7.2 .1 一元一次不等式的概念及解法

“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是（）.A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1）含有同一个未知数，（2）几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x<3；（2）x≥3.【解答】（1）在数轴上表示x<3为：；（2）在数轴上表示x≥3为：.【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1五、正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.例4某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.（1）购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？（2）问该单位最多能购买A型电脑多少台？【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】（1）设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：x+2y=11840，2x+y=12040.解得：x=4080，y=3880.答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.（2）设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：4080x+3880（36-a）≤145000，解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.。

一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。

常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

第14讲一元一次不等式知识导航1．一元一次不等式的相关概念及解法；2．含参数的一元一次不等式；3．一元一次不等式的实际应用；4．含绝对值的一元一次不等式．【板块一】一元一次不等式的相关概念及解法方法技巧1．一元一次不等式是指含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断．2．解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为a＜a或x＞a的形式．题型一元一次不等式的定义【例1】若不等式3（x－1）＜mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n满足的条件．【练1】（2017年春·启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2－9x≥x2＋7x－6 B．x＋1＝0 C．x＋y＞0 D．x2＋x＋9≥0题型二一元一次不等式的解法【例2】解不等式213132x x---≥1，并把它的解集表示在数轴上．【例3】若不等式325123x x--<+的最小整数解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．【练3】解不等式222223x x-+>-，并写出它的非负整数解．题型四列不等式，求取值范围【例4】（2018·双桥区模拟）对于实数a，b，c表示运算：ab－c，如＝2×3－4＝6－4＝2．（1）列出算式并求值：（2）若的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断（1）中①和②的值是不是此不等式的解．【练4】（2018春·蔡甸区期末）若代数式315x -的值不小于代数式156x-的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿．针对练习1．下列各式：①－x ≥5；②y －3x ＜0；③x π＋5＜0；④x 2＋x ≠3；⑤3x ＋3≤3x ；⑥2(x ＋2)－x ＜x －5，其中是一元一次不等式的有＿＿＿＿＿＿．（填序号）2．若2(1)30m m x +->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为＿＿＿＿． 3．不等式2（5x ＋3）＞x －3（1－2x ）的最小整数解为＿＿＿＿． 4．(2018春·蜀山区期末)不等式214323x x ---<的所有自然数解的和等于＿＿＿＿． 5．（2018春·宁都县期末）代数式12x －1的值小于313x -的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2（5x －3）≤4x －3(1－3x )； （2）1＋5x ＞522x --； （3）2 1.530.6 1.930.50.20.1x x x---->．7．(2018春·孟津县期中)若不等式5（x －2）＋8≤6(x －1)＋7的最小整数解是方程3x －ax ＝－3的解，求210a --的值．8．（2018春·九台区期末）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）＝2ax byx y++(a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝01201a bb⨯+⨯=⨯+．若(1,1)2,(2,1) 1.TT-=-⎧⎨=⎩（1）求a，b的值；（2）解关于m的不等式：T（2m，3－4m）≤8．【板块二】含参数的一元一次不等式方法技巧1．解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线，将参数当作数看待或将参数当作主元看待．2．注意讨论参数的取值范围．题型一解含参数的一元一次不等式【例1】解关于x的不等式ax－2a＜2（x－2）．【练1】解关于x的不等式ax＋3＜x＋b．．题型二已知不等式的解集，求参数的取值范围【例2】若不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集是x＞1，求k的取值范围．【练2】当a＝＿＿＿时，关于x的不等式（1－a）x＞a－5的解集是x＜2．题型三已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围【例3】（2017秋·双清区校级月考）已知一元一次不等式mx－3＞2x＋m．（1）若它的解集是x＜32mm+-，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞34，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【练3】若关于x的不等式m（x＋2）＞2m－1的解集是x＜15，则关于x的不等式（m－1）x＞－1－m的解集是（）A．x＜23-B．x＞23-C．x＜23D．x＞23题型四已知不等式的整数解，求参数的取值范围【例4】（2018春·淮安区期末）已知不等式2x－m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围．题型五已知不等式的解集，求相关不等式的解集【例5】若关于x的不等式（2a－b）x＋3a－4b＜0的解集是x＞49，试求关于x的不等式（a－4b）x＋2a－3b＜0的解集．【练5】已知关于x的不等式（4a－3b）x＞2b－a的解集是x＜49，则ax＞b的解集为＿＿＿＿．针对练习21．（2018春·大田县期中）若不等式（a－3）x＜3－a的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是＿＿＿＿．2．已知不等式3x＋a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是＿＿＿＿．3．（2017·大庆）若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．解关于X的不等式a(x－b)≤b(x－a)．5．(2018春·新野县期中)已知x＝3是关于x的不等式3x－22ax+＞23x的一个解，求a的取值范围．6．设不等式(m＋n)x＋(2m－3n)＜0的解集为x＜－13，求不等式(m－3n)x＋(n－2m)＞0的解．【板块三】实际问题与一元一次不等式(一)方法技巧1．常见的一些等量关系：①行程问题∶路程＝速度×时间；②工程问题:工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量；③利润问题∶商品利润＝商品售价－商品进价，利润率＝利润进价×100%；④增长率问题∶增长量＝原有量×增长率；⑤银行存贷款问题∶本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；⑥数字问题∶多位数的表示方法∶例如∶abcd＝a×103＋b×102＋c×10＋d．2．用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”〉不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．