刘建亚主编微积分课件

∂z ∂ z , . 求 ∂x ∂y
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3. 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 中间变量既有一元函数， 处有偏导数, 设函数 u = ϕ ( x , y )在点 ( x , y ) 处有偏导数 函数v = ψ ( x )在点 x 处有连续偏导数, 可导， 可导，函数 z = f (u, v )在对应点 (u, v )处有连续偏导数 则复合函数 z = f [ϕ ( x , y ),ψ ( x )] 在点 ( x , y ) 处有偏导数 且 处有偏导数,
∂f 1′ ∂f 1′ ∂u ∂f 1′ ∂v = ⋅ + ⋅ ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z
注:
′′ ′′ = f 11 + xy f 12
′ f2 ( x + y + z, xyz)
f1′( x + y + z, xyz)
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v = ⋅ + ⋅ ∂u ∂ z ∂ v ∂ z ∂z
第四节
多元复合函数的求导法则
中间变量为一元函数 中间变量为多元函数 中间变量既有一元函数 又有多元函数
多元复合函数 求导法则
连式法则
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第四节
多元复合函数的求导法则
处可导, 定理1 定理1 若函数 u = ϕ (t ), v = ψ (t )都在点 t 处可导, 函数 z = f (u, v ) 处有连续偏导数, 在对应点 (u , v ) 处有连续偏导数, 则复合函数 z = f (ϕ (t ), ψ (t )) 处可导, 在点 t 处可导, 且 全导数
f1′(u, v)
u x
y
′ f2 (u, v)
u z x
y
v
v
z
′′ ′′ = f 21 + xy f 22
∂ f 2′ ∂ 2w ∂ f 1′ + y f 2′ + yz = ∂x∂z ∂z ∂z
′ ′ ′′ ′′ = f 11′ + xy f 12′ + y f 2′ + yz ( f 21 + xy f 22 )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
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例3.设 z = e sinv, u = xy, v = x + y, 设
u
解
∂z ∂z ∂u ∂z ∂ v u = ⋅ + ⋅ = e sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 ∂x ∂u ∂ x ∂ v ∂ x = e xy [ y sin( x + y ) + cos( x + y )] ∂z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ = e u sin v ⋅ x + e u cosv ⋅ 1 ∂y ∂ u ∂ y ∂v ∂y = e xy [x sin( x + y ) + cos( x + y )]
注:
′ f2 ( x + y + z, xyz)
f1′( x + y + z, xyz)
∂ f 2′ ∂ f 1′ ∂ ∂w ∂ ∂ 2w = ( f 1′ + yz f 2′ ) = ∂ z + yf 2′ + yz ∂ z = ∂ x∂ z ∂ z ∂ x ∂ z
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′′ ′′ ′′ = f 11 + y ( x + z ) f 12 + xy 2 z f 22 + y f 2′
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x x ∂r 的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转化为 例8.设 u = f ( x, y )的所有二阶偏导数连续 =把下列表达式转化为 设 = = cos θ 2 2 r ∂x x + y 极坐标系中的形式: 极坐标系中的形式
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
z = f (u, v )
u x v
y
类似的, 类似的 z = f (u, v , w ), u = ϕ( x , y ), v = ψ ( x , y ), w = φ( x , y ) 则
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z df ∂u = ⋅ = 2xf ′ ∂x du ∂x ∂z df ∂u = ⋅ = 2yf ′ ∂y du ∂y
∂2 z df ′ ∂u = 2 f ′ + 2x ⋅ ⋅ = 2 f ′ + 4x2 f ′′. du ∂x ∂x2 df ′ ∂u ∂2 z = 2x ⋅ ⋅ = 4xyf ′′. du ∂y ∂x∂y
′ ∂f1′ ∂f1 ∂f ∂f ′′ = , f12 = f1′ = , f2 = ′′ ′ , f11 , ∂u ∂u ∂v ∂v ′ ′ ∂f2 ∂f2 ′′ f21 = , f22 = ′′ . ∂u ∂v
u x
y
v
z
∂ w ∂f ∂u ∂ f ∂ v = f 1′ + yzf 2′ = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂ x ∂v ∂ x
dz . 求 dt
z = f (t , u, v ) z
u v
t
= cos t + v ⋅ e t + u ⋅ (− sin t )
= e t (cost − sin t ) + cost
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2. 中间变量是多元函数的情形 处有偏导数, 设函数 u = ϕ( x , y ), v = ψ ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处有偏导数 而
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例4
u = f ( x, y, z ) = e
⋅ ∂z ∂x
x2 + y2 +z2
∂u ∂u , z = x sin y. 求 , . ∂x ∂y
2
∂u ∂f ∂f 解 = + ∂x ∂x ∂z
u = f ( x, y, z )
x2 + y2 +z2
= 2 xe
x2 + y2 + z2
∂u (1) ∂x 解: x = r cos θ , u = f ( x, y ) = f (r cosθ, r sin θ) = F (r , θ)
则 u = f ( x, y ) 看作是F (r , θ) 及
2
2 1 ∂θ ∂u = ∂ 2 u ∂ 2 u − y2 = − y2 = − sin θ ⋅ + ∂ x ; (2 ) 2 y+ 2 2 . x r r ∂y 1 ∂x ∂y + x y = r sin θ .
z = f [ϕ(t ), ψ (t ), ω(t )], 则
全导数
z
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
u v w
t
2
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z = e x − 2 y , 而 x = sin t , y = t 3 , 求 例1．设 ．
dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ dx ∂x dx ∂y dx
z
x
x
z
y
x
y
全导数
dz ∂z ∂z dy = + ⋅ dx ∂x ∂y dx
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例2. 设 z = uv + sin t , u = e , v = cos t .
t
dz ∂z ∂z du ∂z dv = + ⋅ + ⋅ 解 dt ∂t ∂u dt ∂v dt
14
1 ∂u ∂u ∂u ∂u ∴ + = + 2 . ∂y ∂ r r ∂θ ∂x ∂r = cos θ
∂z ∂z ∂u ∂z dv = ⋅ + ⋅ ; ∂x ∂u ∂x ∂v dx
∂z ∂z ∂u = ⋅ . ∂y ∂u ∂y
z = f (u, v )
u
x
v
y
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特殊情形: 特殊情形 z = f (u , x , y ), u = ϕ( x , y ), 则 z = f [ϕ( x , y ), x , y ],
+ 2 ze
⋅ 2 x sin y
z
= 2 xe
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
(1 + 2 x
4
2
பைடு நூலகம்
sin y
2
)
x
y
2 2 2 ∂u ∂f ∂f ∂z x 2 + y 2 + z 2 + 2 ze x + y + z ⋅ x 2 cos y = 2 ye = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
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求导,得 方程两边同时对 y 求导 得:
2 2 例6.设 z = f x + y 设
(
)
解:
设 u = x2 + y2 ,
∂2 z ∂2 z ∂2 z , 2. ,其中 f 具有二阶导数 求 2 , 其中 具有二阶导数,求 ∂x ∂x∂y ∂y
z = f (u )
u x
y
r = r (x, y ) =