离散型随机变量

离散型随机变量在我们的日常生活中，充满了各种不确定性和随机性。

比如抛硬币的结果、抽奖的中奖与否、一天内接到的电话数量等等，这些现象背后都隐藏着数学的奥秘——离散型随机变量。

离散型随机变量，简单来说，就是其可能取值为有限个或者可列无限个的随机变量。

那什么又是随机变量呢？想象一下，我们进行一个实验或者观察一个现象，比如掷骰子，骰子的点数就是一个随机的结果，而我们用一个变量来表示这个随机的结果，这个变量就叫做随机变量。

如果这个随机变量的取值是像 1、2、3、4、5、6 这样有限个明确的数字，那它就是离散型随机变量。

举个例子，假设我们在一个抽奖活动中，奖项设置为一等奖、二等奖、三等奖和未中奖。

我们用 X 来表示参与者抽奖的结果，X 可能取值为 1（表示一等奖）、2（表示二等奖）、3（表示三等奖）、0（表示未中奖）。

这里的 X 就是一个离散型随机变量。

再比如说，某商店一天内卖出的某种商品的数量 Y，它可能是 0 件、1 件、2 件……一直到库存的上限。

Y 也是一个离散型随机变量。

离散型随机变量有着自己独特的概率分布。

概率分布描述了随机变量取各个可能值的概率。

常见的离散型随机变量的概率分布有二项分布、泊松分布等。

先来说说二项分布。

假设我们进行一个实验，这个实验只有两个结果，成功或者失败，而且每次实验成功的概率是固定的，我们重复进行 n 次这样的实验。

那么在这 n 次实验中成功的次数 X 就服从二项分布。

比如抛硬币 10 次，正面朝上的次数就是一个服从二项分布的离散型随机变量。

泊松分布则经常用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。

比如某医院在一天内接到的急诊病人数量、某网站在一小时内的点击量等等。

了解离散型随机变量的概率分布有什么用呢？这用处可大了！比如说在生产线上，我们可以通过对产品不合格率这个离散型随机变量的概率分布的研究，来预测一定数量的产品中可能出现的不合格产品数量，从而提前做好质量控制和管理。

离散型随机变量公式
1.非负性：对于所有可能取的值x，P(X=x)≥0。

2.规范性：所有可能取的值的概率之和为1，即∑P(X=x)=1
3.可数可加性：对于所有可能取的值x1和x2，当x1≠x2时，
P(X=x1)+P(X=x2)即为两个事件同时发生的概率。

E(X)=∑xP(X=x)·x
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)。

这个公式可以理解为将每个可能的结果乘以其发生的概率，然后将所有结果的期望值相加得到。

Var(X) = ∑x [P(X=x)·(x - E(X))^2]
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)和(x-E(X))^2、这个公式可以理解为将每个可能的结果与期望值的差的平方乘以其发生的概率，然后将所有结果的加权平均值得到。

σ = √Var(X)
其中，Var(X)表示离散型随机变量X的方差。

标准差可以理解为方差的平方根，它与原始数据集的单位保持一致。

标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。

总结起来，离散型随机变量的公式主要包括概率质量函数（PMF）的定义以及期望值、方差、标准差的计算公式。

这些公式可以用于描述和衡量离散型随机变量的特点和性质。

离散性随机变量的概念知识归纳1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的分布列．X 的分布列也可简记为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n .(2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1,如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B∪C |A )＝5．事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立．4．条件概率 一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(2)如果A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，即事件A 的发生与否不影响事件B 的发生． (3)对于n 个事件A 1、A 2、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响，则这n 个事件A 1、A 2、…、A n 相互独立．如果A 1、A 2、…、A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝6．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为则称随机变量X 服从参数为n 、P 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．误区警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：各次试验中的条件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，(其中m 是M ，n 中的最小值，n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *)．称分布列一、解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等． 第三步，运用公式求概率1、 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、乘汽车，也可能乘飞机，旅费分别为100元、60元和600元，将他的旅费记为ξ；(2)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(4)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)． 2、 (09·广东)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝______，b ＝______.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝ ( )A.1225B.2325C.1350D.4625古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )； 独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k.3 一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分、数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．4 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．5某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．6 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．7设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．8(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．9．(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( ) A ．ab －a －b ＋1 B ．1－a －b C ．1－ab D ．1－2ab10．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.9211．(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H，I，J，K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(3)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．12．(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13．(2010·河北唐山)已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14．(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E(ξ)．15．(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率；(3)记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．。

