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新湘教版数学九年级上2.2.3用因式分解法解一元二次方程教学设计课题 2.2.3用因式分解法解一元二次方程单元第二单元学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能：①了解因式分解法的概念与步骤。
②会用因式分解法解简单系数的一元二次方程。
2.过程与方法：探索因式分解法的步骤，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而使学生树立数学转换的思想。
3.情感态度与价值观：通过运用因式分解法解一元二次方程，让学生体会解决问题方法的多样化，让学生体验数学逻辑的严密性。
重点能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。
难点 1.能理解并灵活运用“若ab=0，则a=0或b=0”的概念；2.能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾知识+导入新课同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、配方法以及公式法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：解下列一元二次方程：（1）x²-81=0（直接开方法）解：x²=81∴x=±9∴x1=9；x2=-9.（2）x²+4x+1=0（配方法）解：移项：x²+4x=-1配方：x²+4x+4=-1+4即（x+2）²=3∴x+2=±∴x1=-2；x2=--2.学生跟着教师回忆知识，并思考本节回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮回顾知识+导入新课（3）x²+x-2=0（公式法）解：这里a=1，b=，c=-2b²-4ac=2-4×1×（-2）=10>0∴x=∴x1=-；x2=.因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²分解因式：（1）x²-81=x²-9²=（x+9）（x-9）（2）x²+4x=x（x+4）（3）x²+x+4=x²+x+2²=（x+2）²【知识探究】若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？1.当a≠b时：①a=0，b≠0；②a≠0，b=0.2.当a=b时，a=b=0.结论：若ab=0，则a=0或b=0.【导入新知】解方程：x2-3x=0.在解这个方程的时候，我们可以用配方法：将原方程化为（x-）²=进行求解，我们也可以用公式进行公式法求解.有没有更简便的方法呢？解：对方程左边进行因式分解：x（x-3）=0根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到x=0或x-3=0∴x1=0；x2=3.课的知识，注意与老师一起推导公式。
九年级数学上册第二章一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程怎样利用因式分解法解一元二次方程？素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二章一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程怎样利用因式分解法解一元二次方程？素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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怎样利用因式分解法解一元二次方程 ?答案:当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程.要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。
【举一反三】典例：解方程1.x2－25=02。
(x+1)2=(2x－1)23。
x2－2x+1=44。
x2=4x思路导引：一般来说,此类问题应先转化为一般式,再进行因式分解.1.解:（x+5)（x－5)=0∴x+5=0或x－5=0∴x1=5,x2=－52。
解：(x+1）2－（2x－1）2=0(x+1+2x－1）(x+1－2x+1）=0∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0，x2=23。
解：x2－2x－3=0（x－3)（x+1）=0∴x－3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=－14.解:x2－4x=0x(x－4）=0∴x=0或x－4=0,∴x1=0,x2=4标准答案：（1）x1=5,x2=－5(2）x1=0,x2=2(3）x1=3,x2=－1（4)x1=0，x2=4。
第10讲用因式分解法解一元二次方程1.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2.因式分解法解一元二次方方程的应用。
一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点1：因式分解法解一元二次方程例1．方程220x x -=的根为()A ．0x =B ．2x =C ．2x =-D ．0x =或2x =【答案】D【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程．【解析】解：220x x -=(2)0x x -=120,2x x ∴==故选：D ．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．例2．方程()()2232x x -=-的解是（）A ．5x =B ．125,2x x ==C ．121,2x x ==D ．2x =【答案】B【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．【解析】解：()()2232x x -=-()()22320x x ---=(2)(5)0x x --=50,20x x -=-=∴125,2x x ==故选：B【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键．例3．解下列方程(1)(2)2x x x -=-(2)(21)(1)2-+=x x法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键．例4．用适当的方法解下列方程：(1)2430x x -+=(2)2(3)2(3)x x x -=-【答案】(1)11x =，23x =(2)13x =-，23x =【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得11x =，23x =(2)解：2(3)2(3)x x x -=-(3)(32)0x x x ---=(3)(3)0x x ---=解得13x =-，23x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．例5．用适当的方法解方程：(1)23210x x +-=．(2)()()2122x x x +-=-．的关键．例6．一元二次方程()25410x x x -=-的根是__________．例7．方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是()A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝4，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－4，x 2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵()()135x x +-=，∴2280x x --=，∴(4)(2)0x x -+=，∴x-4=0或x+2=0，∴1242x x ==-，．