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圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点到焦点距离等于该点到准线距离的轨迹。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的对称轴是准线，焦点在对称轴上；2. 抛物线上任意一点与其对称轴的距离相等；3. 焦点到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等；4. 抛物线在对称轴上有最小值，即顶点；5. 抛物线开口方向由焦点和准线位置决定。
三、抛物线方程1. 标准式：y = ax^2 （a>0）其中 a 为常数，表示开口方向和开口大小。
2. 顶点式：y - k = a(x - h)^2其中 (h, k) 为顶点坐标。
3. 参数式：x = at^2, y = 2at其中 t 为参数。
四、抛物线应用1. 物理学中，抛物运动就是指在重力作用下，以一定初速度沿着一个确定角度投掷出去后，运动轨迹为抛物线的运动方式。
2. 工程学中，抛物线常用于设计拱形桥、天桥、高架桥等建筑结构。
3. 数学中，抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，也是研究圆锥曲线的基础。
五、抛物线相关概念1. 焦距：焦点到顶点的距离。
2. 焦直线：过焦点且与准线垂直的直线。
3. 焦半径：从焦点到抛物线上任意一点的距离。
4. 垂直平分线：过顶点且与对称轴垂直的直线。
六、抛物线相关定理1. 抛物定理：从焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线距离的一半。
2. 切角定理：从焦点引一条切线，该切线与准线之间的夹角等于该切点处法向量与准线方向向量之间夹角（即反射角等于入射角）。
3. 两个相交抛物面交于一条直母线。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集10未命名一、解答题1．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与直线1:l y x =-交于两点,O M （O 为坐标原点）,且OM = (1)求抛物线C 的方程.(2)不过原点的直线1l 与2l 垂直，且与抛物线交于不同的两点A 、B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆上，求FAB ∆的面积.【答案】(1) y 2＝8x ；【解析】 【分析】(1)由直线与抛物线的交点坐标为M (8，－8)，代入抛物线的方程，可求得28p =，得出抛物线的方程；(2)可设直线l 2：x ＝y ＋m ，联立方程组，利用根与系数的关系和OA ⊥OB ，求得m ＝8，得到直线l 2：x ＝y ＋8，和点M(8，0)，进而利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为M (8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M.由28y x x y m⎧=⎨=+⎩得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝221264y y ＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M(8，0).故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|212123()4245y y y y =+-=本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和抛物线的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系和OA ⊥OB ，求得实数m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，若172AF =，252AF =.（1）求曲线1C 和2C 的方程；（2）过2F 作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE中点，问22BE CF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.【答案】（1）椭圆方程为22198x y +=，抛物线方程为24y x =； （2）见解析。
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线---抛物线抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例． 一、焦半径、焦点弦性质如图，AB 是过抛物线 y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦，AD 、BC 是准线的垂线，垂足分别为D 、C ，M 是CD 的中点，N 是AB 的中点．设点A (x 1，y 1)、点B (x 2，y 2)，直线AB 交y 轴于点K (0，y 3)，则： ⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3；④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ（θ为AB 的倾斜角）； ⑤ S △OAB ＝p 22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p 2sin 3θ..⑵1| AF |＋1| BF |＝2p； ⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠； ⑷ AM 、BM 是抛物线的切线；⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线； ⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线； ⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n； ⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切； 以AB 为直径的圆与准线相切.⑽ MN 交抛物线于点Q ，则，Q 是MN 的中点.★⑴ ① y 1y 2＝－p 2；② x 1x 2＝p 24；③ 1y 1＋1y 2＝1y 3④ | AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ （θ为AB 的倾斜角）；⑤S △OAB ＝p 22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p 2sin 3θ.【证明】设过焦点F (p 2，0)的AB 的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此 ① y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm .另由⑶得在Rt △CFD 中，FR ⊥CD ， 有| RF |2＝| DR |·| RC |，而| DR |＝| y 1 |，| RC |＝| y 2 |，| RF |＝p ，且y 1 y 2＜0 ∴y 1y 2＝－p 2.② 又点A 、B 在抛物线上，有x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，因此x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.