3.3抛物线

选择性必修第一册 3.3 抛物线一、选择题（共14小题）1. 抛物线y=−18x2的准线方程是( )A. x=132B. y=2 C. y=132D. y=−22. 已知A(0,1)和直线l:x=−5，抛物线y2=4x上动点P到l的距离为d，则∣PA∣+d的最小值是( )A. 6B. 5+√2C. 4+√2D. 4√23. 顶点在原点，准线方程为x=−2的抛物线方程为( )A. y=2x2B. y2=2xC. y2=8xD. y2=4x4. 抛物线y2=4x上一点M的横坐标为1，则点M到抛物线焦点的距离为( )A. 3B. 1C. 2D. 05. 顶点为原点，焦点为F(0,−1)的抛物线方程为( )A. y2=−2xB. y2=−4xC. x2=−2yD. x2=−4y6. 抛物线y=16x2的准线方程为( )A. x=124B. y=−124C. x=32D. y=−327. 已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y轴的距离是( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知抛物线y2=16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则∣NF∣9−4∣MF∣的最小值为( )A. 23B. −23C. −13D. 139. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A. 34B. 1 C. 54D. 7410. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动，M为线段AB的中点，则M点到y轴的最短距离为( )A. 12B. 1 C. 32D. 211. 抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A，B两点，其中A(1,2)，设抛物线焦点为F，则∣FA∣+∣FB∣的值为( )A. 3√5B. 5C. 6D. 712. 设点A的坐标为(1,√15)，点P在抛物线y2=8x上移动，P到直线x=−1的距离为d，则d+∣PA∣的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知抛物线 C ：y 2=8x 的焦点为 F ，P 是抛物线 C 的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点．若 ∣PQ ∣=√2∣QF ∣，则直线 PF 的方程为 ( ) A. x −y −2=0 B. x +y −2=0 C. x −y +2=0 D. x +y +2=014. 已知双曲线 x 2−y 2m=1 与抛物线 y 2=8x 的一个交点为 P ，F 为抛物线的焦点，若 ∣PF∣=5，则双曲线的渐近线方程为 ( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =0二、填空题（共5小题） 15. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x =−2，则抛物线的方程是 ．16. 已知 F 为抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点，以 F 为顶点作一个两条对角线长分别为 2√3 和 2 的菱形 PFRQ （ ∣PR∣>∣FQ∣∣ ） ，如图所示．若抛物线经过 P ，R 两个顶点，则抛物线的方程为 ．17. 已知点 P 是抛物线 x 2=4y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是 Q ，若点 A (8,7)，∣PA ∣+∣PQ ∣的最小值为 ．18. 已知抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点为 F ，A ，B 为此抛物线上的异于坐标原点 O 的两个不同的点，满足 ∣∣FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12，且 FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则 p = ．19. 已知以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于 D ，E 两点，若 ∣AB ∣=4√2，∣DE ∣=2√5，则 C 的焦点到准线的距离为 ．三、解答题（共5小题） 20. 抛物线的离心率能否变化?对抛物线形状有影响吗?21. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米．（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图），求该抛物线的方程．（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米?22. 如图，一座圆拱桥，当水面在m位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米．当水面下降1米后水面宽多少米?23. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣，试求a的取值范围．24. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，∣PQ∣，求C的方程．且∣QF∣=54答案1. B【解析】因为y=18x2，所以x2=−8y，所以其准线方程是y=2．2. C【解析】抛物线准线为x=−1，P到其距离为d1，则d=d1+4，所以∣PA∣+d=4+d1+∣PA∣=4+∣PF∣+∣PA∣≥4+∣FA∣=4+√2．3. C4. C5. D6. D【解析】将已知抛物线的方程化为x2=6y，焦点在y轴正半轴上，且p2=14(2p)=14×6=32，所以抛物线的准线方程为y=−32．7. C【解析】抛物线y2=4x，则准线方程为x=−1，因为P到其焦点的距离为5，则到其准线的距离也为5，所以P点到y轴的距离为4．