华师一2012届高二下学期数学期中试卷(理科)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1．复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念.因为复数===,所以复数在复平面内对应的点为(.因为,所以该点位于第四象限.故选D.2．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数的图象,且,则这个正态总体的期望与标准差分别是A.10与4B.10与2C.4与10D.2与10【答案】B【解析】本题主要考查正态密度函数的定义.根据定义可知,总体的均值,即期望方差即,故选B.【备注】正态密度函数,其中分别为总体的期望和标准差.3．函数的大致图象是【答案】B【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.函数,其定义域为,由得;由得在上单调递增,在上单调递减.时取到极大值.又函数的图象在轴的下方.故选B.4．袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次不放回地任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,设所需要的取球次数为,则随机变量的所有可能值为A.1, 2, , 6B.1, 2, , 7C.1, 2, , 11D.1, 2, 3,【答案】B【解析】本题主要考查随机变量的含义.根据题意,如果第一次取出的是白球,则此时为1.因为一共有6个红球,如果前6次取出的都是红球,则第7次一定是白球,因此最大为7,因此的所有可能值为1, 2, ,7.故选B.5．设点P在曲线上,点Q在曲线上,则最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查指数函数、对数函数以及导数的应用.函数与函数互为反函数,因此曲线关于直线对称,所以要使最小,则点P 关于直线对称.设, 点Q到直线的距离为,则,令,(,(x)=(x);当时,(x),所以,所以.故选B.6．若复数,则的值为A. B. C. D.2【答案】B【解析】本题主要考查复数的基本运算.==,∴.故选B.7．已知是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数、,若<,则的大小关系为A.<B.=C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数的应用.设,则,所以在上单调递增,因为,所以,所以即,又,所以,故选A.【备注】要根据所给的式子的结构构造合适的函数,利用函数的单调性求解.8．若,且,则等于A. B. C.D.【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算.因为,由得,所以.故选B.9．已知随机变量的概率分布如下:则P(=10)等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查随机变量的分布和概率求和.表格中前9个变量对应的概率组成一个首项是,公比是的等比数列,所以它们的和为.因为所有变量的概率之和为1,所以,即P(=10)=.故选C.10．设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是A.2B.-1C.-2D.【答案】C【解析】∵f'(1)=-1,∴f'(1)=-2=k.11．甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,设每次投篮甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,而且每次不受其它次投篮结果的影响,甲投篮的次数为,若甲先投,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率.因为甲先投,所以表示”甲第次投中,而甲与乙前次没有投中”,或者”甲第次未投中,而乙第次投中”.根据相互独立事件同时发生的概率得到:=.故选B.12．已知,且,现给出如下结论:①;②;③;④.其中正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】D【解析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系.当,所以函数的增区间为,减区间为,所以函数的极大值是函数的极小值是,因为,且,∴且,所以,所以所以.故选D.二、填空题：共4题13．= ___________.【答案】【解析】本题主要考查定积分的性质及其计算.==14．已知复数是实数,则=___________.【答案】【解析】本题主要考查复数的基本运算.,因为是实数,=.15．已知,若存在,使得成立,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用. 存在,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,所以当时,取得最小值,; 当时,取得最大值,,故实数的取值范围是.16．若函数的图象关于直线对称,则的最大值是________.【答案】16【解析】本题主要考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力.因为函数的图象关于直线对称,所以为偶函数.=,此式如果展开,的系数为的系数为因为为偶函数,所以故,所以,令,得,分解可得,所以,所以当时,,当时,,所以,在和处取得最大值,代入可得的最大值是16.三、解答题：共6题17．已知复数,若是实数,求实数的值.【答案】由题得==,因为是实数,所以a=3.【解析】本题主要考查复数的基本运算.根据是实数,列出方程组,即解得a=3.18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.【答案】(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A,那么P(E A)==.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)==.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,则P(ξ=2)==.所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=,ξ的分布列是【解析】无19．已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (Ⅱ)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 【答案】(Ⅰ)f '(x)=2ax,g '(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g '(1),即a+1=1+b,且2a=3+b,解得a=3,b=3.(Ⅱ)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h'(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:由此可知:当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(-∞ ,-3].【解析】本题主要考查切线、单调性、极值以及最值问题,难度中等,意在考查考生的运算能力和逻辑思维能力.(1)曲线在某点处的切线的斜率就是该点处的导数;(2)本题中函数的极大值同时也是最大值,由此来确定字母k的取值范围.20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n ∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【答案】(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【解析】本题主要考查函数解析式、随机变量的概率、分布列和方差,意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)根据日需求量分类求出函数解析式.(Ⅱ)(i)根据当天的需求量,写出相应的利润,列出分布列,求出数学期望和方差.(Ⅱ)(ii)比较两种情况的方差或数学期望即可.【备注】本题中的利润与需求量之间的对应关系是由(Ⅰ)中的函数关系确定出来的,它们之间的关系是线性对应关系,所以它们相对应值的概率一致,抓住一致性就可以顺利解答问题.21．已知M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设,记.(1)求函数的表达式;(2)设.若对任意,总存在,使得成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)∵过点M的直线分别交两边AB,AC于P,Q,∴0＜x≤1,0＜y≤1,又∵=x=y,∴==+)=+,又∵P,M,Q三点共线,∴+=1,∴y=f(x)=,由得,∴≤x≤1,∴y =f (x )=,x ∈[,1].(2)∵f (x )==+在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]max =f (31)=1,即函数f (x )的值域为[,1],∵g ’(x )=3x 2+3a 2≥0,∴g (x )在[0,1]内是增函数,∴[g (x )]min =g (0)=2a ,[g (x )]ma x =g (1)=3a 2+2a +1,∴g (x )的值域为[2a ,3a 2+2a +1],由题设得[,1] [2a ,3a 2+2a +1], 则,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].【解析】本题主要考查平面向量基本定理,三点共线的条件和函数的性质.(1)先求出==+)=+,然后利用P,M,Q 三点共线得到+=1 ,变形得到函数解析式y =f (x )=,再利用即 求出≤x ≤1 ,即函数的定义域,从而得到函数的表达式为:y =f (x )=,x ∈[,1].(2)先将y =f (x )的表达式变形得到(x )==+,易知函数y =f (x ) 在[,1]内是减函数,∴[f (x )]min =f (1)=,[f (x )]m ax =f (31)=1,即f (x )的值域为[,1].对函数通过求导,可得到在上是增函数,求出其值域为[2a ,3a 2+2a +1].根据题意可知,[,1]⊆[2a ,3a 2+2a +1],∴,解得a 的取值范围是(-∞,-]∪[0,].22．已知函数.(1)当时,求证:;(2)在区间(1, e)上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)当时,求证:N*).【答案】(1)令g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+ (x ＞0),∴g ’(x )==(x ＞0),在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正,∴g (x )在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴[g (x )]min =g (1)=0,∴∀x ∈(0,+∞),g (x )={[f (x )-1]-a (1-)}×=ln x -1+≥0,又∵a＞0,∴f(x)-1≥a(1-).(2)令h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则h’(x)=-1=-(1＜x＜e),1°当a＞e时,∀x∈(1,e),h＇(x)＞0∴h(x)在(1,e)内是增函数,∴∀x∈(1,e),h(x)＞h(1)=0∴a＞e符合;2°当1＜a≤e时h’(x)在(1,a)内为正,在(a,e)内为负,∴h(x)在(1,a)内递增,在(a,e)内递减,∴∀x∈(1,e),f(x)＞x⇔⇔e-1≤a≤e;3°当a≤1时h’(x)在(1,e)内为负,所以h’(x)在(1,e)内单调递减,令h(e)=a+1-e>0,解得a>e-1,与a≤1矛盾,舍去.综合1°2°3°,得a≥e-1.(3)∵由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号,当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.(1)要证明当时,,只要证明构造函数g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+(x＞0),∴g’(x)== (x＞0)它在(0,1)内为负,在(1,+∞)内为正∴g(x)在(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增∴[g(x)]min=g(1)=0∴∀x∈(0,+∞),g(x)={[f(x)-1]-a(1-)}×=ln x-1+≥0又∵a＞0∴f(x)-1≥a(1-)(2)构造函数h(x)=f(x)-x=a ln x+1-x(1≤x≤e),则原问题等价于h(x)>0恒成立时a的取值范围.将h(x)求导后对a进行分情况讨论即可.(3) 由(1)知∀x∈(0,+∞),ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号当a=时,f(x)=ln x+1=ln+1,∴当k∈N*,k≥2时f(k)=ln+1＞(1-)+1=2-＞2-=2+2-2,∴f(2)+f(3)++f(n+1)＞(2+2-2)+(2+2-2)++(2+2-2)=2(n+1-).。

