2017-2018年福建省泉州市马甲中学高二上学期期中数学试卷及解析

2017-2018学年福建省泉州市马甲中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．（5分）在△ABC中，a=，B=45°，则A为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°2．（5分）在△ABC中，（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．904．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，有，数列{b n}是等比数列，b5=a5，则b3b7=（）A．16 B．8 C．4 D．25．（5分）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2012=（）A．B．2 C．﹣1 D．16．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或77．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（）A．ab＞ab2＞a B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab28．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．89．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．2x+2﹣x≥2C．当x≥2时，x+的最小值2 D．当x＞0时，sinx+≥210．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（）A．{a|a≤2}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{a|﹣2＜a≤2}D．{a|a≤﹣2} 11．（5分）已知钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为a，b则集合P={（x，y）|x=a，y=b}所表示的平面图形的面积是（）A．2 B．4 C．π﹣2 D．4π﹣212．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=log2n，若其图象上存在点（n，a n）在可行域内，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．13．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为．14．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．15．（5分）如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，则BC=．16．（5分）下列说法正确的有．（填序号）（1）已知0＜x＜6，则（6﹣x）•x的最大值是9．（2）若a＞1，则的最小值是3（3）已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为4．（4）已知log2（x+y）=log2 x+log2 y，则xy的取值范围是[4，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A．（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．（12分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（1）当b=3时，①若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；②求不等式f（x）＜0的解集；（2）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．19．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）20．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n（n∈N*）（1）证明：数列{a n﹣a n}是等比数列；+1（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和Sn．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a（S n﹣a n+1）（a为常数，且a ＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）设数列{a n}的前n项为S n，点（n，），（n∈N*）均在函数y=3x ﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．2017-2018学年福建省泉州市马甲中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．（5分）在△ABC中，a=，B=45°，则A为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解答】解：在△ABC中，a=，B=45°，利用正弦定理得：，解得：sinA=，由于：0＜A＜π，且b＞a，则：B＞A，所以：A=30°．故选：A．2．（5分）在△ABC中，（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：原式（a+c）（a﹣c）=b（b+c），变形得：b2+c2﹣a2=﹣bc，根据余弦定理得：cosA==﹣，∵A为三角形的内角，则A=120°．故选：C．3．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a 1=﹣3，∴，故选：C．4．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，有，数列{b n}是等比数列，b5=a5，则b3b7=（）A．16 B．8 C．4 D．2【解答】解：公差不为零的等差数列{a n}中，有，可得4a5﹣a52=0，解得a5=4或a5=0（舍去），b5=a5，则b3b7=b52=16．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2012=（）A．B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：∵a1=，a n+1=∴a2==2a3==﹣1a4==数列是以3为周期的周期数列，2012=3×670+2∴a2012=a2=2故选：B．6．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【解答】解：由，知a 1+a11=0．∴a6=0，故选：C．7．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（）A．ab＞ab2＞a B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab2【解答】解：取a=﹣1，b=﹣，则ab=（﹣1）×=，，∴ab＞ab2＞a．故选：A．8．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．8【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选：C．9．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．2x+2﹣x≥2C．当x≥2时，x+的最小值2 D．当x＞0时，sinx+≥2【解答】解：选项A，当x＞0且x≠1时，lgx正负不定，故不可得到lgx+≥2，故错误；选项B，无论x取何值均有2x和2﹣x为正数，由基本不等式可得2x+2﹣x≥2=2，当且仅当2x=2﹣x即x=0时取等号，故正确；选项C，只有当x=1时x+取最小值2，但x≥2，故错误；选项D，当x＞0时，sinx正负不定，由A可得错误．故选：B．10．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（）A．{a|a≤2}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{a|﹣2＜a≤2}D．{a|a≤﹣2}【解答】解：①a=2时，不等式化为﹣4＜0对一切x∈R恒成立，因此a=2满足题意；②a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则必有解得﹣2＜a＜2．综上①②可知：实数a取值的集合是{a|﹣2＜a≤2}．故选：C．11．（5分）已知钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为a，b则集合P={（x，y）|x=a，y=b}所表示的平面图形的面积是（）A．2 B．4 C．π﹣2 D．4π﹣2【解答】解：由钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为a、b由余弦定理可得a2+b2＜4，再由两边之和大于第三边，得a+b＞2，且a＞0，b＞0，点P表示的范围如下图所示，由图可得可行域的面积为π﹣2故选：C．12．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=log2n，若其图象上存在点（n，a n）在可行域内，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，2）【解答】解：作出可行域：如图所示．结合图，由a n=log2n图象上存在点（n，a n）在可行域，只须点A（2，1）在可行域内即可，即m≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷的相应位置．13．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为120．【解答】解：q3==27∴q=3∴a1==3∴S4==120故答案为12014．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．15．（5分）如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，则BC=．【解答】解：在△ABD中，cosA==﹣，A∈（0°，180°）．解得A=120°．∵A+C=180°，∴C=60°．在△BCD中，由正弦定理可得：=．解得BC=．故答案为：．16．（5分）下列说法正确的有（1）（2）（3）（4）．（填序号）（1）已知0＜x＜6，则（6﹣x）•x的最大值是9．（2）若a＞1，则的最小值是3（3）已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为4．（4）已知log2（x+y）=log2 x+log2 y，则xy的取值范围是[4，+∞）．【解答】解：对于（1）已知0＜x＜6，则（6﹣x）•x=9﹣（3﹣x）2≤9，（6﹣x）•x的最大值是9．正确；（2）若a＞1，则=a﹣1++1≥2+1=3，当且仅当a=2时取等号，表达式的最小值是3，正确；（3）已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则=（）（m+）=2+=4，当且仅当n=2m=1时取等号，所以表达式的最小值为4．正确；（4）已知log2（x+y）=log2 x+log2 y，可得x+y=xy，2≤xy，可得xy≥4，则xy的取值范围是[4，+∞）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A．