(完整版)圆的一般方程练习题

圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。

若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。

如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。

答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。

答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。

三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。

解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。

2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。

圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。

利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。

考点四十 圆的方程知识梳理1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．典例剖析题型一 求圆的方程例1 若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ． 答案 (x －2)2＋(y ±3)2＝4解析 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3．变式训练 (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 ．(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 答案 (1) x 2＋y 2－10y ＝0 (2) (x －2)2＋y 2＝10解析 (1)设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解． 题型二 点与圆的位置关系例2 已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3，2)满足 ． 答案 在圆内解析 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3，2)在圆内．变式训练 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________. 答案 在圆C 外部解析 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0， ∴点P 在圆C 外部．题型三 二次方程表示圆的条件例3 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是 ． 答案 m <14或m >1解析 由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.变式训练 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是 ． 答案 一个点解析 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．解题要点 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0． 2.二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.，即方程中不含xy 项， x 2，y 2前系数相同，且D 2＋E 2－4AF ＞0． 题型四 与圆有关的最值问题例4 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.解题要点 (1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．(2)①形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．当堂练习1．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为．答案(x－2)2＋(y－1)2＝2解析所求圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y －1)2＝2．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为．答案(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.3. 圆的圆心和半径分别．答案解析将圆配方得：，故知圆心为(2，－1)，半径为.4．若坐标原点在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是．答案－解析∵原点O在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，∴(0－m)2+(0+m)2＜4，得2m2＜4，解得－＜m＜,即实数m的取值范围为：－＜m＜．5．方程x2+y2－x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是．答案m＜解析∵方程x2+y2－x+y+m=0即表示一个圆，∴－m＞0，解得m＜．课后作业一、填空题1．以点A(－5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是．答案(x+5)2+(y－4)2=16解析∵所求的圆以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，∴圆的标准方程为(x+5)2+(y－4)2=16．2．若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为．答案解析圆的标准方程为，表示圆心为，半径为的圆．3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4．点(2a，a－1)在圆x2+y2－2y－4=0的内部，则a的取值范围是．答案－＜a＜1解析由题意，4a2+(a－1)2－2(a－1)－4＜0，即5a2－4a－1＜0,解之得：－＜a＜1．5．圆的圆心坐标是．答案(2，－3)解析将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，－3).6．圆x2+y2=16上的点到直线x－y=3的距离的最大值为．答案4+解析圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.7．若方程x2+y2－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程，则c的范围是．答案c＜解析化为标准方程为：，由题意得，，∴．8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a>0且b>0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1．9．圆的方程过点和原点，则圆的方程为．答案解析设圆的一般方程为，将三点代入得：，解得，所以圆的方程为.10．方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．答案(3，0)，3解析(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.11．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为答案解析把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y＋3＝0垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x －y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．由于圆心(2，2)，半径为1，那么可知圆心到直线的距离为，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为二、解答题12．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在y=－x上且过两点(2，0)，(0，－4)(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y－1=0切于点(2，－1)解析(1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，∵圆心在上，∴，①又∵圆过(2，0)，(0，－4)∴，②，③由①②③联立方程组，可得.∴所求圆的方程为.(2)∵圆与直线相切，并切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于的直线：上，，即圆心为C(1，－2)，r=，∴所求圆的方程为：13．求经过三点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.解析设所求圆的方程为点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得解得：D=8，E=－6，F=0 .于是得所求圆的方程为：,圆的半径r=,圆心坐标是.。

圆练习题及答案圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。

这个给定点称为圆心，这个距离称为半径。

圆的方程通常表示为 (x - h)² + (y - k)² = r²，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径。

以下是一些关于圆的练习题及答案：1. 练习题：已知圆的半径为5，圆心坐标为(3, 4)，求圆的方程。

答案：根据圆的标准方程，我们可以得到圆的方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 5²，即 (x - 3)² + (y - 4)² = 25。

2. 练习题：如果一个圆的圆心在点(-2, -3)，且与x轴相切，求这个圆的半径。

答案：由于圆与x轴相切，圆心到x轴的距离就是圆的半径。

圆心的y坐标为-3，因此半径为3。

3. 练习题：圆x² + y² = 16与直线y = 4x的交点坐标是什么？答案：将直线方程y = 4x代入圆的方程，得到x² + (4x)² = 16，即x² + 16x² = 16，解得x² = 1，所以x = ±1。

