抛物线基础知识(详尽版)

有关抛物线的所有知识点
抛物线是一种常见的数学曲线，被广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

在本文中，我们将探讨与抛物线相关的所有知识点，包括定义、方程、性质、实际应用等方面。

一、抛物线的定义
抛物线是由平面上的一条定直线（称为“准线”）和一个不在准线上的定点（称为“焦点”）所确定的曲线。

所有到准线距离与到焦点距离的比值相等的点所构成的集合即为抛物线。

二、抛物线的方程
抛物线的一般式方程为：
y=ax²+bx+c
其中，a、b、c均为实数，且a≠0。

抛物线的顶点坐标为：
(-b/2a, c-b²/4a)
三、抛物线的性质
1. 抛物线对称轴垂直于准线，经过抛物线顶点。

2. 抛物线的焦点在对称轴上方或下方，距离对称轴的垂足的距离为c/a。

3. 抛物线的准线过抛物线的焦点，与对称轴垂直。

4. 从抛物线的焦点到抛物线任意一点的距离等于该点到对称轴的距离。

5. 抛物线的切线斜率等于该点处的导数，即2ax+b。

6. 抛物线的直径是平行于准线的直线，且经过抛物线顶点。

四、抛物线的实际应用
1. 物理学中，抛物线被用来描述自由落体运动、炮弹弹道、斜
面运动等现象。

2. 工程中，抛物线被用于设计塔吊、钟摆、悬链线等结构。

3. 计算机图形学中，抛物线被用于绘制动画、模拟物理运动等。

总之，抛物线是一种非常重要的数学曲线，在各行各业都有广
泛的应用。

掌握抛物线的定义、方程、性质和实际应用，不仅可
以加深对数学和物理的理解，还可以为工程、计算机图形学等领
域的应用提供重要的基础。

抛物线的全部知识点抛物线是数学中非常重要的曲线之一，它在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

以下是抛物线的全部知识点：1. 抛物线的定义：抛物线是平面上各点到一个定点（焦点）与该定点所在直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

通常我们用二次函数的标准形式来表示抛物线：y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数，且a≠0。

2.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上到该点的距离与抛物线与x 轴的距离之比为常数的点。

准线是与焦点等距的直线。

3.抛物线的对称轴：对称轴是通过焦点和抛物线上其它任意一点的直线，它将抛物线分成两部分，且两部分是对称关系。

4.抛物线的顶点：顶点是抛物线上曲线最高或最低点的坐标。

在标准形式的二次函数中，顶点的x坐标为-x轴的对称轴的值，y坐标为函数的极值。

5.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

6.抛物线的焦距和直径：焦距是焦点到准线的距离，直径是准线上两个焦点之间的距离，直径是焦距的两倍。

7. 抛物线的标准形式和顶点形式转换：通过平移和缩放，可以将二次函数转换为标准形式或顶点形式。

标准形式的抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数；顶点形式的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，其中(a,b)为顶点的坐标，h为顶点的x坐标，k为顶点的y坐标。

8. 抛物线的焦点和准线的坐标计算：焦点的坐标为(x,y)，其中x = -b/2a，y = (4ac-b^2)/4a。

准线的方程为x = -b/2a。

9.抛物线的性质：抛物线是连续曲线，没有断点；抛物线是光滑曲线，没有拐点；对于开口向上（a>0）的抛物线，它是上升曲线；对于开口向下（a<0）的抛物线，它是下降曲线。

10.抛物线的切线和法线：切线是曲线上其中一点的切线，与曲线在该点的切点重合。

法线是与切线垂直的直线。

11.抛物线的渐近线：抛物线的对称轴和渐近线没有交点，但抛物线的顶点离开对称轴趋近于无穷远时，它会与对称轴越来越接近，近似成为渐近线。

抛物线基础知识标准方程的求法：若已知对称轴在坐标轴上而不知开口方向，可简单设为22,ax y ay x ==，避免讨论。

1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0(>p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有>∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 （1）相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21或2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21（2）中点),(00y x M , 2210x x x +=，2210y y y +=（3）点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-，2121212y y px x y y +=--a.在涉及斜率问题时，212y y p k AB+=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，0212121222y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB=，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）。

