【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合集4

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)保持做题的“手感”。

临近高考，考生仍要保持做数学题的手感，勤于动笔，勤于练习。

考前很多考生心态波动较大，比如看到考试成绩下降，就会非常焦虑。

实际上成绩有波动很正常，因为试卷的难度不一样，考生的发挥也不一样，试卷考查的知识点和考生掌握的情况也不一样。

考生不要因为一次考试而让自己过于焦虑，要辩证地去看待考试成绩。

在考试过程中，如果遇到新题或难题，一定要稳住心态。

考生要想到的是：我觉得难，别人也一样。

当然我们也不能因为题目简单就疏忽大意，要把自己的水平发挥出来，保证自己会做的题都不出错，难题尽可能多拿分。

圆锥曲线解题技巧尽量做出第一问，第二问多套模板拿步骤分1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 2一、解答题1(2024·浙江温州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左右顶点分别是A -2,0 ，B 2,0 ，椭圆的离心率是22.点P 是直线x =32上的点，直线PA 与PB 分别交椭圆C 于另外两点M ，N .(1)求椭圆的方程.(2)若k AM =λk BN ，求出λ的值.(3)试证明：直线MN 过定点.【答案】(1)x 22+y ²=1(2)12(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合a 2=b 2+c 2计算即可得；(2)设出点P 坐标，借助斜率公式计算即可得；(3)设出直线MN 方程，联立曲线方程，借助韦达定理与(2)中所得λ计算即可得.【详解】(1)由题意可得a =2，c a =22，即a 2=2c 2=b 2+c 2=2，所以b =c =1，则椭圆C :x22+y 2=1；(2)设P 32,n ，由于k AM =λk BN ，则λ=k PA k PB =n32+2n 32-2=2242=12；(3)显然MN 斜率不为0，设l MN ：x =ty +m ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立方程x =ty +mx 22+y 2=1，则有t 2+2 y 2+2tmy +m 2-2=0，Δ=4t 2m 2-4t 2+2 m 2-2 =8t 2-m 2+2 >0，则有y 1+y 2=-2tm t 2+2，y 1y 2=m 2-2t 2+2，由于k AM =λk BN ，则λ=kMA k BN =y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1x 2-2 x 2+2 y 2x 1+2 x 2+2 =y 1x 22-2y 2x 1+2 x 2+2，因为x 222+y 22=1，故λ=-2y 1y 2x 1+2 x 2+2 =-2y 1y 2ty 1+m +2 ty 2+m +2 =4-2m 22m 2+42m +4=12，即3m 2+22m =2，解得m =-2或m =23，当m =-2时，2m 2+42m +4=0，故舍去，即m =23，适合题意，故MN :x =ty +23，则直线MN 过定点23,0.2(2024·辽宁·模拟预测)在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线y =-2距离的差为-1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为x 0(x 0<0).(i )求W 在点P 处的切线的斜率(用x 0表示)；(ii )直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA =PB ，求直线l 的斜率的取值范围(用x 0表示).【答案】(1)x 2=4y(2)(i )x 02，(ii )答案见解析【分析】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，利用距离公式列式化简求解即可；(2)(i )利用导数的几何意义求得切线斜率；(ii )分析直线l 斜率存在设为y =kx +m ，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得x 024=-1k x 0-x M +y M ，从而m =x 204+x 0k-2k 2-2，根据Δ>0，得k k -x 02 k 2+x02k +2 <0，分类讨论解不等式即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意得(x -0)2+(y -1)2-|y -(-2)|=-1，即x 2+(y -1)2=|y +2|-1，所以y +2≥0,x 2+(y -1)2=y +1. 或y +2<0,x 2+(y -1)2=-y -3.整理得y +2≥0,x 2=4y .或y +2<0,x 2=8y +8.故W 的方程为x 2=4y .(2)(i )因为W 为y =x 24，所以y =x2．所以W 在点P 处的切线的斜率为：x 02；(ii )设直线l 为y =kx +m ，点M 为线段AB 的中点，当k =0时，不合题意，所以k ≠0；因为点A ，B 满足x 2=4y ,y =kx +m . 所以x A ,x B 满足x 2-4kx -4m =0，从而Δ=16k 2+16m >0,x M =x A +xB 2=2k ,y M =kx M +m =2k 2+m .因为直线PM 的方程为y =-1k x -x M +y M ，所以x 024=-1kx 0-x M +y M ，即x 204=-1k x 0-2k +2k 2+m ，从而m =x 204+x 0k -2k 2-2.因为Δ=16k 2+16m >0，所以k 2+x 204+x0k -2k 2-2>0，即k -x 02 k 2+x 02k +2k<0，等价于k k -x 02 k 2+x02k +2 <0(其中x 0<0).①当x 204-8<0时，即x 0∈(-42,0)时，有k 2+x 02k +2>0，此时x 02<k <0，②当x 204-8=0时，即x 0=-42时，有k k -x 02 k +x 04 2<0，此时x 02<k <0，③当x 024-8>0时，即x 0∈(-∞,-42)时，有k k -x 02 k --x 0-x 20-324 k --x 0+x 20-324<0，其中x 02<0<-x 0-x 20-324<-x 0+x 20-324，所以k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.