故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A ．(2x －2)(3x －4)=0，∴2x －2=0或3x －4=0B ．(x +3)(x －1)=1，∴x +3=0或x －1=1C ．(x －2)(x －3)=2×3，∴x －2=2或x －3=3D ．x (x +2)=0，∴x +2=0【答案】A【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．【解析】A ：等式右边为0，分解正确，符合题意；B ：等式右边≠0，不符合题意；C ：等式右边≠0，不符合题意；D ：x (x +2)=0，∴x +2=0或x =0；故答案为：A【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．考点3：因式分解法解一元二次方程的应用例9．如果代数式22x x ++与52x -的值相等，那么x =______．【答案】2【分析】由题可得2252x x x ++=-，整理得到2440,x x -+=即()220,x -=解出即可．【解析】解：根据题意得2252x x x ++=-2440,x x ∴-+=()220,x ∴-=2.x ∴=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．例10．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,x x +-=即：2230,x x +-= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x -+=即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-=故选：.B 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.例11．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-方程的解求得a ，b ，c 之间的等量关系，从而代入求解．例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程212110x x -+=的一个根，则该三角形的周长为（）A ．11B ．21C ．11或21D ．11或1【答案】A【分析】先求出方程212110x x -+=的根，然后分x ＝1和x ＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【解析】解：由212110x x -+=可得()()1110x x --=，∴10x -=或110x -=，解得x ＝1或x ＝11，当x ＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；当x ＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点4：换元法例13．已知()()2222160++--=x y x y ，则22x y +的值是（）A ．3或2-B ．3-或2C ．3D ．2-【答案】C【分析】设22a x y =+，则原方程变为()160a a --=解出关于a 的方程，取非负值值即为22x y +的值．【解析】解：设()220a x y a +≥=，∵()()2222160++--=x y x y ，∴()160a a --=，即260a a --=，∴()()320a a -+=，解得3a =或2a =-（舍去），∴223x y +=，故选C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意220a x y =+≥．例14．解方程：(x -2013)(x -2014)＝2015×2016．【答案】x 1＝4029，x 2＝-2【分析】设x -2013=t ，则x -2014=t -1，可得t 2-t -2015×2016=0，再利用因式分解法可得t 1=2016，t 2=-2015，再代入，即可求解．【解析】解：设x -2013=t ，则x -2014=t -1，∴t （t -1）=2015×2016，即t 2-t -2015×2016=0，∴（t -2016）（t +2015）=0解得：t 1=2016，t 2=-2015，∴x －2013=2016或x －2013=-2015，解得：x 1＝4029或-2，∴原方程的解为x 1＝4029，x 2＝-2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．考点5：分类讨论思想例15．关于的一元二次方程250x x p -+=的两实根都是整数，则整数p 的取值可以有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个【答案】D【解析】求得和为-5，积为p 的所有整数解，也就求得了p 的个数．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．故选：D ．点睛：本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项．例16．解方程2||20x x --=的解是（）A ．121,2x x =-=B ．121,2x x ==-C ．121,1x x ==-D ．122,2x x ==-【答案】D【分析】分类讨论：当x ≥0时，原方程化为：x 2-x -2=0；当x ＜0时，原方程化为：x 2+x -2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．【解析】解：当x ≥0时，原方程化为x 2-x -2=0，因式分解得(x -2)(x +1)=0，解得：x 1=2或x 2=-1（不合题意舍去）；当x ≤0时，原方程化为x 2+x -2=0，因式分解得(x +2)(x -1)=0，解得：x 1=-2或x 2=1（不合题意舍去）；所以，原方程的根是x 1=2，x 2=-2．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．考点6：创新题型例17．已知一元二次方程（a+1）x 2﹣ax+a 2﹣a ﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x 2+ax﹣a 2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x 2+ax ﹣a 2+a+2＝0的根是（）A ．0，﹣23B ．0，23C ．﹣1，2D ．1，﹣2例18．于实数a ，b 先定义一种新运算“★”如下：a ★b =()222,2,()a b a a b ab b a b ⎧+≥⎨+<⎩，若18m =★，则实数m 等于（）A ．6B ．2C ．2或4-D ．2或4-或6【答案】B【分析】分两种情况讨论：当m ≤1时，当m ＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．【解析】解：当m ≤1时，则1★m =m +2=8，解得：m =6，故无解；当m ＞1时，则1★m =m 2+2m =8，解得：m 1=2，m 2=-4，∴m =2，综上，m =2，故选：B ．【点睛】本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记11a =，2312a ==+，36123a ==++，…，那么911i 83a a a +-=，则i 的值是（）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】D【分析】由已知数列得出an ＝1+2+3+…+n ()12n n +=，再求出a 9、ai 、a 11的值，代入计算可得．