高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案

2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。

2.3 函数的奇偶性与周期性『课前--考点引领』考点分析考点新知①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．①了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.②掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.一、回归教材1. 函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．2. 函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.3.设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．4. 对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．二、知识清单1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称．(2) 根据定义域考查表达式f (－x )是否等于f (x )或－f (x )． 若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数． 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数．若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数．若存在x 使f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )，则f (x )既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数y ＝f (x )与y ＝kf (x )的单调性与k (k ≠0)有关． (2) 注意函数y ＝f (x )与y ＝1f （x ）的单调性之间的关系．(3) 奇函数在『a ，b 』和『－b ，－a 』上有相同的单调性． (4) 偶函数在『a ，b 』和『－b ，－a 』上有相反的单调性． 5. 函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称函数f (x )为周期函数，T 为函数f (x )的一个周期．(D 为定义域)『课中—技巧点拨』题型1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x 3－1x ；(2) f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(3) f (x )＝(x －1)1＋x1－x； (4) f (x )＝3－x 2＋x 2－3.『答案』(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x≠0且x≠－4. 故f (x )的定义域为『－1，0)∪(0，1』，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，这时有f (－x )＝1－（－x ）2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3) 因为f (x )定义域为『－1，1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(4) 因为f (x )定义域为{－3，3}，所以f (x )＝0，则f (x )既是奇函数也是偶函数．备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝x 4＋x ；(2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），－x 2＋x （x>0）；(3) f (x )＝lg (x ＋x 2＋1)．『答案』(1) 定义域为R ，f (－1)＝0，f (1)＝2，由于f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－(x 2＋x )＝－f (x )(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝－(－x 2＋x )＝－f (x )(x ＞0)．故函数f (x )为奇函数．(3) 由x ＋x 2＋1>0，得x ∈R ，由f (－x )＋f (x )＝lg (－x ＋x 2＋1)＋lg (x ＋x 2＋1)＝lg 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．题型2 函数奇偶性的应用例2 (1) 设a ∈R ，f (x )＝a·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )，试确定a 的值，使f (x )为奇函数；(2) 设函数f (x )是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．『答案』(1) 要使f (x )为奇函数， ∵ x ∈R ，∴ 需f (x )＋f (－x )＝0. ∵ f (x )＝a －22x ＋1，∴ f (－x )＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1.由⎝⎛⎭⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1＝0，∴ a ＝1.(2) 由f (x )的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<4－a 2<1，解得3<a < 5. 由f (a －2)－f (4－a 2)<0，得f (a －2)<f (4－a 2)． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (|a －2|)<f (|4－a 2|)．由于f (x )在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a <－3或a >－1且a ≠2. 综上，实数a 的取值范围是3<a <5且a ≠2. 变式训练(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；(2) 已知奇函数f (x )的定义域为『－2，2』，且在区间『－2，0』内递减，若f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．『答案』(1) 当x >0时，－x <0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以x 2－x ＝－ax 2－bx . 从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0. (2) 由f (x )的定义域是『－2，2』，知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3. 因为函数f (x )是奇函数，所以f (1－m )<－f (1－m 2)，即f (1－m )<f (m 2－1)． 由奇函数f (x )在区间『－2，0』内递减， 所以在『－2，2』上是递减函数， 所以1－m >m 2－1，解得－2<m <1. 综上，实数m 的取值范围是－1≤m <1. 题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用例3 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈『0，2』时，f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈『2，4』时，求f (x )的解析式； (3) 计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)的值． (1) 证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数． (2) 『答案』因为x ∈『2，4』，所以－x ∈『－4，－2』，4－x ∈『0，2』， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈『2，4』． (3) 『答案』因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝0， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.备选变式（教师专享）已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 、y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，又f (1)＝－23.(1) 求证：f (x )为奇函数； (2) 求证：f (x )在R 上是减函数；(3) 求f (x )在『－3，6』上的最大值与最小值．(1) 证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)，从而f (0)＝0.令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2) 证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f (x 1－x 2)＜0.从而f (x 1)－f (x 2)＝f 『(x 1－ x 2)＋x 2』－ f (x 2) ＝ f (x 1－ x 2) ＋f (x 2)－ f (x 2) ＝ f (x 1－ x 2)＜0.所以f (x )为减函数．(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f (－3)，最小值为f (6)．f (－3)＝－f (3)＝－『f (2)＋f (1)』＝－2f (1)－f (1)＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－『f (－3)＋f (－3)』＝－4.于是f (x )在『－3，6』上的最大值为2，最小值为－4.『新题推荐』1. (2013·苏州期初)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝－x ＋4，则f (7)＝________．2. (2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．3. (2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间『0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．4. (2013·盐城二模)设函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，f (x )≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x )＝9.已知当x ∈『0，1)时，有f (x )＝2－|4x －2|，则f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝________．1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0)是否成立．2. 若f (x )是偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．答案一、回归教材 1.『答案』12『解析』由f (－x )＝f (x )，知m ＝12.2.『答案』原点『解析』由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．3.『答案』1『解析』由条件，f (2 015)＝f (671×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝1. 4.『答案』①③『解析』根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，x ＋2，x<0，由于f (－2)＝f (2)，所以②④都错误．5.『答案』x 3＋x －1『解析』若x <0，则－x >0，f (－x )＝－x 3－x ＋1，由于f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x 3＋x －1.『新题推荐』1.『答案』－3『解析』f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－f (1)＝－3. 2.『答案』(－5，0)∪(5，＋∞)『解析』作出f (x )＝x 2－4x (x >0)的图象，如图所示．由于f (x )是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x <0的图象．不等式f (x )>x 表示函数y ＝f (x )的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3.『答案』⎣⎡⎦⎤12，2『解析』因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间『0，＋∞)上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2.4.『解析』由题知f ⎝⎛⎭⎫12＝2，因为f (x )≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x )＝9，故f ⎝⎛⎭⎫32＝5，f ⎝⎛⎭⎫52＝2，f ⎝⎛⎭⎫72＝5，如此循环得f ⎝⎛⎭⎫6712＝f ⎝⎛⎭⎫4×168－12＝5，即f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝ 5.。