综上，当x 0∈[-42,0)时，k ∈x02,0 ；当x 0∈(-∞,-42)时，k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.3(2024·山西太原·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 与B ，点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2 .(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 3,0 的直线与C 交于M ,N 两点(均异于点A ,B )，直线MA 与直线x =1交于点Q ，求证:B ,N ,Q 三点共线.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2，建立方程组求解即可；(2)B ,N ,Q 三点共线，即证BN ⎳BQ，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出M ,N 的坐标，由坐标判断BN ⎳BQ，证明即可.【详解】(1)由题意得A -a ,0 ,B a ,0 ，且9a 2-2b2=123+a +23-a=2∴a 2=3b 2=1∴x 23-y 2=1(2)由(1)得A -3,0 ,B 3,0 ，设直线MN 的方程为x =ty +3t ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则BN=x 2-3,y 2 ，由x =ty +3x23-y 2=1 得t 2-3y 2+6ty +6=0,∴y 1+y 2=-6t t 2-3,y 1y 2=6t 2-3，直线AM 的方程为y =y 1x 1+3x +3 ，令x =1，则y =y 1x 1+31+3 ，∴Q 1,1+3 y 1x 1+3 ,∴BQ =1-3,1+3 y 1x 1+3，∵x 2-3 ⋅1+3 y 1x 1+3-1-3 y 2=1x 1+3x 2-3 ⋅1+3 y 1-1-3 x 1+3 y 2=1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1-1-3 ty 1+3+3 y 2 =1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1+3-1 ty 1+3+3 y 2 =23x 1+3ty 1y 2+y 1+y 2 =23x 1+36t t 2-3-6tt 2-3=0,∴BN ⎳BQ, 所以B ,N ,Q 三点共线.4(2024·重庆·模拟预测)如图，DM ⊥x 轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且|DP ||DM |=12．(1)点M 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所求点P 的轨迹为Γ,A (0,1)，过点0,12作一条直线与Γ相交于B ,C 两点，与直线y =2交于点Q ．记AB ,AC ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，证明：k 1+k2k 3是定值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，则有M x ,2y ，根据M 在圆x 2+y 2=4上运动，即可求解x 、y 的关系式即为点P 的轨迹方程；(2)设出直线方程，直曲联立利用韦达定理求出x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，求出k 1+k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得Q 32k ,2，求出k 3=2k3，即可求出k 1+k 2k 3是定值.【详解】(1)设P x ,y ，根据题意有M x ,2y ，又因为M 在圆x 2+y 2=4上运动，所以x 2+2y 2=4，即x 24+y 2=1，所以点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据已知条件可知，若直线BC 的斜率不存在，不合题意，若直线BC 斜率为0，直线BC 与直线y =2平行无交点也不合题意，所以直线BC 的斜率存在设为k ，直线BC 的方程为y =kx +12，联立x 24+y 2=1y =kx +12，则有1+4k 2x 2+4kx -3=0，且Δ>0，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，k 1=y 1-1x 1，k 2=y 2-1x 2，所以k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1-12 +x 1kx 2-12x 1x 2=2kx 1x 2-12x 1+x 2x 1x 2=2k -31+4k2-12-4k1+4k 2-31+4k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得x Q =32k ，所以Q 32k,2 ，所以k 3=2-132k=2k 3，所以k 1+k 2k 3=4k332k=2为定值.5(2024·湖北武汉·模拟预测)己知圆E :(x +6)2+y 2=32，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点F 6，0(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若直线l :y =x +t 与(1)中轨迹交于不同的两点A ,B ，记△OAB 外接圆的圆心为M (O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点C ，D ，使得MC -MD 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 22=1(2)存在定点C -465，0 ，D 465，0 ，使得MC -MD =853(定值)【分析】(1)根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在x 轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；(2)联立l :y =x +t 与椭圆方程，根据韦达定理得x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，进而得出OA 和OB 的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853，方法二，设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853【详解】(1)设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q ．