(完整word版)高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步练习2

专题26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、单选题1．（2020·湖北省高二期中）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种2．（2020·山东省高二期中）现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．123．（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有（）A．21种B．315种C．153种D．143种4．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有（）A．10种B．52种C．25种D．42种5．（2020·天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品,是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中,甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本）,若每人只借阅一本名著,则不同的借阅方案种数为（）A．54B．45C．·45C D．45A6．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理））如图,某城市中,M、N两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,则从M到N不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．257．（2020·吉林省长春市实验中学高二期中（理））某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B､C､D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择,其他号码只想在1､3､6､9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种B．360种C．720种D．960种8．（2020·江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A．36个B．42个C．48个D．120个9．（2020·北京十二中高二月考（理））将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列,要求每行的数字互不相同,每列的数字也互不相同,则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种10．（2020·江西省高三三模（理））在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,算筹有纵式和横式两种,如图是利用算筹表示1~9的数字,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,例如,137可以用7根小木棍表示“”,则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是（）A．12B．18C．24D．2711．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图：表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为（）A．46B．44C．42D ．4012．（2018·浙江省高三三模）三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如：147,642,777,420等等.等差三位数的总个数为（ ）A ．32B ．36C ．40D ．45二、填空题13．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成,且英文字母在前,数字在后.已知英文字母是A ,B ,C ,D ,E 这5个字母中的1个,数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中的一个,则共有__________个不同的编号（用数字作答）.14．（2020·汪清县汪清第六中学高二期中（理））现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法种数为__________.15．（2018·浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子,每格子染一种颜色,并且从左往右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________．16．（2020·山东省高二期中）用0,1,2,3,4,5六个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.三、解答题17．小明同学要从教学楼的一层到四层,已知从第一层到第二层有4个扶梯可走,从第二层到第三层有3个扶梯可走,从第三层到第四层有2个扶梯可走,那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？ 18．（2020·唐山市第十一中学高二期中）某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会． （1）若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法？19．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知集合{}3,2,1,0,1,2M =---,若a ,b ,c ∈M ,则：（1）2y ax bx c =++可以表示多少个不同的二次函数？（2）2y ax bx c =++可以表示多少个图象开口向上的二次函数？20．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理））一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.（1）从两个口袋中任取一封信,有多少种不同的取法？（2）从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法？21．（2020·南京市中华中学高二月考）现有3名医生,5名护士、2名麻醉师．（1）从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法？（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法？22．（2020·武汉市钢城第四中学高二期中）某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席,有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委,有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,有多少种不同的选法？。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）（同步检测）一、选择题1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书和从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书的取法分别有()A.9种，20种B.20种，9种C.9种，24种D.24种，9种2．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种3.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.244.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14B.13C.12D.105.现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为()A.7B.64C.12D.816.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是()A.15B.12C.5D.47.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有()A.18条B.20条C.25条D.10条8.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法共有()A.5种B.10种C.20种D.120种实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示：9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是()A.若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种B.若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种C.若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种D.若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为4 9二、填空题10.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________11.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个(用数字作答)．12.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．13.从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．三、解答题14.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位，其余7名队员选2名安排在第二、四位，求不同的出场安排共有多少种？15.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．16.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？参考答案及解析：一、选择题1.C解析：从书架上任取1本书，不同取法有4＋3＋2＝9(种)；从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，不同取法有4×3×2＝24(种)．故选C．2.D解析：每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种)．3.B解析：首先考虑6个表面，每个表面有其相对的长方形的4条边与之平行，还有该四边形有2条对角线与之平行，因此每个表面可以构造6个平行线面组，6个表面，平行线面组就有6×6＝36(个)．再考虑对角面，即体对角线是其对角线的矩形，这样的矩形有6个，每个矩形对应有2条边与之平行，因此平行线面组一共有6×2＝12(个)．相加得48.4.B 解析：由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.5.C6.A解析：利用分类加法计数原理．当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6个；当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5个；当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4个．根据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．7.A解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．8.B解析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一个位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10种．9.BCD解析：若小花、小李两人共花费5元，则两人中1人花费2元，1人花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18(种)，故A错误，B正确；若小花、小李两人共花费6元，则两人中1人花费2元、1人花费4元或2人都花费3元，小花、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27(种)，C正确，其中小花比小李先下地铁有3×3＋3＝12(种)，概率为1227＝49，故D正确．故选BCD．二、填空题10.答案：36解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.12.答案：13解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种)．13.答案：20，10解析：产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．三、解答题14.解：按出场次序，第一位的队员的安排有3种方法，第二位的队员的安排有7种方法，第三位的队员的安排有2种方法，第四位的队员的安排有6种方法，第五位的队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.15.解：(1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4×3×2＝24(个)．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故三位数的偶数共有2×3×2＝12(个)．16.解：选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法，在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2种选法．所以共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．。