华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测高二数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1()AA AD CD +-运算的结果为A ．ACB ．BDC ．1AC D ．1AD 2．已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为A ．8B ．1C ．16D ．3．已知椭圆22194y x +=与直线l 交于A ，B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是A ．94130x y +-=B ．94130x y -+=C ．49130x y -+=D ．4930x y -+=4．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，则异面直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值为A ．12B ．2C ．14D ．245．已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆C 1与圆C 2恰有三条公切线，则实数t的值为A ．±B ．±C ．±D ．06．已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为A ．0B ．12C ．D 7．已知F 1，F 2，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接BF 1并延长交椭圆C于点P ，若△PF 2B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为A ．12B ．13C ．2D8．设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是A ．当b <-或b >-时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B ．当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D ．当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于110．将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，长轴两端点分别为A ，B ，则A ．椭圆的标准方程为221168x y +=B ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在F 1M 的延长线上，MN 是∠PMF 2的角平分线，过F 2作F 2Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C ．椭圆上恰有四个点M ，使得122F MF π∠=D ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则△MF1F 2内切圆半径的最大值为6-11．如图，正方体透明容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为AA 1，AD ，CC 1，A 1B 1的中点，点N 是棱C 1D 1上任意一点，则下列说法正确的是A ．B 1C ⊥BNB ．向量EM 在向量FG 上的投影向量为13FGC ．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D ．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．对于任意实数,,x y z ________．13．已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．14．已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当||||PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点()4,2N ，求反射光线所在的直线方程．16．（15分）已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为1，△A 1BC 的面积为2．（1）求点A 到平面A 1BC 的距离；（2）设D 为A 1C 的中点，AA 1=2AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A -BD -C 的正弦值．18．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求△OMN 面积的最大值．19．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，且点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅的取值范围．华师一附中2024-2025学年度上学期期中高二数学一、单选题1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1()AA AD CD +-运算的结果为（）A.ACB.BDC.1AC uuur D.1AD uuur 【答案】C【解】如下图示，1111()AA AD CD AD DC AD AB AC +-=+=+=.2.已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为（）A.8B.1C.16D.【答案】A【解】直线:2l ax by +=过圆心(2,4)C ，则24221a b a b +=⇒+=，且0,0a b >>，所以2121(2)4484b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当11,24a b ==时取等号，故21a b+的最小值为8.3.已知椭圆22194y x +=与直线l ,A B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是（）A.94130x y +-=B.94130x y -+=C.49130x y -+=D.4930x y -+=【答案】B【解】设点1122()A x y B x y ,,(,)，因点(1,1)P -为线段AB 的中点，则12122,2,x x y y +=-+=（*）又1122()A x y B x y ,,(,)在椭圆224936y x +=上，则22114936y x +=①，22224936y x +=②，由-①②，可得121212124()()9()()0y y y y x x x x +-++-=，将（*）代入，化简得12124()9()y y x x -=-，即121294y y x x -=-，可知直线l 的斜率为94，故直线l 的方程为：91(1)4y x -=+，即94130x y -+=.4.如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为（）A.12B.22C.14D.24【答案】C【解】由1111A C A C A A =+ ，1111A A B A A B =-，而111111,A C A A A B A A ⊥⊥且11160B AC ∠=︒，则21111111111111111111()()AC AB AC A A A B A A AC A B AC A A A A A B A A⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 20042=-+-=-，11||||22A C AB == ，则1111111cos ,4||||A C AB AC AB A C AB ⋅==-，所以异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为14.5.已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，则实数t 的值为（）A.22± B.42± C.46± D.0【答案】B【解】由圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，可知圆1C 与圆2C 外切.由2221:104t C x y tx +-+-=配方得：221:()12t C x y -+=，知圆心1(,0),2t C 半径11r =；由222:230C x y y +--=配方得：222:(1)4C x y +-=，知圆心2(0,1),C 半径22r =.由1212||C C r r =+，可得2()132t+=，解得42t =±.6.已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为（）A.0B.12C.22D.2【答案】C【解】与:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l 的距离最小，令切线为0x y t -+=，联立椭圆方程有22()154x x t ++=，整理得229105020x tx t ++=-，所以2210036(520)0t t ∆=-⨯-=，则3t =±，对于30x y -+=，其切点到l 的距离为22，对于30x y --=，其切点到l 的距离为722，点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为2.7.已知12,,F F B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接1BF 并延长交椭圆C 于点P ，若2PF B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.13C.22D.3【答案】D【解】由2PF B 为等腰三角形，则有2||||PB PF =，而1212||||||||2PF PF BF BF a +=+=，又12||||BF BF a ==，11||||||PB PF BF =+，若1||PF m =，则||PB a m =+，2||2PF a m =-，所以22aa m a m m +=-⇒=，在12BF F △中222112212112||||||cos 2||||BF F F BF c BF F BF F F a +-∠==，在12PF F 中22222112212112||||||2cos 2||||PF F F PF c a PF F PF F F ac+--∠==，1212cos cos 0PF F BF F ∠+∠=，即222c a c a ac -=，整理得223c a =，则33c e a ==.8.设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有（）A.2组B.3组C.4组D.5组【答案】B【解】123,,l l l 的方向向量分别为1(1,)m a =- ，2(1,1)m =- ，23(3,5)m a a a =--+，若12l l ⊥，则12(1,)(1,1)101m m a a a ⋅=-⋅-=+=⇒=-，此时1:10l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5330l x y ---=，它们交于一点(0,1)-，不符；若13l l ⊥，则2213(1,)(3,5)(2)0m m a a a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒2a =-或0a =或1a =，当2a =-时，1:210l x y -++=，2:10l x y ++=，3:210l x y ++=，满足题设；当0a =时，1:10l y +=，2:10l x y ++=，3:530l x --=，满足题设；当1a =时，1:10l x y ++=，2:10l x y ++=重合，不符；若23l l ⊥，则2223(1,1)(35)450m m a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒5a =-或1a =，当5a =-时，1:510l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5510l x y --=，满足题设；当1a =时，同上分析，不符.综上，5a =-、2a =-、0a =时满足要求，故有3组.二、多选题9.已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是（）A.当b <-b >时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B.当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C.当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D.当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1【答案】CD【解】由题设条件，圆的半径为2，圆心O 到直线:0l x y b -+=的距离为d =对于A ，当b <-或b >时,||b >2>d ，当b =由图1知，圆O 上有一点到直线l 的距离等于1，故A 错误；对于B ，D ，当1b =±时，12d =<，由图2知，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1，故B 错误，D 正确；对于C ，当b =时，1d =，由图3知，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，故C 正确.选：CD.10.将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为12,F F ，长轴两端点分别为A ，B ，则（）A.椭圆的标准方程为221168x y +=B.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在1F M 的延长线上，MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C.椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=D.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则12MF F △内切圆半径的最大值为6-【答案】BCD【解】若椭圆上点为(,)m n ，则(,2)m n 在2216x y +=上，故22416m n +=，所以椭圆22:1164x y C +=，A 错；假设P 是直线1F M 与2F Q 交点，因为MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，所以Q 为线段2PF 的中点，且2||||MF MP =，而O 是12F F 的中点，故12PF F 中OQ 为中位线，故1112111||||(||||)(||||)4222OQ PF MF PM MF MF a ==+=+==为定值，B 对；当M 为椭圆上下顶点时12F ∠最大，此时2222212224216241cos 2162a a c a c F MF a a +---∠====-，又12(0,π)F MF ∠∈，故122π3F MF ∠=，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=，C 对；若12MF F △内切圆半径为r ，则12121211(||||||)||||()||22M M r MF MF F F y F F a c r c y ++=⋅⇒+=，所以||M c y r a c ==+r 最大，只需||M y 最大，为2b =，所以最大6r ==，D 对.故选：BCD11.如图，正方体透明容器1111ABCD A B C D -的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为1111,,,AA AD CC A B 的中点，点N 是棱11C D 上任意一点，则下列说法正确的是（）A.1B C BN⊥B.