下载文档原格式
正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2， 故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
01第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,下列关系一定成立的是( ).A.a>b sin AB.a≤b sin AC.a<b sin AD.a≥b sin A答案:D2在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于( ).A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对答案:C3在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系是( ).A.A>BB.A<BC.A=BD.不确定答案:A4在△ABC中,若a∶b∶c=2∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( ).A.2∶5∶6B.6∶5∶2C.6∶2∶5D.不确定解析:由正弦定理,知sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶5∶6.答案:A5在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 .解析:C=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得a sinA =c sinC ,即20sin45°=csin60°,故c =20sin60°sin45°=20×322=10 6.答案:1066在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =3,b =1,A =π3,则B = .解析:由正弦定理得a sinA =bsinB ,所以3sinπ3=1sinB ,解得sin B BB =12,所以=5π6或=π6,又因为a B<A ,所以B=3,b =1,所以=π6.答案:π67在△ABC 中,A=2π3,a =3c ,则b c= .解析:由正弦定理sin C a>c ,可得C知sinAsinC =ac =3,即=sin2π33=12,又=π6,∴B =π‒2π3‒π6=π6,∴b =c ,即bc=1.答案:18在△ABC 中,若B=2A ,a ∶b=1∶3,则A = . 解析:∵B=2A ,∴sin B=sin2A ,∴sin B=2sin A cos A ,∴sinA sinB =12cosA.由正弦定理,得ab =sinAsinB =13,A ∴12cosA =13,∴cos =32.又0°<A<180°,∴A=30°.答案:30°9在△ABC 中,a=5,B=45°,C=105°,求边c.解由三角形内角和定理,知A+B+C=180°,故A=180°-(B+C )=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理,得c=a ·sinC sinA=5·sin105°sin30°=5·sin (60°+45°)sin30°=5·sin60°cos45°+cos60°sin45°sin30°=52(6+2).10在△ABC 中,已知a =2,b =2,A =30°,解此三角形.解sin B由a sinA =bsinB ,得=bsinA a =2sin30°2=2.∵0°<B<180°,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-(A+B )=180°-(30°+45°)=105°.∵c sinC =a sinA,∴c=asinC sinA =2sin105°sin30°=2×6+212=3+1.当B=135°时,C=180°-(A+B )=180°-(30°+135°)=15°,∴c=asinCsinA =2sin15°sin30°=2×6-212=3‒1.综上可得,B=45°,C=105°,c B=135°,C=15°,c =3+1或=3‒1.能力提升1在△ABC 中,A=60°,a=13,则a +b +csinA +sinB +sinC等于( ).A .833B .2393C .2633D .23解析:由a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60°=2393.答案:B2在△ABC中,若a=4,A=45°,B=60°,则b的值为( ).A.26B.2+23C.3+1D.23+1解析:由正弦定理得,asinA=bsinB,则b =asinBsinA=4sin60°sin45°=2 6.答案:A★3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC 一定是( ).A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:由m∥n得a2tan B=b2tan A,结合正弦定理有sin2Bsin2A=tanBtanA,∴sinBsinA=cosAcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=π.∴A=B或A+B =π2,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.答案:D4在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3b cos A=c cos A+a cos C,则tan A的值是( ).A.-22B.‒2C.22D.2解析:由正弦定理得b=2R sin B,c=2R sin C,a=2R sin A,则3(2R sin B)cos A=2R sin C cos A+2R sin A cos C,则有3sin B cos A=sin(C+A)=sin B.又∵sin B≠0,则cos A =13>0,∴A 为锐角,∴sin A=1-cos 2A =1-19=22,则有tan A =sinAcosA=22313=2 2.答案:C5在△ABC 中,B=30°,C=120°,则a ∶b ∶c= . 解析:由题意得A=180°-B-C=30°,则sin A B C =12,sin =12,sin =32,∴a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=1∶1∶ 3.答案:1∶1∶36在单位圆上有三点A ,B ,C ,设△ABC 三边长分别为a ,b ,c ,则asinA +b2sinB +2csinC = .解析:由正弦定理得asinA =2R =2,b 2sinB =R =1,2csinC=4R =4,故a sinA +b 2sinB +2c sinC=2+1+4=7.答案:77已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =n =(cos A ,sin A ),若m ⊥n ,且(3,‒1),a cos B+b cos A=c sin C ,则角B= . 解析:由题意知m ·n =0,A-sin A=0.∴3cos ∴tan A=3,A =π3.又a cos B+b cos A=c sin C ,∴由正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A=sin 2C ,即sin(A+B )=sin 2C ,sin(π-C )=sin 2C ,sin C=sin 2C.∴sin C=1.∴C=π2.∴B =π6.答案:π6★8已知△ABC 为锐角三角形,角A ,B ,C 分别对应边a ,b ,c ,且a=2b sin A ,求cos A+sin C 的取值范围.解设R 为△ABC 外接圆的半径.∵a=2b sin A ,∴2R sin A=4R sin B sin A.∵sin A ≠0,∴sin B =12.∵B 为锐角,∴B=π6.令y=cos A+sin C=cos A+sin[π-(B+A )]=cos A+si n(π6+A )=cos A+siA+co An π6coss π6sinAA=32cos +32sin =3sin (A +π3).由△ABC 为锐角三角形,知π2‒B <A <π2,∴π3<A <π2.∴2π3<A +π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<32.∴32<3sin (A +π3)<32,即32<y <32.∴cos A+sin C 的取值范围是(32,32).。
第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知在△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于().A.76B.解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=42+62-2×4×6cos 120°=76,所以b=答案:B2在△ABC中,sin A△ABC的外接圆的半径R=2,则a等于().A解析:A=2×2sin A答案:B3在△ABC中,已知bAC解析:由b2=a2+c2-2ac cos B,得2=a2+1-2a cos 45°,解得a a).答案:B4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B△ABC的面积为(). A.C.解析:A=π-(B+C)=π由正弦定理则a故S△ABC C答案:B5若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC().A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13及正弦定理,得a∶b∶c=5∶11∶13.设a=5t,b=11t,c=13t,由余弦定理,得cos C C为钝角.答案:C6在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2A.30°B.60°C.120°D.150°解析:利用正弦定理,sin C=B可化为c=所以cos A所以A=30°.答案:A7△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,bA.解析:由正弦定又∵B=2A,∴cos A∴B=60°,C=90°,∴c答案:B8△ABC的三边分别为a,b,c且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为(). A.解析:∵S△ABC B,∴c=由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=12+(45°=25.∴b=5.由正弦定理得2R△ABC外接圆的半径).答案:C9在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是().A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.解析:∵△ABC是锐角三角形,∴B=2A<90°,C=180°-3A<90°,即30°<A<45°.AC·BC=2cos A.又30°<A<45°,∴AC∈答案:D10如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为().AB.3CD.3解析:由题意知PM=68海里,∠MPN=120°,∠N=45°.由正弦定理,∴MN=68).∴速度/时).