§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理(重点).2.能根据实际问题特征，正确选择计数原理解决实际问题(难点).知识点两个计数原理的联系与区别【预习评价】(1)已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，则从集合S到T的映射共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是________.解析(1)可分两步，第一步，集合S中a1对应到集合T中的元素有2种不同的选法；第二步，集合S中a2对应到集合T中的元素有2种不同的选法.由分步乘法计数原理知，从集合S到T的映射共有2×2＝4(个).故选D.(2)利用分类加法计数原理.当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况.当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况.当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15种情况.答案(1)D (2)15题型一两个计数原理在排数中的应用【例1】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？解完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个). 规律方法对于排数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.【训练1】用0，1，2，3，4这5个数字可以组成多少个按下列要求的无重复数字？(1)四位密码；(2)四位数；(3)四位奇数.解(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，分为四个步骤：第一步，取左边第一位上的数字，有5种选取方法；第二步，取左边第二位上的数字，有4种选取方法；第三步，取左边第三位上的数字，有3种选取方法；第四步，取左边第四位上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理知，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个).(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事分为四个步骤：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步、第三步、第四步与(1)类似，分别有4，3，2种选取方法.由分步乘法计数原理知，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个).(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分两类方案.第一类：这个四位奇数的个位数字是1，分三个步骤去完成.第一步，选取千位上的数字，有3种(从2，3，4中选)不同选法；第二步，选取百位上的数字，有3种不同选法；第三步，选取十位上的数字，有2种不同选法.由分步乘法计数原理知，该类中四位奇数共有1×3×3×2＝18(个).第二类：这个四位奇数的个位数字是3，也是分三个步骤去完成.具体求法与个位数字是1时完全一样，因而这样的奇数也是18个.由分类加法计数原理知，共可组成无重复数字的四位奇数18＋18＝36(个).题型二抽取(分配)问题【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法.根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法.(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法.根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法.规律方法解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.【训练2】3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步，放第一个小球有5种选择；第二步，放第二个小球有4种选择；第三步，放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得，共有方法数N＝5×4×3＝60(种).方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类：第一类，空盒子标号为(1，2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类，空盒子标号为(1，3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类，空盒子标号为(1，4)，选法有3×2×1＝6(种).分类还有以下几种情况：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).【例3】如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，若5种颜色全用，求不同的染色方法.解5种颜色全用，有5×4×3×2×1＝120(种)不同的染色方法.【迁移1】(变换条件)若从5种颜色选用4种颜色，求不同的染色方法.解只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(种)不同的染色方法.【迁移2】(变换条件)若从5种颜色选用3种颜色，求不同的染色方法.解只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，有5×4×3＝60(种)不同的染色方法.规律方法(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步.(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色. 【训练3】如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案.解方法一按A，C颜色相同或不同进行分类.若A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，故共有5×4×4＝80(种)涂法.若A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D有3种涂色方法，故共有5×4×3×3＝180(种)涂法.根据分类加法计数原理，共有80＋180＝260(种)不同的涂色方案.方法二按涂色种类进行分类.第一类：涂4种颜色，分四步，A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有2种涂法.故共有5×4×3×2＝120(种)涂法.第二类：涂3种颜色，则A，C颜色相同或B，D颜色相同.当A，C颜色相同时，A，C有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法.故共有5×4×3＝60(种)涂法.当B，D颜色相同时，同理也有60种不同的涂法.故共有60＋60＝120(种)涂法.第三类：涂2种颜色，则A，C颜色相同，B，D颜色相同，A，C有5种涂法，B，D有4种涂法.故共有5×4＝20(种)涂法.根据分类加法计数原理，共有120＋120＋20＝260(种)不同的涂色方案.题型四种植问题【例4】从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).规律方法按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.【训练4】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？解(1)如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植.因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种).(2)如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)种植方法.课堂达标1.已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为( )A.125B.15C.100D.10解析若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步，对于系数a有4种不同的选法；第二步，对于系数b有5种不同的选法；第三步，对于系数c有5种不同的选法.由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100(个).答案 C2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D.答案 D3.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中有________项.