向量EM 在向量F G 上的投影向量为13FG C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解】A ：由正方体性质知：11111,B C BC B C D C ⊥⊥且1111BC D C C ⋂=都在面11ABC D 内，所以1B C ⊥面11ABC D ，BN ⊂面11ABC D ，则1B C BN ⊥，对；B ：1//EM AB 且112EM AB =，若O 是11,B C BC 交点，连接OG ，所以1////,2OG BC AF OG BC AF ==，故AFGO 为平行四边形，则//AO FG 且AO FG =，所以,EM FG 所成角，即为1,AB AO 所成角，由题设，易知11AB AO OB ===，在1AOB 中22211113|cos |||22AO AB OB OAB AO AB +-∠==⋅，即1,AB AO 夹角为π6，所以,EM FG 夹角为π6，故向量EM 在向量F G上的投影向量为|π|61|cos 2|FG EM FG FG ==⋅ ，错；C ：令放在桌面上的顶点为A ，若1AC ⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过111111,,,,,A B BB BC CD DD A D 中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为216sin 602⨯⨯⨯︒=，对；D ：由题意，第一层小球为8864⨯=个，第二层小球为7749⨯=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为2，假设共有n 层小球，则总高度为()112n -+，且n 为正整数，令()1182n -+≤，则1n ≤+，而10111<<，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放1135565⨯=个小球，错.故选：AC三、填空题12.对于任意实数,,x y z______．【解】由目标式的几何意义为空间任意点(,,)A x y z 到定点(1,2,3),(3,2,1)B C 距离的和，要使它们的距离和最小，只需A 在线段BC 上，此时最小值为||BC ==.13.已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．【答案】43210x y -+=和43190x y --=【解】由:3420AB l x y ++=,可得34AB k =-，则与AB 边垂直的两条边所在的直线的斜率为43，其方程可设为：14:3l y x b =+，即1:4330l x y b -+=.由正方形的性质，可知点(2,3)M 到直线:3420AB l x y ++=的距离等于它到直线1:4330l x y b -+=的距离，故有312055b -=，解得7b =或193b =-，故与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为43210x y -+=和43190x y --=.故答案为：43210x y -+=和43190x y --=.14.已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．【解】由椭圆方程可知：2,1a b c ===，圆221:(1)4G x y ++= 的圆心为()1,0G -（也为椭圆的左焦点），半径12r =，因为PG AB ⊥，可知四边形PAGB 的面积12PAGB S PG AB =⋅，当PG AB ⋅最小时，即为四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，又因为1222PAGB PAG S S r PA ==⨯⋅=△，可知当PG 取到最小值时，四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，即PG AB ⋅最小，且点P 是椭圆C 上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值1a c -=，此时3π26PA APG =∠=，由对称性可知：3π26PB BPG =∠=，即π3APB ∠=，PAB 为等边三角形，则32AB =.三、解答题：15.已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点(4,2)N ，求反射光线所在的直线方程．【解】可设点()22,B a a -，因为(2,1)A ，则AB 的中点1,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，可得1102a a +-+=，解得1a =-，所以点B 的坐标为()4,1B --.【2】设(2,1)A 关于直线10x y -+=的对称点为(),A m n '，则112211022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得03n m =⎧⎨=⎩，即()0,3A '所以反射光线所在的直线方程为243204y x --=--，可得4120x y +-=.16.已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．【解】由2264120x y x y +--+=，可得22(3)(2)1x y -+-=，如图1，因过点(2,4)C 且斜率不存在的直线2x =恰与圆M 相切，故有一条切线方程为2x =；设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，由圆心(3,2)M 到直线240kx y k --+=的距离1d =，解得34k =-，故另一条切线方程为：34220x y +-=.综上，过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程为2x =或34220x y +-=；【2】解法一：如图2，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=，设在直线AC 上存在点44(,)3t P t +，满足314PA PB ⋅= ，则有444131(1,)(1,334t t t t ++---⋅--=，即2100802990t t +-=，因2804100(299)0∆=-⨯⨯->，方程有两个不等根，即在直线AC 上存在两个点P ，满足314PA PB ⋅= .故符合题意的点P 有两个.解法二：设在直线AC 上存在点P ，其坐标为(,)P x y ，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=.由314PA PB ⋅= ，可得31(1,)(1,1)4x y x y ---⋅--=，化简得：22354x y y +-=，即221()92x y +-=，故点P 的轨迹是以1(0,)2M 为圆心，半径为3r =的圆（如图3），故要判断点P 的个数，只需判断直线AC 与圆M 的位置关系即可.因圆心1(0,2M 到直线4340x y -+=的距离为3|4|12352d r -==<=，可知直线AC 与圆M 相交，即满足题意的点P 有两个.17.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，1A BC 的面积为52．（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，12AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【解】因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，则三棱锥1A ABC -的体积为13，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则11113A ABC A A BC A BC V V d S --==⋅△，即115332d =⨯，解得5d =，所以点A 到平面1A BC 的距离为255.【2】过A 作1AE A B ⊥，垂足为E ，又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面1A BC ，⊂BC 平面ABC ，可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又因为1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以⊥BC 平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，设122AA AB a ==，则1A B =，由1AA B 的面积可得111122AA AB d A B ⋅=⋅，即11252225a a ⨯⨯=⨯⨯，解得1a =，即122AA AB ==，1A B =又因为1A BC 的面积为1115222A B BC BC ⋅==，解得1BC =，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,1,0,0,1,2,0,0,0,1,0,0,,,122A A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,,122BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0,1,0,1,0,0BA BC == ，设平面ABD 的一个法向量 =s s ，则110220m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2x =，则0,1y z ==-，可得()2,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量 =s s ，则110220n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2y =，则0,1x z ==-可得()0,2,1n =- ，则1cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，设二面角A BD C --为()0,πθ∈，则1cos 5θ=，可得26sin 5θ==所以二面角A BD C --的正弦值为265.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求OMN 面积的最大值．【解】：()(),E F -，则8PF PE PA PE AE EF +=+==>，可知动点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，且2224,4a c b a c ===-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=.【2】①联立方程2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384480k x kmx m +++-=，因为直线y kx m =+与曲线C 相切，则()()2222Δ644434480k m k m =-+-=，整理可得221612m k =+，则原方程为222322560m x kmx k ++=，解得16k x m=-，将16k x m=-代入直线y kx m =+，可得222161612k m k y m m m m -=-+==，可知1612,k Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则DQ ====②由题意可知：圆22:16O x y +=的圆心为s ，半径4r =，因为s 到直线0kx y m -+=的距离d =，可得2222221612416111m k d k k k +===-+++，因为20k ≥，则22411401k k +≥⇒-≤-<+，可得[)2241612,161d k =-∈+，则OMN面积1122OMN S d MN d =⋅=⨯= ，可知当212d =，即0k =时，OMN S△取到最大值【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为32，且点31,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅ 的取值范围．【解】22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆方程为22:14x M y +=；【2详】（ⅰ）令:AC y kx m =+，1122(,),(,)A x y C x y ，且12,0y y >，12x x ≠且均不为2，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(14)8440k x kmx m +++-=，且22226416(1)(14)0k m m k ∆=--+>，所以2214k m +>，则122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，由221212121212121212()1222()4y y k x x km x x m k k x x x x x x +++⋅=⋅===---++，所以2222222222222241(1)8414144(1)164161614144m k m m k k m km m km k k k m k k --+++-++++-+==++，则2222416164km k m k m ++=-，所以2231620(310)(2)0m km k m k m k ++=++=，故103m k =-或23m k =-，当103m k =-时，10:()3AC y k x =-，此时过定点10(,0)3；当23m k =-时，2:()3AC y k x =-，此时过定点2(,0)3，而该点在椭圆内，与,A C 在同侧矛盾；综上，直线AC 过定点10(,0)3，得证.（ⅱ）由AC AP PC =+ ，BD BP PD =+ ，又直线1l ，2l 相互垂直，即,AP PD PC BP ⊥⊥ ，第17页/共17页所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC BP AP PD PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ AP BP PC PD =⋅+⋅ ，若11223344(,),(,),(,),(,)A x y C x y B x y D x y ，则11332244(1,),(1,),(1,),(1,)AP x y BP x y PC x y PD x y =--=--=-=- ，所以131313242424()()2AC BD x x x x y y x x x x y y ⋅=-+++-+++，令:1AB x ty =+，则:1y CD x t=-+，且0t ≠，联立22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(4)230t y ty ++-=，显然0∆>，则13224t y y t +=-+，13234y y t =-+，同理242241t y y t +=+，2242341t y y t =-+，所以2222131313222324(1)()11444t t t x x t y y t y y t t t -=+++=--+=+++，131328()24x x t y y t +=++=+，2242424222211324(1)()11414141t x x y y y y t t t t t -=-++=--+=+++，22424218()241t x x y y t t +=-++=+，所以222222222222224(1)834(1)83477422444414141441t t t t t t AC BD t t t t t t t t --++⋅=--+-+=--++++++++ 422242222236423(1)21541744(1)9(1)9t t t t t t t +++=-=-⨯+++++-，令211m t =+>，则1(0,1)m∈，所以()()()22222222211141,994992541125419194924t m m m t t m m m +⎛⎤==-=-∈ ⎥+-⎝⎦⎛⎫+++----- ⎪⎝⎭，综上，1512,45AC BD ⎛⎤⋅∈-- ⎥⎝⎦。