（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【解答】解：（1）由a=2csin A及正弦定理得，==．因为sin A≠0，所以sin C=．因为△ABC是锐角三角形，所以C=．（2）因为c=，C=，由面积公式得：absin=，即ab=6．（i）由余弦定理得，a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．（ii）由（ii）变形得（a+b）2=3ab+7．（iii）将（i）代入（iii），得（a+b）2=25，可得：a+b=5．18．（12分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（1）当b=3时，①若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；②求不等式f（x）＜0的解集；（2）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）当b=3时，f（x）=x2﹣3ax+2a2．①由已知可得1，2是方程x2﹣3ax+2a2=0的两根，所以，解得a=1．②因为x2﹣3ax+2a2＜0，所以（x﹣a）（x﹣2a）＜0．所以a＞0时，此不等式解集为{x|a＜x＜2a}；a=0时，此不等式解集为空集；a＜0时，此不等式解集为{x|2a＜x＜a}．（2）f（2）=4﹣2ab+2a2＞0在a∈[1，2]上恒成立，即b＜a+在a∈[1，2]上恒成立．又因为a+≥2=2，当且仅当a=，即a=时上式取等号．所以b＜2，即实数b的取值范围是（﹣∞，2）．19．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．20．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n（n∈N*）（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和Sn．【解答】（1）证明：a n+2=3a n+1﹣2a n（n∈N*），∴a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n）（n∈N*），∵a1=1，a2=3，∴=2（n∈N*）．∴{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1=2为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（I）得a n+1﹣a n=2n，（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n∈N*）=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=2n﹣1．（n∈N*）．S n=（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=（2+22+23+…+2n）﹣n==2n+1﹣2﹣n．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a（S n﹣a n+1）（a为常数，且a ＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）根据S n=a（S n﹣a n+1），分别令n=1，2，3，可求得：；∴6a+a2=a3；∵a＞0；∴6+a=a2，解得a=3；∴S n=3（S n﹣a n+1）①；=3（S n﹣1﹣a n﹣1+1）②；∴n＞1时，S n﹣1∴①﹣②得：a n=3a n﹣1；∴；∴{a n}是首项为3，公比为3的等比数列；∴；（2）；∴T n=b1+b2+…+b n=log23（1•31+2•32+…+n•3n）①；∴3T n=②；∴①﹣②得：==；∴．22．（12分）设数列{a n}的前n项为S n，点（n，），（n∈N*）均在函数y=3x ﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（1）依题意，点在y=3x﹣2的图象上，得=3n﹣2，∴s n=3n2﹣2n；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5 ①；当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=1，适合①式，所以a n=6n﹣5 （n∈N*）（2）由（1）知，b n===；故T n===；因此，使成立的m，必须且仅须满足，即m≥10；所以满足要求的最小正整数m为10．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

福建省泉州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若α，β为锐角，tan（α+β）=3，，则α的值为（）A .B .C .D .2. （2分）函数f（x）=tan（ωx﹣）（ω＞0）与函数g（x）=sin（﹣2x）的最小正周期相同则ω=（）A . ±1B . 1C . ±2D . 23. （2分） sin sin +sin sin =（）A . 0B .C .D . 14. （2分） (2016高一下·成都期中) 在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b= ，则=（）A . 2B .C .D .5. （2分）等差数列的公差d≠0，，前n项和为Sn ，则对正整数m，下列四个结论中：（1）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）Sm，S2m－Sm ， S3m－S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）Sm ， S2m ， S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）Sm ， S2m ， S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A . （1）（3）.B . （1）（4）.C . （2）（3）.D . （2）（4）.6. （2分） (2017高二下·福州期中) 已知等比数列{an}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则an=（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·大连期末) 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A . （）B . [2，8]C . [2，8）D . [2，7]8. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A . {0，1，2}B . {﹣1，0，1，2}C . {﹣1，0，2，3}D . {0，1，2，3}9. （2分）公比不为1的等比数列的前n项和为，且成等差数列，若＝1，则＝（）A . －5B . 0C . 5D . 710. （2分）(2017·蚌埠模拟) 若实数x，y满足，则的取值范围是（）A . [ ，4]B . [ ，4）C . [2，4]D . （2，4]11. （2分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an+1，则a3=（）A . 3B . 7C . 15D . 1812. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）A . 2B . 2 +1C . 2 +2D . 2 +3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若直线l1：2x﹣5y+20=0和直线l2：mx﹣2y﹣10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于________．14. （1分）已知函数y=x﹣4+ （x＞﹣1），当x=a时，y取得最小值b，则a+b=________．15. （1分） (2018高二上·南京月考) 已知中，是角的对边，则其中真命题的序号是________.①若，则在上是增函数；②若，则是直角三角形；③ 的最小值为；④若，则；⑤若，则 .16. （1分） (2017高一下·芜湖期末) 不等式≥1的解集________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知f（α）=（1）求的值；（2）若圆C的圆心在x轴上，圆心到直线l：y=tanα•x的距离为且直线l被圆所截弦长为，求圆C的方程．18. （10分）(2018·大新模拟) 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.19. （10分） (2017高一上·沛县月考) 设不等式的解集为 .（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.20. （10分）已知函数f（x0=sin cos + cos2 ﹣（1）将f（x）化为含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的形式，写出f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域．21. （5分） (2017高二下·菏泽开学考) 在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．22. （5分） (2019高三上·汕头期末) 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和 .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

福建省泉州市马甲中学2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则∁U（A∩B）等于（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，2，5} D．{3}2．下列各选项中，与sin211°最接近的数是（）A．B．C．D．3．函数的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（2，4）∪（4，+∞）4．已知函数，则f=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣15．曲线y=ax2+bx﹣1在点（1，1）处的切线方程为y=x，则b﹣a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．36．“∀x∈＞0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）13．lg+lg的值是．14．用两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα+sin（π+α）=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为，由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为．15．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于．16．函数f（x）=e x﹣ax﹣2恰有一个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求函数f（x）=2x3﹣6x2+1（x∈）的单调区间及最值．18．