2013年高考数学全击破《圆锥曲线方程》抛物线

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题错误！未指定书签。

．（2013年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y EB BC CD=++33B ．33-C ．33±D ．3-【答案】B错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．255D ．455【答案】C错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．22125x y -=【答案】B错误！未指定书签。

．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C错误！未指定书签。

．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D错误！未指定书签。

．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12 B ．32C ．1D ．3【答案】B错误！未指定书签。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y=A,B两点,O为坐标原点,当∆AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于（）A．y EB BC CD=++3B．3-C．3±D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））双曲线221 4xy-=的顶点到其渐近线的距离等于（）A．25B．45CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知中心在原点的双曲线C的右焦点为()3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是（）A．2214x-=B．22145x y-=C．22125x y-=D．2212x-=【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C:22221x ya b-=(0,0a b>>)则C的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B 3C ．1D 3【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是[来源:学科网ZXXK]（ ）Ox y A BFF（第9题A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．3[来源:学。

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±.故直线l 的方程为10x -=或10x --=.2．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得 ()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③ 因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即60,x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又0,2⎛⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈ ⎝⎦ 3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1xy C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为2,过1F 且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又ce a ==2 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PMPF ⋅,设P 中204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,(2,2)∈-,所以33(,)m ∈-001200114(8x x kk kk x x +-+=-+=-为定值.4．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(3,0)F ,过F 的直线3x =C 1交于2(3,2±,与C 2交于(3,31))±,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为3x =(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,2<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .5．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ,∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 6．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l . (I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <; (II)若点M 到直线l的距离的最小值为5,求抛物线E 的方程. 【答案】解:(Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF2,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k22121221212121212)11(1)1(,122,,0,0pp k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++,所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++2323213==≤=+,当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线（第21题图）110:12l y x=±-8．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率22e=,过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于,A A'两点,4AA'=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P',过,P P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ P Q'⊥,求圆Q的标准方程.【答案】9．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：.(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222所以动点P 过定直线01=-+y x .10．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点.若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值. 【答案】12．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c = ②②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---, 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】15．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n +=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B AA B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+= ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .第21题图16．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 17．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点. 【答案】解:(Ⅰ)A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=- 1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)18．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】19．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C .(I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】20．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，,由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A x x y y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，, 则122y x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。

高考数学圆锥曲线之抛物线题型归纳与突破题一、考点全归纳1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质O(0，0)1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切二、题型全归纳题型一抛物线的定义及应用【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(4)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.【例1】．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为() A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y【例2】．抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为________．【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．题型二抛物线的标准方程【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【例1】．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8【例2】．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x题型三 抛物线的性质【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例1】已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【例2】．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32D ．4【例3】．已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( ) A ．16 B ．4 C.83D ．53题型四 直线与抛物线的位置关系【规律方法】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．【提醒】：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程． 类型一 直线与抛物线相切问题【例1】．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题【例2】．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，则|AB |＝( ) A ．6 B ．33C ．8D ．9【例3】．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .若AB→＝3BC →，则直线l 的斜率为________． 类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题【例4】．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.三、高效训练突破 一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．82．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．33．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 m B ．256 m C.95 mD ．185 m4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x5．已知动圆C 经过点A (2，0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为( ) A. 3 B ．23 C ．4 3D ．837．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝833yD ．x 2＝1633y9．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23 C.23D ．22310.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( ) A ．2 2 B ．3 C. 6D ．3611．已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．1212.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．163二、填空题1.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．2．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．3．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．4.△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．5.已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．7.已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.8.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________． 三 解答题1．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2. (1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．2.设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切． (1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC →，求λ的取值范围．4.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．专题9.7 抛物线一、考点全归纳1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质O(0，0)1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切 二、题型全归纳题型一 抛物线的定义及应用【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(4)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p2或|PF |＝|y |＋p 2.【例1】．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y【答案】 D【解析】 由题意，得动圆的圆心到直线y ＝－3的距离和到点F (3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .【例2】．抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________． 【答案】 33【解析】 由题意，知焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，点M (x 1，y 1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x 1＋32＝92，解得x 1＝3，所以y 21＝18，所以|OM |＝x 21＋y 21＝3 3.【例3】设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】 4 【解析】 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则 |P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 题型二 抛物线的标准方程【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【例1】．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】 D【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.【例2】．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________． 【答案】 (x －1)2＋y 2＝4【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点F 坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，以F 为圆心，且与l相切的圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x【答案】C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝12|FC|＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.题型三抛物线的性质【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例1】已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】 (1)由已知得抛物线焦点坐标为F (p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2=(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，|AB |＝x 1＋x 2＋p ，代入上式，得 1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【例2】．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.32 D ．4【答案】C.【解析】：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝2x ⇒y 2－2my －2t ＝0⇒y 1y 2＝－2t ， 由OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝（y 1y 2）24＋y 1y 2＝0⇒y 1y 2＝－4， 所以t ＝2，即直线AB 过定点(2，0)．所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32.故选C.【例3】．已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( ) A ．16 B ．4 C.83 D ．53【答案】A【解析】：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p 2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A，|DF |－p 2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px 整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D＝2pp 8＝16.故选A.题型四 直线与抛物线的位置关系【规律方法】1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．【提醒】：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程． 类型一 直线与抛物线相切问题【例1】．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题【例2】．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME |＝11，则|AB |＝( ) A ．6 B ．3 3 C ．8 D ．9【答案】 A【解析】 根据题意，知直线AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F (1,0)．设直线AB ：y ＝k (x －1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 并整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2，2k .又E (－1,0)，根据|ME |＝11，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2＋12＋4k 2＝11，解得k 2＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k 2＋2＝6.故选A.【例3】．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 与y 轴的负半轴交于点C .若AB →＝3BC →，则直线l 的斜率为________． 【答案】22【解析】解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，则x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24，故x 1＋x 2x 1x 2＝2(k 2＋2)k 2，即52＝2＋4k 2，解得k ＝2 2. 解法二： 设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AB →＝3BC →，得x 1＝4x 2.由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p24.所以x 1＝p ，y 1＝2p ，则直线l 的斜率k ＝y 1x 1－p 2＝2pp －p 2＝2 2.类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题【例4】．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |. 【答案】见解析【解析】 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－4(t －1)3. 从而－4(t －1)3＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78. (2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133. 三、高效训练突破 一、选择题1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D.【解析】：由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】A.【解析】：根据抛物线的定义，知|F A →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512 m B ．256 m C.95 m D ．185 m【答案】D.【解析】：建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185， 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185 m ．故选D.4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【答案】C.【解析】：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知动圆C 经过点A (2，0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D.【解析】：设圆心C (x ，y )，弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2，则有|CA |2＝|BC |2＝|BE |2＋|CE |2，所以(x －2)2＋y 2＝22＋x 2，化为y 2＝4x ，则圆心C 的轨迹为抛物线． 故选D.6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为( ) A. 3B ．23C．4 3 D．83【答案】 C.【解析】：如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.因为直线AF的斜率为－3，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为4的等边三角形．所以S△AMF＝34×42＝4 3.故选C.7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x【答案】D.【解析】：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .故选D.8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝833y D ．x 2＝1633y【答案】A.【解析】：因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca ＝2.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·p 2a 2＋b 2＝p 2·a c ＝p4＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的方程是x 2＝16y .9．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( ) A.13 B ．23 C.23D ．223【答案】D.【解析】：设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|F A |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)， 所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.10.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，则S △AOB ＝( ) A ．2 2B ．3C. 6 D ．36【答案】A.【解析】：如图所示，F (1，0)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点E (x 0，y 0)．则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－1k (x －5)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 化为ky 2－4y －4k ＝0，所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，所以y 0＝12(y 1＋y 2)＝2k ，x 0＝y 0k ＋1＝2k 2＋1，把E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1，2k 代入线段AB 的垂直平分线的方程y ＝－1k (x －5)，可得2k ＝－1k ·⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－5，解得k 2＝1.S △OAB ＝12×1×|y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1216k 2＋16＝2 2.故选A.11．已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12【答案】B.【解析】：抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32， 所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2， 所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8. 故选B.12.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．163【答案】C.【解析】：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |， 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0，所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.二、填空题1.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________． 【答案】：4【解析】：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.2．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________． 【答案】：33【解析】：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33.3．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________． 【答案】：2【解析】：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 y ＝±22x【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .4.△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________． 【答案】 4x ＋4y ＋5＝0【解析】 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.5.已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________． 【答案】 8【解析】 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1 |y 1－y 2|＝t 2＋1 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用－1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．【答案】：[1，＋∞)【解析】：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA→·CB →＝0， 即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1.7.已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________. 【答案】 2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.8.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．【答案】 22 x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0【解析】 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1，|P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A | 2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12， 当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号． 故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.三 解答题1．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．【答案】见解析【解析】 (1)根据题意，知4＝2py a ，①因为|AF |＝2，所以y a ＋p 2＝2.②联立①②解得y a ＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上，得P (x 2，x 2－3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理， 得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0.将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0.由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0，所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3.即直线BM 恒过定点(2,3)．2.设定点F (0,1)，动点E 满足：以EF 为直径的圆与x 轴相切．(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A ，B 处的切线互相垂直，求证：A ，F ，B 三点共线．【答案】见解析【解析】 (1)设E 点坐标为(x ，y )，则EF 中点为圆心，设为P ，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋12.∴P 到x 轴的距离等于|EF |2， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12＝x 2＋(y －1)22，化简得x 2＝4y . ∴点E 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知，曲线C 是以F 为焦点的抛物线，其方程可化为y ＝14x 2，设A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，14x 21，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14x 22， ∵曲线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴曲线在A ，B 处切线的斜率分别为k 1＝12x 1，k 2＝12x 2，∵k 1k 2＝－1，∴12x 1·12x 2＝－1，∴x 2＝－4x 1， ∴A ，B 两点连线的斜率为k AB ＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝－1x 1＋14x 1， A ，F 两点连线的斜率为k AF ＝14x 21－1x 1－0＝－1x 1＋14x 1＝k AB ， ∴A ，B ，F 三点共线．3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB→＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值；(2)设λ＝AB→·AC →，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1,0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2， ∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20，∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74，故λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74. 4.已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．【答案】见解析【解析】：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p 2＝2，①。