2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与103．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．6．若复数z=+，则|z|的值为（）A．B．C．D．27．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i 9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P m A．B．C．D．10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣211．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.2412．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．|x+2|dx= ．14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设=x，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：；（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．2015-2016学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先对复数进行整理，再由角的正弦和余弦的符号，判断出此复数对应的点所在的象限．【解答】解：复数z=﹣2（sin2016°﹣icos2016°）=﹣2sin2016°+2icos2016°，2016°=360°×5+180°+36°，∵sin2016°=﹣sin36°＜0，cos2016°=﹣cos36°＜0，∴复数z在复平面内对应的点为（﹣2sin2016°，2cos2016°）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数与复平面内对应点之间的关系，需要利用三角函数的符号进行判断实部和虚部的符号，是基础题．2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数y=f（x）的图象，且f（x）=，则这个正态总体的期望与标准差分别是（）A．10与4 B．10与2 C．4与10 D．2与10【分析】根据正态分布函数的式子得出：μ，σ，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，且该正态曲线是函数f（x）的图象，∴根据正态分布函数的式子f（x）=，∴得出：μ=10，σ=2，故选：B．【点评】本题考察了正态分布曲线的函数解析式，运用公式求解即可，属于基础题．3．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由f（x）=lnx﹣x2可知，f′（x）=﹣x=，从而可求得函数f （x）=lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣x=，由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；∴f（x）=lnx﹣x2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，∴函数f（x）=lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选B．【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．4．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（）A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3…【分析】利用无放回抽样的性质求解．【解答】解：∵袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球的次数为随机变量ξ，∴ξ的可能值为1，2， (7)故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的可能取值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意无放回抽样的性质的合理运用．5．设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好6．若复数z=+，则|z|的值为（）A．B．C．D．2【分析】先利用复数的除法法则化简，再求模即可．【解答】解：z=+=，∴|z|=，故选B【点评】本题考查复数除法运算，考查复数的模的几何意义，属于基础题．7．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．【点评】本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．8．若z=+i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（）A．﹣+i B．﹣3+3i C．6+3i D．﹣3﹣3i【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，要求的量是二项式的第三项的系数，根据x 的次数求出r，代入式子求出结果，题目包含复数的运算，是一个综合题．【解答】解：∵T r+1=Cx4﹣r（﹣z）r，由4﹣r=2得r=2，∴a2=6×（﹣﹣i）2=﹣3+3i．故选B【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．9．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P mA．B．C．D．【分析】由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．【解答】解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，∴S==1﹣，∵S+m=1，∴m=，故选C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．10．设f （x）为可导函数，且满足=﹣1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限式进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即得到函数在这一个点的切线的斜率．【解答】解：∵，∴∴∴f′（1）=﹣2即曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线的斜率是﹣2，故选D．【点评】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．11．甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A．0.6k﹣1×0.4 B．0.24k﹣1×0.76 C．0.4k﹣1×0.6 D．0.6k﹣1×0.24 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次甲投中篮球，而乙前k﹣1次没有投中，甲k﹣1也没有投中或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球，根据公式写出结果．【解答】解：∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为ξ，甲先投，则ξ=k表示甲第k次投中篮球，而甲与乙前k﹣1次没有投中，或者甲第k次未投中，而乙第k次投中篮球．根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k﹣1×0.6k﹣1×0.4=0.24k﹣1×0.4；k次甲不中的情况应是0.4k﹣1×0.6k×0.6，故总的情况是0.24k﹣1×0.4+0.24k﹣1×0.6×0.6=0.24k﹣1×0.76．故选B．【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解ξ=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．12．已知f（x）=，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（2）＞0；④f（0）f（2）＜0．其中正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．②③【分析】先求出f′（x），再进行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0对应x的范围，即求出函数的单调区间和极值，再由条件判断出a、b、c的具体范围和f（1）＞0且f （2）＜0，进行求解得到abc的符号，进行判断出f（0）的符号．【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞），减区间是（1，2），∴函数的极大值是f（1）=，函数的极小值是f（2）=2﹣abc，∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，∴f（0）=﹣abc＜0，则f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根关系，利用导数求出函数的单调区间和极值等，考查了分析、解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．|x+2|dx= ．【分析】题目给出的是含有绝对值的定积分，计算时根据被积函数的零点分段，所以需要把积分区间分成两段，然后把被积函数去绝对值后再求积分．【解答】解： =====．故答案为．【点评】本题考查了定积分，解答此题时首先要熟练掌握微积分基本定理，同时注意含有绝对值的定积分要分段求解．14．已知复数z1=2+i，z2=a+3i（a∈R），z1z2是实数，则|z1+z2|= ．【分析】利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出．【解答】解：z1z2=（2+i）（a+3i）=2a﹣3+（6+a）i是实数，∴6+a=0，解得a=﹣6．∴z2=﹣6+3i．∴z1+z2=（2+i）+（﹣6+3i）=﹣4+4i．∴|z1+z2|=|﹣4+4i|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题．15．已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是a．【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．【点评】本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16 ．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题10分共70分．）17．复数z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【分析】可求得+z2=+（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为0即可求得实数a 的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z2是=[+（a2﹣10）i]+[ +（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．【点评】本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题．18．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是ξ 1 2P【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，19．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．21．已知M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB、AC于点P、Q，设=x，，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）设g（x）=x3+3a2x+2a，x∈[0，1]．若对任意x1∈[，1]，总存在x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）表示出向量AM，根据P、M、Q三点共线，得到关于x，y的等式，解出y即f （x）的解析式；（2）分别根据f（x），g（x）的单调性，求出f（x），g（x）的值域，结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵过点M的直线分别交两边AB、AC于P、Q，∴0＜x≤1，0＜y≤1…（1分），又∵=x， =y，∴==（+）=+…（2分），又∵P、M、Q三点共线，∴+=1，∴y=f（x）=…（3分），由得，∴≤x≤1…（4分），∴y=f（x）=，x∈[，1]…（5分）；（2）∵f（x）==+在[，1]内是减函数，∴[f（x）]min=f（1）=，[f（x）]max=f（）=1，即函数f（x）的值域为[，1]…（7分），∵g'（x）=3x2+3a2≥0，∴g（x）在[0，1]内是增函数，∴[g（x）]min=g（0）=2a，[g（x）]max=g（1）=3a2+2a+1，∴g（x）的值域为[2a，3a2+2a+1]…（9分），由题设得[，1]⊆[2a，3a2+2a+1]，则…（11分）解得a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，]…（12分）．【点评】本题考查了向量共线问题，考查求函数的解析式，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（Ⅰ）当x＞0时，求证：；（Ⅱ）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．（Ⅲ）当时，求证：）（n∈N*）．【分析】（I）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性、极值即可证明；（II）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即，令，利用导数研究函数的单调性、极值及最大值即可；（III）由第一问得知，则，然后利用“累加求和”即可证明．【解答】（ I）证明：设令，则x=1，即φ（x）在x=1处取到最小值，则φ（x）≥φ（1）=0，即原结论成立．（ II）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x即，令，令，，则h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）=0∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）单调递增，则g（x）的最大值为g（e）=e﹣1所以a的取值范围为[e﹣1，+∞）．（ III）证明：由第一问得知，则则===2n﹣=2n﹣2（）=．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及最大值，及恰当构造函数法，“累加求和”等方法．。

