01.十字相乘法与分解因式学案

十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。

2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。

3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。

二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。

2. 学生准备：纸和笔。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。

b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。

2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。

b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。

c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。

3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。

b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。

4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。

b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。

5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。

b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。

6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。

b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。

四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。

五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。

2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。

六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。

然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。

此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。

十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。

2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。

3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。

教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。

2. 教学中使用的教材和习题。

3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。

4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。

教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。

2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。

讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。

2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。

3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。

b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。

c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。

d. 化简和测试分解因式的正确与否。

示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。

2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。

巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。

2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。

总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。

2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。

3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。

评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。

2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。

备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。

分解因式之十字相乘法我们知道 , 反过来, 就得到二次三项式 的因式分解形式, 即 , 其中常数项6分解成2,3两个因数的积, 而且这两个因数的和等于一次项的系数5, 即6=2×3, 且2+3=5。

一般地, 由多项式乘法, , 反过来, 就得到这就是说, 对于二次三项式 , 如果能够把常数项 分解成两个因数a 、b 的积, 并且a+b 等于一次项的系数p, 那么它就可以分解因式, 即。

运用这个公式, 可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

例1 把232x x ++分解因式。

分析: 这里, 常数项2是正数, 所以分解成的两个因数必是同号, 而2=1×2=(-1)(-2), 要使它们的代数和等于3, 只需取1,2即可。

解：因为2=1×2, 并且1+2=3, 所以 例2 把276x x -+分解因式。

分析: 这里, 常数项是正数, 所以分解成的两个因数必是同号, 而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3), 要使它们的代数和等于-7, 只需取-1, -6即可。

解：因为6=(-1)×(-6), 并且(-1)+(-6)=-7, 所以()()()()27616 16x x x x x x -+=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--例3 把2421x x --分解因式。

分析: 这里, 常数项是负数, 所以分解成的两个因数必是异号, -21可以分解成-21=(-1)×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7), 其中只需取3与-7, 其和3+(-7)等于一次项的系数-4。

()()()()2 421 37 37x x x x x x --=++-⎡⎤⎣⎦=+-解： 例4 把2215x x +-分解因式。

解: 因为-15=(-3)×5, 并且(-3)+5=2, 所以()()()()2 215=3535x x x x x x +-+-+⎡⎤⎣⎦=-+通过例1︿4可以看出, 把 分解因式时:如果常数项q 是正数, 那么把它分解成两个同号因数, 它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

苏州新盼望教化特性化教案
由①、③解得，a ＝－1，b ＝1，
代入②，等式成立．
∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．
点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学学问的学习中也常常运用．盼望读者不行轻视．
【易错例题分析】
例9 分解因式：22210235y aby b a -+．
错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5，
5×5＋1×(－2)＝23，
∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．
警示：错在没有驾驭十字相乘法的含义和步骤．
正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．
∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )．
【同步练习】
一、选择题
1．假如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a ＋b )
2．假如305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( )。

十字相乘法进行因式分解【学习目标】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的依据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）要点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法．学习要点：理解十字相乘法的依据。

学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。

学习过程：1．二次三项式多项式 ax2bx c ，称为字母x的二次三项式，此中 ax 2称为二次项，bx 为一次项， c 为常数项．比如，x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．在多项式 x26xy8 y2中，假如把y看作常数，就是对于x的二次三项式；假如把 x 看作常数，就是对于 y 的二次三项式．在多项式22b 27ab3中，把 ab 看作一个整体，即2( ab)27(ab) 3 ，a就是对于 ab 的二次三项式．相同，多项式(x y)27( x y) 12 ，把x＋y看作一个整体，就是对于x＋y 的二次三项式．十字相乘法是合用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依照和详细内容利用十字相乘法分解因式，本质上是逆用(ax＋ b)(cx＋ d) 竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为 1 的二次三项式x2px q ，假如能把常数项q 分解成两个因数 a，b 的积，而且 a＋ b 为一次项系数 p，那么它就能够运用公式x2(a b)x ab (x a)( x b)分解因式．这类方法的特点是“拆常数项，凑一次项”．公式中的 x 能够表示单项式，也能够表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．2．因式分解一般要按照的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑可否提公因式，再考虑可否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还可以持续分解的多项式因式仍旧用这一步骤频频进行．以上步骤可用口诀归纳以下：“第一提取公因式，而后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要适合，四种方法频频试，结果应是乘积式”．【典型例题】例 1把以下各式分解因式：（1）x 22x15；（）x22．25xy 6 y例 2把以下各式分解因式：（1）2x25x 3；（2） 3x 2 8x 3 ．例 3 把以下各式分解因式：（1）x410 x29；（2）7(x y)35( x y)22( x y) ；（3）(a28a) 222(a 28a) 120 ．例 4分解因式： (x22x 3)( x22x24) 90 ．例 5分解因式6x45x338x25x 6 ．例 6分解因式x22xy y25x 5 y 6 ．．例 7 分解因式： ca(c－a)＋ bc(b－c)＋ ab(a－ b)．例 8已知x4 6 x2x 12 有一个因式是 x2ax 4 ，求a值和这个多项式的其余因式．例 9 分解因式：5a2b223aby10 y2．。