2013高考真题分类汇编：圆锥曲线1．【2013福建】双曲线2244x y -=的顶点到其渐近线的距离等于( ) （A ）25 （B ）45 （C） （D）2．【2013广东】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是( )（A）2214x = （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= （D）2212x -= 3．【2013新课标】已知双曲线C :()222210,0x y a b a b -=>>，则C 的渐近线方程为( ) （A ）4y x =± （B ）3y x =± （C ）2y x =± （D ）y x =±4．【2013湖北】已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 ( )（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等5．【2013四川】抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )（A ）12 （B（C ）1 （D6．【2013浙江9】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y xC 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是( ) （A ）2 （B ）3 （C ）32 （D7．【2013天津】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220p y x p =>的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点。

若双曲线的离心率为2，AOB ∆则p =（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）2 （D ）38．【2013大纲版】椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）（A ）[]12,34 （B ）[]38,34 （C ）[]12,1 （D ）[]34,1 9．【2013大纲版】已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB ⋅=，则k =（ ）（A ）12 （B （C （D ）210．【2013北京】若双曲线22221x y a b-= ）（A ）2y x =± （B ）y = （C ）2y x =± （D ）2y x =11．【2013北京】已知抛物线1C :()2102y x p p =>的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年江西（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++ B．C．D．【答案】B2 ．（2013年福建（理））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年广东省（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =【答案】B4 ．（2013年新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年浙江（理））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年天津（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p = （ ） A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12BCD ．2【答案】D11．（2013年北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x =±D．y x = 【答案】B12．（2013年山东（理））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A．B．C．D．【答案】D13．（2013年新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D14．（2013年新课标Ⅱ卷（理））设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A．4B1C．6-D【答案】A 二、填空题16．（2013年江苏卷）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】x y 43±= 17．（2013年江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________ 【答案】618．（2013年湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为___.【答案】319．（2013年安徽（理））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞20．（2013年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】321．（2013年福建（理））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________122．（2013年陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】923．（2013年辽宁（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5724．（2013年浙江（理））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题25．（2013年上海高考）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a ba b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±. 故直线l的方程为10x -=或10x -=.26．（2013年山东（理））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114(8x x kk kk x x +=-+=-为定值. 27．（2013年浙江（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y k x k x y =-⇒--=,直线21:10l y x x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆==⨯==++++23232==≤=++252k k =⇒=⇒=,此时直线1:12l y x =±-28．（2013年重庆（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率2e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】29．（2013年安徽（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： . (Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .30．（2013年新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 31．（2013年天津（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】32．（2013年新课标Ⅱ（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】33．（2013年陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)34．（2013年辽宁（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】35．（2013年大纲版（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】。

圆锥曲线方程一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x 轴上：.ii.ii. 中心在原点，焦点在轴上：.②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c.③离心率.④通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ )0(12222b a by a x =+y )0(12222 b a bx a y =+)0,0(122 B A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=)10( e ac e =),(2222a b c a b d -=),(2ab c 的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- )0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-)0(122 AC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2±=0=±b ya x 02222=-b y a x y x ,ace =a b 22a ce b a c =+=,22212222=-by a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2=e三、抛物线方程.3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：四、圆锥曲线的统一定义..：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质0 p（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D1．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．4B ．12C ．2D 【答案】C2．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y= (X-1)或y=-(x-1)C ．y= (x-1)或y=- (x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【答案】C3．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．．4【答案】C4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =± 【答案】C5．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B6．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D7．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）A ．．2C ．1【答案】D8．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D9．（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】C10．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．67【答案】B11．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 【答案】A12．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M-,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2CD ．2【答案】D13．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 【答案】C14．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=,当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2D ．【答案】D15．（2013年高考安徽（文））直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C16．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ）A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:3【答案】C17．（2013年高考山东卷（文））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M 处的切线平行于的一条渐近线,则=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D18．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是）A ．2B ．3C ．32D ． 62【答案】D ． 二、填空题19．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.【答案】13+（第9题图）20．（2013年高考陕西卷（文））双曲线的离心率为________.【答案】21．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】4422．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______. 【答案】323．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-24．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-25．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -= 三、解答题26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;221169x y -=45(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点,求|MN|的最小值.27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C 的方程 (II)A,B 为椭圆C 上满足的面积为的任意两点,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设,求实数的值.28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.29．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AF AM AN =⋅,求圆C 的半径.31．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与(I)求,;a b ;(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为, 过点F 且与x (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2 ,在Y 轴上截得线段长为2 .(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m nλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.第22题图(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.40．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.。

最新圆锥曲线高考题汇总一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）A ．4 B ．12C ．2D ．23 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为 （ ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．45 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22 C ．1D ．27 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）A ．B ．2CD ．19 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．6712．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2C D ．213．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >14．（2013年高考安徽（文））直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．15．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= （ ）A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:3二、填空题16．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.17．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.18．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.19．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______.20．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.21．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________22．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.三、解答题23．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2, (I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值.24．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.25．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N . (1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AF AM AN =⋅,求圆C 的半径.26．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.27．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.28．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , 过点F 且与x 轴垂(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.29．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在Y 轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.30．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由32．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一选择题1.陕西11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 9 .【答案】9【解析】9161694522=⇒==⇒=m mab a c2.安徽理（13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。