解析要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项).答案244.两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种.解析由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12(种)，综上可知，共有2＋6＋12＝20(种).答案205.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，有多少不同的种植方法.解分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.(2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法：①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c ，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法. 课堂小结1.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.2.一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏.3.若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.基础过关1.从1，2，3，…，10这10个数中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8解析 当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8.当公比为3时，等比数列可为1，3，9.当公比为32时，等比数列可为4，6，9. 同时，4，2，1，；8，4，2；9，3，1和9，6，4也都是等比数列，共8个.答案 D2.已知x ∈{1，2，3，4}，y ∈{5，6，7，8}，则xy 可表示不同值的个数为( )A.2B.4C.8D.15解析 完成xy 这件事分两步：第一步：从集合{1，2，3，4}中选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5，6，7，8}中选一个数，共有4种选法.共有4×4＝16(种)选法.其中3×8＝4×6，所以xy 可表示的不同值的个数为15.答案 D3.有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A.8种B.9种C.10种D.11种解析 设4位监考教师分别为A ，B ，C ，D ，4个班级分别为a ，b ，c ，d ，假设A 监考b ，则余下3人监考剩下的3个班，共有3种不同方法.同理A 监考c 或d 时，也分别有3种不同方法.根据分类加法计数原理，监考的方法共有3＋3＋3＝9(种).答案 B4.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种.解析完成承建任务可分五步：第一步，安排1号有4种；第二步，安排2号有4种；第三步，安排3号有3种；第四步，安排4号有2种；第五步，安排5号有1种.由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种).答案965.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法.解析分三类：第一类，取数学书和语文书，有10×9＝90(种)；第二类，取数学书和英语书，有10×8＝80(种)；第三类，取语文书和英语书，有9×8＝72(种).故共有90＋80＋72＝242(种).答案2426.用0，1，2，3，…，9十个数字可能组成多少个不同的(1)三位数；(2)小于500且没有重复数字的自然数.解(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个).(2)一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81(个)，三位自然数有4×9×8＝288(个).所以共有10＋81＋288＝379(个)小于500且无重复数字的自然数.7.将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入如图所示的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色不相同，问：有多少种不同的涂色方法？解将5个区域分别标记为A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则E 区域有2种涂色方法，如果B 区域与D 区域所涂的颜色不相同，则E 区域只有1种涂色方法.因此应先分类后分步.(1)当B 与D 同色时，有4×3×2×2＝48(种)涂色方法；(2)当B 与D 不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)涂色方法.故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法.能力提升8.满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10 解析 ①当a ＝0时，方程表示垂直于x 轴的直线方程，有解，此时b 取4个值，故有4个有序数对；②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1，有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2).∵(a ，b )共有3×4＝12(个)实数对，此时(a ，b )的取值为12－3＝9(个).∴(a ，b )的个数为4＋9＝13. 答案 B9.如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有( )A.120种B.72种C.48种D.24种解析 以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)，∴共有24＋48＝72(种)不同方法.故选B.答案 B10.现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________.解析 因为正整数m ，n 满足m ≤7，n ≤9，所以(m ，n )所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m ，n 都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为2063.答案 206311.在2017年田径挑战赛上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析 分两步安排这8名运动员，第一步，安排甲、乙、丙3名运动员，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5名运动员，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).所以安排这8名运动员比赛的方式有24×120＝2 880(种).答案 2 88012.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选出1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.解 (1)由调查数据，知既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率P ＝1545＝13. (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选出1人，其所有可能的结果有5×3＝15(种).根据题意，知这些基本事件的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率P ＝215. 13.(选做题)方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2，0，1，2，3}，且a ，b ，c 互不相同.在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有多少条？解 利用两个计数原理结合分类讨论思想求解.当a ＝1时：若c ＝0，则b 2有2个取值，共2条抛物线；若c ≠0，则c 有4个取值，b 2有2个取值，共有2×4＝8(条)抛物线.当a ＝2时：若c ＝0，则b 2有3个取值，共有3条抛物线；若c ≠0，当c 取1时，b 2有2个取值，共有2条抛物线，当c 取－2时，b 2有2个取值，共有2条抛物线，当c 取3时，b 2有3个取值，共有3条抛物线，当c 取－3时，b 2有3个取值，共有3条抛物线.∴a ＝2时共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线.同理，a＝－2，－3，3时，共有抛物线3×13＝39(条).由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条).。

