优化设计基础PPT讲稿
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第章 优化设计的基本概念 ppt课件
xn
由n个设计变量 x1, x2 , , xn 为坐标所组成的实空间称作设计
空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。
设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n
维设计问题。
按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴
径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根
据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧 中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力 和 剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧 中径D作为设计常量。
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数， 称作设计变量，又叫做优化参数。
ppt课件
19
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计
变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问
题。
x1
x
x2
[ x1 ,
x2
,
, xn ]T
实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体 积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐 和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计， 并大大提高设计效率。
ppt课件
10
3. 本课程的任务
优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。
基础：（1）最优化数学理论 （2）现代计算技术
【精品】优化设计的数学基础(一)课件
式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条 件所规定的可行域。
通过最优化方法求得的一组最优设计变量：
X*[x1*,x2*, ,xn*]
表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。 对应于该设计方案的目标函数为：
F * F ( X * ) F ( x 1 * ,x 2 * , ,x n * )
称为最优化值。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代过程 或 数值迭代方法。
数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点 X ( 0出) 发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适
当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1 )，
计算此点的目标函数值 F ( X (1)使) 满足：
F(X(1))F(X(0))
X(m) X(p)
满足上述条件的点列称为基本序列，这个条件叫做点列收敛的柯西 准则。收敛条件式也可写作：
n
2
X(m) i
Xi(p)
i1
2、优化计算的终止准则
通常采用的计算终止准则有以下几种形式：
（1）当两相邻的迭代点 之间的距离足够小时用矢量的长 度来表示，即为：
X(m) X(p)
n
2
§3-4 优化设计的数学模型
综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下： 对于无约束最优化问题：
m in F ( X )
X Rn
式中，R n 表示n维实欧氏空间。
对于约束最优化问题：
minF(X)
XDRn
D: gu(X) 0 ,
u
1,2,...,
p
hv(X) 0 ,
v=1,2....,q
或
X (k1) i
X (k) i
i1
现代设计理论与方法-优化设计.ppt
变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境 中由于各种偶然因素引起的基因突变，它以很 小的概率随机地改变遗传基因（表示染色体的 符号串的某一位）的值。在染色体以二进制编 码的系统中，它随机地将染色体的某一个基因 由1变为0，或由0变为1。
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
若只有选择和交叉，而没有变异，则无法在 初始基因组合以外的空间进行搜索，使进化过 程在早期就陷入局部解而进入终止过程，从而 影响解的质量。为了在尽可能大的空间中获得 质量较高的优化解，必须采用变异操作。