若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取值范围为___ ),1[+∞_____。

【答案】 ),1[+∞【解析】 x x C m m B m m A ⊥-则根据题意不妨),,(),,(),,(222)()12(0)(),(),(42224222222222=+++-⇒=-+-=-+⋅--x x m x m m x m x m x m x m x m x ),1[10)1(-222222+∞∈+=⇒=--x m x m x m ）（.所以),1[+∞∈a3.新课标I ，4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =± D .y x =±【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 4.新课标I 10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 236＝1 B 、x 236＋y 227＝1C 、x 227＋y 218＝1 D 、x 218＋y 29＝1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b+= ②① ②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D. 5.新课标II 11、设抛物线)0(22≥=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，｜MF ｜＝5，若以MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ）（A ）x y 42= 或x y 82= （B ）x y 22= 或x y 82= （C ）x y 42= 或x y 162= （D ）x y 22= 或x y 162= 【答案】C6.四川6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B（C ）1 （D）答案B解析; 、抛物线24y x =的焦点坐标为，双曲线2213y x -=的渐近线为,d ==27.山东11、抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)16 (B) 8 (C) 3 (D) 38.全国（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案B9.天津(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3答案C 解析：10.全国（11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B ）2（C （D ）2 【答案】D 【解析】设A 由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB的方程为y=K （x-2），与抛物线联立得=， =−16⋯由得=0解得k=211.福建3.双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ）A.52 B.54 C.552 D.55412.北京7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.8313.北京6.若双曲线22221x y a b-=A. y =±2xB. y =C.12y x =±D.2y x =±14.广东7.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A. 2214x = B. 22145x y -= C. 22125x y -= D.2212x -=解析：由题意得33,2,2c c e a b a ===∴== 故C 的方程是：B. 22145x y -= 15.16.17.二填空题18.上海9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________答案解析：如图： AB=4⟹OB=2，又4CBA π∠=，BC 所以三角形OCB 为直角三角形所以C 点坐标为代入椭圆方程得 又a=2所以⟹⟹2c=19.[江苏] 3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 20.[江苏] 9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．21.[江苏]12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，x右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ． 【答案】33 【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝cb 2，由等面积得：1d ＝a bc。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 过点 ( 2,0)引直线 l 与曲线 y 1 x 2 订交于 A,B 两点 ,O为坐标原点 , 当 AOB 的面积取最大值时, 直线 l 的斜率等于（ ）3B ．3 C ． 3D ．3A ． y EB BC CD333【答案】 B2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））双曲线x 2y 214的极点到其渐近线的距离等于（）A ．2B ．4C ．2 5D ．4 555 55【答案】 C3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原点3的双曲线 C 的右焦点为F 3,0, 离心率等于 2 ,在双曲线C的方程是（）x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A ．41B ． 41C ． 21D ．215555【答案】 B4 ．（ 2013 年高考新课标 1（理））已知双曲线 C :x 2 y 2 0,b 0 ) 的离心率为5 ,a2b 21 ( a2则 C 的渐近线方程为（）A ． y1 x B ．y1 x C ． y1 x D ． yx432【答案】 C5 ．（2013 年高考湖北卷（理））已知 0则双 曲线x 2 y 2与4 ,C 1 :cos 2sin 21y 2 x 2C 2 :sin 2sin 2tan 21的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】 D6 ．（ 2013 年高考四川卷（理） ） 抛物线 y24x 的焦点到双曲线x 2 y 21的渐近线的距离3是1B．3D．3A．C．122【答案】 B7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,F1, F2是椭圆C1:x2y21与双曲线 C 2的公共焦点, A, B 分别是 C1, C2在第二、四象限的公共4点. 若四边形AF1BF2为矩形 , 则C2的离心率是yAO F2x1FB （第 9 题图）A．2B．336 C．D．22【答案】 D8．（2013年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线a2b21(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y 2 px( p0)的准线分别交于,x2y22 A B 两点,O 为坐标原点 .若双曲线的离心率为 2, △的面积为3,则p=AOBA． 1B．3C． 2D． 3 2【答案】 C9 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））椭圆C : x2y21的左、右极点分别为A1, A2,点P在C上且直线 PA2的斜率的取值范围43是2, 1 ,那么直线PA1斜率的取值范围是1333C．1，D．3，A．，B．，24842141【答案】 B10．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））已知抛物线 C : y28x 与点M2, 2 ,过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于A, B两点,若（）（）（）（）MA MB0 , 则 k（）1B ．2C ．2D ． 2A ．22【答案】 D11．（ 2013 年高考北京卷（理） ） 若双曲线x 2y 2 1 的离心率为3 , 则其渐近线方程为（）a 2b 2A ． y =±2xB ． y =2xC ． y1 x D ． y2 x22【答案】 B12 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案）） 已知抛物线y1 x2 0)的焦点与双曲线 C 2 : x 2 y 21C 1于第一C 1 :2 p( p3的右焦点的连线交象限的点M . 若C 1在点 M 处的切线平行于C 2的一条渐近线 , 则p（）332 3 43A ．16B ． 8C ．3D ． 3【答案】 D13．（ 2013 年高考新课标1（理）） 已知椭圆 x 2y 21(a b0) 的右焦点为 F (3,0) ,E :2b 2a过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ,则E 的方程为（）x 2 y 21B ．x 2 y 2 C ．x 2 y 21 x2 y 2 1A ．36 3612718D ．9452718【答案】 D14．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 设抛物线C : y 22 px( p 0)的焦点为 F ,点M 在C 上,MF5 , 若以 MF 为直径的圆过点(0,2) , 则 C 的方程为（ ）A ． y 2 4 x 或 y 2 8xB ． y 22x 或 y 2 8xC ． y 24x 或 y 216 xD ． y 22 x 或 y 2 16 x【答案】 C15．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）已知 A 、B 为平面内两定点 , 过该平面内动点2M 作直线 AB 的垂线 ,垂足为 N .若MN AN NB ,此中 为常数 ,则动点 M 的轨迹不行能是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】 C16．（2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆22229, M , N 分别是圆 C 1,C 2 上的C 1 : x 2 y 31, 圆 C 2 : x 3 y 4动点 , P 为 x 轴上的动点 , 则 PM PN 的最小值为（）A ．52 4B ．171C ．622D ． 17【答案】 A二、填空题17．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD 版含附带题） ）双曲线x 2 y 2 1的两条渐近线的方程为 _____________.169【答案】 y3 x418 ．（ 2013 年高考江西卷（理）） 抛物线 x 22 py( p 0) 的焦点为F, 其准线与双曲线x 2 y 2 1订交于 A,B 两点, 若ABF 为等边三角形 , 则 P _____________33【答案】 62219．（ 2013 年高考湖南卷 （理））设 F 1 , F 2是双曲线 C : x2y2 1(a 0, b 0) 的两个焦点 ,Pa b是C 上一点,若 PF 1 PF 26a, 且 PF 1 F 2 的最小内角为 30, 则 C 的离心率为 ___.【答案】320．（ 2013 年高考上海卷（理））设 AB 是椭圆的长轴,点 C 在上,且 CBA, 若4AB=4, BC2 , 则 的两个焦点之间的距离为 ________【答案】46 .321．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a 交抛物线 yx 2 于 A, B 两点 . 若该抛物线上存在点 C , 使得ABC 为直角 , 则 a 的取值范围为 ___ _____.【答案】 [1, )22．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题） ）抛物线 yx 2 在 x 1处的切线与两坐标轴围成三角形地区为D ( 包括三角形内部与边界). 若点 P( x, y) 是地区 D 内的随意一点 , 则 x2 y 的取值范围是 __________.