p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，q：“”，若“p且q”为假，求实数a 的取值范围．19．已知函数（1）利用函数单调性的定义证明：函数在（0，3]上单调递减．（2）求函数在上的值域．（3）判断函数的奇偶性．20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．（1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点．（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．21．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=x﹣ax2﹣ln，且∈=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1考点：函数的值．专题：计算题．分析：本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（﹣1）的值，再根据f（﹣1）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果．解答：解：∵﹣1＜0，∴f（﹣1）=2﹣1=，且＞0，∴f=f（）=log2=﹣1故选D．点评：本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值5．曲线y=ax2+bx﹣1在点（1，1）处的切线方程为y=x，则b﹣a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出导函数，然后根据题意可知曲线y=ax2+bx﹣1在x=1处的导数为1，点（1，1）在曲线上，建立方程组，解之即可求出a与b的值，从而求出所求．解答：解：y′=2ax+b∵曲线y=ax2+bx﹣1在点（1，1）处的切线方程为y=x，∴曲线y=ax2+bx﹣1在x=1处的导数为1，点（1，1）在曲线上则，解得∴b﹣a=3﹣（﹣1）=4故选C．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义和二元一次方程组的解法，属于中档题．6．“∀x∈＞0恒成立，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由（x1﹣x2）＞0判断函数f（x）为增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：∵（x1﹣x2）＞0，∴函数f（x）为增函数，∵f（x+1）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）关于x=1对称，即f（1）=0，则不等式f（1﹣x）＜0等价为不等式f（1﹣x）＜f（1），即1﹣x＜1，解得x＞0，即不等式f（1﹣x）＜0的解集为（0，+∞），故选：B点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性以及根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）13．lg+lg的值是1．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：直接利用对数的运算性质求解即可．解答：解：==1．故答案为：1．点评：本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．14．用两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα+sin（π+α）=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为，由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，分析可得用两点等分单位圆时，关系式为两个角的正弦值之和为0，且第二个角与第一个角的差为圆周的，用三点等分单位圆时，关系式为三个角的正弦值之和为0，且第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为圆周的，类推四点等分单位圆时，应该为四个角的正弦值之和为0，后一个角与前一个角的差为圆周的，即可得答案．解答：解：用两点等分单位圆时，关系为sinα+sin（π+α）=0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为：（π+α）﹣α==π，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有（α+）﹣（α+）=（α+）﹣=．依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为+α=+α，第三个角+α+=π+α，第四个角为π+α+=+α，即其关系为；故答案为．点评：本题考查归纳推理，解题的关键在于分析两点等分单位圆与三点等分单位圆的正弦值的个数，角的关系，得到关系式变化的规律，注意验证得到的结论是否正确．15．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．解答：解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．点评：本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．16．函数f（x）=e x﹣ax﹣2恰有一个零点，则实数a的取值范围是a≤0．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；数形结合．分析：由函数f（x）=e x﹣ax﹣2恰有一个零点，可得e x=ax+2只有一个零点，可得函数y=e x 与函数y=ax+2的图象只有一个交点，结合函数的图象可求a的取值范围解答：解：由函数f（x）=e x﹣ax﹣2恰有一个零点，可得e x=ax+2只有一个零点从而可得函数y=e x与函数y=ax+2的图象只有一个交点结合函数的图象可得，a＞0时不符合条件故a≤0故答案为：a≤0点评：本题主要考查了函数的零点的个数的判断，主要采用了转化为判断函数的图象的交点的个数，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．求函数f（x）=2x3﹣6x2+1（x∈）的单调区间及最值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，再根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，从而得到函数的最值．解答：解：函数的定义域为x∈，f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2）…（2分）令f′（x）=0 得点x1=0，x2=2…（4分）点x1=0，x2=2把定义域分成三个小区间，下表讨论（﹣2，0）0 （0，2） 2 （2，3）y′+ 0 ﹣0 +↗ 1 ↘﹣7 ↗…（6分）所以，函数f（x）在区间，单调递增，在区间上单调递减．…（8分）因为，f（0）=1，f（﹣2）=﹣39，f（2）=﹣7，f（3）=1…（10分）当x=3或x=0时，取最大值为1，当x=﹣2时，取最小值为﹣39…（12分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．18．p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，q：“”，若“p且q”为假，求实数a 的取值范围．考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：本题的关键是给出p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．解答：解：∵p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，∴若p是真．则a≤x2，∵x∈，∴a≤1；∵q：“”，∴若q为真，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）点评：本题考查的知识点是复合的真假判定，解决的办法是先判断组成复合的简单的真假，再根据真值表进行判断．19．已知函数（1）利用函数单调性的定义证明：函数在（0，3]上单调递减．（2）求函数在上的值域．（3）判断函数的奇偶性．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）结合函数的单调性，求出函数的最值，从而得到函数的值域；（3）根据函数的奇偶性的定义证明即可．解答：（1）证明：设0＜x1＜x2＜3，则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）﹣=（x1﹣x2）（1﹣）．由0＜x1＜x2，可得（x1﹣x2）＜0，（1﹣）＜0，∴（x1﹣x2）（1﹣）＞0，f（x1）＞f（x2），故函数在（0，3）上单调递减．（2）解：由（1）得：f（x）在上单调递减，∴f（x）最小值=f（2）=，f（x）最大值=f（1）=1+9=10，故函数在上的值域是：．（3）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f（x）=x+，x≠0 满足∴对任意的非零实数x，都有f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），函数f（x），x≠0是奇函数．点评：本题考查了函数的单调性的证明，考查函数的值域问题，考查函数的奇偶性，是一道中档题．20．对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．（1）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点．（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；综合题；新定义．分析：（1）设x为不动点，则有2x2﹣x﹣4=x，变形为2x2﹣2x﹣4=0，解方程即可．（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解；解答：解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），（1）当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣x﹣4．设x为其不动点，即2x2﹣x﹣4=x．则2x2﹣2x﹣4=0．∴x1=﹣1，x2=2．即f（x）的不动点是﹣1，2．（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2﹣4a（b﹣2）＞0．即b2﹣4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，∴16a2﹣32a＜0，∴0＜a＜2．点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．21．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=x﹣ax2﹣ln，且∈时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．解答：解：（1）因为因为y=x﹣ax2﹣ln，当x=10时，y=9.2，解得．所以f（x）=．因为，所以6＜x≤12，即投入x的取值范围是（6，12]．…（6分）（2）对f（x）求导，得=﹣．当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．从而当x=12时，f（x）取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…（12分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查旅游增加值y取得最大值时对应的x值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．22．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。