答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC中,A=45°,C=105°,BC解析:B=180°-A-C=30°,由正弦定理,AC·BC答案:112在△ABC中,BC=3,AB=2,解析:由a=3,c=2,知b故cos A答案:120°13在△ABC中,若B=60°,a=1,S△ABC解析:把已知条件代入面积公式S△ABC B得c=2.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=3,故b由正弦定理答案:214如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=.解析:在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=10m.在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可MA Rt△MNA中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=10MN=150 m.答案:150 m15如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD在△ABD中,由余弦定理,得cos A又A为△ABC的内角,∴sin A在△ABC中,由正弦定理∴sin C·sin A答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin B(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解(1)由2a sin B得sin A因为A是锐角,所以A(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc由三角形面积公式S A,得△ABC的面积17(8分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C(1)求证:A=B;(2)若△ABC的面积S(1)证明由余弦定理,得cos A所以c=2b·c2=b2+c2-a2,所以a2=b2.所以a=b,所以A=B.(2)解由(1)知a=b.因为cos C所以sin C因为△ABC的面积S所以S C a=b=5.由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab cos C=10,所以c18(9分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).(1)求证:A=2B;(2)若a△ABC的形状.(1)证明因为a2=b(b+c),即a2=b2+bc,所以在△ABC中,由余弦定理,可得cos B所以sin A=sin 2B,故A=2B.(2)解因为a由a2=b(b+c)可得c=2b,cos B所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以△ABC为直角三角形.19(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c, (1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2解(1)根据正弦定理,可则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2根据余弦定理,有cos A所以sin A由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所B B B,故tan B20(10分)在△ABC中,a,b,c为△ABC的三边长,a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求△ABC中最大角的度数.解∵a2-a-2b-2c=0,∴b+c∵a+2b-2c+3=0,∴b-c=解①②组成的方程得bc由②知b<c,由③知a>3,c-a∴c>a,故c为最大边,角C为最大角.在△ABC中,由余弦定理的推论得cos C。
第一章 1.1 第3课时A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于导学号 68370090( D ) A ．12 B ．212C ．28D ．6 3[解析] 由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋64－492×3×8＝12，∴sin A ＝32． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝63．2．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是导学号 68370091( C )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <433D ．2<x ≤433[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a ． 即32x <2<x ，∴2<x <433． 3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是导学号 68370092( B )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°． 故△ABC 是等边三角形．4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为导学号 68370093( B )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B ．5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于导学号 68370094( B )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6[解析] ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6． 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52k c ＝32k．∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3． 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是导学号 68370095( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332．二、填空题7．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__4__．导学号 68370096[解析] 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b ，又因为a ＝2，所以b ＝3；由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×(－14)＝16，所以c ＝4．8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为导学号 68370097[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b 、c ． 由条件可知，b ＋c ＝9，bc ＝8， ∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos60° ＝57， ∴BC ＝57． 三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B2，求三角形各边边长．导学号 68370098[解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°．由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14， ∴a ＋c ＝16∴a 、c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10， ∴该三角形各边长为14,10和6．10．(2017·北京理，15)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a ．导学号 68370099(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314． (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63．B 级 素养提升一、选择题1．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，则角B 的大小为导学号 68370100( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[解析] 由正弦定理得(b －c )(b ＋c )＝a (a －3c )，即a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，∴B ＝30°，选A ．2．在△ABC 中，有下列关系式： ①a sin B ＝b sin A; ②a ＝b cos C ＋c cos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C; ④b ＝c sin A ＋a sin C ． 一定成立的有导学号 68370101( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为导学号 68370102( D )A ．－19B ．13C ．1D ．72[解析] ∵3a ＝3b ，∴b ＝32a ，由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72． 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝导学号 68370103( D )A ．154B ．34C ．3 1516D ．1116[解析] ∵6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， ∴6a ＝4b ＝3c ， ∴b ＝32a ，c ＝2a ．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－94a 22a ×2a＝1116．二、填空题5．在△ABC 中，BC ＝8，AC ＝5，且S △ABC ＝12，则cos2C ＝__725__．导学号 68370104[解析] 利用二倍角公式和三角形面积公式求解．S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝20sin C ＝12，sin C＝35，所以cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725． 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__．