【答案】12,223．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯 WORD 版含附带题） ）在平面直角坐标系xOy 中 , 椭圆 C 的标准方程为x 2 y 2 1( a 0,b0) , 右焦点为a2b2F , 右准线为 l , 短轴的一个端点为 B , 设原点到直线BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为d 2 , 若 d 26d 1 , 则椭圆 C 的离心率为 _______.【答案】3324 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））椭圆: x 2 y 2 1(a b 0) 的左 . 右焦点分别为 F 1 , F 2 , 焦距为 2c, 若直线 y3( x c)a 22b与椭圆的一个交点M 知足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________【答案】3 125．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 双曲线x 2y 21的离心率为 5,则 m 等于 ___9_____.16 m4【答案】 926．（2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆x 2 y 2F , C 与过原点的直线订交于A,B 两点 , 连结C :2b 2 1(a b 0) 的左焦点为aAF , BF , 若 AB 10, AF 6,cos ABF4 e= ______.,则C 的离心率 【答案】55727 ．（ 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 ( 含 答 案 ) ） 抛 物 线 y 28x 的 准 线 方 程 是_______________【答案】 x228．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题） ）在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) ,P是函数y1( x 0 ) 图象上一动点 , 若x点 P，A 之间的最短距离为2 2 ,则知足条件的实数 a 的全部值为_______.【答案】1或1029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设F为抛物线C : y24x 的焦点,过点 P(1,0) 的直线l交抛物线C于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若【答案】三、解答题| FQ | 2 ,则直线的斜率等于________. 130．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）此题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9 分 .已知椭圆C 的两个焦点分别为F1( 1 0)F2(1 0),短轴的两个端点分别为B1 B2，、，、(1)若 F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2) 若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线 l 与椭圆 C 订交于P、Q两点,且 F P FQ ,11求直线 l 的方程.[ 解 ](1)(2)【答案】 [ 解 ](1)设椭圆 C 的方程为x2y21(a b 0) .a2b2a2b, 解得a24,b21依据题意知b21a233故椭圆 C 的方程为x2y21. 4133(2) 简单求得椭圆C的方程为x2y21. 2当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x1, 不切合题意 ;当直线的斜率存在时, 设直线l的方程为y k ( x1) .y k( x 1)由x 2得 (2 k21)x 2 4k 2 x 2(k21) 0.y 2 12设P(x 1，y 1 )，Q( x 2，y 2 ) , 则x 14k 2， 2( k x 22x 1 x 22k2k 121)2， ， ，，1 F 1 P ( x 1 1 y 1 ) FQ 1( x 2 1 y 2 )因为 FP FQ ,因此 FPFQ 0 , 即1111(x 1 1)( x 2 1) y 1 y 2 x 1 x 2 (x 1x 2 ) 1 k 2 ( x 1 1)(x 2 1)(k 2 1)x 1 x 2 (k 2 1)(x 1 x 2 ) k 2 17k 2 1 0 ,2k21解得 k 21 , 即 k 7 .7 7故直线 l 的方程为 x7 y1 0 或 x7y 1 0 .31．（ 2013 年高考四川卷（理）） 已知椭圆 C x 2 y 2 1,( a b 0) 的两个焦点分别为:b 2a 2F 1 ( 1,0), F 2 (1,0) , 且椭圆 C 经过点 P( 4 , 1) .3 3 ( Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率 ;( Ⅱ) 设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点 , 点 Q 是线段 MN 上的点 , 且211 2, 求点 Q 的轨迹方程 .22|AQ| |AM | |AN |2 2 2 2【答案】 解 :2a PF 1 PF 24 1 1 4 1 1 2 23333因此 , a2 .又由已知 , c1,因此椭圆 C 的离心率 ec1 2a22由知椭圆 C 的方程为x 2y 2 1.2设点 Q 的坐标为 (x,y).(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时 , 直线 l 与椭圆 C 交于 0,1 , 0, 1 两点 ,此时 Q 点坐标为0,23 55(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时 , 设直线 l 的方程为 ykx 2 .因为 M , N 在直线 l 上 , 可设点 M , N 的坐标分别为 (x 1, kx 12),( x 2 , kx 2 2), 则22(1 k 2 ) x 2 2 .22(1 k 2 ) x 2.AM(1 k 2 )x 12 , AN 又 AQx 2y 2由211 , 得222AQAMAN211, 即1 k2 x 2 1 k 2 x 121 k2 x 22 2 1 1 x 1 x 2 22x 1x 2①x2x 12x 22x 12 x 22将 y kx2 代入 x 2y 2 1中,得22k 2 1 x 2 8kx 6②由8k 24 2k216 0, 得 k23 .8k6 2由②可知 x 1x 2, x 1x 2,2k 2 1 2k 218 1 代入①中并化简 , 得 x 2 3③10k 2 y2因 为 点 Q 在 直 线 yk x 2 上 ,,代入③中并化简,得所 以 kx10 y 2 3x 2 18 .2由③及 k23 ,可知 0 x 23 , 即 x6,00, 6 .2222又0,23 5知足10 y23x218 , 故 x6 ,6 .252 2由题意 ,Q x, y 在椭圆 C 内部 , 因此 1 y1,又由 10 y 22有18 3x 2y 29,9且1y 1, 则 y1,23 5 .25 425所以点Q的轨 迹方程是1 y0 22x 23其,1 8中 , x6 , 6, y1,23 52 22532．（2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆x 2 y 2 1 (a b 0 )的左、右焦点分别是F , F , 离心率为3,过F 且垂直于 xC :2 b 2 12 1a2轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 ;( Ⅱ) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 连结 PF 1 , PF 2 , 设 F 1PF 2 的角均分线PM 交 C 的长轴于点 M (m,0) , 求 m 的取值范围 ;( Ⅲ) 在( Ⅱ) 的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点 , 设直线 PF 1, PF 2 1 1 的斜率分别为 k 1 , k 2 , 若 k 0, 试证明为定值 , 并求出这kk 1kk 2个定值 .x 2 y 21b 2 【答案】 解:( Ⅰ) 因为c 2a 2b 2 , 将xc 代入椭圆方程 a 2 b 2y得a2b 2 1c 3a2b 2e2由题意知, 即a又a因此a2 , b 1x 2 y 2 1因此椭圆方程为4( Ⅱ) 由题意可知 :PF 1PM= PF 2PM , PF 1PM = PF 2 PM, 设 P(x 0 , y 0 ) 其|PF 1||PM || PF 2 ||PM | |PF 1| |PF 2 |中 x 02 4 , 将向量坐标代入并化简得 :m( 4x 0216) 3x 03 12 x 0 , 因为 x 024 ,因此 m3x 0 , 而 x 0 ( 2,2) , 因此 m( 3,3)42 2(3) 由题意可知 , l 为椭圆的在 p 点处的切线 , 由导数法可求得 , 切线方程为 :x 0 x y 0 y 1 , 因此 k x 0, 而 k 1y 0 , k 2 y 0,代入11 中得44 y 0x3x3kk 1 kk 21 1 4(x3x3)8为定值 .kk 1 kk 2x 0x 0233 ．（ 2013 年高考上海卷（理）） (3 分 +5 分 +8 分 ) 如图 , 已知曲线 C 1 :xy 21 , 曲线2,P 是平面上一点 , 若存在过点P 的直线与C 1 ,C 2 都有公共点 , 则称 P 为C 2 :| y | | x | 1“C— C 型点”.12(1) 在正确证明 C 1 的左焦点是“C 1— C 2 型点”时 , 要使用一条过该焦点的直线 , 试写出一条这样的直线的方程( 不要求考证 );(2) 设直线 y kx 与 C 2 有公共点 , 求证 | k | 1, 从而证明原点不是“C 1—C 2 型点”;(3) 求证 : 圆 x2y21内的点都不是“C 1— C 2型点”.2【答案】:(1)C 1的左焦点为 F (3,0) ,过F 的直线 x3 与1交于( 3,2C) ,2与 C 2 交于 ( 3, ( 3 1)) , 故 C 1 的左焦点为“C 1-C 2 型点” , 且直线能够为 x3 ;2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word 版(2) 直线 y kx 与 C 2 有交点 , 则y kx(| k |1)| x | 1, 若方程组有解 , 则一定 | k | 1;| y | | x | 1直线 ykx 与 C 有交点 , 则2y kx(1 2k 2)x 2 2,若方程组有解 , 则一定 k 21x 22 y 222故直线 ykx 至多与曲线 C 1 和 C 2 中的一条有交点 , 即原点不是“C 1-C 2 型点” .(3) 明显过圆 x 2y 2 1 内一点的直线 l 若与曲线 C 1 有交点 , 则斜率必存在 ;2依据对称性 , 不如设直线 l 斜率存在且与曲线 C 2 交于点 (t, t1)(t0) , 则l : y (t 1) k( x t )kx y (1 t kt ) 0直线 l 与圆 x2y 21 内部有交点 , 故 |1t kt | 22k 2 12化简得 ,(1 t tk) 2 1 (k 2 1) ............①若直线 l2与曲线 C 有交点,则1y kx kt t 112222x y2(k ) x 2k (1 t kt) x(1 t kt) 11224k 2 (1 t kt)24(k21)[(1 t kt) 2 1] 0(1 t kt)22(k 2 1)2化简得 , (1 t kt ) 2 2(k 2 1) .....②由①②得 ,2(k 2 1) (1 t tk) 2 1 (k 2 1)k 212但此时 , 因为 t0,[1 t(1 k )] 21,1(k 2 1) 1, 即①式不建立 ; 2当 k 21 时 , ①式也不建立2 y 21综上 , 直线 l 若与圆 x 2内有交点 , 则不行能同时与曲线 C 1和 C 2 有交点 ,y 21 2即圆 x 2内的点都不是“C 1-C 2 型点” .2如图 , 在正方形 OABC34（． 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））中, O 为坐标原点 , 点 A 的坐标为 (10,0) , 点 C 的坐标为 (0,10) . 