福建省泉州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·赤峰模拟) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（）A . 2B . 2C .D .2. （2分）命题p：“∃x≥0，e ＜x0+1”，则￢p是（）A . ∀x≥0，ex＜x+1B . ∃x≥0，ex＞x+1C . ∃x≥0，ex≥x+1D . ∀x≥0，ex≥x+13. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 设F1 ， F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A . 4B .C .D . 64. （2分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，从点M（x0 ， 4）发出的光线，沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x﹣y﹣10=0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2015高二上·安徽期末) 双曲线方程为，则它的右焦点坐标是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·大连模拟) 已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若 =3 ，则直线l的方程为（）A . x﹣2y﹣1=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x﹣ y﹣1=0D . x﹣y﹣ =08. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 设F1 ， F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）已知椭圆的离心率为. 双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·承德期末) 双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·邯郸模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0 ， 2）（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x= 截得的弦长为 | |，若 =2，则| |=________．14. （1分）已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是________15. （1分） (2016高二上·泰州期中) 双曲线的渐近线方程为________．16. （1分） (2017高二下·榆社期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·抚顺期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．18. （10分） (2018高一上·辽宁月考) 已知函数．（1）判定并证明函数的单调性；（2）是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．19. （10分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.20. （10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．21. （10分） (2017高二上·集宁月考) 已知抛物线的焦点为 ,其准线与轴交于点 ,过作斜率为的直线与抛物线交于两点,弦的中点为的垂直平分线与轴交于．（1）求的取值范围;（2）求证: .22. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 已知椭圆，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.（1）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（2）若直线过点，点满足（分别是直线的斜率），求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．682．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为412．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1，a n+1=a n+2b n，b n+1=a n+b n，则下列结论正确的是（）A．只有有限个正整数n使得a n＜b nB．只有有限个正整数n使得a n＞b nC．数列{|a n﹣b n|}是递增数列D．数列{|﹣|}是递减数列二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x 的最小值为．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=5，a7=8，则S10=（）A．65 B．66 C．67 D．68【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a4+a7=5+8=13，则S10==5×13=65．故选：A．2．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＞3}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，则A∩B是（）A．B．{x|2＜x＜3}C． D．【解答】解：集合A={x||2x﹣1|＞3}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}={x|﹣＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．3．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞【解答】解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选：C．4．（5分）“b＞a”是“”成立的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【解答】解：⇔a2+b2＞2ab，可得：“b＞a”⇒“”，反之不成立，可能a＞b．∴“b＞a”是“”成立的充分不必要条件．故选：D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．6．（5分）在△ABC中，=分别为角A，B，C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解答】解：∵，整理可得：cosA=，∴由余弦定理可得：=，∴可得a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形．故选：C．7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≥bm2，则a≥bB．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件C．若向量满足，则与的夹角为钝角D．“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”【解答】解：若am2≥bm2，m=0，则a≥b不一定成立，故A错误；命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故B正确；若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，故C错误；“∀x∈R，x2﹣x≥0”的否定是“”，故D错误；故选：B．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为（）A．25 B．26 C．27 D．不存在【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=ax+4by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+4b=2，则a+2b=1．∴=（）（a+2b）=1+16+≥17+=25．当且仅当b2=4a2时上式“=”成立．∴的最小值为25．故选：A．9．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）【解答】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B．10．（5分）数列{a n}满足a n+1==（）A．B．C．D．=，【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1又由a1=＞，则a2=2a1﹣1=，a2=＜，则a3=2a2=，a3=＜，则a4=2a3=，a4=＞，则a5=2a4﹣1=，则有a5=a2，a6=a3，…；a n+3=a n，则a2017=a1+672×3=a1=，故选：B．11．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3 B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2 D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x ∈（1，+∞）恒成立，化为：a 2+2a +2≤+x=f （x ）的最小值．f′（x ）=+1=，可得x=3时，函数f （x ）取得极小值即最小值． f （3）=5．∴a 2+2a +2≤5，化为：a 2+2a ﹣3≤0，即（a +3）（a ﹣1）≤0，解得﹣3≤a ≤1． 因此a 的最小值为﹣3． 故选：A ．12．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足a 1=b 1=1，a n +1=a n +2b n ，b n +1=a n +b n ，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n 使得a n ＜b nB ．只有有限个正整数n 使得a n ＞b nC ．数列{|a n ﹣b n |}是递增数列D ．数列{|﹣|}是递减数列【解答】解：根据题意可设数列{a n ﹣b n }，∴a n +1﹣b n +1=a n +2b n ﹣a n ﹣b n =（1﹣）a n ﹣（1﹣）b n =（1﹣）（a n ﹣b n ），∵a 1=b 1=1， ∴a 1﹣b 1=1﹣∴{a n ﹣b n }是以1﹣为首项，以1﹣为公比的等比数列，∴a n ﹣b n =（1﹣）n ，∴A ，B 不正确， 又公比q=1﹣，|q |=﹣1＜1，∴{|a n ﹣b n |}递减，故C 排除， |﹣|=•|a n ﹣b n |，易知{a n }，{b n }为正数且递增，故{}递减，{|a n﹣b n|}递减，、故D正确．故选：D．二.填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）：13．