将x值代入直线方程，得到y = ±4。

因此，交点坐标为(1, 4)和(-1, -4)。

4. 练习题：求圆心在原点，半径为7的圆与圆心在(1, 2)，半径为3的圆的公共点。

答案：设两圆的公共点为(x, y)。

根据圆的方程，我们有以下两个方程：- x² + y² = 49（半径为7的圆）- (x - 1)² + (y - 2)² = 9（半径为3的圆）解这两个方程组，我们可以得到公共点的坐标。

5. 练习题：一个圆的半径为8，圆心在(1, 1)，求这个圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离。

答案：根据两点间的距离公式，点P(x, y)到圆心(1, 1)的距离为√[(x - 1)² + (y - 1)²]。

4.1.2 圆的一般方程练习一一、 选择题1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x －y －1=0D.2x+y －1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）A 、 ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝04、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）A 、 ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2C 、－2＜ａ＜0D 、－2＜ａ＜325、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（） A 、D=E B 、D=F C 、E=F D 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（） A 、[0，2] B 、[0，1] C 、1[0]2， D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。

9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。

10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。

(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。

2.4.2圆的一般方程一、选择题1.经过点A(1,2),且以B(-1,1)为圆心的圆的一般方程为( )A.x2+y2-2x+2y-3=0B.x2+y2+2x-2y-3=0C.x2+y2+2x-2y-7=0D.x2+y2-2x+2y-7=02.经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是( )A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=03.[2024·山东临沂高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-6=0的半径为r,则( )A.C(1,-2),r=2√11B.C(-1,2),r=√11C.C(1,-2),r=√11D.C(-1,2),r=2√114.[2024·广东东莞高二期中] 若方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若圆C的方程为x2+y2+mx+2my+(m-2)=0,则圆C的最小周长为( )A.36π5B.18√5π5C.12√5π5D.6√5π56.[2024·北京大兴区高二期中] 已知点M1(-3,0)和点M2(3,0),动点M(x,y)满足|MM1|=2|MM2|,则点M的轨迹方程为( )A.x2+y2+18x+9=0B.x2+y2+6x+9=0C.x2+y2+6x-9=0D.x2+y2-10x+9=07.[2024·天津一中高二期中] 若圆x 2+y 2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则1a +3b 的最小值是( )A .2√3B .203C .4D .163 8.(多选题)[2024·重庆江津二中高二期中] 已知圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0,则下列说法正确的是( )A .圆M 的圆心为(4,-3)B .x 轴被圆M 截得的弦长为10C .圆M 的半径为5D .y 轴被圆M 截得的弦长为89.(多选题)已知x ,y 满足x 2+y 2-6x+2y+1=0,则 ( )A .x 2+y 2的最小值为√10-3B .y x+1的最大值为6√2-47C .x+2y 的最小值为1-3√5D .√(x -3)2+(y +1)2+√x 2+(y -3)2的最小值为5二、填空题10.[2024·合肥一中高二期中] 若点P (1,1)在圆C :x 2+y 2-x-2y-k=0外,则实数k 的取值范围为 .11.若方程x 2+y 2-kx+2y+k 2-2=0表示圆,则实数k 的取值范围为 .12.已知直线l :x+3y-4=0和圆M :x 2+y 2+4y=0,则圆M 关于直线l 对称的圆的方程为 .三、解答题13.已知方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9=0表示圆.(1)求t 的取值范围;(2)求圆的圆心和半径;(3)求圆的半径的最大值及此时圆的标准方程.14.在平面直角坐标系中,A (-1,1),B (3,3),C (2,0).(1)求△ABC 的面积;(2)若O 为坐标原点,判断O ,A ,B ,C 四点是否在同一个圆上,并说明理由.15.已知实数x 1,x 2,y 1,y 2满足x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,则11√2+22√2的最大值为 .16.已知方程x 2+y 2+2kx+(4k+10)y+6k 2+21k+19=0表示一个圆,其圆心为C.(1)求圆C 的半径r 的取值范围;(2)求圆心C 的轨迹方程;(3)若k=-2,线段AB 的端点A 的坐标为(0,4),端点B 在圆C 上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。