8. D【解析】设∣NF∣=x，∣MF∣=y，由抛物线过焦点的弦性质，1∣MF∣+1∣NF∣=2p，所以1x +1y=28=14⇒1y=14−1x，而∣NF∣9−4∣MF∣=x9−4y=x9−4(14−1x)=x9−1+4x≥2√49−1=13.9. C【解析】由抛物线的标准方程可知p=12．假设点A到准线的距离为d1，点B到准线的距离为d2，则d1+d2=3．所以线段AB的中点到y轴的距离为32−p2=54．10. B【解析】如图所示，抛物线y2=2x的准线为l:x=−12，过A，B，M分别作AAʹ，BBʹ，MMʹ垂直于l，垂足分别为Aʹ，Bʹ，Mʹ．由抛物线定义知∣AAʹ∣=∣FA∣，∣BBʹ∣=∣FB∣．又M为AB中点，由梯形中位线定理得∣MMʹ∣=12(∣AAʹ∣+∣BBʹ∣)=12(∣FA∣+∣FB∣)≥12∣AB∣=12×3=32，则M到y轴的距离d≥32−12=1（当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”），所以d min=1，即M点到y轴的最短距离为1．11. D【解析】把A点坐标分别代入抛物线方程和直线方程可以求出p=2，a=−4．联立抛物线和直线的方程，可以解出B点的坐标为(4,−4)．所以∣FA∣+∣FB∣=7 .12. C【解析】点P到准线x=−2的距离为d+1，设点F为抛物线的焦点，则∣PF∣=d+1，所以d+∣PA∣=∣PF∣−1+∣PA∣，当A，P，F三点共线时，∣PF∣+∣PA∣取得最小值，故d+∣PA∣的最小值为∣AF∣−1=4−1=3．故选C．13. B【解析】如图，设准线与x轴的交点为M，过点Q作QH⊥PM于H．因为∣PQ∣=√2∣QF∣，由抛物线的定义得∣PQ∣=√2∣QH∣，所以在Rt△PQH中，∠PQH=π4，所以∠PFM=π4，所以直线PF的斜率k=−1，则直线PF的方程为y−0=(−1)(x−2)，即x+y−2=0，故选B．14. C【解析】因为点P在抛物线y2=8x上，∣PF∣=5，所以P(x0,y0)满足x0+p2=5，得x0=5−p2=5−2=3，因此y02=8x0=24，得y0=±2√6，所以点P(3,±2√6)在双曲线x2−y2m=1上，可得9−24m=1，解之得m=3，所以双曲线标准方程为x2−y23=1，得a=1，b=√3，渐近线方程为y=±bxa，即y=±√3x．15. y2=8x16. y2=2x【解析】由已知条件知∣FQ∣∣=2，∣PR∣=2√3，所以∣PF∣=2，且点P的横坐标为p2+1，根据抛物线的定义知∣PF∣=x p+p2=p2+1+p2=p+1，则由p+1=2，得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．17. 918. 419. 420. 抛物线的离心率是固定不变的，抛物线的离心率e=1，但抛物线的形状不同，如y2=x与y2= 2x．21. （1）如图所示．根据题意可设该抛物线的方程为x2=−2py(p>0)．因为点C(5,−5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=−5y．（2）设车辆高为ℎ米，则∣DB∣=ℎ+0.5，故D(3.5,ℎ−6.5)，代入方程x2=−5y，解得ℎ=4.05，所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米．22. 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A(6,−2)，设圆的半径为r，则C(0,−r)，即圆的方程为x2+(y+r)2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+(y+10)2=100，则当水面下降1米后可设Aʹ的坐标为(x0,−3)（x0>0），代入圆的方程可得x0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．23. 对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣．（1）若a≤0，显然适合．（2）若a>0，点P(a,0)都满足∣PQ∣≥∣a∣就是a2≤(a−y22)2+y2，即a≤y24+1≤1，0<a≤1，则a的取值范围(−∞,1]．24. 设点Q的坐标为(x0,4)，把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0)，可得x0=8p，由P(0,4)，得∣PQ∣=8p，又∣QF∣=x0+p2=8p+p2，∣QF∣=54∣PQ∣，所以8p +p2=54⋅8p，解得p=2或p=−2（舍去）．故C的方程为y2=4x．。

抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．42．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8 3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线D ．椭圆4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．245．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或66．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．27．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．8．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.11.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.3抛物线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PN QM +的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ，圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()121212292109302930123042x x x x x x =++++=++≥⋅=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 2．