可见，这是一个三维非线形规划问题。为了
简化问题，可根据等式约束条件消去一个设计变
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量：
h = 3 /（ l ·w）
则该问题从原来的三维问题转化为二维问题。
4．建立数学模型的一般过程 1）分析设计问题，初步建立数学模型 即使是同一设计对象，如果设计目标和设计
条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄 清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件， 选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述 问题
交叉体现了自然界中信息交换的思想。交叉 有单点交叉、多点交叉、还有一致交叉、顺序 交叉和周期交叉。单点交叉是最基本的方法， 应用较广。它是指染色体切断点有一处，例：
A:101100 1110 101100 0101
B : 001010 0101001010 1110
（3）变异 (Mutation Operator)
3．约束条件 1）概念 为产生一个可接受的设计，设计变量本身或
相互间应该遵循的限制条件，称为约束条件。
2）表示方法
约束条件一般可表示为设计变量的不等式约束函数 形式和等式约束函数形式，即
gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≤0 或者 gi（χ）= gi（χ1，χ2，…，χn）≥0
《设计优化教程》课件
1 定义
设计变量和目标函数在优化中的作用和定义。
2 相关数学基础
了解优化中所涉及的相关数学知识和基础概念。
章节三：响应面分析法
1 基本原理
响应面分析法的基本原理和优化思路。
2 响应面设计
如何设计有效的响应面实验来收集数据。
3 响应面模型的构建
4 响应面优化
如何构建和优化响应面模型以预测设计结果。
通过响应面模型优化设计变量以题。
章节七：工程案例分析
1 优化案例
通过上述算法优化工程设 计案例的介绍。
2 对比分析
对比优化前后设计方案差 异和改善情况。
3 总结
总结优化效果、局限性和 进一步的优化方向。
《设计优化教程》PPT课 件
本课程为《设计优化教程》PPT课件，旨在分享设计优化的概述、流程和常用 的优化方法，帮助读者了解优化设计的目标和意义。
章节一：设计优化概述
1 定义
设计优化的概念和基本定义。
2 流程概述
设计优化的基本流程及其各个阶段。
3 目标和意义
设计优化的目标和对工程和创新的重要性。
章节二：设计变量与目标函数
章节四：遗传算法
1 基本原理
2 流程
遗传算法的基本原理和模拟自然进化的思路。
遗传算法的基本流程，包括选择、交叉、变 异等操作。
3 应用场景
遗传算法在工程设计和优化中的应用场景。
4 问题
遗传算法存在的一些局限性和问题。
章节五：蚁群算法
1 基本原理
蚁群算法的基本原理和模拟蚂蚁寻找食物的 行为。
2 流程
蚁群算法的基本流程，包括信息素和路径选 择机制。
3 应用场景
蚁群算法在优化问题中的应用。
设计变量和目标函数在优化中的作用和定义。
2 相关数学基础
了解优化中所涉及的相关数学知识和基础概念。
章节三：响应面分析法
1 基本原理
响应面分析法的基本原理和优化思路。
2 响应面设计
如何设计有效的响应面实验来收集数据。
3 响应面模型的构建
4 响应面优化
如何构建和优化响应面模型以预测设计结果。
通过响应面模型优化设计变量以题。
章节七：工程案例分析
1 优化案例
通过上述算法优化工程设 计案例的介绍。
2 对比分析
对比优化前后设计方案差 异和改善情况。
3 总结
总结优化效果、局限性和 进一步的优化方向。
《设计优化教程》PPT课 件
本课程为《设计优化教程》PPT课件，旨在分享设计优化的概述、流程和常用 的优化方法，帮助读者了解优化设计的目标和意义。
章节一：设计优化概述
1 定义
设计优化的概念和基本定义。
2 流程概述
设计优化的基本流程及其各个阶段。
3 目标和意义
设计优化的目标和对工程和创新的重要性。
章节二：设计变量与目标函数
章节四：遗传算法
1 基本原理
2 流程
遗传算法的基本原理和模拟自然进化的思路。
遗传算法的基本流程，包括选择、交叉、变 异等操作。
3 应用场景
遗传算法在工程设计和优化中的应用场景。
4 问题
遗传算法存在的一些局限性和问题。
章节五：蚁群算法
1 基本原理
蚁群算法的基本原理和模拟蚂蚁寻找食物的 行为。
2 流程
蚁群算法的基本流程，包括信息素和路径选 择机制。
3 应用场景
蚁群算法在优化问题中的应用。
优化设计-PPT精选文档
受约束于
0 b D
例：设边长6㎝的方形铁板，将四角截去相 等的正方形，然后折成一个无盖的盒子，试求截 去的小正方形边长为多少时盒子的体积最大？
解:
①设边长为x 体积为V
②V与x的关系式 ④求
*
Vx ( 6 2 x )
2
③对x的限制(约束)
' 2
x 和V x 4 x 3 0 V
2.2 优化设计的数学模型一般形式：
n 求X 使 minf (X) X R
3 3
例题图
钢管壁厚t=0.25㎝,求满足强度条件和稳定条 件下钢管总重量最轻的设计方案?