③1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －p 2＝－2mp， 在直线AB 方程x ＝my ＋p 2中令x ＝0，得y 3＝－p 2m ，代入上式得1y 1＋1y 2＝1y 3④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p又| AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋m 2| y 2－y 1 |＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 24m 2p 2＋4p 2＝2p (1＋m 2) 当m ≠0时，m ＝1k ＝1tan θ＝cos θsin θ，有1＋m 2＝1＋cos 2θsin 2θ＝1sin 2θ（k 为直线AB 的斜率）当m ＝0时，θ＝90︒，1＋m 2＝1也满足1＋m 2＝1sin 2θ∴| AB |＝2p (1＋m 2)＝2psin 2θ. 【证法二】如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| F A 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ，则| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ.∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.⑤S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1 |＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.又∵| CD |＝| AB |sin θ＝2p sin θ ，| AD |＋| BC |＝| AB |＝2psin 2θ.∴S 梯形ABCD ＝12(| AD |＋| BC |)·| CD |＝12×2p sin θ×2p sin 2θ＝p 2sin 3θ.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝ ················································································· （ ）A. 34B. －34C. 3D. －3【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝ . 【解】由性质⑴得| AB |＝2p sin 2θ＝2psin 245︒＝8，∴p ＝8×122＝4.★⑵1| AF |＋1| BF |＝2p【证法一】由⑴x 1x 2＝p 24，且| AF |＝x 1＋p 2，| BF |＝x 2＋p2.∴1| AF |＋1| BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p (x 1＋p 2)·(x 2＋p 2)＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p ) ＝2p【证法二】由| AF |＝ρ1＝p 1－cos θ ，| BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ )＝p1＋cos θ.∴1| AF |＋1| BF |＝1ρ1＋1ρ2＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p【例3】（2000全国）过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于 ························································· （ ）A. 2aB. 12aC.4aD. 4a【解】由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，（抛物线焦点到准线的距离为12a ），由此得1p ＋1q ＝4a ，故选C.★⑶ ∠AMB ＝∠DFC ＝Rt ∠，先证明：∠AMB ＝Rt ∠ 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.图3【证法五】由下面证得∠DFC ＝90︒，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠.接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α， 同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β， 而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝py 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒ ∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y 2＝2px （P ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1，求证：FM 1⊥FN 1图6★⑷ AM 、BM 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得 y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p )，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0， 故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x＝(2px )'x ， 得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝p y ，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝py 1. 又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线. ★⑸ AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝py 1. ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .图9图8★⑹ AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2， 易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ， 故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点， 同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. ★⑺ A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2 ＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2py 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线， 同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |， 又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝11| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】 ∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.图11图10【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：【例5】（2001A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O . 