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n
p i ＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，
m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有下表形式，。

名词解释离散型随机变量离散型随机变量是指其概率密度服从均匀分布的随机变量。

离散型随机变量的概率密度与数学期望的计算方法有所不同，下面仅就离散型随机变量求数学期望的计算公式进行解释。

(1)二项式定理：设X是一个n维连续型随机向量，当n→∞时，用(X(t)=p(X(t))X(0)))dt 求出其概率密度。

(2)拉普拉斯变换：设X是一个n维连续型随机向量，用拉氏变换的一般形式求出它在一点P的概率密度，然后把这一点P看作新点，记为p(X(P))。

(3)特征函数法：设X是一个n维连续型随机向量，通过它对某个有限值的极限运算而获得的函数F(X)。

离散型随机变量可以分为离散型连续型随机变量，离散型单峰型随机变量和离散型多峰型随机变量。

例如，与X(t)=f(X(t))，有关的问题是：离散型随机变量X(t)=f(X(t))X(0)))dt是否有确定的数学期望值？离散型随机变量离散型随机变量的几个基本性质(1)离散型随机变量可化为与x轴平行的直线，即离散型随机变量X(t)=(f(X(t))X(t))中， f(X(t))是一个常数，当x→∞时，只要有f(X(t))存在， X(t)X(0)))dt也存在，但这两个函数不一定相等。

(2)离散型随机变量x →∞时，其数学期望等于概率密度。

(3)离散型随机变量具有离散型随机变量的全部性质。

(4)离散型随机变量总体上是均匀分布的。

(5)离散型随机变量的概率密度是连续的，也就是说，对任意取值，都有X(t)=f(X(t))X(0)))dt。

二项式定理表明：离散型随机变量可以用两种不同方法求数学期望：(1)用二项式定理；(2)利用拉普拉斯变换。

离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望计算公式为：离散型随机变量的期望公式设X是一个n维连续型随机向量，令G(X)= a X(t)dt(2)，即对X(t)g(X(t))，通过求一次差分dx(t)，使其在x→∞时，一般地， X(t)g(X(t))dt(2)，当x→∞时，若g(X(t))存在，则X(t)g(X(t))dt也存在，并且两者的符号相同。

名词解释-离散随机变量
离散随机变量(discrete random variable， DC)是由概率论中
的统计分布理论导出的概念。

在统计学中，一个随机变量x的分布函数y(x)表示x在各种可能结果的概率密度函数为：
Y(x)=p(x|y(x)|x=a|b|c)下的取值集合。

1。

离散型随机变量在同一事件的各个不同时刻测得的统计量之
间的差别不大。

一般说来，这类随机变量称为离散型随机变量。

这样的随机变量我们也称为离散型随机变量。

离散型随机变量有两种形式：即离散型连续型随机变量。

它是指在同一事件的各个不同时刻测得的统计量的差别是连续的。

如二项分布、正态分布等都是离散型随机变量。

在随机变量中，连续型随机变量只是很少的情况。

2。

离散型随机变量与连续型随机变量的主要区别：(1)
3。

离散型随机变量的图形特征是：任意两个离散型随机变量均
可以有一条直线相切。

离散型随机变量的极限定义：随着n的增大，上式右边的面积趋近于零，即上述式子发展为： n≥dX(2)
4。

设x1， x2是一对离散型随机变量，且x1≤x2≤n，则： x1≥x2（ 1）（ 2）当x1≥ x2时， n是x1和x2的最大公约数， n=m+k 时， x1≥x2当x1≤x2时， n是x1和x2的最小公倍数，当x1≥x2时， n1、 n2均为正整数时， x1≥x2当n≥n2时， x1≥n2当n≥m 时， x1≥m（ 3）（ 4）在实际应用中，要求当n≥m时， x1≥n2， n1、n2应按分母不能为0的原则选择。