华师大附中2012-2013学年度第二学期高三测试（一）数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A 、B 均为数集，且{}{}12123,,,,A a a B b b b ==，则集合A Y B 中元素的个数至 多（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1,m n p ===则这三个数的大小关系是（ ）A ．m n p <<B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m << 3．已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是（ ）A ．直线的倾斜角为3arctan 4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为4．已知函数232,()3 2.x f x x a a ⎧⎪=⎨+-+⎪⎩[0,)(,0)x x ∈+∞∈-∞在区间（,-∞+∞）是增函数，则常数a 的取值范围是 （ ）A ．12a ≤≤B ．1,2a a ≤≥或C ．12a <<D ．1,2a a <>或5．若奇函数()()(2)1,(2)()(2),(1)f x x R f f x f x f f ∈=+=+满足则等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．126．已知1x y +=，那么2223x y +的最小值是（ ）A ．56B ．65C ．2536D ．36257．函数ln 1xy e x =--的图象大致是（ ）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于1x =对称； ③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数；⑤(2)(0)f f = 正确命题的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．函数()1f x x =-的定义域为 .21,(0)x x -⎧-≤⎪11．在极坐标系中，若过点（4，0）且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .12．如下图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥BC,AB=1，CD=3，6BC D S ∆=，则梯形ABCD 的面积为 ，点A 到BD 的距离AH= .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(2)(4)f f +=14．已知函数2()24(3)5f x ax a x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）设集合{}212,12x A x x a B xx -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A ⋂B=A ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分12分）计算222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 2.3++⋅+17．（本题满分14分）已知2(),x f x ax b=+且方程()120f x x -+=有两个实根为13x =， 24x =（这里a 、b 为常数）. （1）求函数()f x 的解析式 （2）求函数()f x 的值域．18．（本题满分14分）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；② 该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？19．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时（1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<20．（本题满分14分）设函数321()(),3f x ax bx cx a b c =++<<其图象在点(1,(1)),A f(,()B m f m 处的切线的斜率分别为0，a - （1）求证：01;b a ≤<（2）若函数()f x 的递增区间为[],,s t 求s t -的取值范围．参考答案第一部分 选择题（40分） 1－5DCDAD 6－8ADC第二部分 非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．{}4,1x x x ≤≠且. 10．(,1)(1,),-∞-⋃+∞11． 12．8；4.513．0. 14．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）.解：{}{}222.x x a x a x a -<=-<<+ …………3分 2112 3.2x B xx x x -⎧⎫=<=-><⎨⎬+⎩⎭………3分 因为,A B A A B ⋂=⊆即, ……………2分所以23.22a a +≤⎧⎨-≥-⎩ …………2分解得01a ≤≤，故实数a 的取值范围为［0,1］ ………2分16．（本题满分12分） 解：原式22(lg 5lg 2)lg 5(1lg 2)lg 2=++⋅++ 2l g 5(l g 5l g=+++⋅ 2l g 5l g 2=++=………3分 17．（本题满分14分）解：（1）依已知条件可知方程()120f x x -+=即为2120,xx ax b-+=+…1分因为123,4x x ==是上述方程的解，所以931203,1641204a ba b⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩ …………4分 所以函数的解析式为2()2xf x x =--； ………1分（2）因为24()(2)422xf x x x x ⎡⎤=-=--++⎢⎥--⎣⎦， ………2分 当42,(2)42x x x >-+≥-时，当且仅当4x =时取等号，所以8y ≤-，…2分 当42,(2)42x x x <-+≤--时，当且仅当0x =时取等号，所以0y ≥，…3分所以函数][()0,)f x ∞⋃+∞的值域为(-,-8. …………1分 18．（本题满分14分）.解：（1）依题意有[]100575100(10)3575x y x x -⎧⎪=⎨--⨯-⎪⎩(10)(10)x x ≤>，且*x N ∈，……3分因为*0,y x N >∈，由*1005750,610,.10x x x N x ->⎧≤≤∈⎨≤⎩得 ……2分由[]10,100(10)35750x x >⎧⎪⎨--⨯->⎪⎩得*1038,,x x N <≤∈ ………2分所以函数为21005753130575x y x x -⎧=⎨-+-⎩(,610(,1038)x N a n d x x N a n d x ∈≤≤∈<≤， ……1分定义域为{}638,;x x x N ≤≤∈ ………1分（2）当10x =时，*100575(610,)y x x x N =-≤≤∈取得最大值425元，1分当10x >时，23130575y x x =-+-，仅当130652(3)3x =-=⨯-时，y 取最大值，但*2*223130575(1038,)x N x y x x x x N ∈==-+-<≤∈，所以当时，取得最大值833元， ……3分比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．………1分 19．（本题满分14分）.解；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(f x f x f -=+- ……2分 又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 ……1分 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 ……1分 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． ……1分（2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 ……1分221111()()()(),x xf x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ………3分由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0x f x >， ………1分故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以 ……1分 于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， ………1分 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 2214x -<………1分解得022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且． ………1分 20．（本题满分14分）.解（1）因为2()2f x ax bx c '=++ ………1分于是依题意有(1)20,f a b c '=++= ① ……1分2()2,f m a m b m c a '=++=- ② ……1分又由,a b c <<可得424a a b c c <++<，即404a c <<，所以0,0,a c <> 由①得2,c a b a b c =--<<代入再由10,1,3b a a<-<<得③ ……2分将2c a b =--代入②得2220,am bm b +-=即方程2220ax bx b +-=有实根，故其判别式2480,b ab ∆=+≥由此可得2()2()0,bbaa+≥解得2,0,b b aa≤-≥或④ ……2分由③、④即可得01b a≤<； ………1分（2）由于2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， ……1分 所以方程220()a bx c ++=*有两个不相等的实数根，设为12,x x ， 又由(1)201f a b c '=++=1知是(*)的一个根，记x =1， ……1分 则由根与系数的关系得221b x a+=-，即21210,b x x a=--<<当2,1x x x <>或时，()0;f x '>当21x x <<时，()0f x '>， ……1分 所以函数()f x 的单调递增区间为[]2,1x 由题设[][]2,1,,x s t =……1分 因此2212,b s t x a-=-=+由（1）知01b a≤<，所以[2,4).s t -∈…1分。

华中师大一附中2012届高考适应性考试数学（理科）试题一、选择题：1．设向量(1,1)a x =- ,(1,3)b x =+ ，则“x =2”是“a b”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．设复数1212,1,z i z i =-=+则复数12z z z = 在复平面内对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A．2 B．2 C ．28cmD ．24cm4．下列选项中，说法正确的是 ( )A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题；B ．设,a b是向量，命题“若a b =- ，则a b = ” 的否命题是真命题； C ．命题“p q ∨”为真命题，则命题p 和q 均为真命题； D ．命题0,2>-∈∃x x x R ”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”.5．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 ( )A ．16B ．18C ．24D ．326．据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg /100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg /100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.据某报报道，2012年3月5日至3月28日，某地区 共查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人 酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图， 则这500人血液中酒精含量的平均值约是( )． A ．55 mg /100ml B ．56 mg /100ml C ．57mg /100ml D ．58mg /100ml7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是( )．8． 已知函数()1f x kx =+,其中实数k 随机选自区间[－2,１].对[0,1],()0x f x ∀∈≥的概率是( )．A ．13B ．12C ．23D ．349．若椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>与曲线22||x y m n +=-无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．(010．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x+λ)+ λf (x )=０对任意实数x 都成立，则称f (x )是一个“λ—伴随函数”.有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x )=０是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；② f (x )= x 不是“λ—伴随函数”；③ f (x )= x 2是“λ—伴随函数”；④ “12—伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )个A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是________.12．执行如图所示的程序框图，若输入x =10，则输出y 的值为________. 13．在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时，有如下方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得：112(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，…，1(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n +=++--+，相加得：1×2+2×3+…+n (n +1)＝1(1)(2)3n n n ++.