∵点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部．∴CE +CF =CE +CQ =r =42>EF =26，∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 28+y 22=1．(2)(方法一)联立l :y =x +t 与椭圆方程，消y 得5x 2+8tx +4t 2-8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，OA 的中垂线方程为：y -y 12=-x 1y 1x -x 12 ，即y =-x 1y 1x +x 212y 1+y 12①OB 的中垂线方程为：y =-x 2y2x +x 222y 2+y 22②由①②两式可得-x 1y 1x +x 212y 1+y 12=-x 2y 2x +x 222y 2+y 22，∴△OAB 外接圆圆心M 的横坐标x M =x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 22x 2y 1-x 1y 2 ，其中x 2y 1-x 1y 2=x 2x 1+t -x 1x 2+t =t x 2-x 1x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 2=x 22x 1+t -x 21x 2+t +x 2-x 1 x 1+t x 2+t =x 22x 1-x 12x 2 +t x 22-x 12 +x 2-x 1 x 1+t x 2+t=x 2-x 1 x 1x 2+t x 2+x 1 +x 1+t x 2+t =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 2 ∴x M =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t x 2-x 1=2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t =x 1x 2t +x 2+x 1+t 2=-3t 10-85t，又∵AB 的中垂线方程为y -y 1+y 22=-x -x 1+x 22 ，即y =-x -3t5，∴圆心M 的纵坐标为y M =--3t 10-85t -35t =-3t 10+85t，∴x M 2-y M 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，(方法二)设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立l :y =x +t 与圆的方程，消y 得2x 2+2t +d +e x +t 2+et =0，则x 1+x 2=-2t +d +e 2=-8t 5,x 1x 2=t 2+et 2=4t 2-85∴2t +d +e =16t 5,t 2+et =8t 2-165，解得d =3t 5+165t ,e =3t 5-165t，设圆心坐标为M x ,y ，则x =-d 2=-3t 10-85t ,y =-3t 10+85t，∴x 2-y 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，6(2024·山西·三模)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点T t ,0 ，若E 上存在一点P ，使得PO ⋅PT=-1，求t 的取值范围；(3)过M -4,0 的直线交E 于A ，B 两点，过N -4,43 的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：∠BOC 为定值.【答案】(1)y 2=4x (2)6,+∞ (3)证明见详解【分析】(1)根据题意可知焦点F 到准线的距离为p =2，即可得方程；(2)设P x ,y ，利用平面向量数量积可得t -4=x +1x，结合基本不等式运算求解；(3)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2 ,C y 234,y 3，求直线AB ,AC 的方程，结合题意可得-16+y 1y 2=0-16-43y 1+y 3 +y 1y 3=0 ，结合夹角公式分析求解.【详解】(1)由题意可知：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设P x ,y ，可知y 2=4x ,x ≥0，则PO =-x ,-y ,PT =t -x ,-y ，可得PO ⋅PT=-x t -x +y 2=x 2-tx +4x =x 2+4-t x =-1，显然x =0不满足上式，则x >0，可得t -4=x +1x，又因为x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时，等号成立，则t -4≥2，即t ≥6，所以t 的取值范围为6,+∞.(3)设Ay214,y1,B y224,y2,C y234,y3，则直线AB的斜率k AB=y1-y2y214-y224=4y1+y2，可得直线AB的方程y-y1=4y1+y2x-y214，整理得4x-y1+y2y+y1y2=0，同理可得：直线AC的方程4x-y1+y3y+y1y3=0，由题意可得：-16+y1y2=0-16-43y1+y3+y1y3=0，整理得y1=16y24y3-y2=3y1y3+16，又因为直线OB,OC的斜率分别为k OB=y2y224=4y2,k OC=y3y234=4y3，显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC=k OB-k OC1+k OB⋅k OC=4y2-4y31+4y2⋅4y3=4y2-y3y2⋅y3+16=3y2⋅y3+16y2⋅y3+16=3，所以∠BOC=π3为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．7(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2 =22，点P的轨迹为C，过点F(2,0)作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若直线l与直线x=1交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：|SF||FT|为定值．【答案】(1)x22-y22=1(x≥2)(2)S△OAB∈[22,+∞)(3)证明见解析【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可；(2)设直线l的方程为：x=my+2，与双曲线联立，利用面积分割法计算出S△OAB，在利用复合函数单调性求出S△OAB的范围；(3)首先计算出M,N的坐标，再计算出S,T的坐标即可证明|SF||FT|为定值。