圆的一般式方程1、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是( ).1.;41.;1.;141.<<><<m D m C m B m A 2、()0,3M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( )03.=-+y x A 03.=--y x B062.=--y x C 3、已知圆()(),100122222<<=-+--+a a y ax y x 则原点O 在( )A 、圆内B 、圆外C 、圆上D 、圆上或圆外4、当a 为任意实数时，直线()011=++--a y x a 恒过定点,C 以C 为圆心，半径为5的圆的方程是( )042.22=+-+y x y x A 042.22=+++y x y x B 042.22=-++y x y x C 042.22=--+y x y x D5、若圆M 在x 轴和y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )0.=-y x A 0.=+y x B 0.22=+y x C 0.22=-y x D6、若实数y x ,满足,042422=--++y x y x 则22y x +的最大值是( )35.+A 1456.+B 35.+-C 1456.+-D 7、圆02422=++-+F y x y x 与y 轴交于B A ,两点，圆心为,C 若,2π=∠ACB 则=F ( )22.-A 22.B 3.C 3.-D8、已知两定点()(),0,1,0,2B A -如果动点P 满足条=PAPB 2，则点P 轨迹所包围的图形的面积等于( ) π.A π4.B π8.C π9.D9、当圆0222=++++k ky x y x 的面积最大时，圆心坐标为( )()1,0.-A ()0,1.-B ()1,1.-C ()1,1.-D10、圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x0=的最大距离于最小距离的差是11、已知圆:C 03222=-+++ay x y x (a 为实数)上任意一点关于直线02:=+-y x l 的对称点都在圆C 上，则=a12、 求一个动点P 在圆122=+y x 上移动时，它与定点()0,3A 连线的中点M 的轨迹方程。