类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n (n +2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．的形式为： ． 14．定义max {a ,b }=,,a a b b a b ≥⎧⎨<⎩，设实数x ,y 满足约束条件||2||2x y ≤⎧⎨≤⎩，z=max {4x+y ,3x -y }，则z 的取值范围是 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答如果全选，则按第15题作答结果记分.） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径为6，Ｃ为圆周上一点，BC=3,过Ｃ作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为Ｄ，则CD= .16．（选修4—4：坐标系与参数方程） 直线l 的极坐标方程为4C :cos()πρθ-=C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a且满足（2b -c ）cosA = acosC ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若||1AC AB -=，求ABC ∆周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）某工厂有216名工人，现接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3 个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3 个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置（完成自己的任务后不再支援另一组）设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完成G 型装置所需的时间为g (x )，其余工人加工完成H 型装置所需的时间为h (x )（单位：小时，可不为整数）．（Ⅰ）写出g (x )，h (x )的解析式；（Ⅱ）写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(Ⅲ)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形， AB ∥CD ，∠ADC =90°, AB =AD =PD =1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE ∥平面P AD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD (Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q —BD —P 的大小为45°20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项112a =，公比为12的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，又25log (1)n n b S t +-=，常数*N t ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅．（Ⅰ）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值；（Ⅱ）是否存在正整数k ，使12,,k k k c c c ++这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k ，t 的值；若不存在，请说明理由 ．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为12,F F ，P 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且12PF F ∆的周长为4+（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线的l 是圆O ：2243x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ⋅≠处的切线，l与椭圆C 交于不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．22．（本小题满分14分）设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2处的切线与直线x －5y －12=0垂直．（Ⅰ）求函数()f x 的极值与零点；（Ⅱ）设1()ln x g x x kx-=+，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=，证明：222911110a b c a b c ++≤+++华中师大一附中2012届高考适应性考试数学（理科）试题答案一、选择题：ACADC BCCDB二、填空题： 11．3 12．54- 13．1(+1)(27)6n n n + 14．[]10,7- 1516．1三、解答题：17．解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵(2)cos cos b c A a C -=， 由正弦定理有：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，………2分∴2sin cos sin()B A A C =+，即2sin cos sin B A B =， ∵sin 0B >，∴1cos 2A =，又∵(0,)A π∈，∴3A π=． ………6分（Ⅱ）由已知||1AC AB -= ，∴||1BC =，即1a =，由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==，C c sin 32=， ………8分1sin )1sin())l a b c B C B A B =++=+=+++11cos )2B B =++12sin()6B π=++．………10分∵3π=A ，∴)32,0(π∈B ，∴)65,6(6πππ∈+B ，∴]1,21()6sin(∈+πB ，故△ABC 的周长l 的取值范围是]3,2(． ………12分解法二：周长1l a b c b c =++=++，由（Ⅰ）及余弦定理得：2212cos b c bc A=+-，∴122+=+bc c b ， ………8分 ∴22)2(3131)(c b bc c b ++≤+=+，∴2≤+c b ， ………11分 又1b c a +>=，∴]3,2(∈++=c b a l ，即△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]……… 12分18．解：（Ⅰ）由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人和（216x -）人，∴40006g x x =（），3000(216)3h x x =-⋅（），即20003g x x =（），1000216h x x-（）=（0216x <<，*x N ∈） (4)分（Ⅱ）2000()()3g x h x x-=-1000216x=-)216(3)5432(1000x x x --⋅， ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0，当086x <≤时，43250x ->，()()0g x h x ->，()()g x h x >， 当87216x ≤<时，43250x -<，()()0g x h x -<，()()g x h x <，**2000,086,,3()1000,87216,.216x x N x f x x x N x⎧<≤∈⎪⎪∴=⎨⎪≤<∈⎪-⎩ ………8分（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求()f x 的最小值， 当086x <≤时，()f x 递减，∴2000()(86)386f x f ≥==⨯1291000， ∴min ()(86)f x f =，此时216130x -=， ………9分 当87216x ≤<时，()f x 递增，∴1000()(87)21687f x f ≥==-1291000， ∴min ()(87)f x f =，此时216129x -=， ………10分 ∴min ()(87)(86)f x f f ==，∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129． ………12分19．证：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结EF AF ，，因为E 为PC 中点，所以EF CD ∥，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =，所以EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以BE AF ∥， 又因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ．(1,1,0),(1,1,0)DB BC ∴==-．所以0,BC DB BC DB ⋅=⊥．又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥，所以BC ⊥平面PBD ． ………8分 （Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,1,)n x z = ，由0n D B ⋅= ，0n DQ ⋅=，得102(1)0x z λλ+=⎧⎨+-=⎩， 所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以cos45||||n BC n BC ⋅︒===，注意到(λ∈，得1λ=…………12分20．解：（Ⅰ）由题意知，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，11[1()]1221()1212n n n S -∴==--， ∴t n t S t b n n n +=-=--=5)21(log 5)1(log 522，∴n n t n c )21)(5(+=，{}n c 是递减数列，∴0)21)(5255(1<--++=-+n n n t n t n c c 恒成立，即55+->n t 恒成立，55)(+-=n n f 是递减函数，∴当1=n 时()f n 取最大值0，∴>t ，又*N t ∈，∴1min =t ． ………6分（Ⅱ）记5k t x +=，则k k kx t k c )21()21)(5(=+=，且*x N ∈，11111(55)()(5)()22k k k c k t x +++∴=++=+，222)21)(10()21)(105(++++=++=k k k x t k c ，① 若k c 是等比中项，则由212k k k c c c ++⋅=得：k k k x x x 2221)21()21)(10()21)(5(=+⋅+++，化简得：0501572=+-x x ，显然不成立.② 若1k c +是等比中项，则由221k k k c c c ++⋅=得：2222)21()5()21)(10()21(+++=+⋅k k k x x x ，化简得：()2(10)5x x x +=+，显然不成立．③ 若2k c +是等比中项，则由212k k k c c c ++⋅=得：4221)21()10()21()21)(5(+++=⋅+k k k x x x ，化简得：01002072=-+x x ，因为1003210074202⨯=⨯⨯+=∆不是完全平方数，因而x 的值是无理数，与*x N ∈矛盾． 综上：不存在tk 和适合题意. ………12分 21．解（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b c =，可得a =，又因为12PF F ∆的周长为4+得2a c +=c = 可得2,2a b ==，所求椭圆C的方程为22142x y +=． ………5分（Ⅱ)直线的l 方程为3400=+y y x x ，且342020=+y x ，记),(11y x Q ，),(22y x R ，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+341240022y y x x y x ，消去y 得04932316)2(20022020=-+-+y x x x x y ，2202212020021249322316x y y x x x y x x x +-=+=+∴， ………8分]202022120210202010202124916)(349161)34)(34(1x y x x x x x x x y x x x x y y y +-=++-⎢⎣⎡=--=， 从而22220000121222222222000000003216161616444()9933302222y x x y x x y y y x y x y x y x ---+-+=+==++++， 090=∠∴QOR 为定值． ………13分 22．解：（Ⅰ）因为22()34f x x mx m '=---，所以2(2)1285f m m '=---=-， 解得：1m =-或7m =-，又2m >-，所以1m =-， ………2分由2()3410f x x x '=-+-=，解得11x =，213x =，列表如下：所以0()(327f x f ==极小值，()(1)2f x f ==极大值， ………4分因为322()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+， 所以函数()f x 的零点是2x =． ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当[0,1]x ∈时，min 50()27f x =， “对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >”等价于“()f x 在[0,1]上的最小值大于()g x 在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，m i n 50()27g x <”， ………6分 因为22111()x kg x kx x x-'=-+=，① 当0k <时，因为(0,1]x ∈，所以150()ln 027x g x x kx-=+≤<，符合题意； ② 当01k <≤时，11k≥，所以(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减，所以min 50()(1)027g x g ==<，符合题意；③ 当1k >时，101k <<，所以1(0,)x k∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1(,1)x k ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0,1]x ∈时，m i n111()()1l n g x g kkk==-+， 令23()ln 27x x x ϕ=--（01x <<），则1()10x xϕ'=->，所以()x ϕ在(0,1)上单调递增，所以(0,1)x ∈时，50()(1)027x ϕϕ<=-<，即23ln 27x x -<，所以min 1112350()()1ln 12727g x g kkk==-+<+=，符合题意，综上所述，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立， 则实数k的取值范围是(,0)(0,)-∞⋃+∞． ………10分（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当[0,1]x ∈时，250(1)(2)27x x +-≥，即2227(2)150x x x x ≤-+， 当0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=时，01a ≤≤，01b ≤≤，01c ≤≤， 所以2222222222727[2()()][2()]1115050a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++， 所以22213a b c ++≥，当且仅当13a b c ===时取等号，所以222222272719[2()](2)1115050310a b c a b c a b c ++≤-++≤-=+++，当且仅当13a b c ===时取等号， ………14分。