（5分）“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是若a∈M且a∈P，则a ∈M∩P．【解答】解：“若a∉M∩P，则a∉M或a∉P”的逆否命题是“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．故答案为：“若a∈M且a∈P，则a∈M∩P”．14．（5分）已知数列{a n}前n项和S n=﹣2n2+3n+1，则a n=．【解答】解：a1=S1=﹣2+3+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣2n2+3n+1）﹣[﹣2（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=﹣4n+5，当n=1时，﹣4n+5=1≠a1，∴a n=．故答案为：a n=．15．（5分）已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥．若△PF1F2的面积为8，则b=．【解答】解：根据题意，设|PF1|=m，|PF2|=n，P为椭圆C上一点，则有m+n=2a，变形可得m2+n2+2mn=4a2，①又由⊥，则有m2+n2=4c2，②①﹣②可得：2mn=4a2﹣4c2=4b2，③又由△PF1F2的面积为8，即mn=8，④联立③④可得：b2=8，则b=2，故答案为：2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣8x的最小值为．【解答】解：由（）（+y）≥1，∵y+＞y+|y|≥0，∴﹣x≥=，∵函数f（x）=﹣x=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：由，解得A（，）．∵x2+y2﹣8x=（x﹣4）2+y2﹣16．由点到直线的距离公式可得，P（4，0）区域中A（，）的距离最小，所以x2+y2﹣8x的最小值为：．故答案为：．三.解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）：17．（10分）已知命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x在[a2﹣2，+∞）上单调递增；命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：函数f（x）=|x﹣a|+x=，在[a2﹣2，+∞）上单调递增；∴a≤a2﹣2，解得a≤﹣1，或a≥2．命题q：∃x∈R，使得等式x2﹣4x+8a=0，则△=16﹣4×8a≥0，解得a≤．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得a≥2，或．∴实数a的取值范围是∪[2，+∞）．18．（12分）在△ABC中a，b，c，分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC ﹣1）=1．（I）求B的大小；（II）若D为AC的中点，且BD=1，求△ABC面积最大值．【解答】解：（I）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1，得，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（II）在△ABD中，由余弦定理得．…①在△CBD中，由余弦定理得，…②①②相加得，整理得a2+c2=4﹣ac，∵a2+c2≥2ac，∴，所以△ABC的面积，当且仅当时“=”成立．∴△ABC的面积的最大值为．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=．（I）证明数列是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．【解答】证明：（I）由题设数列{a n}中，a1=1，a n+1=，知，∴数列是首项为1，公比为1的等比数列，∴=1，即a n=2n﹣1，n∈N*；（II）∵=（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，=，=，所以a n＞0，=a n+2．解得：a n+1因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由题意得，；则前n项和+…+①；+…+②，则①﹣②得：=+…+]﹣；解得：（3）对一切正整数n恒成立，﹣c n=﹣=≤0，由c n+1可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，则解得t≥1或．即实数t的取值范围为．22．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F2，过右焦点F2的直线l1与椭圆相交于A，B两点．（Ⅰ）设直线AF1，BF1的斜率分别是k1，k2，当时，求直线l1的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作与直线l1垂直的直线l2，直线l2与椭圆相交于D，E两点，求四边形ADBE的面积S的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时k1=k2=﹣，不合题意．…（1分）当直线l1的斜率存在时，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x﹣1），把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中消去y，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则有．…（3分）则k1k2====，…（5分）由，得k=，故直线l1的方程为y=．…（6分）（Ⅱ）当直线l1的斜率不存在时，可得A（1，），B（1，﹣），此时|AB|=3，|DE|=4．则S=|AB|×|DE|=6．…（7分）当直线l1的斜率存在，且不为零时，设直线l1的斜率为k．由（Ⅰ）知|AB|=x1﹣x2|==．…（8分）又直线l2的斜率为﹣，则|DE|=．…（9分）从而S=|AB|×|DE|==，设k2+1=t＞1，则有S==，…（10分）∵，∴则，综合有．所以四边形ADBE的面积S的取值范围为[]．…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018学年福建省泉州市马甲中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）如果A={x|x2+x=0}，那么（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A2．（5分）下列四组函数，两个函数相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=log33x，g（x）=C．f（x）=（）2，g（x）=|x|D．f（x）=x，g（x）=x03．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x3 B．y=lgx C．y=|x|D．y=x﹣14．（5分）已知a=（），b=（）﹣2，c=log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}6．（5分）函数f（x）=2x﹣6+lnx的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=ax3+bx9+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．59．（5分）已知函数f（x）=，则不等式x+2f（x+1）≤3的解集是（）A．B．[﹣1，1]C．D．[﹣3，1]10．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞111．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．a2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．14．（5分）若f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=．15．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立，则=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）求值：；（2）求值：．18．（12分）已知集合A={x|x＜﹣1或x≥1}，B={x|x≤2a或x≥a+1}，（1）当a=﹣1时，求A∩B；（2）若（∁R B）⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．20．（12分）某市出租车的计价标准是：4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分2元/km；超出18km的部分3元/km．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y与行车里程x的函数关系；（2）某人乘车付了56元车费，问他乘车行驶了多少km？21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+5，令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立．（1）证明：f（2）=2；（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式；（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）﹣x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=的上方，求实数m的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市马甲中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）如果A={x|x2+x=0}，那么（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A【解答】解：集合A={x|x2+x=0}={0，﹣1}，对于A：元素与集合应该是属于，即0∈A；对于B，集合与集合之间的关系，应该是{0}⊆A；对于C：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊂A；对于D：{0}⊆A子集，所以D对．故选：D．2．（5分）下列四组函数，两个函数相同的是（）A．f（x）=，g（x）=x B．f（x）=log33x，g（x）=C．f（x）=（）2，g（x）=|x|D．f（x）=x，g（x）=x0【解答】解：对于A：f（x）==|x|的定义域为R，g（x）=x的定义域为R，它们定义域相同，对应关系不相同，∴不是同一函数；对于B：f（x）=log33x=x与g（x）==x它们的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C：f（x）=（）2的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=|x|的定义域为R，它们定义域不相同，∴不是同一函数；对于D：f（x）=x的定义域为R，而g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}．它们定义域不相同，∴不是同一函数；故选：B．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A．y=x3 B．y=lgx C．y=|x|D．