教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。

第四章4.14.1.1A 级基础巩固一、选择题1．圆心是 (4，－ 1)，且过点 (5,2)的圆的标准方程是()A ．(x－ 4)2＋( y＋1) 2＝ 10B．( x＋ 4)2＋ (y－1)2＝ 10C． (x－4) 2＋ (y＋1) 2＝ 100D．( x－ 4)2＋ (y＋1)2＝ 102．已知圆的方程是 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝4，则点 P(3,2) 满足 ()A ．是圆心B．在圆上C．在圆内 D ．在圆外3．圆 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的圆心坐标和半径分别为()A ．(－ 1,2)， 2B． (1，－ 2)，2C． (－1,2)， 4 D ． (1，－ 2)， 44． (2016 锦·州高一检测 )若圆 C 与圆 (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1关于原点对称，则圆 C 的方程是 ()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 1B． (x－ 2) 2＋ (y－ 1)2＝ 1C． (x－1) 2＋ (y＋2) 2＝ 1D． (x＋ 1)2＋ (y＋2) 2＝ 15． (2016 全·国卷Ⅱ )圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝0 的圆心到直线ax＋y－ 1＝ 0 的距离为1，则 a＝ () 43A ．－3B．－4C． 3 D ． 26．若 P(2，－ 1)为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A)A ． x－ y－ 3＝ 0B． 2x＋ y－ 3＝ 0C． x＋ y－1＝ 0D． 2x－ y－ 5＝ 0二、填空题7．以点 (2，－ 1)为圆心且与直线x＋ y＝ 6 相切的圆的方程是.8．圆心既在直线x－ y＝ 0 上，又在直线x＋ y－ 4＝ 0 上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A(1，－ 2)、 B(－ 1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－ y－ 4＝ 0 上的圆的方程．10．已知圆 N的标准方程为 (x－ 5)2＋ (y－ 6)2＝ a2(a>0).(1)若点 M(6,9)在圆上，求 a 的值；(2)已知点 P(3,3) 和点 Q(5,3)，线段 PQ(不含端点 )与圆 N 有且只有一个公共点，求 a 的取值范围．B 级素养提升一、选择题1， 3与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是()1． (2016 ～2017 ·宁波高一检测 )点222A ．在圆上B．在圆内C．在圆外 D ．不能确定2．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ (y＋ 1)2＝5的内部，则 a 的取值范围是 ()A ．(－∞， 1]B． (－ 1,1)C． (2,5) D ． (1，＋∞ )3．若点 P(1,1)为圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为()A ．2x＋ y－ 3＝ 0B． x－ 2y＋ 1＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0 D ． 2x－y－ 1＝ 04．点 M 在圆 (x－ 5)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上，则点M 到直线 3x＋ 4y－ 2＝ 0 的最短距离为()A ．9B． 8C． 5 D ． 2二、填空题5．已知圆 C 经过 A(5,1) 、B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ____.6．以直线 2x＋ y－4＝ 0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级能力拔高1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)， AB 边所在直线的方程为x－ 3y－ 6＝ 0，点 T(－ 1,1)在 AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程 .2．求圆心在直线4x＋y＝ 0 上，且与直线l ：x＋ y－ 1＝ 0 切于点 P(3，－ 2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆 x 2 ＋y 2－4x ＋ 6y ＝ 0 的圆心坐标是 ( )A ．(2,3)B ． (－ 2,3)C ． (－2，－ 3)D ． (2，－ 3)2． (2016 ～2017 ·曲靖高一检测 )方程 x 2＋ y 2＋ 2ax － by ＋ c ＝ 0 表示圆心为 C(2,2)，半径为 2 的圆，则 a ， b ， c 的值依次为 ()A ．－ 2,4,4B ．－ 2，－ 4,4C ． 2，－ 4,4D ． 2，－ 4，－ 43．(2016 ～2017 ·长沙高一检测)已知圆 C 过点 M(1,1) ，N(5,1) ，且圆心在直线 y ＝ x － 2 上，则圆 C 的方程为( )A ．x 2＋ y 2 －6x － 2y ＋ 6＝ 0B ． x 2＋ y 2＋ 6x － 2y ＋ 6＝ 0C ． x 2＋y 2 ＋6x ＋ 2y ＋ 6＝ 0D ． x 2＋ y 2 －2x － 6y ＋ 6＝ 04． 设圆的方程是 x 2＋ y 2＋ 2ax ＋ 2y ＋(a － 1)2＝0，若 0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定22x －y ＋ a ＝ 0 的距离为2)5． 若圆 x ＋ y － 2x － 4y ＝ 0 的圆心到直线 ，则 a 的值为 (2A ．－ 2 或 2B ．1或3C ． 2 或 0D ．－ 2 或 02 26． 圆 x 2 ＋y 2－2y － 1＝ 0 关于直线 y ＝ x 对称的圆的方程是 ( )A ．(x － 1)2＋y 2＝2B ． (x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 2C ． (x －1) 2＋ y 2＝4D ． (x ＋ 1)2＋ y 2＝4二、填空题7．圆心是(－ 3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为____.8． 设圆 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y － 11＝0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 PA 的中点 M 的轨迹方程是 _ 三、解答题9．判断方程 x 2＋ y 2－ 4mx ＋ 2my ＋ 20m － 20＝ 0 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点 A(－1,0)、 B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程 .B 级素养提升一、选择题1．若圆 x2＋ y2－ 2ax＋ 3by＝ 0 的圆心位于第三象限，那么直线x＋ ay＋ b＝ 0 一定不经过()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限2．在圆 x2＋ y2－2x－ 6y＝ 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面只为() A ．5 2B． 10 2C． 15 2 D ． 20 23．