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 则p 的值为( )A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据线条长度关系解除A 、B 点横坐标12x x 、（用p 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于p 的方程，解出p 即可. 【详解】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142p OF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=， 所以228443333BM p p p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以143323CDF S P P ∆=⨯=, 解得62p =或62p =-（舍去）， 故选：C 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 3．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==，∴()1,2C -，设抛物线22y px =，代入C 点，可得22y x =-∴焦点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.4．已知点A 是抛物线()220y px p =>上的一点，若以其焦点F 为圆心，以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B 、C 两点，若BFC θ∠=且满足22sin sin sin 23cos θθθθ+-=，当ABC 的面积为643时，则实数p 的值为( ) A ．4 B ．42C ．8D ．82【答案】B 【解析】由22sin sin sin23cos θθθθ+-=,移项得sin sin23cos θθθ-=-22sin θ,化简为2sin 2sin cos 3cos 22cos θθθθθ-=-+,即()()()sin 12cos cos 22cos 1θθθθ-=+-,可得()()2cos 1sin cos 20θθθ-++=,1cos ,23πθθ==,又由图知EF p =,则在EFB∆中,22tan2BC BE p θ==,设A 到BC 的距离为d,则d AF BF ==,cos2pBF θ=,211264···2tan ?22233cos 2ABC p S BC d p p θθ∆====,解得p=故选B.点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的p 和角θ来表示,列出三角形ABC 的面积,求出p 的值. 5．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =（0x >）和0y =C ．28y x =（0x >）D ．28y x =（0x >）和0y =（0x <）【答案】D 【解析】圆2240x y x +-=化为()2224x y -+=，圆心()2,0C ，半径2r，设动圆的圆心为(),M x y ，半径为r ，则根据题意0r x =≠，且2MC r =+2x =+，当0x >时，化简有()()22222x y x -+=+，即28y x =，当0x <时，化简有()()22222x y x -+=-+，即0y =，故选择D.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线C ：24y x =，如图，一条平行于x 轴的光线从点()()114,14A y y <<发出，射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线C 的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出至点()24,B y ，下列说法中正确的是（ ）A ．光路APQB 长度的最小值为10 B ．光路APQB 长度的最大值为10C ．光路APQB 长度恒等于10D ．以上说法均不正确【答案】C 【解析】 【分析】本题先求2p =，再化简P Q PQ x x p =++，4P PA x =-，4Q QB x =-，最后再确定光路APQB 长度等于PA PQ QB ++化简整理即可得到答案. 【详解】解：根据题意设(,)Q Q Q x y ，(,)P P P x y ，因为抛物线方程为：24y x =，所以24p =即2p =根据抛物线的定义：P Q PQ x x p =++，根据题意：4A P P PA x x x =-=-，4B Q Q QB x x x =-=-， 光路APQB 长度等于PA PQ QB ++，(4)()(4)810P P Q Q PA PQ QB x x x p x p ++=-++++-=+=，所以光路APQB 长度恒等于10. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.7．已知双曲线22221x y a b-=5圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A ．25y x =B ．25y x =C ．25y x =D ．25y x =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得222bca b =+ ，即2b = ，又因为离心率为245a a += ，可得1,5,5,252pa c p =∴=∴== ，所以抛物线的方程为245y x = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．已知直线是抛物线的准线，是上的一动点，则到直线与直线的距离之和的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由抛物线的定义可知点到准线的距离等于；点到直线的距离；结合图形可知当且仅当三点共线时，距离之和最小，其最小值为点到直线的距离，即，应选答案C 。