y=x﹣1【解答】解：∵y=x3 既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增，故满足条件；由于y=lgx不是奇函数，故排除B；由于y=|x|是偶函数，不是奇函数，故排除C；由于y=是奇函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故排除D，故选：A．4．（5分）已知a=（），b=（）﹣2，c=log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：由于0＜a=（）＜1，b=（）﹣2=9，c=log2＜0，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b，故选：D．5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}【解答】解：由，解得0＜x＜1．∴函数f（x）=+的定义域为{x|0＜x＜1}．故选：B．6．（5分）函数f（x）=2x﹣6+lnx的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：设f（x）=lnx﹣6+2x，∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx﹣6+2x的零点一定位于的区间（2，3）．故选B．7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=f（﹣x）==﹣f（x），∴y=f（x）=为奇函数，∴y=f（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B；又x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，故可排除A，D，而C 满足题意．故选：C．8．（5分）已知f（x）=ax3+bx9+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．5【解答】解：令g（x）=ax3+bx9，显然g（x）为奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上有最大值5，∴g（x）在区间（0，+∞）上有最大值3，∴g（x）在区间（﹣∞，0）上有最小值﹣3，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上有最小值﹣1．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=，则不等式x+2f（x+1）≤3的解集是（）A．B．[﹣1，1]C．D．[﹣3，1]【解答】解：x+1＜0即x＜﹣1时，x+2[﹣（x+1）+1]≤3，解得：﹣3≤x＜﹣1，x+1≥0即x≥﹣1时，x+2[（x+1）﹣1]≤3，解得：﹣1＜x≤1，故不等式的解集是[﹣3，1]，故选：D．10．（5分）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x2﹣2x+2若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1【解答】解：设x2﹣2x+2=k，据题意知此方程应无实根∴△=（﹣2）2﹣4•（2﹣k）＜0，1﹣2+k＜0∴k＜1，故选：B．11．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由函数y=f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x）∵x≥0时，f（x）=x﹣1设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x）f（x）=，当f（x）＜0时，有﹣1＜x＜1故选：C．12．（5分）在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．a2【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【解答】解：由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．14．（5分）若f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=f（x）=2x﹣或﹣2x+1．【解答】解：设f（x）=kx+b（k≠0），则f[f（x）]=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=4x﹣1，根据多项式相等得出，解得或．因此所求的函数解析式为：f（x）=2x﹣或﹣2x+1．故答案为：f（x）=2x﹣或﹣2x+1．15．（5分）已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是[，5）．【解答】解：∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得：≤a＜5，故实数a的取值范围是：[，5），故答案为：[，5）．16．（5分）已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立，则=7．【解答】解：设…①所以…②①+②可得因为函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立所以14=2M即M=7所以=7故答案为：7．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）求值：；（2）求值：．【解答】解：（1）=﹣2﹣1+0.5×4=﹣1．（2）=﹣lg4+lg+2×3=lg（）+6=lg+6=．18．（12分）已知集合A={x|x＜﹣1或x≥1}，B={x|x≤2a或x≥a+1}，（1）当a=﹣1时，求A∩B；（2）若（∁R B）⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，集合A={x|x＜﹣1或x≥1}，B={x|x≤﹣2或x≥0}，∴A∩B={x|x≤﹣2或x≥1}．（2）∵集合A={x|x＜﹣1或x≥1}，B={x|x≤2a或x≥a+1}，（∁R B）⊆A，∴C R B={x|2a＜x＜a+1}，当C R B=∅时，2a≥a+1，解得a≥1，成立；当C R B≠∅时，或，解得a≤﹣2或．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．19．（12分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）求证：f（8）=3．（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f （2）=3f（2）=3解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：20．（12分）某市出租车的计价标准是：4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分2元/km；超出18km的部分3元/km．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y与行车里程x的函数关系；（2）某人乘车付了56元车费，问他乘车行驶了多少km？【解答】解：由题知，（1）当0＜x≤4时，y=10元；当4＜x≤18时，y=10+（x﹣4）×2=2x+2；当x＞18时，y=10+14×2+（x﹣18）×3=3x﹣16．∴y=；（2）当x=18时，2×18+2=38，∴x＞18，∵y=56，∴当x＞18时，3x﹣16=56，得x=24符合题意．答：他乘车行驶了24km．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+5，令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+2x+5，∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x2﹣2ax﹣5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，则a≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5（2）∵g（x）=x2﹣2ax﹣5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，若a＜0，则当x=0时，函数g（x）取最小值﹣5，若0≤a≤2，则当x=a时，函数g（x）取最小值﹣a2﹣5，若a＞2，则当x=2时，函数g（x）取最小值﹣4a﹣15，综上所述：g（x）min=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1222．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足，对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立．（1）证明：f（2）=2；（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表达式；（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）﹣x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=的上方，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由条件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，又另取x=2时，成立，∴f（2）=2；（2）∵，∴，4a+c=1，又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0在R上恒成立，∴a＞0且△=（b﹣1）2﹣4ac≤0，，解得：，所以，（3）由题意可得：g（x）=+在[0，+∞）时必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在[0，+∞）时恒成立，则有以下两种情况：①△＜0，即16（1﹣m）2﹣8＜0，解得②，解得：，综上所述：．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