【证法一】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (－p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2；代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，故C (－p2，y 2)，∴直线CO 的斜率为 k OC ＝y 2 －p 2 ＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA .∴直线AC 经过原点O .【证法二】如图13，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC连结AC 与EF 相交于点N ，则| EN | | AD | ＝| CN | | AC | ＝| BF | | AB | ，| NF | | BC | ＝| AF | | AB | 由抛物线的定义可知：| AF |＝| AD |，| BF |＝| BC | ∴| EN |＝| AD |·| BF | | AB |＝| AF |·| BC || AB |＝| NF |.即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .图12图13★⑻ 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n； 【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD 于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60︒或120︒.★⑼ 以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线相切. 【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为( p2＋x 1 2，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 1 2＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切， 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. ★⑽ MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝ －2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 228p ＝⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.图16二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17. 【证明】如图17，设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），直线AB ∥x 轴，点A 的坐标为(x 0，y 0)，则过A 点的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)，直线l 的斜率为k 0＝p y 0，设直线AB 到l 的角为α，则tan α＝py 0，设直线AF 的斜率为k 1，则k 1＝y 0x 0－p 2＝2py 0y 20－p 2，设直线l 到AF 的角为β，则tan β＝k 1－k 01＋k 0k 1＝2py 0y 20－p 2－p y 0 1＋p y 0·2py 0y 20－p2＝p (y 20＋p 2)y 0(y 20＋p 2)＝p y 0. ∴tan α＝tan β，又α、β∈[0，π)，则α＝β，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点. 【例7】（2004年福建省质检）如图18，从点M (x 0，2)发出的光线沿平行于抛物线y 2＝4x 的轴的方向射向抛物线的点P ，反射后经焦点F 又射向直线l ：x －2y －7＝0上的点N ，再反射后又设回点M ，则x 0＝ .【解】PM ∥x 轴，点P 在抛物线上，得P 的坐标为(1，2)，经过F (1，0)点后反射在Q 点，则Q 的坐标为(1，－2)，经Q 反射后点N 的坐标为(3，－2)，设M 关于l 对称的点为M '，依题意，Q 、N 、M '共线.故可设M '(x 1，－2)，由此得 ⎩⎨⎧2＋2x 0－x 1·12＝－1x 0＋x 12―2·2－22―7＝0，解得x 0＝6.【另解】若设Q 关于直线l 的对称点为Q '，设Q ' (a ，b )，由于Q 、Q '关于直线l 对称，由此得⎩⎨⎧b ＋2a －1·12＝－1a ＋12―2·b －22―7＝0，解得⎩⎨⎧a ＝95b ＝－185 则Q '的坐标为(95，－185)， 又M 、N 、Q '三点共线，k MN ＝k NQ '，即－185＋195－3＝2＋2x 0－3，∴x 0＝6.★⑵若C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的任一点，过C 引两条互相垂直的直线交抛物线于A 、B ，则直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).【证明】设A (s 22p ，s )、B (t 22p，t )（s ，t ，y 0互不相等）那么，由AC ⊥BC 得k AC ·k BC ＝y 0－s x 0－s 22p ·y 0－tx 0－t 22p＝y 0－s y 202p －s 22p ·y 0－t y 202p －t 22p ＝4p 2(y 0＋s )(y 0＋t )＝－1∴4p 2＝－(y 0＋s )(y 0＋t )∴st ＝－4p 2－(s ＋t )y 0－y 20 ·················· ①又直线AB 的方程为y －s t －s ＝x －s 22p t 22p －s 22p，整理得，y ＝2px ＋sts ＋t② 把①代入②得 y ＝2px －4p 2－(s ＋t )y 0－y 20s ＋t ＝2px －4p 2－2px 0s ＋t －y 0＝2ps ＋t (x －2p －x 0)－y 0令x －2p －x 0＝0，即x ＝2p ＋x 0，得y ＝－y 0. 故直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).特别地，当C 是抛物线的顶点时，定点P 的坐标为(2p ，0).【拓展】C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点（都异于C ），若直线CA 、CB 的斜率k CA 、k CB 的乘积为定值m ，那么，直线AB 过定点(x 0－2pm ，－y 0). 【例8】（2000京皖春季高考）如图20，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 【解法一】点A ，B 在抛物线y 2＝4px 上，设A (y 2A 4p ，y A )，B (y 2B4p ，y B )，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB ．∴k OA ＝y A y 2A 4p ＝4p y A ，k OA ＝4p y B ，k AB ＝y B －y A y 2B 4p －y 2A4p ＝4p y A ＋y B . 由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝16p 2y A y B＝－1 ·························· ①∴直线AB 方程为，y －y A ＝4py A ＋y B (x －y 2A 4p )，即(y A ＋yB )(y －y A )＝4p (x －y 2A 4p ) ··············· ②由OM ⊥AB ，得直线OM 方程y ＝ y A ＋y B4p ······························ ③设点M (x ，y )，则x ，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－x4p，并利用③式图20整理得，x4p y A 2＋yy A －(x 2＋y 2)＝0 ················································ ④由③、④两式得－x4p ＋y B y A －(x 2＋y 2)＝0，由①式知，y A y B ＝－16p 2，所以x 2＋y 2－4px ＝0． 