高考压轴题（抛物线）1、 (本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2、（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．3、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹4、如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.5、抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上； （Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.x y O A B P F l6、已知动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >. （I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角 分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒 过定点，并求出该定点的坐标.7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

⾼考数学圆锥曲线⼤题集⼤全⾼考⼆轮复习专项：圆锥曲线⼤题集1. 如图，直线l1与l2是同⼀平⾯内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平⾯上的⼀个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.2. (Ⅰ建⽴适当的坐标系，求动点M的轨迹C的⽅程．(Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平⾯上的点G、H满⾜：求点G的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中⼼是坐标原点，焦点在轴上，离⼼率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的⽅程.3. 已知椭圆的⼀条准线⽅程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的⼀条渐近线⽅程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的⽅程及双曲线C2的离⼼率；（Ⅱ）在第⼀象限内取双曲线C2上⼀点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：4. 椭圆的中⼼在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜⾓为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹⾓为 a.（1）⽤半焦距c表⽰椭圆的⽅程及tg;（2）若2 <3 ，求椭圆率⼼率 e 的取值范围 .5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离⼼率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的⽅程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直⾓坐标平⾯中，的两个顶点的坐标分别为，，平⾯内两点同时满⾜下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹⽅程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7. 设，为直⾓坐标平⾯内x轴．y轴正⽅向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的⽅程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满⾜(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB⽅程．8. 已知抛物线C：的焦点为原点，C的准线与直线的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．（Ⅰ）求抛物线C的⽅程；（Ⅱ）求实数p的取值范围；（Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的⼀个焦点和⼀条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹⽅程．9. 如图，椭圆的中⼼在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的⼀条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离⼼率e的取值范围.10. 已知三⾓形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的⼀个端点（点A在y轴正半轴上）.若三⾓形ABC的重⼼是椭圆的右焦点，试求直线BC的⽅程;若⾓A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹⽅程.11. 如图，过抛物线的对称轴上任⼀点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.(1 设点分有向线段所成的⽐为，证明:;(2 设直线的⽅程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的⽅程.12. 已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C.（1）证明：l经过⼀个定点⽽且与曲线C⼀定有两个公共点；（2）若（1）中的其中⼀个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线；（3）设直线AP的倾斜⾓为，AP与l的夹⾓为，证明：或是定值.13. 在平⾯直⾓坐标系内有两个定点和动点P，坐标分别为、，动点满⾜，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线，直线与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的⾯积为，（1）求曲线C的⽅程；（2）求的值。