福建省泉州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一下·大丰期中) 直线y=﹣ x+3的倾斜角的大小为________．2. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是________．3. （1分）若直线l经过两点A（1，2），B（3，4），则l的倾斜角为________4. （1分） (2018高二上·万州期末) 若的一个顶点是，的角平分线方程分别为，则边所在的直线方程为________5. （1分）经过点R（﹣2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________6. （1分） (2017高一下·鸡西期末) 直线与直线的距离是________．7. （1分）已知球的直径PC=4，A，B在球面上，∠CPA=∠CPB=45°，AB=2，则棱锥P﹣ABC的体积为________．8. （1分） (2016高二上·杭州期中) 直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程是________．9. （1分） (2015高一上·银川期末) 过l1：2x﹣3y+2=0与l2：3x﹣4y+2=0的交点且与直线4x+y﹣4=0平行的直线方程为________．10. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________11. （1分）经过点M（3，5）的所有直线中距离原点最远的直线方程为________．12. （1分）(2016·天津文) 已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为________．13. （1分）一个圆的圆心在抛物线y2=16x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，则该圆的标准方程是________．14. （1分）一个半径为1cm的球与正四棱柱的六个面都相切，则该正四棱柱的体积为________ cm3 ．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2018·延边模拟) 如图，在四棱锥中，面，，，，，，，为的中点.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.16. （10分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心坐标为（t，t）（t＞0）．（1）若△AOB的面积为2，求圆C的方程；（2）直线2x+y﹣6=0与圆C交于点D、E，是否存在t使得|OD|=|OE|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17. （10分） (2016高一下·桃江开学考) 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB边上的中线所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）若点A关于直线l的对称点为D，求△BCD的面积．18. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC．求证：（1）CE∥面PAB；（2）DC⊥面PAC．19. （10分） (2019高二上·长治月考) 已知直线及圆．（1）判断直线与圆的位置关系；（2）求过点的圆的切线方程．20. （15分） (2016高二下·静海开学考) 已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

福建省泉州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2017·舒城模拟) 已知点P是抛物线C1：y2=4x上的动点，过P作圆（x﹣3）2+y2=2的两条切线，则两条切线的夹角的最大值为________．2. （1分） (2018高二上·淮安期中) 已知一个圆锥的侧面积是，若母线与底面所成角为，则此圆锥的底面半径为________．3. （1分）如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．4. （1分）坐标平面内有两个圆x2+y2=16和x2+y2﹣6x+8y+24=0，这两个圆的内公切线的方程是________5. （1分） (2016高一下·盐城期末) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V1 ，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V2 ，则 =________．6. （1分） (2019高二上·丽水期末) 已知双曲线，则该双曲线的焦距为________，渐近线方程为________．7. （1分）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC ，AE⊥DC ， M ， N分别是AD ， BE的中点，将三角形ADE 沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D 折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.8. （1分） (2017高二上·武清期中) 球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，则该球的体积为________．9. （1分） (2019高二上·内蒙古月考) 已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为________.10. （1分） (2018高二上·南京月考) 双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则 ________.11. （1分） (2018高二上·武邑月考) 已知椭圆的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为________.12. （1分） (2017高二上·苏州月考) 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为________cm.13. （1分）在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．14. （1分） (2018高二上·南京月考) 椭圆的焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则椭圆的离心率为________.二、解答题 (共6题；共70分)15. （10分）如图，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2AE=2EF=4．（1）设G为BC的中点，求证：FG∥平面BDE；（2）求证：AF⊥平面FBC．16. （15分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．17. （10分） (2018高二上·衢州期中) 已知圆： ,（为坐标原点），直线 :.抛物线 : ．(Ⅰ）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点为 .求四边形的面积最小值；(Ⅱ）若圆过点，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦，试探究运动时，弦长是否为定值？并说明理由；(Ⅲ) 过点的直线分别与圆交于点两点，若 ,问直线是否过定点？并说明理由．18. （10分）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m，宽AB=3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？19. （15分）(2020·西安模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．20. （10分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 如图，已知椭圆的离心率为，F1、F2为其左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，△F1AF2的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共70分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2017-2018学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b2．（5分）设M（0，5），N（0，﹣5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P 的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，公差d=2，S k+1﹣S k=13，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，则a3a4a5=（）A．±64 B．64 C．32 D．165．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；q：函数的最小值为4．则p ∧¬q为真C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为假命题．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（）A．9 B．12 C．18 D．249．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）已知数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．36二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=|P B|，则点P的轨迹所围的面积等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=（n+1）cos，S n是数列{a n}的前n项和，若S2017+m=1012，且a1m＞0，则的最小值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p或q为真，p且q为假，求k的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求证：b1+b2+…+b n＜1．19．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，BE为∠ABC的平分线，cosA=，BD=，求△BDE的面积．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．21．（12分）已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α•tan β=1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标．22．（12分）已知O为坐标原点，点E，F的坐标分别为，点P，N满足，过点N且垂直于PF的直线交线段PE于点M，设点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与C相交于A，B两点，原点O到直线l的距离为1．求△AOB面积的取值范围．2017-2018学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．＞C．|a|＜|b|D．2a＞2b【解答】解：∵a＞b＞0，∴2a＞2b，故选：D．2．（5分）设M（0，5），N（0，﹣5），△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P 的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）【解答】解：根据题意，M（0，5），N（0，﹣5），则|MN|=10，若△MNP的周长为36，则|PM|+|PN|=26，则顶点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中2a=|PM|+|PN|=26，则a=13，c=5，则b==12，则椭圆的方程为：+=1，即顶点P的轨迹方程是：+=1，故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，公差d=2，S k+1﹣S k=13，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．8=S k+1﹣S k=13，【解答】解：由题意可得a k+1=a1+kd，代入数据可得13=1+2k，∴a k+1解得k=6故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，则a3a4a5=（）A．