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ y2－ 2y－ 5a2＝ 0 的内部，则 a 的取值范围是()444)3，＋∞ ) D ．3A ．(－∞， ]B． (－，C． (－( ，＋∞ )533444．若直线 l ：ax＋ by＋ 1＝ 0 始终平分圆 M：x2＋ y2＋4x＋ 2y＋ 1＝0的周长，则( a－ 2)2＋ (b－ 2)2的最小值为()二、填空题5．已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x＋ ay－ 3＝ 0(a 为实数 )上任意一点关于直线l： x－ y＋ 2＝ 0 的对称点都在圆 C 上，则 a6．若实数 x、 y 满足 x 2＋ y2＋ 4x－ 2y－4＝ 0，则 x2＋ y2的最大值是___.C 级能力拔高1．设圆的方程为x2＋ y2＝4，过点M(0,1)的直线 l 交圆于点 A、 B， O 是坐标原点，点P 为 AB 的中点，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程 .2．已知方程x2＋ y2－ 2(m＋ 3)x＋ 2(1－ 4m2)y＋ 16m4＋ 9＝ 0 表示一个圆 .(1)求实数 m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心 C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级基础巩固一、选择题1．若直线 3x＋ y＋a＝ 0 平分圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝0，则 a 的值为 ()A ．－ 1B． 1C． 3 D ．－ 32． (2016 高·台高一检测 )已知直线 ax＋ by＋ c＝ 0(a、 b、 c 都是正数 )与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，则以a、 b、c 为三边长的三角形是 ()A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．不存在3． (2016 北·京文 )圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 2 的圆心到直线 y＝ x＋ 3的距离为 ()A ．1B． 2C． 2 D ． 2 2[4． (2016 铜·仁高一检测)直线 x＋y＝m 与圆 x2＋ y2＝ m(m>0)相切，则m＝ ()1B．2C． 2 D ． 2A ．225．圆心坐标为 (2，－ 1)的圆在直线x－ y－1＝ 0 上截得的弦长为 22，那么这个圆的方程为()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 4B． (x－ 2) 2＋ (y＋ 1)2＝ 2C． (x－2) 2＋ (y＋1) 2＝ 8D． (x－ 2)2＋ (y＋1) 2＝ 166．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9上到直线 3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1 的点有 ()A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个二、填空题7． (2016 天·津文 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线2x－ y＝0 的距离为45，则圆 C 的方程为 ____.58．过点 (3,1)作圆 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ____.三、解答题9．当 m 为何值时，直线x－ y－ m＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 1＝ 0 有两个公共点？有一个公共点？无公共点2210． (2016 ·坊高一检测潍 )已知圆 C： x ＋ (y－ 1) ＝ 5，直线 l： mx－y＋ 1－ m＝ 0.(1)求证：对m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点，当 |AB |＝17时，求 m 的值．B 级素养提升一、选择题1．过点 (2,1)的直线中，被圆x2＋ y2－ 2x＋ 4y＝ 0 截得的弦最长的直线的方程是()A ．3x－ y－ 5＝ 0B． 3x＋ y－ 7＝ 0C． 3x－ y－ 1＝0 D ． 3x＋y－ 5＝ 02． (2016 泰·安二中高一检测)已知 2a2＋2b2＝ c2，则直线 ax＋ by＋ c＝ 0 与圆 x2＋y2＝ 4 的位置关系是() A ．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离3．若过点A(4,0)的直线 l 与曲线 (x－ 2)2＋ y2＝ 1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ()A ．(－ 3， 3)B． [－ 3， 3]3， 3D ． [ －3， 3 C． (－3 3)3 3]4．设圆 (x－ 3)2＋ (y＋ 5)2＝ r2( r>0) 上有且仅有两个点到直线4x－ 3y－2＝ 0 的距离等于1，则圆半径 r 的取值范围是 ()A ．3<r<5B． 4<r <6C． r>4 D ． r >5二、填空题5． (2016 ～2017 ·宜昌高一检测 )过点 P(1， 1)的直线 l 与圆 C： ( x－ 1)2＋y2＝ 4 交于 A， B 两点， C 为圆心，当∠2ACB 最小时，直线 l 的方程为 ____.6． (2016 ～2017 ·福州高一检测 )过点 ( －1，－ 2)的直线 l 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝0截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为 ____.C 级能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝ 4 的切线方程：(1)经过点 P( 3， 1)；(2)斜率为－ 1；(3)过点 Q(3,0) ．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋ 2y＝ 0 的对称点仍在圆上，且与直线x－ y＋ 1＝ 0 相交的弦长为 2 2，求圆的方程 .第四章4.24.2.2A 级基础巩固一、选择题1．已知圆 C1： (x＋1) 2＋ (y－ 3)2＝ 25，圆 C2与圆 C1关于点 (2,1)对称，则圆 C2的方程是 ()A ．(x－ 3)2＋( y－5) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 1)2＝ 25C． (x－1) 2＋ (y－4) 2＝ 25D． (x－ 3)2＋ (y＋2) 2＝ 252．圆 x2＋y2－2x－ 5＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B，则线段 AB 的垂直平分线方程为 ()A ．x＋ y－ 1＝0B． 2x－ y＋ 1＝0C． x－ 2y＋ 1＝0D． x－ y＋ 1＝03．若圆 (x－a) 2＋( y－b)2＝b2＋ 1 始终平分圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 的周长，则a、b 应满足的关系式是()A ．a2－ 2a－ 2b－ 3＝ 0B． a2＋ 2a＋ 2b＋5＝ 0C． a2＋ 2b2＋ 2a＋ 2b＋ 1＝ 0D． 3a2＋ 2b2＋ 2a＋2b＋ 1＝04． (2016 ～2017 ·太原高一检测 )已知半径为 1 的动圆与圆 (x－5)2＋( y＋7) 2＝ 16 相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ()A ．(x－ 5)2＋( y＋7) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 7)2＝ 9C． (x－5) 2＋ (y＋7) 2＝ 15D． (x＋ 5)2＋ (y－7) 2＝ 255．