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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A．5 种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】由分步计数原理可知，可选方式有2×3＝6种．故选B．2．将三封信投入三个信箱,可能的投放方法共有种( ）A。

3B．6 C．9 D．27【答案】D【解析】将三封信投入三个信箱，由于信投入的信箱不指定，则每封信都有3种选择，所以总的投放方法有2733 种.故选D.3．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大。

当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(）A.6种B。

12种C。

18种D.24种【答案】A【解析】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A。

4．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：设(,)F C 表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名:首先按F 由大至小排序（表格中从上至下)，若F 值相同，则按C 值由大至小排序，若C 值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是(）A ．15B ．20C ．24D ．27【答案】D【解析】分类讨论：若F 为金牌，3种排序中，中国均第1；若F 为银牌，在银牌—金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中,中国排第2或第3；若F 为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2,在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为总数，则3种排列中国均第2.故在所有的排序中，中国的排名之和为3×1+（2×2+2+3）+(2×2+2+3）+3×2=27，故选D5．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A 。

1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1一. 选择题:1．某人射击8枪, 命中4枪, 恰好有3枪是连续命中的, 则符合条件的射击方式有（A）720种（B）480种（C）224种（D）20种2. 某商店有三层, 第一层有4个门, 从第一层到第二层有3个楼梯, 从第二层到第三层有2个通道, 某顾客从商店外直至三层, 不同的走法有（A）9种（B）10种（C）12种（D）24种3. 已知集合A={x| －2≤x≤10, x∈Z}, m, n∈A, 方程表示长轴在x轴上的椭圆, 则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个4. 从4本不同的书中挑选3本, 分别给甲、乙、丙三名同学, 每人一本, 则不同的挑选方法有（A）12种（B）24种（C）64种（D）81种5. 汽车上有十名乘客, 沿途前方有五个车站, 乘客下车的不同方式可能有（）。

（A）510种（B）105种（C）50种（D）以上都不对二. 填空题:6. 十字路口来往的车辆, 若不允许车辆在路口回头往回开, 那么共有种不同的行车路线。

7. 某城市自行车有10000辆, 牌照号码从00001到10000, 则牌照中牌照号码由数字5的自行车共有辆。

8. 不计算乘积, 判断[(a1+a2)(b1+b2+b3)+c1+c2](d1+d2+d3)展开式中共有项。

9．某赛季足球比赛的计分规则是, 胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分, 一球队打完15场, 积33分, 若不考虑顺序, 则该队胜、平、负的情况可能有种。