分别将线段 OA 和 AB2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word版十均分 , 分点分别记为A1 , A2 ,....A9和 B1, B2 ,....B9,连结 OB i,过 A i做 x 轴的垂线与 OB i 交于点P i(i N*,1i9).(1)求证 : 点P i(i N*,1i9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E的方程 ;(2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不一样的两点 M , N ,若OCM与OCN的面积比为4 :1,求直线的方程.【答案】解:( Ⅰ) 依题意 , 过A i(i N*,1i9) 且与x轴垂直的直线方程为 x iB i (10,i ) ,直线 OB i的方程为 y i x10设 P i坐标为 ( x, y) ,由x iy1x2, 即x210 y , y得 :i x1010P i (i N* ,1i9)都在同一条抛物线上, 且抛物线E方程为x210y ( Ⅱ) 依题意 : 直线的斜率存在 , 设直线的方程为y kx10由y kx 10得 x210kx1000x210y此时100k 2 +4000, 直线与抛物线E 恒有两个不一样的交点M , N设:M ( x1, y1) N (x2 , y2 ) ,则x1x210k x1x2100SOCM 4SOCN x1 4 x2又x1 x2 0 ,x14x2分别带入y kx103 x210 y, 解得k2直线的方程为y 3x+10 ,即3x 2 y200 或3x+2 y200 235．（ 2013 年高考湖南卷（理））过抛物线E : x2 2 py( p0) 的焦点F作斜率分别为 k1 , k2的两条不一样的直线l1, l2,且 k1k2 2 , l1与 E 订交于点A,B, l2与E订交于点 C,D. 以 AB,CD2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word 版为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心 ) 的公共弦所在的直线记为 l .(I) 若 k 1 0, k 20,证明; FM FN2P 2 ;(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为7 5 , 求抛物线 E 的方程 .5【答案】解:( Ⅰ)F (0, p).设 ( , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), ( x 4 , y 4 ), M ( x 12 , y 12 ), N ( x 34 , y 34 )，2 A x 1 B Dp,与抛物线 E 方程联立，化简整理得 ：x 2直线 l 1方程： yk 1 x 2 pk 1xp 22x 1 x 22k 1 p, x 1 x 2p2x12x 1 2 x 2 k 1 p, y 12k 1 2 p p FM (k 1 p, k 1 2 p)x 1x 2p2 同理, x34 k 2 p, y 34 k 22 p FN (k 2 p, k 22 p) .2 2FM FN k k p 22 2 p 2 p 2k k (k k 1)2 k k 2 21 1 12 1k 1 0, k 2 0, k 1 k 2,2 k 1 k 22 k 1k 2 k 1k 2 1, FM FN p 2 k 1k 2 (k 1k 2 1) p 2 1 (1 1) 2 p因此 , FM FN 2 p2建立 . ( 证毕 )( Ⅱ)设圆 M 、 N 的半径分别为 r 1, r 2 r 1 1 [( p y 1 ) ( p y 2 )] 1 [ p 2(k 1 2 p p)] k 12 p p,2 2 2 22r 1 k 12 p p,同理 2r 1k 22 p p,设圆 M 、 N 的半径分别为r 1, r 2 . 则 M 、 N 的方程分别为 (x x 12 )2 ( yy 12) 2 r 12 ,(x x 34 )2 ( y y 34 )2r 2 2，直线 l 的方程为：2( x34x ) x 2( y y ) y x2x 2 y2 y2 - r 2 r2 0 .123412 12 341234122 p(k 2 k 1 )x 2 p(k 2 2 k 1 2 ) y (x 12 x 34 )( x 12 x 34 ) ( y 12y 34 )( y 12 y 34 ) (r 2 - r 1)(r 2 r 1) 02 p(k 2 k ) x 2 p(k2 2 k 2 ) y 2p 2 (k k 2 ) p 2 ( k 2 k 2 )(k 2 k2 1) p 2 (k 2k 2 )( k 2 k2211112122112x 2 y p p(k 1 2 k 2 2 1) p(k 12 k 2 2 2) 0x 2 y 0x 12 2 y 122k 1 2k 1 1 2( 1 )2( 1) 17 p7点 M ( x 12 , y 12 )到直线 l 的距离 d |p ||p4 45|5558 55p8 抛物线的方程为 x2 16 y .36．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯 WORD版））如图,点P(0, 1)是椭圆 C1: x2y21( a b0) 的一个顶点,C1的长轴是圆 C 2 : x2y2 4 的直a 2b2径 . l1, l2是过点 P 且相互垂直的两条直线, 此中l1交圆C2于两点 , l2交椭圆C1于另一点D(1) 求椭圆C1的方程 ; (2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程.yl1D BO xPAl2（第 21 题图）【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得b1,且2a 4 a2, 因此椭圆的方程是x2y2 1 ;4 ( Ⅱ) 因为直线l1l2,且都过点 P(0,1) ,因此设直线 l1 : y kx1kx y 10 ,直线l2 : y 1x1x k y ,0所k以圆心(0,到直线kl1 : y k1x k x1的距y离0为d1, 因此直线l1被圆 x2y241k 2所截的弦 AB24 d 2234k 2;1k 2x ky k02222由x y2k x4x8kx0,因此14x D x P8k|DP |(11)64k 28k21,因此k 24k2(k 24) 2k 24SABD 1|AB||DP |1 2 34k 28k2184k 23 4 84k 23 22 1 k 2k24k 244k 2 3 134k 232133213321613 , 34k23213134k234k 234k23当4k 2313k 25k 10时等建立,此时直线4k2322l1 : y10 x1237．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））如题 (21)图, 椭圆的中心为原点O ,长轴在 x 轴上,离心率 e 2过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于,2A,A 两点,AA 4 .(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆订交于不一样的两点P,P ,过 P,P 作圆心为 Q的圆,使椭圆上的其他点均在圆Q外.若PQ PQ,求圆 Q的标准方程.【答案】38．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆x2y2的焦点在 x 轴上1E :a21a2( Ⅰ) 若椭圆E的焦距为 1, 求椭圆E的方程 ;( Ⅱ) 设F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y 轴与点Q,而且F1P F1Q ,证明:当 a变化时 , 点p在某定直线上 .【答案】解: ( Ⅰ)a21a 2 ,2c1, a 21 a 2 c 2 a 25 ，椭圆方程为：8x28x21853.( Ⅱ)设F1(c,0),F2(,0),( ,),Q(0,), 则F2 P（,),QF2( ,)c P x y m x c y c m .由 1a20a(0,1)x(0,1), y(0,1) .F1P( x c, y), F1Q(c, m).由F2 P // QF2 , F1Pm(c x)ycF1Q得：c)my0c( xx 2y 21a 21 a 2( x c )( x c )y 2x 2y 2 c 2 .联立x2y 2 c 2解得2122a a cx22x 212 y 2y 21x 2( y1)2.x ( 0,1), y(0,1)x 1 y y 2 1 x 2因此动点 P 过定直线x y 1 0.39．（ 2013 年高考新课标1（理））已知圆M:( x 1)2y21,圆N: ( x1)2y29,动圆P 与 M 外切而且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求 C的方程 ;( Ⅱ)l是与圆P , 圆M都相切的一条直线, l与曲线 C 交于 A,B 两点 , 当圆 P 的半径最长时 , 求 |AB|.【答案】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径r1=1, 圆N的圆心为N (1,0),半径r2=3.设动圆 P 的圆心为 P (x,y),半径为 R.( Ⅰ) ∵圆P与圆M外切且与圆N内切 , ∴|PM|+|PN|=(R r1 ) (r2 R) = r1r2=4,由椭圆的定义可知 , 曲线 C 是以 M,N 为左右焦点 , 场半轴长为 2, 短半轴长为3的椭圆( 左极点除外 ), 其方程为x2y21(x 2) . 43( Ⅱ) 对于曲线 C 上随意一点 P ( x , y ), 因为 |PM|-|PN|= 2R 2≤2, ∴R ≤2,当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时 ,R=2.∴当圆 P 的半径最长时 , 其方程为 ( x 2)2y 24 ,当 l 的倾斜角为 900 时 , 则 l 与 y 轴重合 , 可得 |AB|= 2 3 .当 l 的倾斜角不为900时 , 由 r 1 ≠R 知 l 不平行 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则| QP | = R,|QM |r 1 可求得 Q(- 4,0),∴设 l : yk (x 4) , 由 l 于圆 M 相切得| 3k | 2 .1, 解得 k41 k 2当 k =2 时 , 将 y 2 x 2 代入 x 2y 2 1(x2) 并整理得 7x 28x8 0 ,444 3解得 x 1,2 = 4 62, ∴|AB|= 1k 2 | x 1x 2 | = 18 .77当 k =-2 时 , 由图形的对称性可知 |AB|= 18 ,47综上 ,|AB|=18或 |AB|= 2 3 .740．（2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆x 2y 21(ab 0) 的左焦点为 F , 离心率为 3, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆a 2b 23截得的线段长为4 3 .3( Ⅰ) 求椭圆的方程 ;(Ⅱ) 设 , 分别为椭圆的左右极点 , 过点F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 , D 两点 .A BC若 AC ·DB AD ·CB 8 , 求 k 的值 .【答案】41（．x2+y231 2013 年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2b2 =1(a>b>0) 经过点 P(1,), 离心率 e=,a22直线 l 的方程为 x=4 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 订交于点 M ,记PA, PB, PM 的斜率分别为k1 ,k2 ,k3. 问:能否存在常数, 使得k1+k2=k3 . ?若存在求的值 ; 若不存在 , 说明原因 .【答案】 解 :(1) 由 P(1,3) 在椭圆上得 ,1 9 1①2a 2 4b 2依题设知 a 2c , 则 b 23c 2②②代入①解得 c 21,a 2 4, b 2 3 .