因为A 、B 是原点以外的两点，所以x ≠0．所以点M 的轨迹是以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解法二】由性质(2)易知AB 经过定点P (4p ，0)，由于OM ⊥AB ，那么，M 的轨迹以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0（x ≠0）.★⑶抛物线y 2＝2px （p ＞0）的弦AB 的中点D 恰好在定直线l ：x ＝m （m ＞0）上，则线段AB 的垂直平分线过定点M (m ＋p ，0).【证明】如图22，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (m ，y 0)，那么⎩⎨⎧y 21＝2px 1…………①y 22＝2px 2…………②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2) ∴直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝py 0∴直线DM 的斜率k DM ＝－1k AB ＝－y 0p∴DM 的直线方程为y －y 0＝－y 0p (x －m )令y ＝0，得x ＝m ＋p∴直线AB 的垂直平分线恒过定点(m ＋p ，0).【例9】（2008湖南理科高考）若A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x ＞2时，点P (x ，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x 0＞2．⑴证明：点P (x 0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略） 【说明】应用性质⑶，由已知得p ＝2，由定点P (x 0，0)得m ＋p ＝x 0，故m ＝x 0－2 ∴“相关弦”的中点的横坐标为x 0－2.图21图22★⑷设直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么①若直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y2＝－2ap，x1x2＝a2；反之②若y1y2＝k（定值），则直线l恒过定点N (－k2p，0).③若直线l与y轴相交于点(0，y3)，则1y1＋1y2＝1y3.【证明】①设过点M(a，0)的直线方程为x＝my＋a，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－2pa＝0，因此y1y2＝－2ap，x1x2＝y212p·y222p＝(y1y2)24p2＝4a2p24p2＝a2.②设直线l方程为x＝my＋b，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－2pb＝0，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标∴y1y2＝－2pb，又y1y2＝k.∴－2pb＝k，即b＝－k2p，则直线l方程为x＝my－k2p令y＝0，得x＝－k2p，则直线l恒过定点N(－k2p，0).③由l的方程x＝my＋a中，令x＝0得y3＝－am，y1＋y2＝2pm∴1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝2pm－2ap＝－ma＝1y3.【例10】（北京2005年春季高考理科）如图24，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2＝2px （p＞0）于M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.⑴写出直线l的截距式方程；⑵证明：1y1＋1y2＝1b.⑴【解】直线l的截距式方程为xa＋yb＝1.⑵由上面性质⑶证明可得1y1＋1y2＝1b.图23★⑸过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且与准线交于点M ，设MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，则λ＋μ＝0.【证法一】设过点F (p 2，0)的直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm 令x ＝－p 2，得y M ＝－pm由MA →＝λAF →得(x 1＋p 2，y 1＋p m )＝λ (p 2－x 1，－y 1)∴y 1＋p m ＝－λ y 1，λ＝1＋p my 1，同理，μ＝1＋pmy 2∴λ＋μ＝2＋p my 1＋pmy 2＝2＋p (y 1＋y 2)my 1 y 2＝2＋p ·2pm m ·(－p 2)＝2－2＝0.【证法二】由已知MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，得λ·μ＜0．则|MA →| |MB →| ＝－λ|AF →| μ|BF →| ······························· ①过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 则有：|MA →| |MB →| ＝|AA 1→| |BB 1→| ＝|AF →||BF →| ·················· ②由①②得－λ|AF →|μ|BF →| ＝|AF →||BF →|，即λ＋μ＝0.【例11】（2007年福建理科高考）如图27，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →． ⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知 MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值； 【略解】⑴动点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x ；⑵λ1＋λ2＝0.A图27★⑹定长为l 的弦AB 的两个端点在抛物线y 2＝2px 上，M 是AB 的中点，M 到y 轴的距离为d ，那么，M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2，且①当0＜l ＜2p 时，d 的最小值为l 28p ，此时，AB ∥y 轴；②当l ≥2p 时，d 的最小值为l －p2，此时，弦AB 过焦点F . 【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的直线方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pb ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pb . 又AB 的中点为M (x 0，y 0)，且点M 在直线AB 上，∴y 0＝y 1＋y 22＝pm ，x 0＝my 0＋b ，m ＝y 0p ，b ＝x 0－my 0＝x 0－y 20p .∴| AB |2＝l 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(my 1＋b －my 2－b )2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8pb ]＝(1＋y 20p 2)[4y 20＋8p (x 0－y 20p)]整理得，4(y 20＋p 2)(2px 0－y 20)＝p 2l 2. 