10. 72含有个正约数, 在这些约数中, 正偶数有个。

11. （1）若x, y∈N且x+y≤6, 则有序自然数对(x, y)有个；（2）若1≤x≤4, 1≤y≤5, 以有序整数对(x, y)为坐标的点有个。

12. 由壹元币3张, 伍元币1张, 拾元币2张, 可以组成种不同的币值。

13．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 如果每一区域涂一种颜色, 相邻的区域不能同色, 那末涂色的方法有种。

人教版高中数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)A组基础同步训练（原卷版）一、选择题1．求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（）A．10种B．16种C．25种D．32种2．（2021·北京朝阳区高二期末）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（）A．6B．14C．49D．843．（2021·贵州高三开学考试）如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（）A．19B．21C．22D．234．（2021·全国高三专题练习）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）A．54种B．60种C．72种D．96种5．（2021·湖北黄石市黄石二中高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（）A．18B．30C．36D．546．（多选题）（2021·江苏苏州中学高二月考）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A．所有可能的方法有43种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种二、填空题7．3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有_______种. 8．（2021·全国高二课时练）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.未来空气质量预报明天后天周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良9．（2021·广东深圳外国语学校高二期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.10．（2021·湖北高三期中）5400的正约数有______个三、解答题11．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？12．（2021·四川省眉山高二期末）数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色。

第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理双基达标限时20分钟1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为( )．A．6 B．5 C．3 D．2解析“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3＋2＝5种不同的选法．答案 B2．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有 ( )．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解析满足题意的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共有5个，故选D.答案 D3．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有 ( )．A．10种 B．20种 C．25种 D．32种解析5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32种报名方法．答案 D4. 如图所示为一电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电．解析∵按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条；中线路中有1条；下线路中有2×2＝4(条)．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(种)．答案85．在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．答案 2 8806．某校高三共有三个班，其各班人数如下表：班级男生数女生数总数高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：第一类：从1班任选一名学生，有50种不同选法；第二类：从2班任选一名学生，有60种不同选法；第三类；从3班任选一名学生，有55种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165种．(2)由题设知共有三类：第一类：从1班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第二类：从2班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第三类：从3班女生中任选一名学生，有20种不同选法；由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80种．综合提高（限时25分钟）7．设P，Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3，4}，则P*Q中元素的个数是 ( )．A．4 B．7 C．12 D．16解析a有3种取法，b有4种取法，由分步乘法计数原理有3×4＝12(种)不同取法，生成12个不同元素．答案 C8．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 ( )．A．16种 B．18种 C．37种 D．48种解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．答案 C9．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．解析第一个箱子放入1个小球则共有4种情况，第一个箱子放入2个小球则共有3种情况，第一个箱子放入3个小球则共有2种情况，第一个箱子放入4个小球则共有1种情况，据分类加法计数原理共有10种情况．答案1010．如图所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法有________种．解析按照分步乘法计数原理，先为A着色共有5种，再为B着色有4种(不能与A相同)，接着为C着色有3种(不与A，B相同)，同理依次为D、E着色各有3种．所以种数为：N＝5×4×33＝540.答案54011．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？解(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理知，有10＋12＝22(种)取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理知，有10×12＝120(种)取法．12．(创新拓展)设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？解(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14种不同的选法；(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70种不同的选法；(3)三类分别为选国画与油画，油画与水彩画、国画与水彩画，再利用分类加法计数原理和利用分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59种不同的选法．。