故椭圆 C 的方程为x 2y 2 1.43(2) 方法一 : 由题意可设 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y k(x 1)③代入椭圆方程 3x 24y 2 12 并整理 , 得 (4 k 2 3)x 2 8k 2x 4( k 23) 0,设 A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) , 则有x 18k 24( k 2 3) x 23, x 1 x 2④4k 2 4k 2 3在方程③中令x 4 得 , M 的坐标为 (4,3k) .y 13y 2 3 3k 3 1 .从而 k 12, k 22, k 32 kx 1x 241112注意到 A,F,B 共线,则有 kkAFk BF , 即有 y 1 y 2 k .1x 1 x 2 1y 13 y 23 y 1y 2311因此 k 1k 222)x 1 1x 2(1 x 21 x 1 1 x2 1 2 x 122k3x 1 x 2 2⑤2 x 1 x 2( x 1x 2 ) 18k 234k 22④代入⑤得 k 1k 2 2k32k 1 ,2 4(k 2 3)8k 2114k 2 34k 2 3又 k 3, 因此 k 1k 22k 3 . 故存在常数 2 切合题意 .k2方法二 : 设 B(x 0 , y 0 )( x 0 1) , 则直线 FB 的方程为 :yy 0 ( x 1) ,x 0 1令 x 4 , 求得 M (4,3 y 0) , x 0 1从而直线 PM 的斜率为 k 32 y 0 x 0 1 ,2( x 0 1)yy 0 (x 1)5x 03y 0 联立x 0 1 8) ,y 2 ,得A(,5x 2 12 x 0 5 2x 043则直线 PA 的斜率为 : k 12 y 0 2x 0 5 , 直线 PB 的斜率为 : k 22 y 03 ,2( x 0 1)2( x 01)因此 k 1 k 22 y 0 2x 0 5 2 y 0 32y 0x 0 12( x 0 1) 2( x 0 1)x 0 12k 3 ,故存在常数2切合题意 .WORD 版）） 已知抛物线 C 的42．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯极点为原点 , 其焦点 F 0, cc 0 到直线 l : x y 2 0的距离为32.设P 为直线2l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 此中 A, B 为切点 .( Ⅰ) 求抛物线 C 的方程 ;( Ⅱ)当点 P x 0 , y 0 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB 的方程 ;( Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上挪动时 , 求 AFBF 的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)依题意 , 设抛物线 C 的方程为 x 24cy , 由 0 c 2 3 2 联合 c 0 ,22解得 c 1 .因此抛物线 C 的方程为 x 24 y .( Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 24y , 即 y1 x2 , 求导得 y 1 x42设 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ( 其 中 y 1x 12 , y 2 x 2 2 ), 则切线 PA,PB 的斜率分别为441 1 x 1 ,x 2 ,22所 以 切 线 PA 的 方 程 为 y yx 1 x x ,即 yx 1 x x 12y 1 , 即1 2 1 2 2x 1 x 2y 2 y 1同理可得切线PB 的方程为 x 2 x 2 y 2 y 2 0因为切线 PA, PB 均过点 P x , y0, 因此 x 1x 02 y 0 2y 10 , x 2 x 0 2y 02y 2因此x 1 , y 1 , x 2 , y 2 为方程 x 0 x 2 y 0 2 y 0 的两组解 .因此直线 AB 的方程为 x 0 x 2 y 2y 0 0 .( Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF y 1 1, BF y 2 1 ,因此AF BFy 1 1 y 2 1 y 1 y 2 y 1 y 21x 0 x2 y 2y 02 y 0 x0 2yy 00 联立方程4y, 消去 x 整理得 y22x 2由一元二次方程根与系数的关系可得y 1y 2x 0 2 2y 0 , y 1 y 2 y 0 2因此 AF BF y yy y 1 y2x2 2 y 11 2120 0又点 P x , y0 在直线 l 上 , 因此 x 0y 0 2 ,2因此 y 02x 022 y 0 1 2y 022 y 05 2 y 01922因此当 y 01 时 , AF BF 获得最小值 , 且最小值为 9 .2243．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 平面直角坐标系 xOy 中 , 过椭圆 M:x 2y 21(a b0) 的右焦点 F 作直 x y3 0交M 于a 22bA,B 两点, P 为 AB 的中点 , 且OP 的斜率为1 .2(Ⅰ)求 M 的方程 ;(Ⅱ)C,D 为 M 上的两点 , 若四边形 ABCD 的对角线 CDAB , 求四边形 ABCD 面积的最大值 .【答案】44．（ 2013 年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆C1与C2的中心在座标原点O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为2m , 2n m n ,过原点且不与x 轴重合的直线l 与 C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A ,B ,C ,D .记m BDM 和 ABN 的面,n积分别为 S 1 和 S 2 .(I) 当直线 l 与 y 轴重合时 , 若 S 1S 2,求 的值;(II) 当 变化时 , 能否存在与坐标轴不重合的直线l , 使得 S 1 S 2 ?并说明原因 .yA BMOCDN x第 21题图m11 nm 1S 1S 2 mnm n ,1【答案】 解 :(I)n解得 :2 1( 舍去小于1的根)(II) 设椭圆 C 1 :x2 2, C 2 :x2 22y2 1 am 2y 2 1, 直线 l : kyxa mankyy2xa 2m 2k 2y21y Aamx 2 1 2 222 2a 2m 2a mam k同理可得 , y Bana 2n 2k2又BDM 和 ABN 的的高相等S 1 BD y B y D y B y A S 2AB y Ay By Ay B假如存在非零实数k 使得 S 1S 2,则有1 y A1 y B ,222a 222 121即 :11 , 解得 k 2a 24n 2 3a 22n 2k 2n 2 k 2当1 2 时, k 20 ,存在这样的直线l ;当 11 2 时, k 20 ,不存在这样的直线 l.45．（ 2013 年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:x2y21上的三个点,O是坐标原4点.(I)当点 B 是 W的右极点 , 且四边形 OABC为菱形时 , 求此菱形的面积 ;(II)当点 B 不是 W的极点时 , 判断四边形 OABC能否可能为菱形 , 并说明原因 .【答案】:(I)x221的右极点B的坐标为(2,0).因为四边形 OABC为菱形 ,解椭圆 W:y4因此 AC 与 OB 相互垂直均分. 因此可设 A(1, m ),代入椭圆方程得1m2 1 ,即43.112 | m |3.m因此菱形 OABC的面积是| OB | | AC |2222(II)假定四边形 OABC为菱形 . 因为点 B 不是 W的极点 , 且直线 AC可是原点 , 因此可设AC的方程为y kx m( k0, m0) .由x2 4 y24消去 y 并整理得(14k 2 ) x28kmx4m240 .y kx m设 A(x1,y1) ,C ( x2,y2) , 则x1x214km ,y1y2kx1x2m m. 24k 22214k 2因此 AC的中点为 M(4km,m).14k 214k 21因为M为 AC和 OB的交点 , 因此直线OB的斜率为.4k1因为 k() 1 ,因此AC与OB不垂直.因此 OABC不是菱形 , 与假定矛盾 .4k因此当点 B 不是 W的极点时 , 四边形 OABC不行能是菱形 .46．（ 2013 年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在 y 轴上截得的弦MN的长为8.( Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;( Ⅱ )已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线l与轨迹 C交于不一样的两点P,Q,若 x 轴是PBQ 的角均分线,证明直线 l过定点 .【答案】解:( Ⅰ)A(4,0),设圆心C(x, y), MN线段的中点为 E，由几何图像知 ME MN ,CA2CM 2ME 2EC 22（x 4)2y242x2y28x( Ⅱ )点(-1,0),B 设 P(x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ),由题知 y1 y20， y1 y2 0, y128x1 , y228x2.y1y2y1y28( y1y2 ) y1 y2 ( y2y1 ) 0 8 y1 y2 0 x1 1 x2 1y128 y228直线 PQ方程为 : y y1y2y1(x x1 )y y11(8x y1 2 )x2x1y2y1y( y2y1 ) y1 ( y2y1 ) 8x y12y( y2y1 ) 8 8x y 0, x 1因此 , 直线 PQ过定点 (1,0)47 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线C1 : x2 4 y,C2 : x22py p 0, 点M x0 , y0在抛物线C2上,过 M 作C1的切线,切点为 A, B (M为原点O时, A, B 重合于O)x01 2 ,切线 MA.的斜率为 - 1. 2(I)求 p 的值;(II)当 M 在C2上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 . A,B重合于O时,中点为O .【答案】48．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知双曲x 2y 2 F 1，F 2 , 离心率为 3，直线 y 2 与线 C :2b 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为aC 的两个交点间的距离为 6 .(I)求 a, b; ;(II)设过 F2的直线l 与 C 的左、右两支分别订交于A, B 两点,且AF1BF1,证明 : AF2、AB、BF2成等比数列 .【答案】49．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷 ( 含答案 ) ） 此题共有 2 个小题 , 第 1 小题满分 6 分, 第 2小题满分 6 分.已知抛物线 C ：y 24x 的焦点为 F .(1) 点 A 、P 知足 AP 2FA . 当点 A 在抛物线 C 上运动时 , 求动点 P 的轨迹方程 ;(2) 在 x 轴上能否存在点 Q , 使得点 Q 对于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上 ?假如存在 , 求全部知足条件的点Q 的坐标 ; 假如不存在 , 请说明原因 .【答案】(1)设 动 点 P 的 坐 标 为 ( x ，y) , 点 A 的 坐 标 为 (x A ，y A ), 则AP ( x x A ，y y A ) ,因为 F的坐标为 (1，0) , 因此(1， ),FA x Ay A由 AP2FA 得 (x x A ，y y A ) 2( x A 1，y A ) .即x x A 2(x A1)x A2 xy A2 y A解得yy A y代入 y 2 4x , 获得动点 P 的轨迹方程为 y 28 4x .(2) 设点 Q 的坐标为 (t ，0) . 点 Q 对于直线 y2x 的对称点为 Q ( x ，y) ,y 1 x 3 t 则 x t2 解得 5yxty42t5 若 Q 在 C 上 , 将 Q 的坐标代入 y 24x , 得 4t 2 15t 0 , 即 t 0或 t15 .Q , 其坐标为 (0，0) 和 (15，0) .4因此存在知足题意的点4。