导学号 68370105[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中， cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x 2，在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x ，∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x2＝－x 2－22x ，∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1．三、解答题7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0． 导学号 68370106 (1)求角C 的值；(2)若三边a 、b 、c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)已知(2a －b )cos C －c cos B ＝0可化为(2sin A －sin B )cos C －sin C cos B ＝0， 整理得2sin A cos C ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos C ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3．(2)由(1)知cos C ＝12，又a ＋b ＝13，c ＝7，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝169－3ab ， 即49＝169－3ab ，∴ab ＝40，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×40×sin π3＝103．C 级 能力拔高1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．导学号 68370107 (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．[解析] (1)∵角A 、B 、C 为△ABC 的内角， 且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35．∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310． (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310．又∵B ＝π3，b ＝3，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65．∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350．2．(2017·天津理，15)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35．导学号 68370108(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45．由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋36－2×5×6×45＝13，所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝bcos B ，得sin A ＝a sin B b ＝3 1313．所以b 的值为13，sin A 的值为3 1313．(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513．所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋(－513)×22＝7226．。
1.1.1 正弦定理(二)【学习目标】1．能应用正弦定理解三角形；2．掌握三角形面积公式；3．能利用条件判断三角形解的个数【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断.【知识梳理】1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ； (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. 2．正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12acsin B . 4．ABC ∆中，已知,a b 及锐角A ，则a 、b 、sin A 满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ),( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a ⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【课内练习】1、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120° 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3， b ＝1，则c ＝________.3．（1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆；（2）在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4， cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .【课外练习】1．△ABC 中,∠A、∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A ．1 B ．2C. 12D ．4 3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 4．（1）在ABC △中，3,6,30a c A ===o ，求ABC △的面积S .（2）在ABC △中，4,30,45a B C ===o o，求ABC △的外接圆半径R 和面积S .。
第一章 1.2第1课时A级基础巩固一、选择题1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为导学号68370125(D)A．10 km B． 3 kmC．10 5 km D．107 km[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107，即A、C两地的距离为107 km．2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是导学号68370126(D)A．γ，c，αB．b，c，αC．c，α，βD．b，α，γ[解析]本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时导学号68370127(C)A．5 n mlie B．5 3 n mlieC．10 n mlie D．10 3 n mlie[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为导学号 68370128( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)导学号 68370129( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是导学号 68370130( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km ．二、填空题7．两船同时从A 港出发，甲船以每小时20 n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12 n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距__28__n mile ．导学号 68370131[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12×cos120°＝784． ∴BC ＝28 n mile ．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝3__cm ．导学号 68370132 [解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°． ∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°．求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)导学号 68370133[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？导学号 68370134[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°．由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7．787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7．06(n mile)．∵h >6．5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为导学号 68370135( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为导学号 68370136( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是 导学号 68370137( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile ．此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．导学号 68370138[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．导学号 68370139[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0．5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．导学号 68370140[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．导学号 68370141[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos (α1－β1)．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin (α1＋α2)；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos (β2＋α2)．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile /h 的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．导学号 68370142(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2t sin45°＝10－2t sin75°， 则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝5(3－3)3<5．答：经过5(3－3)3小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