【解析】解：由a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，知an ＝1+2+3+…+n ()12n n +=，∴a 99102⨯==45、ai ()12i i +=、a 1111122⨯==66，则a 9+a 11﹣ai ＝83，可得：45+66()12i i +-=83，解得：i ＝7，（负根舍去）故选：D ．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an ＝1+2+3+…+n ()12n n +=，一、单选题1．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为()()460,x x +-=从而可得答案．【解析】解：22240x x --=，()()460,x x \+-=40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x ==-故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b <，则一次函数y kx b =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程的解法求出k 、b 的值，由一次函数的图像即可求得．【解析】∵实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b <，∴3,1k b =-=,∴一次函数表达式为31y x =-+，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,x x +-=即：2230,x x +-= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x -+=即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-=故选：.B【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根据根的关系即可求解．【解析】解22430(0)x mx m m -+=>（x-3m ）（x-m ）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．一、单选题1．方程256x x -=的根是（）A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．【解析】解：∵256x x -=，∴2560x x --=，∴()()780x x +-=，∴x +7=0，x -8=0，∴x 1=-7，x 2=8．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，5．设（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）﹣15=0，则x 2+y 2的值为（）A ．﹣5或3B ．﹣3或5C ．3D ．5【答案】C【分析】由已知的方程进行换元a =x 2+y 2转化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可【解析】设a =x 2+y 2，则原方程可化为a 2+2a ﹣15=0，∴(a +1)2=16，解得：a =3或a =﹣5，又∵a ≥0，∴a =x 2+y 2=3.故选C.【点睛】解此题的关键在于利用换元法将原方程简化.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.6．若x ，y 都是负数，且222300x xy y x y ++++-=，则x y +的值是（）A ．3-B ．4-C ．5D ．6-【答案】D【分析】将x +y 看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x +y 的值．【解析】解：222300x xy y x y ++++-=，∴2()()300x y x y +++-=，即(5)(6)0x y x y +-++=，可得5x y +=或6x y +=-．∵x ，y 都是负数，∴x +y ＜0，∴6x y +=-，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法．7．已知3是关于x 的方程2720x x m -+=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（）A ．7B ．10C ．10或11D ．11【答案】C【分析】把x ＝3代入已知方程求得m 的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解析】解：把x ＝3代入方程得：92120m -+=，解得m ＝6，则原方程为27120x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC 的周长为4＋4＋3＝11，②当△ABC 的腰为3，底边为4时，符合三角形三边关系，△ABC 的周长为3＋3＋4＝10，综上所述，△ABC 的周长为10或11．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．8．已知关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =，则一元二次方程220ax ax a c -++=的根为()A ．0，4B ．－3，5C ．－2，4D ．－3，1【答案】B【分析】先将12x =-，26x =代入一元二次方程2(2)0a x c -+=得出a 与c 的关系，再将c 用含a 的式子表示并代入一元二次方程220ax ax a c -++=求解即得．【解析】∵关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =∴()2620a c -+=或()2220a c --+=∴整理方程即得：160a c +=∴16c a=-将16c a =-代入220ax ax a c -++=化简即得：22150x x --=解得：13x =-，25x =故选：B ．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．9．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：（1）当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<（不合题意，舍去）；（2）当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>（舍去），∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为（）A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==【答案】B【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x 2-x+1-1=0，求出方程的解；当x ＜1时方程为x 2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．【解析】当x≥1时，方程为x 2-x+1-1=0，∴x 1=0（舍去），x 2=1；∴11xy=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，1xy=⎧⎨=⎩，21xy=⎧⎨=⎩，1xy=⎧⎨=⎩，xy=⎧⎨=⎩，2xy=⎧⎨=⎩，2xy=⎧⎨=⎩，22xy=⎧⎨=⎩，∴整数解(),x y共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A．【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．故x2+y2的值为146．故答案为146.【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．。