2012年秋季湖北省部分重点中学期中联考高二数学（理科）参考答案二、填空题 11. 4 12.9113. 1或-7 14. 1 15. 9三、解答题16. 其程序运行的结果为：900 ―――――――6分其相应的程序框图为：―――――――――――12分17. 解：（I ）方法一：总的方法数是54，甲乙两人在同一工厂实习的安排方法数是44，所以甲乙两人不在同一工厂实习的安排方法数是:7684445=- ――――――6分方法二：先安排甲乙有24A 种方法，再安排其余三人有34种方法， 由分步计数原理，适合题意的安排方法数为24A ×34=768.（II ）总的方法数是4425A C ⋅，甲乙两人在同一工厂实习的安排方法数是44A ， 所以甲乙两人不在同一工厂实习的安排方法数是:4425A C ⋅-44A =216 ―――――12分18. 解：（I ）依题意：直线0=-by ax 与圆()1222=+-y x 相交，则1222<+=b a a d ，得到：223b a <，又可知a 、b 均大于0，故a b 3>，当1=a 时，6,5,4,3,2=b 当2=a 时，6,5,4=b 当3=a 时，6=b ，事件A 发生的方法数为9，总的方法数为3666=⨯， 故事件A 发生的概率为41369==P ―――――――6分 （II ）依题意为几何概型， a b 3>与()()13222<-+-b a 公共的面积为：直线a b 3=与圆()()13222=-+-b a 相交的弓形面积，232332=-=d ，故扇形的中心角为3π， 则弓形的面积1233214316122-=⋅-⋅⋅=ππS ， 故事件A 发生的概率为ππ12332-=P ππ12332-=. ――――12分19.（I ）证明：()!!!1111k n k n k n C k n k n -⋅⋅++=++ =()()()!!1!1k n k n -++=11++k n C 即11++k n C k n =C 11++k n 成立 ― ――――5分 （II ）0121231111111111211231+++++++++++++⋯+=+++⋯+=-+n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C n112131 232++∴-=∴=n n n +1=5 n ∴即 ―――――9分故28(1)(1)+=+nx x 展开式中系数最大的项是第5项，则4448570x x C T ==∴展开式中系数最大的项为470x . ―――――――12分20. 解：（I ）由茎叶图可知：[)60,50有2个,又在频率分布直方图中可知[)60,50的频率为08.010008.01=⨯=P ,故总人数为2508.02==N 人, 在[)60,70有7人，故频率270.2825==P . 在[)70,80有10人，频率3100.425==P . 在[)90,100有2人，频率520.0825==P . 故[)80,90的频率16.008.04.028.008.014=----=P ,[)80,90∴矩形的高为016.01016.0==h . ――――――――5分 （II ）[)80,90的人数为：25×0.016=4人，又[)90,100的人数为2人，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率为：2426315=-=C P C ――――――――9分（III ）550.08650.28750.4850.16950.0873.8=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x∴该班数学成绩的平均分数估计为73.8分. ――――――――13分21. 解：（I ）设圆心为 （0，b)，（b>0），∴半径r=b+1又与圆()224(4)9-+-=x y 外切，则有()314162++=-+b b ,1681681622++=+-+∴b b b b , 1616 b=1,r=2∴=∴b ∴圆C 的方程为：22(1)4+-=x y ――――――――5分（II ）A. 若直线l 的斜率不存在，即2πα=时， 此时以AB 为直径的圆的方程为：22(1)4+-=x y ,坐标原点O 在以AB 为直径的圆内,可知满足要求. ――――――――6分B. 若直线l 的斜率存在时，设为k ， 则22222(1)230(1)4=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩y kx k x kx x y ,此时0∆>恒成立，设1122(,),(,),A x y B x y当坐标原点O 在以AB 为直径的圆内, 则0<⋅,121212120(2)(2)0∴+<⇒+++<x x y y x x kx kx , 21212(1)2()40∴++++<k x x k x x22232(1)24011--∴+⋅+⋅+<++kk k k k解得：231>⇒>k k ,∴倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈65,22,6ππππα .综合A 、B 得：直线l 的倾斜角α的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛65,6ππ.――――――――14分。

2012~2013学年高二下学期综合检测一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·全国文)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－12．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程为 ( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋13．函数y ＝x |x (x －3)|＋1 ( )A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1；B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－34．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．已知f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是 ( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确6．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x x a a C x -+=，其中0a >，且1a ¹，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④7．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()'0f x g x f x g x ¢<－ ，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x )二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.9．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．10．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．11．由曲线y ＝1，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成阴影部分面积为________．三、解答题(本大题共3个小题，共24分．写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．(本题满分6分)已知0,a b>>-<13．(本题满分8分)(2010·江西理)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．14．(本题满分10分)设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．2012~2013学年高二下学期综合检测一时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．(2010·全国文)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程为 ( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t 0的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )在t 0的导数，S ′＝2sin t ＋2t cos t ＋1，故选A.3．函数y ＝x |x (x －3)|＋1 ( )A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1；B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3[答案] B y ＝x |x (x －3)|＋1＝îïíïìx 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝îïíïì3x 2－6x(x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 无极值 极大值5 极小值1∴f (x )极大＝f (2)＝5，f (x )极小＝f (3)＝1， 故应选B.4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值，∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.5．已知f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是 () A ．m <2或m >4 B ．－4<m <－2 C ．2<m <4 D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.6．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ¹，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④7．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()'0f x g x f x g x ¢<－ ，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x )[答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x ) 则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0 f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数， ∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )， ∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1， f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k f (2k ＋1)－f (2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9．若函数f (x )＝ax 2－1x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝èæøöax －1x ′＝a ＋1x 2， 由题意得，a ＋1x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.10．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.11．由曲线y ＝1x ，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成阴影部分面积为________．[答案] 23＋ln2 [解析] 由îïíïìy 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1) 由îïíïìx ＝2y ＝1x 得交点B èæö2，1. 故所求面积S ＝õó01x d x ＋õó121x d x ＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．(本题满分12分)(2010·江西理)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ， (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1.13．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}，∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x ，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， ∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.14．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．[分析]本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．[解析](1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a，当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>52.。