- 1 -。

随机变量的分布列一、【考点系统归纳】1.离散型随机变量——如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量.2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列）X1x2x ⋯i x ⋯ n x P1p 2p⋯i p ⋯n p 离散型随机变量的分布列的性质： （1）；，，，，n i p i ⋯=≥321,0 （2）121=⋯++n p p p . 3.离散型随机变量的期望与方差： (1)期望:=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 (2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列： （1）二点分布：其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量的X 服从参数为p 的二点分布.举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X 服从参数p 的二项分布. 二点分布的期望与方差：期望p X E =)(,方差)1()(p q pq X D -==.(2).超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率P (X ＝m )＝C M m C N －M n－mC N n(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．超X 1 0P p q几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用求解．超几何分布的期望：NM n X E ⋅=)( （3）.二项分布： 如下：ξX0 1p…kp…nq p C n n n P n n q p C 0011-n n qp C p… n k k n qp C -p…由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+-- 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(),B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝();,b k n p ．…二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-5.正态分布：（1）正态变量概率密度曲线的函数表达式：(2)正态曲线的性质：曲线在x 轴的上方，并且关于 对称；曲线在 处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐 ,呈现“中间 ，两边 ”的形状；曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“ ”，σ越小，曲线越“ ”. 二、【典型例题精讲】求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确每个值所表示的意义.（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样）.（3）列表，给出分布列，并用分布列的性质验证.【例1】 （2010年高考上海市理科6）随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是【例2】.(2010年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 （A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400【例3】（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表 请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。

离散型随机变量在我们的日常生活和各种科学研究中，经常会遇到一些不确定的现象和随机发生的事件。

比如掷骰子时出现的点数、抽奖时中奖的号码、一天内某个路口经过的车辆数量等等。

为了更好地理解和研究这些随机现象，我们引入了离散型随机变量这个概念。

离散型随机变量，简单来说，就是指其可能取值为有限个或者可列无限个的随机变量。

这里的“有限个”很好理解，就是数量是确定的、能数得过来的；而“可列无限个”指的是虽然数量无限，但可以按照某种顺序一一列举出来。

让我们通过一个具体的例子来感受一下。

假设在一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，用 X 表示取出球的颜色。

那么 X 就是一个离散型随机变量，它的取值只有两种可能，即“红”和“白”。

再比如，某工厂一天内生产的次品数量 Y，它可能是 0 个、1 个、2 个……甚至更多，但总是有限的整数，所以 Y 也是一个离散型随机变量。

离散型随机变量的特点之一是它的取值是明确的、分离的，不会出现介于两个取值之间的情况。

这与连续型随机变量形成了鲜明的对比。

那么，我们如何描述离散型随机变量呢？这就需要用到概率分布。

概率分布就像是一张地图，告诉我们离散型随机变量取每个值的可能性有多大。

对于一个离散型随机变量 X，它的概率分布可以用一个列表或者函数来表示。

假设 X 可能取值为 x1, x2, x3,， xn，对应的概率分别为 p1,p2, p3,， pn，那么就有 P(X ＝ xi) ＝ pi ，并且满足pi ≥ 0 以及∑pi ＝ 1 。

还是以上面盒子取球的例子来说，如果取出红球的概率是 5/8，取出白球的概率是 3/8，那么这个离散型随机变量 X 的概率分布就是：P(X ＝“红”）＝ 5/8，P(X ＝“白”）＝ 3/8。

概率分布为我们提供了非常有用的信息。

通过它，我们可以计算离散型随机变量的各种特征，比如期望和方差。

期望，简单理解就是随机变量取值的平均水平。

对于离散型随机变量 X，其期望 E(X) 等于所有可能取值 xi 乘以对应的概率 pi 的总和，即 E(X) ＝∑xi pi 。