两圆 x2＋ y2＝ 16 与 (x－ 4)2＋ (y＋ 3)2＝ r2(r>0) 在交点处的切线互相垂直，则r ＝A ．5B． 4C． 3 D ． 2 26．半径长为 6 的圆与 y 轴相切，且与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 1 内切，则此圆的方程为()A ．(x－ 6)2＋( y－4) 2＝ 6B． (x－ 6) 2＋ (y±4)2＝ 6C． (x－6)2＋ (y－4) 2＝ 36D． (x－ 6)2＋ (y±4) 2＝36二、填空题7．圆 x2＋y2＋6x－ 7＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 6y－ 27＝ 0 的位置关系是 ____.8．若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞0) 的公共弦长为2 3，则 a＝ ____.三、解答题9．求以圆C1： x2＋y2－12x－ 2y－ 13＝ 0 和圆C2： x2＋ y2＋ 12x＋16y－ 25＝ 0 的公共弦为直径的圆 C 的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1： x2＋ y2－ 2x－ 3＝ 0， C2： x2＋y2－ 4x＋ 2y＋ 3＝0；(2)C1： x2＋ y2－ 2y＝ 0， C2： x2＋ y2－ 2 3x－ 6＝0；(3)C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 9＝ 0，C2： x2＋ y2＋ 12x＋6y－ 19＝ 0；(4)C1： x2＋ y2＋ 2x－ 2y－ 2＝ 0，C2： x2＋ y2－ 4x－ 6y－ 3＝ 0.B 级素养提升一、选择题1．已知 M 是圆 C：(x－ 1)2＋ y2＝ 1 上的点， N 是圆 C′：(x－ 4)2＋ (y－ 4)2＝ 82上的点，则|MN|的最小值为()A ．4B． 4 2－ 1C． 2 2－2 D ． 22．过圆 x2＋ y2＝ 4 外一点 M(4，－ 1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A ．4x－ y－ 4＝ 0B． 4x＋ y－ 4＝ 0C． 4x＋ y＋ 4＝0 D ． 4x－y＋ 4＝ 03．已知两圆相交于两点A(1,3)， B(m，－ 1)，两圆圆心都在直线x－ y＋ c＝ 0 上，则 m＋ c 的值是 ()A ．－ 1B． 2C． 3 D ． 04． (2016 山·东文 )已知圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝0(a>0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是22，则圆 M 与圆 N： (x － 1)2＋ (y－1) 2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切 D ．相离[二、填空题5．若点 A(a， b)在圆 x2＋ y2＝ 4上，则圆 (x－ a)2＋ y2＝ 1 与圆 x2＋ (y－b) 2＝1 的位置关系是 ____.6．与直线 x＋ y－2＝ 0 和圆 x2＋y2－12x－ 12y＋54＝ 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是____.C 级能力拔高1．已知圆 M： x2＋ y2－ 2mx－2ny＋ m2－1＝ 0 与圆 N： x2＋ y2＋2x＋ 2y－ 2＝ 0 交于 A、 B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程 .2． (2016 ～2017 ·金华高一检测 )已知圆 O： x2＋ y2＝ 1 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a， b)向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q， |PQ|＝ |PA|成立，如图 .(1)求 a， b 间的关系；(2)求 |PQ|的最小值．第四章4.24.2.3A 级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽 1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A ．1.4 m B． 3.5 m C． 3.6 m D ． 2.0 m2．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2－ 2x＋4y－ 20＝ 0，则 x2＋ y2的最小值是 ()A ．30－ 10 5B． 5－ 5C． 5 D ． 253．方程 y＝－4－ x2对应的曲线是 ()4． y＝ |x|的图象和圆x2＋ y2＝ 4 所围成的较小的面积是()πB．3πC．3πD ．πA ．442 5．方程 1－ x2＝x＋ k 有惟一解，则实数k 的范围是 ()A ．k＝－ 2B． k∈ (－ 2，2)C． k∈ [－ 1,1) D ． k＝2或－ 1≤k<16．点 P 是直线 2x＋ y＋10＝ 0 上的动点，直线 PA、PB 分别与圆x2＋ y2＝ 4 相切于 A、B 两点，则四边形PAOB(O 为坐标原点 )的面积的最小值等于 ()A ．24B． 16C． 8 D ． 4二、填空题7．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2＝ 1，则y＋2的取值范围为 ____ x＋ 18．已知 M＝ {( x，y)|y＝9－x2，y≠ 0} ，N＝ {( x，y)|y＝ x＋ b} ，若 M∩N≠ ?，则实数 b 的取值范围是 __]__.三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图 )，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP是6 m，在建造时，每隔 3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)1． (2016 葫·芦岛高一检测 )已知圆 C 的方程是2222的最大值为 () x ＋ y ＋ 4x－2y－ 4＝ 0，则 x＋ yA ．9B． 14C． 14－ 6 5 D ． 14＋ 6 52．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1： ax＋ 3y＋ 6＝ 0， l 2： 2x＋ (a＋ 1)y＋ 6＝0与圆 C： x2＋y2＋ 2x＝ b2－ 1(b>0) 的位置关系是“平行相交”，则实数 b 的取值范围为()A ．( 2，322)B． (0，322)C． (0， 2)3232，＋∞ ) D． ( 2，2 )∪ ( 23．已知圆的方程为x2＋ y2－ 6x－ 8y＝0.设该圆过点 (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ()A ．10 6B． 20 6C． 30 6 D ． 40 64．在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为()4πB．3πC． (6－ 2 5) π5πA ．54 D ．4二、填空题5．某公司有 A、 B 两个景点，位于一条小路(直道 )的同侧，分别距小路 2 km 和 2 2 km，且 A、 B 景点间相距 2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于____.6．设集合 A＝ {( x， y)|(x－ 4)2＋y2＝ 1} ，B＝ {( x， y)|(x－ t) 2＋ (y－ at＋ 2)2＝ 1} ，若存在实数t，使得 A∩ B≠ ?，则实数 a 的取值范围是 ___.C 级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法 )。