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题：1．已知x∈ {2 ， 3， 7} ，y∈ { － 31，－ 24， 4} ，则x·y能够表示不一样值的个数是（A）1+1=2（ B）1+1+1=3（ C）2×3=6（ D）3×3=92．某学生去书店买书，发现三本好书，决定起码买一本，则不一样的买法种数为（ A）3（B）6（C）7（D）93．某电话号码为168×××××，若后边的五个数字都由 6 或 8 构成，则这类电话号码一共有（ A）20个（B）25个（C）32个（D）60个4．此刻有 4 件不一样样式的上衣和三件不一样颜色的长裤，假如一条长裤和一件上衣配成一套，某人要配一套衣服，则不一样的选法数为（ A）7（B）64（C）12（D）815．如图：甲————乙，在少儿公园中有四个圆圈构成的连环道路，从甲走到乙，不一样的路线的走法有（）。

（ A）2种（B）8种（C）12种（D）16种6． 5 个高中应届毕业生报考 3 所要点院校，每人报且仅报一所院校，则不一样的报名方法共有（）种。

（ A）35（B）53（C）15（ D）6二．填空题：7． 5 名男生， 4 名女生，（ 1）若从中派一人出黑板报，共有种不一样的派法；（ 2）若男女各派一人共同写黑板报，共有种不一样的派法。

8．A={1 ，2， 3， 4} ，B={5， 6， 7} ，则从A到B的映照有个。

9．某镇有三家酒店，现有5 名游客住店，则不一样的投宿方法有种。

10．三位正整数所有印出，“ 0”这个铅字需要用个。

11．直线l上有 7 个点，直线上有 8 个点，则经过这些点中的两点最多有m条直线。

12．事件A发生致使事件 B 发生，若 A 发生的方式有m种， B 发生的方式有n 种，则 A、 B 接踵发生的方式有种。

参照答案基础卷1．D2．C3．C 4．C5．D6．A7． 9； 208． 819． 24310． 18011． 5812． mn专心爱心专心1。

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若事件A和B互斥，事件C和D互斥，且A∩C=B∩D=∅，则下列结论正确的是：A. AC与BD互斥B. AC与BD风险集体C. AC与BD包容D. AC与BD是等可能事件2、在5名同学中，需要从他们中选出2名同学参加数学竞赛，不考虑顺序，用组合数表示这个问题的解法是：A.C52B.P52C.A52D.5×43、在一个班里有男生20人，女生15人。

从中任选2人参加某个活动，问恰好选到一男一女的概率是多少？)A.(13)B.(23)C.(37)D.(474、（7×5）×（9×3）可以用以下哪个计数原理来解释？A. 分步乘法计数原理B. 分类加法计数原理C. 排列D. 组合5、在完成一个任务的过程中，有两种方法可以完成，第一种方法有3个步骤，第二种方法有4个步骤，且每个步骤都是独立的，那么完成这个任务的不同方法共有（）种。

A. 7种B. 12种C. 15种D. 21种6、从甲地到乙地之间有3条不同的公路和2条不同的铁路连接，那么从甲地到乙地之间有多少种不同的出行方式？A. 3种B. 5种C. 6种D. 8种7、某班级举行数学竞赛，共有五道题目，其中一道为选择题，两道为填空题，两道为解答题，要求参赛选手必须在规定时间内完成所有题目。

若选择题有四个选项（包含一个错误选项），填空题有四个空格（每个空格填写一个数字），每道解答题目有五个步骤，每一步骤有三种方法，则参赛选手完成所有题目的方法总数为：A. 2,880B. 1,080C. 3,780D. 9,0008、一个班级有5名男生和6名女生，要从中选出2名男生和3名女生参加学校活动，不同的选法共有（）A. 150种B. 120种C. 90种D. 60种二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、某班共有5名男生和4名女生，从中任选2名学生参加志愿者活动。