题型一关系直接型【例1】蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问∶在巳确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【练1】(2018春•秦都区期中)某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株？题型二阅读理解型【例2】(2018•上城区一模)为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：(注：居民生活用水水价＝供水价格十污水处理费)(1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是元/立方米．(2)4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×(1.90＋1.00)＋2×(2.85＋1.00)＝5.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．(3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收人的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．【练2】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表∶现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为x kg，则x应满足的不等式为()A．600x＋100(10－x)≥4200B．8x＋4(100－x)≤4200C．600x＋100(10－x)≤4200D．8x＋4(100－x)≥4200针对练习31．(2018春⋅包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春⋅南江县期末)南江县出租车收费标准为:起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计)．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是()千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春⋅黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．(2018春⋅道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．(2018春⋅磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤？斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部∶预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部∶该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部∶今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个．请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018⋅赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．针对练习31．(2018春•包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春•南江县期末)南江县出租车收费标准为∶起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计〉．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是( )千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春•黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．（2018春•道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数（365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．（2018春•磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个.请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件？②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018 赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【练2】(2018•太原三模)2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土——讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．(1)求山西省的丘陵面积与平原面积；(2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？针对练习41．(2018•山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8︰11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．2．(2018春•洪山区期末)已知购买60件八商品和30件B商品共需1080元；购买50件A商品和20件B商品共需880元．若某商店需购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A商品的件数最多为件．根据以上信息解答下列问题(1)求A、B两种商品的单价；(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的1倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【练1】(2018•昆明)水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？题型二方案选择型型两种客车，它们的载客量和租金如下表：A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A 型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含工的式子填写下表：(3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【板块五】绝对值不等式方法技巧1．①关于x的不等式|x|＜a(a＞0)的解为：－a＜x＜a；②关于x的不等式|x|＞a(a＞0)的解为：a＞x或者x ＜－a．2．含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题．题型一解含一个绝对值的不等式【例1】阅读求绝对值不等式子|x |＜3解集的过程：因为|x |＜3，从如图所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x |＜3的解集是－3＜x ＜3．解答下面的问题：(1)不等式|x |＜a (a ＞0)的解为 ．(2)求|x －5|＜3的解集实质上是求不等式组 的解集，所以|x －5|＜3的解集是 ．【练1】解下列含绝对值的不等式:(1) |x |≤5(2) |2x －1|＜3(1) 213x ≥4题型二 解含多个绝对值的不等式【例2】解不等式：|x －1|＋|x ＋2|＝5．由绝对值的几何意叉知,核方程表示求在数紬上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距高为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边．若x 对应点在1的右边，由可以看出x ＝2；同理,若x 对应点在－2的左边,可得x ＝－3,故原方程的解是x ＝2或x ＝－3．参考阅读材料，解答下列向题：(1)方程|x ＋3|＝4的解カ ．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．0 1 -3 -2 -1 23 0-2 -1【练2】解不等式|x－5|－|x＋2|＜1．针对练习5 1．解下列含绝对值的不等式：(1) |2x＋5|＞7(2) |x＋2|＜3x＋14(1) 31314x--＜22．解下列含绝对值的不等式：|x－1|＋|x＋2|＞5．3．解下列含绝对值的不等式：|x|≥|x－3|．4．已知x＜－1，化简|3x＋1|－|1－3x|．5．已知5(x＋1)－3x＞2(2x＋3)＋4，化简|2x－1|－|1＋2x|．。