故中点M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2. 由上可知d ＝x ＝pl 28(y 2＋p 2)＋y 22p，令t ＝y 2＋p 2≥p 2，即y 2＝t －p 2，则d ＝x ＝pl 28t ＋t －p 22p ＝pl 28t ＋t 2p －p 2（t ≥p 2）.令pl 28t ＝t 2p ，得t ＝pl 2.①当0＜l ＜2p 时，p 2＞pl2，d 在t ∈[ p 2，＋∞)上是增函数，∴当t ＝p 2，即y ＝0时，d min ＝pl 28p 2＋p 22p －p 2＝l 28p，此时，m ＝0，即AB ∥y 轴.②当l ≥2p 时，p 2≤pl 2，∴d ＝pl 28t ＋t 2p －p2≥2p tt pl 282⨯－p 2＝l －p 2.当且仅当pl 28t ＝t 2p ，即t ＝pl2≥p 2时取等号，故d 的最小值为l －p 2.②【证法二】当l ≥2p 时，过A 、B 、M 作准线x ＝－p2的垂线，垂足为A '、B '、M '，则| MM ' |＝d ＋p 2＝12(| AA ' |＋| BB ' |)＝12(| AF |＋| BF |)≥12| AB |＝12l .上式当且仅当| AF |＋| BF |＝| AB |，即弦AB 过抛物线的焦点M 时取等号，则d 的最小值为12l －p 2＝l －p2.【说明】经过焦点F 的最短弦是通经2p ，因此当弦AB 的长l ＜2p 时，不能用证法二证明d 的最小值为l 28p .图29图28【例12】长度为a 的线段AB 的两个端点在抛物线x 2＝2py （a ≥2p ＞0）上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C 的最小半径.【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C 到y 轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB 经过焦点F 时，点C 到准线的距离为最小值. 如图30. ∴圆C 的最小半径为r ＝a 2.★⑺过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的定点M (m ，0)（m ＞0），作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，则直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列. 【证明】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (－m ，n )， 由性质⑶有y 1y 2＝－2pm ，则直线AN 、BN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，k BN ＝y 2－nx 2＋m∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－ny 222p＋m＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p (y 1－n )y 21－y 1y 2＋2p (y 1－n )y 22－y 1y 2＝2p [y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )]y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn y 1y 2＝2pn －2pm ＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m＝－n2m .∴k AN ＋k BN ＝2k MN∴直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列.★⑻抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为k （k 为常数）的一组平行线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于点A i 、B i （i ＝1，2，…），弦A i B i 的中点为M i ，（即M 1，M 2，…，M n ），且A i B i 的直线方程为y ＝kx ＋b i （b i 为直线A i B i 在y 轴上的截距），A i (x 1，y 1)，B i (x 2，y 2)，M i (x i ，y i ).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2px y ＝kx ＋b i，消去x 得k2p y 2－y ＋b i ＝0∴y 1＋y 2＝2pk，又M i 是A i B i 的中点∴y i ＝y 1＋y 22＝p k ，则M 1，M 2，…，M n 在平行于x 轴的直线y ＝p k上.当直线A i B i 与x 轴垂直（即直线A i B i 的斜率不存在时），易知M 1，M 2，…，M n 在x 轴上.(－【例13】（2009年陕西卷理20文21）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． ⑴证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； 【证明】如图34，设A (x 1，2x 21)，B (x 1，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0， 由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，即N 点的坐标为(k 4，k 28)设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 与抛物线C 相切， ∴∆＝m 2－8(mk 4－k 28)＝0，解得m ＝k ，即l ∥AB .【说明】其实，也就是与AB 平行的弦，它们的中点在过AB 中点且与对称轴（x 轴）平行的直线上，它与C 的交点N ，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N 点的抛物线C 的切线与AB 平行. ★⑼过定点P (x 0，y 0)作任一直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于A 、B 两点，过A 、B 两点作抛物线的切线l 1、l 2，设l 1，l 2相交于点Q ，则点Q 在定直线px －y 0y ＋px 0＝0上. 【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，因为过点P 与x 轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为x －x 0＝m (y －y 0).联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxx －x 0＝m (y －y 0)，消去x 得12py 2－my ＋my 0－x 0＝0 ∴y 1y 2＝2p (my 0－x 0)又过A 、B 两点的抛物线的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)和y 2y ＝p (x ＋x 2)，联立方程组⎩⎨⎧y 1y ＝p (x ＋x 1)y 2y ＝p (x ＋x 2)解得x Q ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2＝－ y 212p ·y 2－y 222p ·y 1 y 1－y 2＝y 1y 22p ＝my 0－x 0 ·················· ①y Q ＝p ·x 1－x 2y 1－y 2＝pm ······························································ ②由②得m ＝y Q p 代入①得x Q ＝y Qpy 0－x 0，∴点Q 在直线px －y 0y ＋px 0＝0上.