解: ①重量最轻的数学描述
W 2 D t l 2 D t ( B H )
2
2 21 / 2
2 1 / 2
W W m in
②强度条件的数学描述
Fl F ( B H ) 式中: F 1 H H
实践证明，采用优化设计方法可以有效地提高设计质量，缩 短设计周期，取得较为显著的经济效果。例如英国PN．辛 格采用优化设计方法设计了一种十级转速的机床主轴箱，使 各轴间的中心距总和比用传统设计方法所取得的结果减小 16．55％，从而体积和重量也相应的减小。意大利G L扎罗 蒂用优化设计方法对工程机械中的柴油机、变距器和变速相 作最佳匹配设计，显著提高了性能。我国葛洲坝二号船闸人 字门启闭机构经过优化设计，使驱动力矩由400t．m降为 232.2t.m，我国广州造船厂将优化方法用于船用螺旋桨的叶 型及叶截面设计中，并由绘图机自接输出图形，从而节省了 大量的人力和物力，取得了满意的结果。 由这些事例不难看出，优化设计方法的进一步推广应用，必 将为提高机械产品设计质量、降低产品成本、缩短设计周期 等方而带来明显的效益。
第1章优化设计的基本概念已排ppt课件
*
设计理论是对产品设计原理和机理的科学总结。设计方法是使产品满足要求以及判断产品是否满足设计原则的依据。 现代设计方法是基于设计理论形成的，因而更具科学性和逻辑性。 现代设计方法融合了信息技术、计算机技术 知识工程和管理科学等领域的知识。但现代设计方法还不能完全取代传统设计方法，一些行之有效的经验方法目前仍在广泛使用，它们仍是现代设计方法的重要组成。 把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。
3.目标函数
*
目标函数等值面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式为： （c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f(x1,x2)=c 代表x-x设计平面上的一族曲线。 对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
例1-1：直齿圆柱齿轮副的优化设计
*
例1-1 问题的数学表达
设计变量： 设计目标： 约束条件：
*
优化设计任务：确定Di、li 和a，保证轴端变形和固有频率在允许限内，并使结构的质量最轻
例1-2 机床主轴结构的优化设计
*
求： Di、li 和a 使 min 满足：轴端变形和固有频率限制条件，尺寸限制条件。
*
使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，记作f(x)。 建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。 对某一个性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这是多目标函数的问题。例如，设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。 约束方程所围成的可行域是来自.*x10
设计理论是对产品设计原理和机理的科学总结。设计方法是使产品满足要求以及判断产品是否满足设计原则的依据。 现代设计方法是基于设计理论形成的，因而更具科学性和逻辑性。 现代设计方法融合了信息技术、计算机技术 知识工程和管理科学等领域的知识。但现代设计方法还不能完全取代传统设计方法，一些行之有效的经验方法目前仍在广泛使用，它们仍是现代设计方法的重要组成。 把优化设计方法与计算机辅助设计结合起来，使设计过程自动化，已成为设计方法的一个重要发展趋势。
3.目标函数
*
目标函数等值面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式为： （c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，f(x1,x2)=c 代表x-x设计平面上的一族曲线。 对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。
例1-1：直齿圆柱齿轮副的优化设计
*
例1-1 问题的数学表达
设计变量： 设计目标： 约束条件：
*
优化设计任务：确定Di、li 和a，保证轴端变形和固有频率在允许限内，并使结构的质量最轻
例1-2 机床主轴结构的优化设计
*
求： Di、li 和a 使 min 满足：轴端变形和固有频率限制条件，尺寸限制条件。
*
使设计得以优化的函数称作目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数，记作f(x)。 建立目标函数是整个优化设计过程中比较重要的问题。 对某一个性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这是多目标函数的问题。例如，设计一台机器，期望得到最低的造价和最少的维修费用。 约束方程所围成的可行域是来自.*x10
第2章优化设计ppt课件
2.1 概述
2.1.1 优化设计根本概念
优化设计〔Optimal Design〕是20世纪60年代开展起来的一种 现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术运用于设计领域， 为工程设计提供一种重要的科学设计方法。
利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻觅出最 正确设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现 代设计实际和方法的一个重要领域，它已广泛运用于各个工业设计 领域和各种产品设计中。
所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原 理和方法将实践工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为 工具进展寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目 的的最正确设计方案。
进展最优化设计时：
首先必需将实践问题加以数学描画，构成一组由数学表达式组成 的数学模型；
然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进 展寻优运算求解，得到一组最正确的设计参数。这组设计参数就是设 计的最优解。
由等式约束条件可知，三个设计变量中只需两个是独立变量，即
x3
5 x1 x 2
。所以，该问题的优化数学模型应写为：
设计变量：
X [x1 x2]T
目的函数的极小化： m inf(X ) x 1 x 2 2 (x 1 x 3 x 2 x 3 ) x 1 x 2 1 0 (x 1 2 x 1 1 )