初中数学【用十字相乘法进行因式分解】导学案一、导入激学你还记得什么是因式分解吗？还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？二、导标引学学习目标：1、理解十字相乘法的概念和意义，会用十字相乘法把形如“x2+px+q”的二次三项式进行因式分解。

2、会用十字相乘法把形如“ax2+px+q”的二次三项式进行因式分解。

3、渗透化归数学思想和部分与整体的数学思想，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性、层次性。

学习重难点：熟练掌握十字相乘法因式分解；结合运用各种方法完成因式分解。

三、学习过程（一）导预疑学利用5分钟，按预学要求完成下列问题，小组讨论后找出疑难问题。

1、预学核心问题：（1）十字相乘法的概念和意义（2）会用十字相乘法进行因式分解；2、预学检测:计算：（1）（x+2）（x+1）=__________; (2) （x+2）（x﹣1）=__________(3)（x﹣2）（x﹣1）=_________; (4) （x+2）（x+3）=__________(5)（x﹣2）（x+3）=__________; (6) （x﹣2）（x﹣3）=__________讨论：你是用什么方法将这类题目做得又快又准呢？试总结一个公式。

____________________________________________________________3、预学评价质疑：通过预学，你学会了什么？还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。

（二）导问互学问题一：用十字相乘法进行因式分解；活动1：两个一次二项式(x+a) (x+b)的积得x 2+(a+b)x+ab 即(x+a) (x+b)＝x 2+(a+b)x+ab,观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？活动2：计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。

1因式分解——十字相乘法导学案班级： 姓名： 组别：目标：1、了解“二次三项式”的特征；2、理解“十字相乘”法的理论根据；3、会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

学习重点：掌握公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++ 【学习过程】一 、温故知新（1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。

把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数---------- 十字交叉线2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)（3）按（2）中的方法把652++x x 分解因式 。

三、例题分析：例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

练习1： x 2-8x+15= ；练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。

小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。

四、巩固训练1．把下列各式分解因式：（1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。

2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。

五、课后作业： （1）、x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6（4）、a 2－4a －21 （5）、t 2－2t －8 （6）、m 2＋4m －12x x12⨯x ⇓⇓7⨯x 1-2（7）、 342+-x x （8）、762-+x x （9）13122--x x（10）、11102--a a （11）、1582++x x （12）、x 2－7x ＋6（13）、x 4＋5x 2－6 （14）、m 4－6m 2＋8 （15）、x 4＋10x 2＋9（16）、4)(3)(2-+-+b a b a （17）、12)2(8)2(2+---y x y x。

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十字相乘法学习目标：掌握运用十字相乘法分解因式的方法，能正确运用十字相乘法把多项式分解因式 学习重点：运用十字相乘法分解因式 学习过程：一、知识回顾：1．分解因式：（1）3xy 2-9y 2； （2）4x 2-16y 2； （3）x 2+16x +64 (4) x 2+4x+3问题：第(4)小题能不能用提供因式、公式法分解？它如何分解因式呢？练一练：分解因式：（1）x 2+3x+2； （2）x 2-7x+10； （3）x 2-x-6 (4) x 2+5x-6三、范例学习：例1 把下列各式分解因式：(1) a 2+6a +8 (2) x 2-8x +12 (3) x 2+13x +12 (4) x 2+6xy+5y21．计算下列各式： （1）（x +2）（x +4）= （2）（x +2）（x -4）= （3）（x -2）（x +4）= 2.根据左面的算式将可得到如下分解因式： （1） = （2） = （3） = （4） =练习1 分解因式：(1) x 2-5x +6 (2) x 2-8x -20 (3) x 2+6x -16 (4) x 2-4xy-5y 2例2 把下列各式分解因式：(1) 2x 2+7x +3 (2) 3x 2-11x +6 (3) (a +b)2+10(a +b )+9归纳：对于形如：2ax bx c ++的多项式，如果二次项能分解成1a x练习2分解因式：(1) x 2+7x +6 (2) 2x 2-9x +9 (3) 3x 2-5x +2(4) 2x 2+7x +5 (5) 4x 2-15x +7 (6) 6x 2-12x -18(7) (a +2b)2+3(a +2b )+2 (8) (a -b)2-5(a -b )+6本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。