高考数学圆锥曲线之抛物线题型归纳与突破题一、考点全归纳1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质O(0，0)1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切二、题型全归纳题型一抛物线的定义及应用【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(4)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.【例1】．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为() A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y【例2】．抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为________．【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．题型二抛物线的标准方程【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【例1】．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8【例2】．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x题型三 抛物线的性质【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例1】已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【例2】．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32D ．4【例3】．已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( ) A ．16 B ．4 C.83D ．53题型四 直线与抛物线的位置关系【规律方法】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．【提醒】：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程． 类型一 直线与抛物线相切问题【例1】．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题【例2】．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，则|AB |＝( ) A ．6 B ．33C ．8D ．9【例3】．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .若AB→＝3BC →，则直线l 的斜率为________． 类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题【例4】．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.三、高效训练突破 一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．82．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．33．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 m B ．256 m C.95 mD ．185 m4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x5．已知动圆C 经过点A (2，0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为( ) A. 3 B ．23 C ．4 3D ．837．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝833yD ．x 2＝1633y9．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23 C.23D ．22310.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( ) A ．2 2 B ．3 C. 6D ．3611．已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．1212.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．163二、填空题1.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．2．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．3．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．4.△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．5.已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．7.已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.8.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________． 三 解答题1．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2. (1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．2.设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切． (1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC →，求λ的取值范围．4.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．专题9.7 抛物线一、考点全归纳1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质O(0，0)1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切 二、题型全归纳题型一 抛物线的定义及应用【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(4)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p2或|PF |＝|y |＋p 2.【例1】．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y【答案】 D【解析】 由题意，得动圆的圆心到直线y ＝－3的距离和到点F (3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .【例2】．抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________． 【答案】 33【解析】 由题意，知焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，点M (x 1，y 1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x 1＋32＝92，解得x 1＝3，所以y 21＝18，所以|OM |＝x 21＋y 21＝3 3.【例3】设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】 4 【解析】 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则 |P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 题型二 抛物线的标准方程【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【例1】．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】 D【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.【例2】．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________． 【答案】 (x －1)2＋y 2＝4【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点F 坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，以F 为圆心，且与l相切的圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x【答案】C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝12|FC|＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.题型三抛物线的性质【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例1】已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】 (1)由已知得抛物线焦点坐标为F (p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2=(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，代入上式，得 1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【例2】．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D ．4【答案】C.【解析】：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝2x ⇒y 2－2my －2t ＝0⇒y 1y 2＝－2t ， 由OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝（y 1y 2）24＋y 1y 2＝0⇒y 1y 2＝－4， 所以t ＝2，即直线AB 过定点(2，0)．所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32.故选C.【例3】．已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( ) A ．16 B ．4 C.83 D ．53【答案】A【解析】：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p 2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A，|DF |－p 2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp 8＝16.故选A.题型四 直线与抛物线的位置关系【规律方法】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．【提醒】：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程． 类型一 直线与抛物线相切问题【例1】．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题【例2】．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，则|AB |＝( ) A ．6 B ．3 3 C ．8 D ．9【答案】 A【解析】 根据题意，知直线AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F (1,0)．设直线AB ：y ＝k (x －1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2，2k .又E (－1,0)，根据|ME |＝11，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2＋12＋4k 2＝11，解得k 2＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k 2＋2＝6.故选A.【例3】．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .若AB →＝3BC →，则直线l 的斜率为________． 【答案】22【解析】解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，则x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24，故x 1＋x 2x 1x 2＝2(k 2＋2)k 2，即52＝2＋4k 2，解得k ＝2 2. 解法二： 设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p24.所以x 1＝p ，y 1＝2p ，则直线l 的斜率k ＝y 1x 1－p 2＝2pp －p 2＝2 2.类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题【例4】．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |. 【答案】见解析【解析】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133. 三、高效训练突破 一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D.【解析】：由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A.【解析】：根据抛物线的定义，知|F A →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 m B ．256 m C.95 m D ．185 m【答案】D.【解析】：建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185， 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185 m ．故选D.4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【答案】C.【解析】：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知动圆C 经过点A (2，0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D.【解析】：设圆心C (x ，y )，弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2，则有|CA |2＝|BC |2＝|BE |2＋|CE |2，所以(x －2)2＋y 2＝22＋x 2，化为y 2＝4x ，则圆心C 的轨迹为抛物线． 故选D.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为( ) A. 3B ．23C．4 3 D．83【答案】 C.【解析】：如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.因为直线AF的斜率为－3，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为4的等边三角形．所以S△AMF＝34×42＝4 3.故选C.7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x【答案】D.【解析】：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .故选D.8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝833y D ．x 2＝1633y【答案】A.【解析】：因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca ＝2.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·p 2a 2＋b 2＝p 2·a c ＝p4＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的方程是x 2＝16y .9．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( ) A.13 B ．23 C.23D ．223【答案】D.【解析】：设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|F A |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)， 所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.10.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( ) A ．2 2B ．3C. 6 D ．36【答案】A.【解析】：如图所示，F (1，0)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点E (x 0，y 0)．则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－1k (x －5)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 化为ky 2－4y －4k ＝0，所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，所以y 0＝12(y 1＋y 2)＝2k ，x 0＝y 0k ＋1＝2k 2＋1，把E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1，2k 代入线段AB 的垂直平分线的方程y ＝－1k (x －5)，可得2k ＝－1k ·⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－5，解得k 2＝1.S △OAB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1216k 2＋16＝2 2.故选A.11．已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【答案】B.【解析】：抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32， 所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2， 所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8. 故选B.12.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．163【答案】C.【解析】：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |， 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0，所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.二、填空题1.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________． 【答案】：4【解析】：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.2．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________． 【答案】：33【解析】：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33.3．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________． 【答案】：2【解析】：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 y ＝±22x【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .4.△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________． 【答案】 4x ＋4y ＋5＝0【解析】 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.5.已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________． 【答案】 8【解析】 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1 |y 1－y 2|＝t 2＋1 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用－1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．【答案】：[1，＋∞)【解析】：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA→·CB →＝0， 即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1.7.已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________. 【答案】 2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.8.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．【答案】 22 x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0【解析】 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1，|P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A | 2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12， 当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号． 故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.三 解答题1．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．【答案】见解析【解析】 (1)根据题意，知4＝2py a ，①因为|AF |＝2，所以y a ＋p 2＝2.②联立①②解得y a ＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上，得P (x 2，x 2－3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理， 得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0.将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0.由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0，所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3.即直线BM 恒过定点(2,3)．2.设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切．(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．【答案】见解析【解析】 (1)设E 点坐标为(x ，y )，则EF 中点为圆心，设为P ，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12.∴P 到x 轴的距离等于|EF |2， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12＝x 2＋(y －1)22，化简得x 2＝4y . ∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2，设A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2，∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－4x 1， ∴A ，B 两点连线的斜率为k AB ＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝－1x 1＋14x 1， A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝14x 21－1x 1－0＝－1x 1＋14x 1＝k AB ， ∴A ，B ，F 三点共线．3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB→＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值；(2)设λ＝AB→·AC →，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1,0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2， ∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20，∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74，故λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74. 4.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．【答案】见解析【解析】：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p 2＝2，①。