约束条件：
与传统设计方法不同，优化设计过程普通分为如下四步：
● 设计课题分析
● 建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学模型
● 选择优化设计方法
● 上机电算求解
获得最优解
〔１〕设计课题分析： 经过对设计课题的分析，提出设计目的，它可以是单项设计目的，也可以是多项设计目的的组合。 从技术经济的观念出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、分量、效率、本钱、可靠性等 都可以作为设计追求的目的。 然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或目的按设计规范推导出的技术 性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。
优化设计方法ppt
其他优化方法
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟 鸟群、鱼群等自然现象的群体行为来寻找最优解。
人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型， 通过训练来逼近某个映射函数或分类器。
03
优化设计的实际应用
建筑设计的优化
总结词
提高功能性、美观性和经济性
优化设计方法ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 优化设计的基本方法 • 优化设计的实际应用 • 优化设计的新发展 • 优化设计的实践技巧
01
引言
什么是优化设计
优化设计是一种通过合理选择和调整设计方案参数，在给定 的一组约束条件下，使设计性能指标达到最优化的方法。
优化设计旨在找到一个或多个最优解，使设计在满足各种约 束条件的同时，最大化或最小化某一特定的设计性能指标。
迭代次数设置
合理设置迭代次数，避免 因迭代次数过多或过少导 致收敛效果不佳。
收敛条件设置
合理设置收敛条件，以便 在满足条件时实现算法收 敛。
初始化参数设置
合理设置初始化参数，避 免算法过早收敛或无法收 敛。
如何避免优化过程中的局部最优解
随机初始化
通过随机初始化参数，避 免算法在初始阶段就陷入 局部最优解。
适应性。
自适应选择
自适应选择是根据问题的特征和 性质，自适应地选择不同的算法 或策略，以获得更好的性能和适 应性。
自适应学习
自适应学习是通过学习历史经验和 数据，自适应地调整算法参数和策 略，以适应不同的情况和问题，提 高算法的效率和精度。
05
优化设计的实践技巧
如何选择合适的优化方法
根据问题特性选择
优化设计第02课-2数学基础PPT课件
②当u1=0,a1≠0 时，g1(x)=a-x＜0，约束不起作用，即为x>a 的情况。
上述分析可表示为：u1
0 0
, g1( x) 0 为起作用约束，即x=a , g1( x) 0 为不起作用约束，即x>a
上式表明， u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的
条件写成：
u1g1(x)=0。
若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1, xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题 的极值求解。
二、拉格朗日乘子法
通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。
对于具有l个等式约束的N维优化问题：
min f(x)
s.t. hk(x)=0 (k=1, 2, … , l) 为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1* x２*… xn*]T，引入拉格朗日 乘子k (k=1, 2, … , l) ，并构成一个新的目标函数：
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22
2F xnx2
2F
x1xn
2F
x2xn
正定或负定
2F
xn2 x*
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 正定，即各阶主 子式均大于零，则x*为极小点。
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 负定，即各阶主 子式负、正相间，则x *为极大点。
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
上述分析可表示为：u1
0 0
, g1( x) 0 为起作用约束，即x=a , g1( x) 0 为不起作用约束，即x>a
上式表明， u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的
条件写成：
u1g1(x)=0。
若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1, xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题 的极值求解。
二、拉格朗日乘子法
通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。
对于具有l个等式约束的N维优化问题：
min f(x)
s.t. hk(x)=0 (k=1, 2, … , l) 为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1* x２*… xn*]T，引入拉格朗日 乘子k (k=1, 2, … , l) ，并构成一个新的目标函数：
2F
x12
2F
2
F
(
x*
)
x2x1
2F
xnx1
2F x1x2 2F
x22
2F xnx2
2F
x1xn
2F
x2xn
正定或负定
2F
xn2 x*
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 正定，即各阶主 子式均大于零，则x*为极小点。
✓ 海赛（Hessian）矩阵 H (x) 负定，即各阶主 子式负、正相间，则x *为极大点。
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
优化的设计数学基础PPT课件
2
2.1 函数的泰勒(Taylor)表达式
❖ 工程设计的优化问题中，所列的目标函数往 往很复杂，为了简化问题，常将目标函数在 所讨论点附近展开成泰勒多项式来近似原函 数。
➢ 一元函数f(x)在点X(k)的某个领域内具有直到
（n+1）阶导数，其Taylor展开式可表示为一个 多项式与一个余项的和：
f x f x(k) f x(k) 1!