圆锥曲线解题方法归纳总结知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d 2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2AB x =-= 或2AB y =- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ②212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：||2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：方法储备1、点差法（中点弦问题） 设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =,A B 两点, O 为坐标原点,当AOB ∆的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．B．C．D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）A．2214x -= B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．2B ．2C ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2 B ．3C ．23D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ）A ．2B ．2CD ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y= C ．12y x =±D．2y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线()211:>02C y x p p=的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A．B． C． D．【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B ．1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】.21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）抛物线2x y=在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】324．（2013年普通高等学校招生统一考试福建）椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于___9_____.【答案】926．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学）抛物线28yx =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程; (2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则 2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+,解得217k =,即7k =±.故直线l 的方程为10x -=或10x -=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =,所以椭圆C 的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q 点坐标为0,2⎛ ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即0,22x ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.又0,2⎛ ⎝⎭满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝⎭. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤,又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,225y ⎛∈- ⎝⎦. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝⎭,1,22y ⎛∈ ⎝⎦ 32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =± 由题意知221b a =,即22a b = 又c e a ==2 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为24x ≠,001200114()8x x kk kk x x +=-+=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”;(3)求证:圆221 2x y+=内的点都不是“C1—C2型点”.【答案】:(1)C1的左焦点为(0)F,过F的直线x=与C1交于(),与C2交于(1))±+,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为x=(2)直线y kx=与C2有交点,则(||1)||1||||1y kxk xy x=⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k>;直线y kx=与C2有交点,则2222(12)222y kxk xx y=⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k<故直线y kx=至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”.(3)显然过圆2212x y+=内一点的直线l若与曲线C1有交点,则斜率必存在;根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(,1)(0)t t t+≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt=+=-⇒-++-=直线l与圆2212x y+=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k+-<+............①若直线l与曲线C1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt tk x k t kt x t ktxy=-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k+-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程; (2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理.)1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、,的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .0))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y k x k x y =-⇒--=,直线21:10l y x x k y k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;（第21题图）由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ∆====++++23232==≤=++当252k k =⇒=⇒=,此时直线1:12l y x =±-37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.【答案】解: (Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m F F QF F m c F y c x F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =. 当k=时,将y =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为过点F 且与x.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ①依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .第21题图45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0), 222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图,抛物线()2212:4,:20C xy C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C(I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程; (2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1)A A FA x y =- ，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A A x xy y=-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。