第三节 函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数及其图象特征2．周期性 (1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．若函数f (x )在区间[a ，b ](a ≠b )上有奇偶性，则实数a ，b 之间有什么关系？ 提示：a ＋b ＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，那么f (0)为何值？如果是偶函数呢？ 提示：如果f (x )是奇函数时，f (0)＝－f (0)，则f (0)＝0；如果f (x )是偶函数时，f (0)不一定为0，如f (x )＝x 2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．4．若T 为y ＝f (x )的一个周期，那么nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n ∈Z 且n ≠0时，nT 是f (x )的周期．1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x 为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.2．(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.3．(2013·湖北高考)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数 解析：选D 函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如下图：故f (x )在R 上为周期函数．4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 为二次函数，其图象的对称轴为x ＝－a －42，因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以－a －42＝0，解得a ＝4.答案：45．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案：－12前沿热点(二)与奇偶性、周期性有关的交汇问题1．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起与函数图象、函数零点等问题相交汇命题．2．函数的奇偶性主要体现为f (－x )与f (x )的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f (x ＋T )与f (x )的关系．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．[典例] (2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos (πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解题指导] 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知该函数是周期为2的偶函数，可画出g (x )与f (x )的图象，利用数形结合的思想求解．[解析] 由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图象，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上有6个交点，故函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点有6个． [答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下几点： (1)正确识别函数f (x )的性质；(2)注意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题．(2014·合肥模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图． 显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知x 2＝x ＋a ，即x 2－x －a ＝0，Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14，此时x ＝12.综上可知a ＝0或－14.。

函数的奇偶性一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、 函数的奇偶性定义：2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤（1） 首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2） 确定与的关系；（3） 作出相应结论3、 奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )A ．y =．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=- 【答案】D【解析】试题分析：函数y =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．[探究二]：应用函数的奇偶性解题例3、【2014高考湖南卷改编】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。

2019-2020年高三数学第一轮复习函数的奇偶性教案一、知识梳理：（阅读教材必修1第33页—第36页）1、函数的奇偶性定义：2、利用定义判断函数奇偶性的步骤（1）首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论3、奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含0，则（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：4、一些重要类型的奇偶函数（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;（2）、f(x)=（3）、f(x)=（4）、f(x)=x+（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]：判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数是奇函数．故选A ． 考点：函数的奇偶性．3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D ． 考点：函数的奇偶性．[探究二]：应用函数的奇偶性解题 例3、【xx 高考湖南卷改编】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A. B. C. 1 D. 3例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。

函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性 B 二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义；2、会判断函数的奇偶性；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数 周期性的定义；5、会求周期函数的周期。

三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。

四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数 f (x)定义域内的任意一个 x ,都有_______________，称 f (x)为偶函数，对于函数f (x)定义域内的任意一个 x ,都有________________，称 f (x)为奇函数． 2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称； （3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中， f ( x )f (x)．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数 的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数.（填“奇”，“偶”） 3．对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都 有 ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 叫做f(x)的最小正周期． 就 5．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；1 1(2)若f(x ＋a)＝ ，则T ＝2a ； (3)若f(x ＋a)＝－ ，则T ＝2a.(a>0)fx fx五、基础自测1．对于定义在R 上的函数 f (x)，下列命题正确的序号是___________． （1）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)是偶函数； （2）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数； （3）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数； （4）若 f (x)是偶函数，则 f (2) f (2)． 2．给出4个函数：① f (x) 1 x2 1x ；④ f (x) x1． 3x 4；② f (x) 2x 5；③ f (x) lg1 xx 1 既不是奇函数也不是偶函数．其中是奇函数； 是偶函数； 3．已知函数 f (x)4x2bx 3a b 是偶函数，其定义域是 [a 6,2a]，则点 a,b 的坐标为__________．3，且f (1) 2，则f(2014)＝________. 2 4．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) f x x a5．若函数 f (x)在[1,1]上是奇函数，则 f (x) x bx 12．六、典例精讲: 例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1） f (x) (1 2x ) 21x ；（2） f (x) lg(xx21)；（3） f (x)(1x) 1 x； 2xx 2| x1| 1；（5） f (x)x 11 x2；(6) f (x)22x (x ≥0),（4） f (x)x x 2x (x 0).例2：设 f (x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f x ．当x∈[0,2]时，f (x) 2xx 。