n
aij xi x j (aij a ji ) i, j1
称为x1, x2, …, x n的二次型。用矩阵表示，则上述二次
型可表示为：
x1
f X x1, x2,
,
xn
A
x2
பைடு நூலகம்
X
T
AX
a11, a12 ,, a1n
xn
其中：A
a21, a22 ,,
a2n
为n阶实对称矩阵。
5
❖ Taylor展开式若取到二次项，函数可近似用一个二 次函数来逼近，称为平方近似：
f X f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )( X X (k) )
2
❖ 若只取一次项，可得到函数的一次Taylor近似式：
2 f (X (k) x2x1
)
,
2
f (X x22
(k)
)
,,
2 f (X (k) x2xn
)
,,
2 f (X (k) xnx1
)
,
2 f (X (k) xnx2
)
,,
2
f (X xn2
(k)
)
称为f(X)在点x(k)的 Hessian矩阵,它是 f(X)在该点的二阶 偏导数所组成的方 阵。它是一个实对 称矩阵，也记作 H(x(k))。
2.1 函数的泰勒(Taylor)表达式
❖ 工程设计的优化问题中，所列的目标函数往 往很复杂，为了简化问题，常将目标函数在 所讨论点附近展开成泰勒多项式来近似原函 数。
➢ 一元函数f(x)在点X(k)的某个领域内具有直到
（n+1）阶导数，其Taylor展开式可表示为一个 多项式与一个余项的和：
f x f x(k) f x(k) 1!
n
aij xi x j (aij a ji ) i, j1
称为x1, x2, …, x n的二次型。用矩阵表示，则上述二次
型可表示为：
x1
f X x1, x2,
,
xn
A
x2
பைடு நூலகம்
X
T
AX
a11, a12 ,, a1n
xn
其中：A
a21, a22 ,,
a2n
为n阶实对称矩阵。
5
❖ Taylor展开式若取到二次项，函数可近似用一个二 次函数来逼近，称为平方近似：
f X f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )( X X (k) )
2
❖ 若只取一次项，可得到函数的一次Taylor近似式：
2 f (X (k) x2x1
)
,
2
f (X x22
(k)
)
,,
2 f (X (k) x2xn
)
,,
2 f (X (k) xnx1
)
,
2 f (X (k) xnx2
)
,,
2
f (X xn2
(k)
)
称为f(X)在点x(k)的 Hessian矩阵,它是 f(X)在该点的二阶 偏导数所组成的方 阵。它是一个实对 称矩阵，也记作 H(x(k))。
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其中，x1 x1 x10，x2 x2 x20
二元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f
x
f
x0
f x1
f x2
x0
x1
x2
1 2
x1
2 f
x2
x12 2 f
x2x1
f
x0
f
T
1T
x0 x x G
x0
x …
2
2 f
x1x2 2 f x22
x0
例：设目标函数f (x)
f (x1, x2 ) 4
x12 x2 , 求点x0
[1
1]T 处沿
d1和d2两个方向的方向导数。
向量d1的方向为：1
2
，
4
向量d2的方向为：1
3
，2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
优化设计基础课件
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。
二元函数的偏导数：
一个二元函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的偏导数是
f lim f x10 x1, x20 f x10 , x20
(x0 )
x1
f
x2
x0
f
x1
T
f
,
x2
x0
方向导数与梯度的关系： f f (x0 )T d f (x0 ) cos(f , d) d x0
二元函数f
(
x1,
x2
)在点x0处的方向导数
f d
x0
等于该点处的梯度
f
(x0 )与方向单位向量d
cos 1 cos2
的内积。
第二章 优化设计的数学基础
公式可以表示为
f lim f x10 x1, x20 x2 f x10 , x20
d d0 x0
d
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f lim f x10 x1, x20 x2 f x10 , x20
d d0 x0
d
lim f x10 x1, x20 f x10 , x20 x1
例题：求二元函数f x1, x2 x12 x22 4x1 2x2 5在点x0 0 0T