2013年高考解析分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。

双曲线1C 中，2222s i n ,c o s a b θθ==，所以21c =，离心率为221sin e θ=。

2C 中，2222c o s ,s i n a b θθ==，所以21c =。

所以两个双曲线有相同的焦距，选D.2 ．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．4B ．12C ．2 D ．2【答案】C由已知得，点),(y c P -在椭圆上，代入椭圆的方程，得),(2ab c P -，因为AB ∥OP ，所以OP AB k k =，ac b a b 2-=-，c b =，所以21222222=-==c b c a c e ，22=e ，选C.3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B ）1)y x =-或1)y x =-（C ）1)y x =-或1)y x =- （D ）1)2y x =-或1)2y x =-- 【答案】C抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B（x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2。

2013高考试题解析分类汇编（理数）：圆锥曲线一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45CDC 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）A．2214x -=B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 3 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±C 已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．4 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等D 本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。

双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221cos e θ=。

2C 中，22222sin ,sin tan a b θθθ==，所以22222sin sin tan tan c θθθθ=+=。

第3节 抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程1.（2013浙江理15）设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________. 2.(2013全国新课标卷理11）设抛物线()2:30C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()02，，则C 的方程为（ ）.A. 24y x =或28y x = B. 22y x =或28y x = C. 24y x =或216y x = D. 22y x =或216y x =3.（2013山东理11） 抛物线()211:02C y x p p=>的焦点与双曲线22:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）.A.16 B. 8 C. 3 D. 34.(2013天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点． 若双曲线的离心率为2，AOB △ 则p =（ ）.A ．1B ．32C ．2D ．3 5.（2014 湖南理 15）如图所示，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22y px=()0p >经过C ，F 两点，则ba=________.6.（2015陕西理14）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =________．6．解析 221x y -=的焦点坐标为()，抛物线22(0)y px p =>准线方程为2p x =-，所以2pp -== 命题意图 考查双曲线、抛物线的基本概念.7.（2016全国乙理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知， ，则的焦点到准线的距离为（ ）.A. B. C. D. 7. B 分析 以开口向右的抛物线为例解答，其他开口同理.解析 设抛物线为，圆的方程为，如图所示.设，，点在抛物线上，所以，得，联立①②，解得，即.则的焦点到准线的距离为4 .故选B.8.（2016浙江理9）若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是_______．8. 解析 由题意知，该抛物线的焦点，准线为.因为抛物线上的点C C A B C DE ||AB=DE =C 2468()220y px p =>222x y r +=(0Ax 2p D ⎛-⎝(0A x 22y px =082px =04x p=AB ==①DE ==②216p =4p =C 24y x =M 10M y 9()1,01x =-到焦点的距离等于到准线的距离，所以，所以点到轴的距离为9.9.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 9.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为14x =-. 10.（2017全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．10．解析 由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NM MF =+=.2019年11.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2p (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．811．D 解析 由题意可得：232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =．故选D ． 12.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程；()00,M x y ()00110,9x x --==得My11.解析（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题1.（2014 新课标1理10）已知抛物线C ： 28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF =（ ）.A.72 B. 3 C. 52D. 2 2.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．10 2. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ， ()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=， 所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当1k =±时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ，2AK 垂直x 轴于点2K ，如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义），所以cos AF p AF θ⋅+=， 即1cos p AF θ=-，同理1cos p BF θ=+，所以22221cos sin p pAB θθ==-. 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+，2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =，即2p =，所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥，当π4θ=时取等号，即AB DE +的最小值为16.故选A. 2019年3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与轴的交点为P ．（1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．3.解析 设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =uu u r uu r可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．32代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题1.（2014 新课标2理10）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为（ ）.A.4B. 8C.6332D.94 2.（2014 四川理 10）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）.A ．2B ．3 C．8D3.（2015浙江理5）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不 同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF △与ACF △的面积之比是（ ）． A.11BF AF -- B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++3. 解析 依题意，11BCFB ACF A BC BF S x S AC x AF -===-△△．故选A ．4.（2016天津理14）设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为.过222x pt y pt ⎧=⎨=⎩t 0p >Fl抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为的值为_________.4解析 抛物线的普通方程为，，. 又，则.由抛物线的定义得，所以，则.由，得， 所以即5.（2016上海理20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．（1）求菜地内的分界线的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值． 5.解析（1）不妨设设分界线上任一点为，依题意化简得． （2）因为，所以， 设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，A lB 7,02pC ⎛⎫⎪⎝⎭AF BC E 2CF AF =ACE △p 22y px =,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭7322p CF p p =-=2CF AF =32AF p =32AB p =A x p =||A y //CF AB 2EF CFEA AF==2CEF CEA S S ==△△ACF AEC CFE S S S =+=△△△132p ⨯=p =EFGH EH F 1S 2S 1S 2S F 1S 2S C F O EF F ()1,0C 1S 2S 1S 83M C 1EH M EOMGH 1S (),x y 1x +=y =()01x 剟1M y =2144MMy x ==EH M 3S 3122154S ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭=设五边形面积为，过作交于点，则， 因为，， 所以五边形的面积更接近的面积．6.（2018上海20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线:l x t =，曲线τ：()280,0y x x t y =剟?，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点.（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.6.解析 （1）由题意可知，点B 的横坐标为t ，点F 为抛物线τ的焦点.由抛物线性质可知准线为2x =-，所以点B 到焦点F 的距离为点B 到准线的距离2BF t =+. （2）当3t =时，因为()2,0F ，2FQ =，则1AF =，所以AQ ==，即点Q的坐标为(，所以OQ的中点为3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为线段OQ 的中点在直线FP 上，所以直线FP的方程为)2y x =-，联立)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得23P x =或6P x =（舍去）. 所以()11233223AQP P S AQ x ⎛⎫=⨯⨯-=-= ⎪⎝⎭△.（2）存在.设点200,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00220081628PF y y k y y ==--，因为四边形FPEQ 为矩形，所以200168FQy k y -=，则直线FQ 的方程为EOMGH 4S M 1MM HE ⊥HE 1M 114EOMM M MGH S S S =+梯形梯形151511=1+1++2124244⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13851326S S -=-=411181143126S S -=-=<EOMGH 1S()2001628y y x y -=-，当8x =时，22000016483684y y y y y --=⨯=，所以点Q 的坐标为2004838,4y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为FP FQ FE +=，故点E 的坐标为22000486,84y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.又因为点E 在曲线τ上，所以222000488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得20165y =，因为00y …，所以0y =. 故点P的坐标为25⎛⎝⎭. 7.（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆2+=1(<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．7. 解析（Ⅰ）设，，． 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根． 所以，即1202y y y +=，点M 的纵坐标等于点P 的纵坐标. 24y 00(,)P x y 2111(,)4A y y 2221(,)4B y y PA PB 1y 2y 202014()422y x y y ++=⋅22000280y y y x y -+-=1202y y y +=因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，． 因此，的面积． 因为()220001104y x x +=-<≤，所以．因此，面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦．8. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.8．解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. PM y 120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩2221200013||()384PM y y x y x =+-=-12||y y -=PAB△32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△2200004444[4,5]y x x x -=--+∈PAB △于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或.题型（附） 抛物线（线性规划）1.（2013江苏9）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含 三角形内部和边界）.若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 .。