圆的一般方程练习1.若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤122.方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线为圆，则有( )A ．A ＝C ≠0B ．D 2＋E 2－4AF >0C ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF >0 D ．A ＝C ≠0且D 2＋E 2－4AF ≥03.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4.过点P (－8，－1)，Q (5,12)，R (17,4)三点的圆的圆心坐标是( )A ．(5,1)B ．(4，－1)C ．(5，－1)D ．(－5，－1)5.圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝56.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )A ．36 B. 18 C. 26 D. 257.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 68.如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F9.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝010.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．1011.已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．12.点A (1,0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．13.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．14.圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，求圆C 的方程．15.已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．16.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．17.设有一个半径为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东，而乙向北前进，甲出村后不久，改变前进方向．沿着相切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇，设甲、乙两人的速度都一定，其比为3:1，此二人在何处相遇？17.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．圆的一般方程练习答案ACCCA CBACB 11. 22；12. －2；13. (x －1)2＋(y ＋1)2＝9 14.解 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线2x －y －7＝0上， ∴2⎝⎛⎭⎫－D 2－⎝⎛⎭⎫－E 2－7＝0. 即D －E 2＋7＝0.① 又∵A (0，－4)，B (0，－2)在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4E ＋F ＝0，4－2E ＋F ＝0. ②③由①②③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8. ∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0. 15.解 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C 上， ∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0. ∴(2x )2＋(2y )2－8·(2x )－6·(2y )＋21＝0. 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0. 16.解 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为2＋(y －2m )2＝9，∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2. ∴不论m 为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．17.如图，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇．设D ，C 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，其中a ＞3，b ＞3，则CD 方程为x a ＋yb＝1.设乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝b v . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝154.∴乙向北走3.75 km 时两人相遇．18.如上图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，于是有B (－m,0)，C (m,0)，P (－n,0)，Q (n,0)．设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 2上．|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2＝(x ＋n )2＋y 2＋(x －n )2＋y 2＋4n 2＝2x 2＋2y 2＋6n 2＝2m 2＋6n 2(定值)．。

