A是B” 的命题是存在命题，其否定分别是“存在某个A不是B”与“所有的A都不是B”。

如“所有矩形是平行四边形”的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；命题“至少有一个质数不是奇数”的否定为“所有的质数都是奇数”；显然全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题。

2．复合命题的否定：由简单命题用逻辑联结词“非”、“且”、“或”、“若…则…”、“当且仅当”联结而成的命题称为复合命题．复合命题的否定可用相应的命题定律来进行。

（1）命题的否定“非P”是对命题“P”的否定，命题“非P”与命题“P”的真假正好相反．故“非P”的否定可用命题公式“P”来写出．例如命题“不是每个人都是大学生。

”的否定是“并非不是每个人都是大学生。

”即“每个人都是大学生。

”（2）联言命题的否定：用联结词“P且Q”联结两个命题P、Q构成的复合命题“P且Q”称为联言命题．联言命题的否定可根据De Morgan定律“非P或非Q”来写出。

摘要]《简易逻辑》中“命题的否定”这一课堂教学案例，说明合作探究学习可促使学生在更高的层面上开展学习，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。

[关键词]合作探究命题的否定在讲授《简易逻辑》—1.6逻辑联结词时，学生甲提出一个问题，命题p：菱形的对角线相等。

非p命题是什么？学生乙不假思索地答道：“菱形的对角线不相等。

”学生甲又指出命题p显然为假，而正方形是菱形，其对角线相等，所以非p：“菱形的对角线不相等。

”亦为假，这不与“非p的真假与p相反”相矛盾吗？我问全班同学：“那你们说问题出在哪？”，这下热闹起来了，有的说“菱形的对角线相等”不是命题，马上有学生反驳说：课本第26页练习中的“矩形的对角线相等”不是命题吗？难道课本有错？又有的说“非p的真假与p相反”是不是错了？有人反驳说：“这是课本真值表总结的结论，应该不会有错吧。

”然后，我总结说：“我提出个人的观点，如有不妥请同学们指出来。

”首先“菱形的对角线相等”是个命题，因为它是可以判断真假的语句；其次“非p的真假与p相反”也没错，那么问题出在哪儿呢？其实命题p：“菱形的对角线相等”省略了“一定”两字，命题p应为“菱形的对角线一定相等”（假），故其否定形式可写成“菱形的对角线不一定相等”（真）。

沉默片刻后，又有学生丙提出“矩形的对角线相等”的否定不是要写成“矩形的对角线不一定相等”吗？“不一定”好像有点不妥。

我想了想，说：“菱形的对角线都相等”（假），其否定形式写成“菱形的对角线不都相等”（真），这下可以了吧？同学们不再有异议。

我告诉学生，这样的答案虽然没错，但对于类似的问题应有一个比较统一的解决办法。

现补充一些有关命题的概念和结论如下：“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等表示所描述事物的全体，逻辑中通常称做全称量词，含有全称量词的命题称为全称命题。

全称量词“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”的否定是“存在”、“至少有一个”、“某个”、“有的”等。