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

【知识梳理】 1、定义平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.3、通径过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 4、焦点弦的性质过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，过,A B两点分别作准线的垂线，垂足为,H K ，M 为线段AB 的中点，过M 作准线的垂线，垂足为N ，准线与x 的交点为T 则（1）12x x ⋅=定值24p ；（2）12y y ⋅=定值2p -；（3）11||||FA FB +=定值2p ； （4）12AB x x p =++；（5）()1221122p x y x y y y +=-+；（6）24HK AF BF =； （7）24HFK AHFBKF S SS=；（8）AN ⊥HF ，BN ⊥KF ；（9）以AB 为直径的圆与准线相切；以AF 、BF 为直径的圆与y 轴相切； （10）ATF BTF ∠=∠；5、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过,A B 两点分别作准线的垂线，垂足为,H K ，则HF KF ⊥.6、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则NF AB ⊥.7、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则AN BN ⊥8、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则（1）12x x ⋅=定值2m ；（2）12y y ⋅=定值2pm -； （3）2OA OB m p ⊥⇔=；（4）m p =时，2211||||MA MB +=定值21p. 9、过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，直线AB 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=10、设点是抛物线2:2(0)L y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线L 上的n 个不同的点，若120n FP FP FP +++=，则12n FP FP FP np +++=.11、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点． 若M 是抛物线C 准线上的点，则直线,,MA MF MB 的斜率成等差数列.F。

完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。

以下是对抛物线知识点的详细总结。

1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。

2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。

3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。

4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。

5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。

6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。

7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。

8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。

9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。

10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。

11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。

12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。

13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。

14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。

15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。

16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。

17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。

18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。

超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。

在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。

下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。

准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。

2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。

通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。

3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。

通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。

4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。

焦点形式可以直接得到焦点坐标。

5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。

准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。

6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。

焦距是焦点到准线的垂直距离。

7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。

即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。

8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。

切线的斜率等于该点处的导数。

法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。

9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。

直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。

10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。

11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。

即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。

抛物线性质和知识点总结1. 抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。

其基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。

a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

2. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。

3. 抛物线的焦点和直线方程抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。

抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。

当直线与抛物线相切时，两个交点重合。

当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。

4. 抛物线的焦距和离心率抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。

5. 抛物线的性质抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b）抛物线的顶点在对称轴上；c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；d）与y轴的交点是常数项c；e）抛物线的焦点到直线方程的距离等于抛物线到直线方程的对称轴的距离。

6. 抛物线的知识点抛物线的知识点是在解决抛物线问题时需要掌握的知识，包括：a）抛物线的标准形式、一般形式、顶点形式和焦点形式的相互转化；b）抛物线的顶点、对称轴、焦点和直线方程的求法；c）抛物线与直线的交点和相切点的求法；d）抛物线的焦距和离心率的求法；e）抛物线的方程的实际应用问题。

引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。

本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。

正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。

2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。

3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。

4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。

5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。

二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。

2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。

4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。

三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。

3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。

4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。

四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。

2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。

3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。

4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。

5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。

五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。

抛物线知识点归纳抛物线是一种二次曲线，它的数学定义是指与定直线称为焦点、线段垂直且等于不等于焦点到定直线的距离的所有点的集合。

1.概念与性质：- 抛物线由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定，一般表示为y=ax²+bx+c。

-抛物线关于y轴对称，焦点和准线的图像都在直线y=-d处，直线y=-d称为对称轴。

-抛物线开口方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

-抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标为（-b/2a,c-b²/4a）。

- 抛物线与x轴交于两个点，称为零点或根，可以通过求解ax²+bx+c=0来计算。

-抛物线的焦距是焦点到准线的距离，即2，a，/，a。

-抛物线在焦点处有对称轴的切线。

- 抛物线的导数为二次函数的一次函数，即f’(x)=2ax+b，表示抛物线的切线斜率。

2.抛物线方程的标准形式：-标准形式是指抛物线方程化简为y=a(x-h)²+k的形式。

-其中(h,k)是顶点的坐标。

-标准形式方程中，a的值决定了抛物线的开口方向、大小和形状。

3.抛物线的图像：-根据抛物线方程的标准形式可以绘制抛物线的图像。

-当a>0时，抛物线开口朝上，图像在顶点处最低，并向上开口。

-当a<0时，抛物线开口朝下，图像在顶点处最高，并向下开口。

-根据a的绝对值的大小，可以判断抛物线的瘦胖程度，绝对值越大，抛物线越瘦。

4.抛物线的应用：-抛物线是物理学中众多力学问题的数学模型，如自由落体、抛体运动等。

-在工程学中，抛物线用于设计弧线桥、天桥和溢流堰等建筑物。

-抛物线也被广泛应用于计算机图形学、动画设计和游戏开发等领域。

-抛物线还可以用于解决实际生活中的优化问题，例如计算抛物线最远投掷距离、最短时间等问题。

5.抛物线与其他数学概念的关系：-抛物线与直线的关系：直线可以与抛物线相交于两个点，称为抛物线的零点。

-抛物线与圆的关系：圆是一种特殊的抛物线，焦点和准线重合。