抛物线大题30题1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 ．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 ．已知p ：方程2212x y m m+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 ．已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--｡(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)｡(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡12．位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15．(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16．抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2（I ）求p 的值；（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。

圆锥曲线经典大题1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕，求PF PE ⋅的最大值．6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距离为5。

（I ） 求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值围。

以下题目全是经典的高考题目,希望对您有帮助!!圆锥曲线1．如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； (2)已知当M 点的坐标为（2，p 2-）时，AB = (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p =，则,x y p'= 所以12,.MA MB x x k k p p ==因此直线MA :102(),x y p x x p +=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p+=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得：2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p =由弦长公式AB==又AB=p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22x y=或24.x y=(3)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为123123(,),22x x x y y yQ++++设直线AB的方程为011(),xy y x xp-=-由点Q在直线AB上，并注意到点1212(,)22x x y y++也在直线AB上，代入得033.xy xp=若D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,x py x x==因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或22(2,).xD xp(1’ 当x0=0时，则12020x x x+==，此时，点M(0,-2p)适合题意.(2’ 当x≠，对于D(0，0)，此时221222221212002(2,),,224CDx xx x x xpC x kp x px+++==又0,ABxkp=AB⊥CD，所以22220121221,44AB CDx x x x xk kp px p++===-即222124,x x p+=-矛盾.对于22(2,),xD xp因为2212(2,),2x xC xp+此时直线CD平行于y轴，又00,ABxkp=≠所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x≠时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.2．已知曲线11(0)xyC a ba b+=>>：所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为3．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（O为坐标原点）（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得23ab ⎧=⎪⎨= 又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k +=+=+=+++．设()M x y ，由(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y kλ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为1y x k=-，即x k y =-，因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++， 又220x y +≠，所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 轨迹222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMBSAB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++ 2222400(1)(45)(54)k k k +=++22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时最小409AMB S =△．当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上,AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+≥，409OA OM ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△．下同解法一. 3．已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解: （1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21mk m =+ 因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立 所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不能.由（1）知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤； 圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2rd >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得 的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两段弧； 4．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解:（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+则由题有：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。

3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0， 由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94， 当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14； （2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0， 由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9， 同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ） 由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ） 设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22， 由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．， 解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)， 直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4， 所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2， 所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)， 所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2， 联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0， 而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1， 由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1， 即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1， 所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2， 设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。