理科数学参考答案及评分细则题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBBCBCDDCAB二、填空题 13.2-14.815.592416.2三、解答题17.(1)由已知及正弦定理得3sin sin cos sin sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， 且sin 0C ≠，∴tan 3,0A A π=<<，即3A π=.(2)方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得1222=-+bc c b ，∵222b cbc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴2422≤+c b .∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中， 由余弦定理得，AMB AM AM c ∠⋅⋅-+=cos 32322，①AMC AM AM b ∠⋅⋅-+=cos 32322.②由①②，得932222≤-+=c b AM ，当且仅当32==c b 时，AM 取最大值3. 方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得1222=-+bc c b ，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴2422≤+c b .∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM +=uu u r uuu r uuu r ，两边平方得()22214AM b c bc =++，∴932222≤-+=c b AM ，当且仅当32==c b 时，AM 取最大值3.18.(1)E 为BC 中点，证明如下：Q M E 、分别为,PB BC 中点，//ME PC ∴又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC //ME ∴平面PDC 又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，//AE DC ∴同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q∴平面//AME 平面PDC(2)以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤uuu r uuu r则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--，，uuu v uuu v uuu v uuu v取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r则2222(1)sin cos ,523(1)(21)1=MN n λθλλλλ+<>==-+++-+uuu r r令[]11,2+=t λ∈，则755112)11011012532-5122222≤+-=+-=++tt t t t （）（λλλ 所以35sin 7θ≤当5233t λ=⇔=时，等号成立即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值357. 19.解：(1)(1,0)F ，设1122(4,),(,),(,)P t A x y B x y . 则切线PA 、PB 的方程分别为11221,14343x x y y x x y y +=+=.由切线PA 、PB 过点(4,)P t ，得12121,133y t y tx x +=+=，即11221,133t tx y x y +=+=.由此可得直线AB 的方程为13tx y +=，易知直线AB 过点(1,0)F ，所以A 、F 、B 三点共线，如图所示.(2)由221,3 1.43t x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22(12)6270t y ty +--=. 2236427(12)0t t ∆=+⨯⨯+>，122612t y y t +=+，1222712y y t -=+. 于是212||1||3t AB y y ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭g22226271431212t t t t -⎛⎫⎛⎫=+--⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭g 224(9)12t t +=+. 又点(4,)P t 到直线AB 的距离29d t =+，所以1||2PABS AB d ∆=g 22214(9)9212t t t +=⨯⨯++2222(9)912t t t ++=+. 设29t λ+=，由R t ∈，知3λ≥，且322()3PABS f λλλ∆==+. 因为2234222226(3)2(2)218()0(3)(3)f λλλλλλλλλ+-+'==>++，所以()f λ在区间[3,)+∞上为增函数，()f λ的最小值为9(3)2f =，此时0t =.所以PAB ∆面积的最小值为92.20.(1)(i)设小明转换后的物理等级分为，81-9082-8686-93-=x x 求得.27.84≈x小明转换后的物理成绩为84分； (ii)因为物理考试原始分基本服从正态分布，所以.所以物理原始分在区间的人数为2040.1361500=⨯(人)；(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，随机抽取4人，则.，，，，.的分布列为1234数学期望.21.解：(1)依题意，当0x ≥时，2(1)1x x e mx -≥-恒成立. 设2()(1)1x k x x e mx =--+，则0x ≥时，()0k x ≥恒成立，()e (1)e 2(e 2)x x x k x x mx x m '=+--=-.若12m ≤，则0x >时，()(e 2)0,()x k x x m k x '=->在[0,)+∞上为增函数. 于是，0x ≥时，()(0)0k x k ≥=.因此，12m ≤符合要求.若12m >，则21,0ln(2)m x m ><<时，()0,()k x k x '<在[0,ln(2)]m 上为减函数.于是，(ln(2))(0)0k m k <=.因此，12m >不符合要求.所以m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)解法一：设()e 4x g x x =-，则()e 4x g x '=-. 当ln 4x <时，()0g x '<，当ln 4x >时，()0g x '>. 所以()g x 在(,ln 4]-∞上为减函数，在[ln 4,)+∞上为增函数.所以()(ln 4)44ln 4g x g ≥=-.由此可得，()e 444ln 4x g x x =-≥-，即e 448ln 2x x ≥+-，当且仅当ln 4x =时等号成立. 所以0x >时，()4ln 88ln 2(448ln 2)4ln 88ln 2f x x x x --+≥+---+ 44ln 4x x =--. 当且仅当ln 4x =时等号成立.设()44ln 4h x x x =--，则4()4h x x'=-.当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>. 所以()h x 在(0,1]上为减函数，在[1,)+∞上为增函数. 所以()(1)0h x h ≥=，即()44ln 40h x x x =--≥， 当且仅当1x =时等号成立.故()4ln 88ln244ln 40f x x x x --+≥--≥. 由于上述两个等号不同时成立，因此02ln 88ln 4)(>+--x x f .所以当0x >时，()4ln 88ln 2f x x >+-.解法二：设2ln 88ln 4)2ln 88ln 4()()(2+--=-+-=x e x x f x g ，则4()e x g x x'=-. 由24()e 0x g x x ''=+>，知()g x '为增函数. 又2(1)e 40,(2)e 20g g ''=-<=->，因此，()g x '有唯一零点，设为0x . 则0(1,2)x ∈，且00x x <<时，()0g x '<；0x x >时，()0g x '>. 所以()g x 在区间0(0,]x 上为减函数，在区间0[,)x +∞上为增函数. 所以()g x 有最小值000()e 4ln 88ln 2x g x x =--+.又由0004()e 0x g x x '=-=，知004e x x =，00e 4x x =，两边取对数，得00ln ln 4x x +=.所以0004()4(ln 4)88ln 2g x x x =---+0001480((1,2))x x x ⎛⎫=+->∈ ⎪⎝⎭. 所以当0x >时，0()()0g x g x ≥>，故当0x >时，()4ln 88ln 2f x x >+-.22.解：(1)1488)(8sin sin 182222222222=+⇒=++⇒=+⇒+=y x y y x θρρθρ，(3分)又12202x x y t⎧=+⎪⇒+-=⎨=-⎪⎩，∴曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=，直线l的普通方程为220x +-=.(5分)(2)过P 点的直线l 的标准参数方程为1,7x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，(7分)将直线l 的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22128⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211490t ⇒--=.(8分)1212||||||||||PA PB t t t t ∴==g g g 49491111=-=.(10分)23.(1)35,1,()|1||24|3,1 2.35,2,x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩1x ∴<时，()f x 单调递减：12x ≤<时，()f x 单调递减：2x ≥时，()f x 单调递增； min ()(2)1m f x f ∴===.(5分)(2)由(1)知1a b c ++=，又2222123[(1)(2)(3)](123)36123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭， 149361237a b c ∴++≥+++， (9分)当且仅当123,1231,a b c a b c ⎧==⎪+++⎨⎪++=⎩即1,61,312a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立.(10分)试卷第7页，总1页。

某某师大附中2011—2012学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理）试题（选修2-1、2-2、2-3必修3）一． 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分共50分）1.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件2.下列推理是归纳推理的是( )A ．,AB 为两个定点，动点P 满足2(2)PA PB a a AB -=<，(0)a >，则动点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线； B.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇；C.由圆222x y r +=的面积2S r π=，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=；D.由12,31n a a n ==-，求出123,,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式。

3.一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个球还是白球的概率是( ) A.23 B.14 C.25 D.154.假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的费用y （万元），有如下表所示的统计资料：根据上表提供的数据，求出了y 关于x 的线性回归方程为 1.230.08y x =+，那么统计表中t 的值为( )A. 5.5B. 5.0C. 4.5D. 4.85.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PF =，则椭圆的离心率为( )A.32 B.22 C.13 D.12k`$#s5u 6.已知动圆圆心在抛物线24y x =上且动圆恒与直线1x =-相切，则动圆必定过定点( ) A.(2,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,1)-7.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6X 卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2X 卡片，其中标号为1、3的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种8.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.32y x =-B.y x =C.21y x =-D.23y x =-+9.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则双曲线E 的方程为( )A ．22136x y -= B. 22163x y -= C.22145x y -= D.22154x y -= 10.函数xxy ln =的图像大致为( ) A. B. C. D.二．填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分共30分）11.双曲线24x +ky 2=1的离心率3e =，则k 的值为.12.某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有辆．13.矩形ABCD 中,4,5AB AD ==.在矩形内任取一点P ,则π2APB ∠>的概率为.14.函数211log ,[,4]2y x x x =+∈，则y 的最大值为.15.===,a b =均为正实数），根据以上等式，可推测,a t 的值，则a t +=. 16.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++=.某某师大附中2011—2012学年度第二学期 期中考试高二年级数学（理）答题纸一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分共50分）11..12..13.. 14..15..16..三．解答题（本大题共4个小题，满分共40分）17．（本小题满分8分）：在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方案作比较。