一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

课题：7.2 一元一次不等式（1）第一课时一元一次不等式及其解法学习目标：1.了解一元一次不等式的概念；了解不等式的解和解集的意义。

2.会解简单的一元一次不等式，能在数轴上表示不等式的解集；掌握解一元一次不等式的一般步骤和方法。

3.通过探究一元一次不等式的解法，体会类比和转化思想。

学习重点：一元一次不等式的解法和用数轴表示不等式的解集。

学习难点：会根据不同的情境列一元一次不等式。

一、学前准备1. 回顾：不等式的概念不等式的基本性质2.练习：（1）若x-1＞4. 则x_____________.根据_______ ______.（2）-2x＞－5. 则x_____________.根据_________ ____. 二、探究活动（1）x与3的和小于10用式子怎样表示？（2）七6班学生的人数的2倍与15的和小于135，七6班的人数y 满足什么式子？（3）小亮的体重的2倍减25千克不小于15千克，设小亮的体重为x千克，则x满足什么式子？观察你所列出的式子，它们有什么共同的特点？（1）x+3<10；（2）2y＋15＜135；（3）2x-25≥15。

①都是不等式；②只含有一个未知数③未知数的次数都是1；④不等号的两边都是整式。

定义：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。

巩固练习1. 判断下列式子，哪些是一元一次不等式。

(1) 4>1 (2) 3x-2<4 (3) x1< 2 (4) 4x-3<2y-7 (5) x 2+x+1>0 (6) xy (7) x+4=12. 若5132<+m x 是一元一次不等式，求m 的值。

解 因为不等式是一元一次不等式，所以12=m , 解得1±=m变式训练： 51)33(2<++m xm思考： 1. 判断下列给出的数中哪些能使不等式x+3<10成立：-1，-4，0，7，11，8.12. 你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？能找多少个？不等式的解：一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

第四章一元一次不等式(组)考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3-5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。

知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

沪科版数学七年级下册7.2《一元一次不等式》教学设计一. 教材分析《一元一次不等式》是沪科版数学七年级下册第七章第二节的内容。

这一节主要介绍了一元一次不等式的概念、性质和求解方法。

通过本节课的学习，学生能够理解一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的解法，并能运用不等式解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了代数基础知识和一元一次方程，他们对代数概念有一定的理解。

但是，对于不等式的概念和性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握一元一次不等式的相关概念和解法。

同时，学生需要通过大量的练习，提高解题技能。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的解法，能够运用不等式解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析和归纳，培养学生发现和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：一元一次不等式的定义和求解方法。

2.难点：一元一次不等式的应用和求解过程。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解一元一次不等式的定义和性质，使学生掌握基本概念。

2.引导法：通过引导学生观察、分析和归纳，培养学生发现和解决问题的能力。

3.实践法：通过大量的练习题，提高学生的解题技能。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元一次不等式的定义、性质和求解方法。

2.练习题：准备适量的一元一次不等式练习题，包括基础题和提高题。

3.教学素材：收集一些与一元一次不等式相关的实际问题，用于课堂拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与不等式相关的生活实例，引导学生关注不等式在现实生活中的应用。

提出问题，让学生思考：如何用数学语言来表示这些不等关系？2.呈现（10分钟）讲解一元一次不等式的定义和性质，通过PPT展示相关知识点，引导学生理解和掌握。