±64 B．64 C．32 D．16【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，a6=8，∴由等比数列的性质，知，∵a2，a4，a6同号，∴a4=4，∴a3a4a5=．故选：B．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；q：函数的最小值为4．则p ∧¬q为真C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题为假命题．【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，△=4a2+4＞0，∴方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，p是真命题；x＞0时x+≥4，x＜0时x+≤﹣4，∴函数的最小值为4错误，q是真命题；∴p∧¬q为真命题，B正确；对于C，命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，∴C错误；对于D，命题“已知A、B为一个三角形的两内角，若A=B，则sinA=sinB”的逆命题是“A、B为一个三角形的两内角，若sinA=sinB，则A=B”，它是真命题．在△ABC中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，∴D错误．故选：B．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．7．（5分）已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（）A．9 B．12 C．18 D．24【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式+≥恒成立，∴．∵=6+=12，当且仅当a=3b时取等号．∴m的最大值为12．故选：B．9．（5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选：D．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1=25，a n+1﹣a n=2n，即a n﹣a n﹣1=2（n﹣1），a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+25=25+n （n﹣1），则=+（n﹣1）=+n﹣1，分析可得：当n=5时，有最小值，且最小值为9；故选：D．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=4，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．准线方程为x=﹣1，设不妨设A在第一象限，设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵|AF|=4∴x1+1=4，解得x1=3，∴y1=2，∴直线AB的斜率为=∴直线AB的方程为y=（x﹣1），由，整理可得3x2﹣10x+3=0，解得x1=3，x2=当x2=时，y2=，因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=×1×2+×1×=．故选：C．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，1+=，则b+c的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．36【解答】解：∵1+=，∴1+====，可得cosA=，A∈（0，π），∴．∴=2=，∴b+c=（sinB+sinC）=（sinB+sin）=6sin，B+∈，∴b+c≤6，当且仅当B==C时取等号．故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=|P B|，则点P的轨迹所围的面积等于8π．【解答】解：设P（x，y），则|AP|=，|PB|=，由|PA|=|P B|，得=，两边平方得：（x﹣3）2+y2=8．∴点P的轨迹是以（3，0）为圆心，以为半径的圆，围成的图形的面积为．故答案为：8π．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1﹣1．=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）【解答】解：由题意知a n+1∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n﹣1=2n+1，∴a n=2n+1﹣1．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1+a n=（n+1）cos，S n是数列{a n}的前n项和，若S2017+m=1012，且a1m＞0，则的最小值为1．+a n=（n+1）cos，【解答】解：数列{a n}满足a n+1可得a2+a3=3cosπ=﹣3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=﹣7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=﹣3+5﹣7+9﹣…+2017=1008，又S2017+m=1012，所以a1+m=4，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则+m=（a1+m）（+m）=（2++）≥（2+2）=1．当且仅当a1=m=2时，取得最小值1．故答案为：1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p或q为真，p且q为假，求k的取值范围．【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即2＜k＜4；当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即1＜k＜3；若p或q为真，p且q为假，则p和q有且只有一个为真命题，则（1）若p为真q为假，则，即3≤k＜4；（2）q为真p为假，则，即1＜k≤2；∴综上所述，若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k ＜4．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2，S11=66．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求证：b1+b2+…+b n＜1．【解答】解：（Ⅰ）因为S11=11a6，所以a6=6，设公差为d，则a6﹣a2=4d，所以d=1，所以a n=a2+（n﹣2）d=n．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知．所以=所以b1+b2+…+b n＜1．19．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BD为AC边上的中线，BE为∠ABC的平分线，cosA=，BD=，求△BDE的面积．【解答】解：（Ⅰ）2bcosC﹣c=2a，由正弦定理得：2sinBcosC﹣sinC=2sinA，∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即2sinBcosC﹣sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），得﹣sinC=2cosBsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理得：=c2+﹣2c•cosA，∴，①由已知得sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．在△ABC中，由正弦定理，∴c=b，，②，由①②解得b=14，c=6，a=10．=bcsinA=15．∴S△ABC又BE为∠ABC的平分线，，AE+EC=14，则，AD=7，ED=，=，∴．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．21．（12分）已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当tan α•tan β=1时，求证直线AB恒过一定点M，并求M坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动圆圆心M（x，y），依题意，点M的轨迹是以（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，故其方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2且x1x2≠0，则x1=，x2=，∴直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+b，则将y=kx+b与y2=4x联立消去x，得ky2﹣4y+4b=0，由根与系数关系得y1+y2=，y1y2=，∵tan α•tan β=1，∴，则x1x2﹣y1y2=0，∴，解得y1y2=16，又y1y2=，∴b=4k，因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，∴直线AB恒过定点M（﹣4，0）．22．（12分）已知O为坐标原点，点E，F的坐标分别为，点P，N满足，过点N且垂直于PF的直线交线段PE于点M，设点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与C相交于A，B两点，原点O到直线l的距离为1．求△AOB 面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），∴N为PF的中点，则MN为PM的中垂线，∴|PM|=|MF|，∴|PE|=|PM|+|ME|=|MF|+|ME|=4＞|EF|=2，∴M在以E，F为焦点的椭圆上，2a=4，a=2，，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹为．…（4分）（Ⅱ）法一：依题意知直线l的斜率不为0，故设l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．由原点O到直线l的距离为1，得，…（5分）将x=ty+m代入中，得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，△=16（t2﹣m2+4）＞0，，…（7分）|AB|==又∵m2=1+t2代入上式得：，…（9分）所以△AOB的面积=，令，则S△AOB=，当且仅当时等号成立且满足△＞0，此时（S）max=1，所△AOB以S∈（0，1]．…（12分）△AOB法二：当直线l的斜率不存在时，依题意得l：x=1或x=﹣1，则x2=1，代入椭圆方程得：，此时，，…（5分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，（k≠0），A（x 1，y1），B（x2，y2）．由原点O到直线l的距离为1，得，…（6分）将y=ky+b代入中，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣4=0，△=16（4k2﹣b2+1）＞0，，…（8分）|AB|==，又∵b2=1+k2代入上式得：|AB|=，…（10分）所以△AOB的面积=，=，令，则S△AOB当且仅当时等号成立且满足△＞0，此时（S）max=1，△AOB∈（0，1]．…（12分）所以S△AOB。

一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。