第一章 1.1 第3课时A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于导学号 68370090( D ) A ．12 B ．212C ．28D ．6 3[解析] 由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋64－492×3×8＝12，∴sin A ＝32． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝63．2．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是导学号 68370091( C )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <433D ．2<x ≤433[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a ． 即32x <2<x ，∴2<x <433． 3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是导学号 68370092( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°．故△ABC 是等边三角形．4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为导学号 68370093( B )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B ．5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于导学号 68370094( B )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6[解析] ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6． 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52k c ＝32k．∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3． 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是导学号 68370095( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332．二、填空题7．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__4__．导学号 68370096[解析] 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b ，又因为a ＝2，所以b ＝3；由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×(－14)＝16，所以c ＝4．8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为导学号 68370097[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b 、c ． 由条件可知，b ＋c ＝9，bc ＝8， ∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos60° ＝57， ∴BC ＝57． 三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B2，求三角形各边边长．导学号 68370098[解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°．由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac ＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14， ∴a ＋c ＝16∴a 、c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10，∴该三角形各边长为14,10和6．10．(2017·北京理，15)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a ．导学号 68370099(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314． (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63．B 级 素养提升一、选择题1．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，则角B 的大小为导学号 68370100( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[解析] 由正弦定理得(b －c )(b ＋c )＝a (a －3c )，即a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，∴B ＝30°，选A ．2．在△ABC 中，有下列关系式： ①a sin B ＝b sin A; ②a ＝b cos C ＋c cos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C; ④b ＝c sin A ＋a sin C ． 一定成立的有导学号 68370101( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为导学号 68370102( D )A ．－19B ．13C ．1D ．72[解析] ∵3a ＝3b ，∴b ＝32a ，由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72． 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝导学号 68370103( D ) A ．154B ．34C ．3 1516D ．1116[解析] ∵6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， ∴6a ＝4b ＝3c ， ∴b ＝32a ，c ＝2a ．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－94a 22a ×2a＝1116．二、填空题5．在△ABC 中，BC ＝8，AC ＝5，且S △ABC ＝12，则cos2C ＝__725__．导学号 68370104[解析] 利用二倍角公式和三角形面积公式求解．S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝20sin C ＝12，sin C＝35，所以cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725． 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__．导学号 68370105[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中， cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x2，在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x ，∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x2＝－x 2－22x ，∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1．三、解答题7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0． 导学号 68370106 (1)求角C 的值；(2)若三边a 、b 、c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)已知(2a －b )cos C －c cos B ＝0可化为(2sin A －sin B )cos C －sin C cos B ＝0， 整理得2sin A cos C ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos C ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3．(2)由(1)知cos C ＝12，又a ＋b ＝13，c ＝7，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝169－3ab ，即49＝169－3ab ，∴ab ＝40，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×40×sin π3＝103．C 级 能力拔高1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．导学号 68370107 (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．[解析] (1)∵角A 、B 、C 为△ABC 的内角， 且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35．∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310．(2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310．又∵B ＝π3，b ＝3，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65．∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350．2．(2017·天津理，15)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35．导学号 68370108(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45．由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋36－2×5×6×45＝13，所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝bcos B ，得sin A ＝a sin B b ＝3 1313．所以b 的值为13，sin A 的值为3 1313．(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513．所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋(－513)×22＝7226．。