图34【例14】（2007年重庆文科高考题）如图36，对每个正整数 n ，A n (x n ，y n )是抛物线x 2＝4y 上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点B n (s n ，t n ). ⑴试证：x n s n ＝－4（n ≥1）；⑵取x n ＝2n，并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点.试证：| FC 1 |＋| FC 2 |＋…＋| FC n |＝2n －2－n ＋1＋1.【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质y 1y 2=－p 2.第⑵小题两条切线的交点C n 就是上面抛物线的性质，即点C n 必在直线y ＝－1上.【例15】（2008年山东理科高考）如图，设抛物线方程为x 2＝2py（p ＞0），M 为 直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .⑴求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵⑶略. 【证明】由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p)，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ＝xp所以，k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p，因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)，所以，x 212p ＋2p ＝x 1p(x 1－x 0)…………①，x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)…………②， ①－②得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2p ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)p －x 0(x 1－x 2)p∴x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，即2x 0＝x 1＋x 2所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.图37★⑽过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则| AB || FM |＝2.【证明】设过焦点F (p 2，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2（m ≠0），且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 把x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2＝2pmy ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－p 2 ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p ， ∴AB 的中点N 的坐标为(pm 2＋p2，pm )AB 的垂直平分线方程为y －pm ＝－m (x －pm 2－p2)令y ＝0，得M 的横坐标为x ＝pm 2＋3p2∴| FM |＝| x M －p2|＝pm 2＋p ＝p (m 2＋1)，又| AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p (m 2＋1).∴| AB || FM |＝2p (m 2＋1)p (m 2＋1)＝2 【证法二】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，则C (－p2，y 1)、D (－p 2，y 2)，则CD 的中点E 的坐标为(－p 2，y 1＋y 22)，由证法一知y 1＋y 2＝2pm ， ∴E (－p2，pm )，所以k EF ＝pm－p 2－p 2＝－m 又k AB ＝1m ，所以k AB ·k EF ＝(－m )·1m ＝－1∴EF ⊥AB ，又MN ⊥AB ，所以EF ∥MN 又EN ∥x 轴，所以四边形EFMN 为平行四边形 ∴| FM |＝| EN |＝12(| AC |＋| B D |)＝12| AB |所以| AB || FM |＝2★⑾P 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，过P 作与x 轴平行的直线m ，过OP 的直线为n ，直线l ⊥x 轴，l 与m 、n 分别相交于A 、B 两点，则AB 的中点M 在点P 处的切线. 【证明】设P (t 22p，t )，则m 的方程为y ＝t ，直线n （即OP ）的方程为y ＝2pt x ，设直线l 的方程为x ＝s （s ≠t 22p ），那么A 的坐标为(s ，t )，B 的坐标为(s ，2pst )，AB 的中点M 的坐标为(t ，t ＋2ps t 2)，即(t ，2ps ＋t 22t )又过点P (t 22p ，t )的抛物线的切线方程为yt ＝p (x ＋t 22p )∴y ＝p t (x ＋t 22p)当x ＝x M ＝s 时，y ＝p t (s ＋t 22p )＝ps t ＋t 2＝2ps ＋t 22t ＝y M可见点M 在点P 处的切线n 上.★⑿点P (a ，0)（a ≠0）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的一点，过P 的直线l 与抛物线相交于两点A 、B ，A 关于x 轴的对称的点为A '，又点Q (－a ，0)，那么A '、B 、Q 三点共线. 【证明】设直线l 的方程为x ＝my ＋a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A '(x 1，－y 1)，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2pxx ＝my ＋a，消去x 得 y 22p－my －a ＝0，那么y 1 y 2＝－2pa ， 又QA '→＝(x 1＋a ，－y 1)，QB '→＝(x 2＋a ，y 2)， ∵(x 1＋a )y 2＋(x 2＋a )y 1 ＝(y 212p ＋a )y 2＋(y 222p＋a )y 1＝y 21y 22p ＋y 22y 12p ＋a (y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2p ＋a (y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 22p ＋a )＝(y 1＋y 2)(－2pa 2p ＋a )＝0 ∴QA '→∥QB '→∴Q 、A '、B 三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.2图a 图b【作法】1.任意作两条平行弦A1B1和A2B2；2.分别取A1B1和A2B2的中点M、N，过M、N作直线m；3.作直线CD⊥m，交抛物线于C、D；4.取CD的中点E；5.过E作直线l∥m，交抛物线于点O.则直线l为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图a.6.过顶点O作两条互相垂直的弦OP、OQ；7.设PQ与对称轴l相交于点G；8.取OG的靠近O的四等分点F.则F为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质⑻，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD的中点在对称轴上，故l为抛物线的对称轴；3.根据性质⑵得PQ过顶点(2p，0)，故F为抛物线的焦点.第21页。