人教版高中数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步精练（原卷版）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8B．6C．5D．23．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种4．（2021·山东高二）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60B．45C．30D．125．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166B．171C．181D．1886（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.7．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种2．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7B．9C．12D．164．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为__.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示，从A到B共有__________条不同的线路可通电.8．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6B．12C．18D．24【题组三两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法2．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.5．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？人教版高中数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步精练（解析版）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.故选：C.2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8B．6C．5D．2【答案】A【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，⨯=种，所以从甲地到丙地的走法有326二是从甲地不经过乙地到丙地，因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种，+=种，故从甲地到丙地的走法共有628故选：A3．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，++=种.根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：4329故选：B.4．（2021·山东高二）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60B．45C．30D．12【答案】D【解析】因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得：从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.故选：D.5．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166B．171C．181D．188【答案】B【解析】由题意可得：不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100，200有2个，两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，两个数字一样同为2时，有122，有1个同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，综上，不超过200的“单重数”共有2+18+8=28，其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，故第22个“单重数”为171，故选：B.6（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出，带了四款不同类型不同价格的玩具牛，它们的价格费你别是20，30，50，100，某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会，准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只，且必须至少买一款），因信用卡出现故障，身上现金只剩170元，请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【解析】依题意，每款只购一只，且必须至少买一款，且消费金额不能超过170元，故可分为以下几种情况：①只购买一款玩具样品，共四种方案②购买两款玩具样品，买20和30的各一只；买20和50的各一只；买20和100的各一只；买30和50的各一只；买30和100的各一只；买50和100的各一只；共六种方案；③购买三款玩具样品买20，30和50的各一只；买20，30和100的各一只；买20、50和100的各一只；共3种方案；所以购买玩具的方案共有13种；故答案为：137．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种【答案】9【解析】根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻．++=种不同选法．故答案为：9.共 4329【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A⨯⨯=种不同的选法．故选：A.【解析】由乘法计数原理可得共有543602．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为328=种.故选：C3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7B．9C．12D．16【答案】C【解析】根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，⨯=种，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：3412故选：C.4．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C【答案】A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，后面的四个同学都有三种报法，根据分步计数原理知共有63种结果，故选：A．5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】B【解析】分步涂色，第一步对A涂色有5种方法，第二步对B涂色有4种方法，第三步对C涂色有3种方法，第四步对D涂色有3种方法，⨯⨯⨯=．∴总的方法数为5433180故选：B．6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为__.【答案】12【解析】根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，另一个门出，有3种走法，则有4312⨯=种不同的走法.故答案为：12.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示，从A 到B 共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【解析】根据电路图可知，共有22138⨯++=条不同的线路可通电.故答案为：88．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6B．12C．18D．24【答案】B【解析】设3名男选手分别为1A ,2A ,3A ,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为1B ,2B ,3B ,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是1A ,则第二个出场的只能是2B 或3B ,若第二个出场的是2B ,则接下来的出场顺序只能是3A ,1B ,2A ,3B ,同理,若第二个出场的是3B ,则接下来的出场顺序只能是2A ,1B ,3A ,2B ,所以若1A 第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有2612⨯=（种）,故选:B【题组三两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【答案】260【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：2602．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法，当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法，综上，共有12820+=种方法.故答案为：20.3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有种【答案】20【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3412⨯=种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有248⨯=种方法，综上，共有12820+=种方法.故选：D4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】144【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，则区域6只有1种涂色方法，故区域5，6共有213+=种涂色方法，由分步乘法计数原理知，不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为：1445．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式.【答案】6【解析】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++，①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有1313⨯⨯=种支付方式；②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元，此时共有1313⨯⨯=种支付方式；所以总的支付方式共有336+=种．故答案为：6．6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】12【解析】对于①,因为21y x =,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为sin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种;当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种.∴一共有12种选法.故答案为:12.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？（3）若需要1名老师、1名学生参加，则有多少种不同的选法？【答案】（1）16；（2）120；（3）39.【解析】（1）需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法.共有38516++=种不同的选法；（2）需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法.共有385120⨯⨯=种不同的选法；（3）第一步选老师有3种不同的选法，第二步选学生有8513+=种不同的选法，共有31339⨯=种不同的选法.。