高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。

解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。

解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。

圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7 B .-6＜a ＜4 C.-7＜a ＜3 D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ） A ．21± B ．22± C ．2221-或D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C ≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0 D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21.自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2+ y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x ①已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 ② ①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。

圆的方程习题附答案方程y=1-x^2表示的曲线是圆x^2+y^2=1的上半圆。

以M(1,0)为圆心，且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是(x-1)^2+y^2=8.已知圆C1：(x+1)^2+(y-1)^2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为(x-2)^2+(y+2)^2=1.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切，圆心在直线y=-x 上，则圆C的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1,0)，B(0,1)，则满足|PA|^2-|PB|^2=4且在圆x^2+y^2=4上的点P的个数为2.6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是多少？解析：设点P为M到OA上的垂足，则有OP = 2AP。

根据勾股定理，可得到PM 的长度为 $\sqrt{5} \times 2$。

因此，M 的轨迹是以点 A 为圆心，以 $\sqrt{5} \times 2$ 为半径的圆。

其面积为 $S = \pi \times (\sqrt{5} \times 2)^2 = 20\pi$。

因此，答案为 $20\pi$。

7．当方程 $x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 = 0$ 所表示的圆的面积取最大值时，直线 $y = (k - 1)x + 2$ 的倾斜角 $\alpha$ 是多少？解析：将方程化简，可得到 $(x + \frac{k}{2})^2 + (y +1)^2 = (\frac{k}{2})^2 + 1$。

因此，圆的半径为 $r =\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1} - \frac{k}{2}$。

为了使圆的面积最大，需要求出 $r$ 的最大值。

对 $r$ 求导，可得到 $\frac{dr}{dk} = \frac{-3k}{4\sqrt{(\frac{k}{2})^2 + 1}} + \frac{1}{2}$。

圆的方程经典题目题型一、圆的方程1．求满足下列条件的圆的方程（1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ∆的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:22=-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:22=+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围（2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 题型二、点与圆的位置关系:1. 已知圆2522=+y x , 求下列相应值（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程2. 已知圆 0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值．3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:22=-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围.5、圆034222=-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况已知两圆01010:221=--+y x y x O 和04026:222=--++y x y x O（1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足0124622=+--+y x y x（1）求x y 的最小值 （2）求22y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:22=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()222342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使22AP BP +取得最小值时的点P 的坐标.4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为5、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________6、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________。

4.1.2圆的一般方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()A．(4,－6)，16B．(2,－3)，4C．(－2,3)，4D．(2,－3)，16【答案】C[由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4.]2．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在【答案】A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1,－2)．]3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0，F≠0D．D＝E≠0，F＝0【答案】D[∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.]4．若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为()A．－1B．1C．－3D．3【答案】B[将圆的一般方程x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心坐标为(－1,2)．因为直线3x＋y＋a＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋a＝0，所以a＝1.]5．在Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为() A．x2＋y2＝25(y≠0)B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D．(x－2)2＋y2＝25【答案】C[线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为12|AB|＝5，所以点C(x，y)满足(x－2)2＋y2＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]二、填空题6．已知点E (1,0)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0的外部，则k 的取值范围是________.[圆的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5k ，∴5－5k ＞0，即k ＜1，∵点E (1,0)在圆的外部，∴12＋02－4＋5k ＞0，∴k ＞35，综上可得35＜k ＜1.]7．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.【答案】3[圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0－－22，－(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3.]8．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________.【答案】(x －1)2＋(y ＋1)2＝9[∵C (1，－1)，在以AB 为直径的圆M 上，∴CM ＝12AB ＝3，从而点M 在以C 为圆心，以3为半径的圆上．故点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.]三、解答题9．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．【答案】因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，故设圆方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 截圆所得弦长为2，＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．【答案】(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是()A ．32πB ．34πC ．3πD ．不存在【答案】B [＝－(m ＋1)2＋34，∴r 2max ＝34.此时m ＝－1，所以最大面积是34π.选B.]2．若a ∈{－2,0,1,3}，则方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C [由(3a )2＋a 2－2＋a －0，得a ＜1，满足条件的a 只有－2与0，所以方程x 2＋y 2＋3ax ＋ay ＋52a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为2.]3．光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________．【答案】62－2[∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)，∴所求的最短路程为|A ′C |－2，∵|A ′C |＝62＋62＝6 2.∴所求的最短路程为62－2.]4．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．【答案】(－∞，1)[由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.]5．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【答案】如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP MN 的中点坐标为由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，0＝x ＋3，0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4－95，－215，。