处函数变化率最大的方向和数值。
解：
函数变化率最大的方向就是
梯度方向，用单位向量 p 表
示，函数变化率最大的数值就 是梯度的模 。
f
f
(x0 )
x1
f
x2
x0
2x1 4
2x2
2
x0
x1 x0
x1 0
x1
f lim f x10 , x20 x2 f x10 , x20
x2 x0
x2 0
x2
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
方向导数：
称函数f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处沿某一方向d 的变化率为该函数沿此方向的方向导数，
4 2
2
2
f (x0 )
f
x1
f x2
2 5
p
f (x0 )
2
5
f (x0 )
1 5
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
一
f (x)在x x0点处的泰勒展开式：
元 函
f
(x)
f
(x0 )
f
'(x0 )x
1 2
f
''(x0 )x2
…
数
其中，x x x0，x2 (x x0 )2
d 0
x1
d
f d
x0
f x1
x0
cos1
f x2
x0
cos2
lim f x10 x1, x20 x2 f (x10 x1, x20 ) x2
d 0
x2
d
f x1
x0
cos1
f x2
x0
cos2
x2 x20
d X0
x2
θ2
x1
θ1
o
x10
x1
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
多元函数的梯度：
函数f (x1, x2 ,…, xn )在点x0 (x10, x20,…, xn0 )处的梯度是
f
x1
f
f
x0
x2
f
x1
f x2
f
xn x0
f T
xn
x0
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
正定矩阵：
如果对于任意x
0，有二次型
T
x
Ax
0成立，则矩阵A为正定矩阵；
若二次型
T
x
A
x
0，则矩阵A为半正定矩阵；
相反，如果对于任意x 0，有xT Ax 0，则矩阵A负定。
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
矩阵正定与负定的判定：
正定：矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零； 负定：矩阵A负定的条件是各阶主子式负、正相间。
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f
梯度：二元函数f
(x1, x2 )在点x0处的梯度是f
(x0)
x1
f
x2
x0
f
x1
f , x2
T x0
梯度的性质：
1）梯度是一个向量； 2）梯度方向是方向导数最大的方向，即函 数值变化最快（函数值变化率最大）的方向 ； 3）梯度方向是等值面（线）的法线方向 。
x1
x2
…
对称矩阵
G x0 是函数f (x1, x2 )在点x0 (x10, x20 )处的海赛矩阵
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
多元函数泰勒展开式的矩阵形式：
f (x) f
x0
f
x0
T
x
1
T
x
G
x0
x …
2
f
x0
f x1
f x2
T
f xn
多元函数的方向导数：
n元函数f (x1, x2 ,…, xn )在点x0处沿方向d的方向导数可以表示成：
f
d
x0
f x1
x0
cos1
f x2
x0
cos2
…
f xn
x0
cosn
n i 1
f xi
x0
cosi
其中，cosi是方向d与坐标轴xi方向之间夹角的余弦。
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
x0
是函数在该点的梯度
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
多元函数的海赛矩阵：
2 f
x12
2 f
G x0 x2x1
2 f
xn
x1
2 f x1x2 2 f
x22
2 f xnx2
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
第章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二元函数：
f (x1, x2 )在点x0 (x10 , x20 )处的泰勒展开式：
f (x1, x2 )
f
(
x10
,
x20
)
f x1
x0
x1
f x2
x0
x2
1
2
f
2 x12
x0
x12
2 2 f x1x2
x0
x1x2
2 f x22
x0
x22 …