2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2.1第2课时对数的运算学业分层测评新人教B版必修1201

对数的运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．2log510＋log50.25＝()A．0 B．1C．2 D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.【答案】 C2．若lg a，lg b是方程3x2＋6x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于()1A．2 B.2110C. D.100【解析】∵lg a，lg b是方程3x2＋6x＋1＝0的两个实根，由韦达定理得：lg a＋lg b＝－12，∴ab＝.故选C.100【答案】 C3．已知函数f(x)＝Error!则f(log27)＝()7 7A. B.16 87 7C. D.4 27 7【解析】因为log27>1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log ＝f＝22) (log －1)22 7f(log .24)【答案】 CA．lg 3 B．－lg 31 1C. D．－lg 3 lg 31【解析】【答案】 C5．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为()【导学号：60210084】A．6 B．9C．12 D．18【解析】∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，1 1∴＝log k2，＝log k3，a b2 1∵2a＋b＝ab，∴＋＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.b a【答案】 D二、填空题16．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.51 1【解析】∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3 ＝－log35，5 5∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.【答案】20【导学号：97512049】【解析】1 1lg 3 lg 3lg 8 3 9 3lg 2 3 9 1－·＝－·＝－＝2.lg 9 lg 4 4 2lg 3 2lg 2 4 4【答案】 28．已知x，y∈(0,1)，若lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.【解析】lg(x＋y)＝lg x＋lg y＝lg(xy)⇒x＋y＝xy，lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg 1＝0.【答案】0三、解答题229．求值：(1)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；3(2)log89·log2732－( 3－1)lg 1＋log535－log57.【解】(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg5＋lg 2)2＝2＋1＝3.lg 9 lg 32 35 2lg 3(2)log89·log2732－( 3－1)lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5 ＝×lg 8 lg 27 7 3lg 25lg 2 10－1＋1＝.3lg 3 910．2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2≈0.3010，lg 1.08≈0.0334，精确到1年)．【解】设经过x年国民生产总值为2015年的2倍．经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，…经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.lg 2 0.301 0∴x＝≈≈9.lg 1.08 0.033 4故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．[能力提升]81．已知2x＝3，log4 ＝y，则x＋2y的值为()3A．3 B．8C．4 D．log4888 2log2【解析】由2x＝3，得x＝log23.∴x＋2y＝log23＋2log4 ＝log23＋33log24 ＝log23＋(3log22－log23)＝3.【答案】 A1 12．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝()a b【导学号：97512050】A. 10 B．10C．20 D．100【解析】由2a＝m,5b＝m得a＝log2m，b＝log5m1 1 1 1∴＝log m2，＝log m5，∴＋＝log m2＋log m5＝log m10＝2，∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝a b a b310.【答案】 A3．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.【解析】方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg5＝0可以看成关于lg x的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．由根与系数的关系，1得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg ，351∴lg αβ＝lg α＋lg β＝lg ，351∴αβ＝.351【答案】354．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(log a b＋log b a)的值．1【解】由题设，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.2lg b lg a所以lg(ab)·(log a b＋log b a)＝(lg a＋lg b)·( lg b)＝(lg a＋lglg a＋lg a2＋lg b 2b)·lg a·lg b122－2 ×lg a＋lg b2－2lg a·lg b 2＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12.lg a·lg b 124。

3.2.1 第2课时对数的运算性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②(log a x)n＝n log a x；log a x③＝log a；n xnlog a x④＝log a x－log a y.log a y【解析】根据对数的运算性质知，③正确．【答案】③1 12．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝________.a b【解析】∵7a＝k，∴a＝log7k.∵8b＝k，∴b＝log8k.1 1∴＋＝log k7＋log k8＝log k56＝1，∴k＝56.a b【答案】5616 23．已知a2＝(a>0)，则log a＝________.81 316 4【解析】由a2＝(a>0)，得a＝，81 92422所以log ＝log 2＝2.3(3 )39【答案】 24．lg x1与lg x2是方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根，则x1x2＝________.【解析】由题意，lg x1，lg x2是关于lg x的一元二次方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lgx＋lg 2·lg 3＝0的两个根，则x1，x2是关于x的方程的两个根，由根与系数的关系，得lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3)，1 1即lg (x1x2)＝lg ，∴x1x2＝.6 61【答案】6x y331x(y )＝a，【解析】lg x－lg y＝lgx y x3 y3 x xlg (2 )3－lg (2 )3＝lg －lg 8＝lg (y )3＝3lg (y )＝3a.8【答案】3a6．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log5 12等于________．lg 12 lg 3＋2lg 2 b＋2a【解析】log5 12＝＝＝.lg 5 1－lg 2 1－ab＋2a【答案】1－a7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.【解析】由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6A1级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg ＝lg A1－lg A2＝(lg A1－A2A1lg A0)－(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震A2的最大振幅的10 000倍．【答案】610 0001－x8．已知函数f (x)＝lg ，若f (a)＝b，则f (－a)＝________.1＋x1－x【解析】因为f (x)＝lg ，1＋x1－a所以f (a)＝lg ＝b，1＋a1＋a 1－a(1＋a )－1所以f (－a)＝lg1－a＝lg＝－b.【答案】－b二、解答题9．计算：7(1)log5 35－2log5 ＋log5 7－log5 1.8；3lg 27＋lg 8－lg 1 000(2) ；lg 1.2(3)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.9 【解】(1)原式＝log5(5×7)－2(log5 7－log5 3)＋log5 7－log5 ＝log5 5＋log5 7－52log5 7＋2log5 3＋log5 7－2log5 3＋log5 5＝2log5 5＝2.3 3lg 3＋3lg 2－2 2(2)原式＝lg 3＋2lg 2－13lg 3＋6lg 2－3 3＝＝.2lg 3＋2lg 2－1 2(3)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b；8 50(2)设a＝lg 2，b＝lg 7，用a，b表示lg ，lg .7 49【解】(1)∵10a＝2，∴lg 2＝a.又∵10b＝3，∴lg 3＝b，8(2)lg ＝lg 23－lg 7＝3lg 2－lg 7＝3a－b.750lg ＝lg (2×52)－lg (72)＝lg 2＋2lg 5－2lg 749＝lg 2＋2(1－lg 2)－2lg 7＝2－a－2b.[能力提升]11．化简：log2 32－4log2 3＋4＋log2 ＝________.3【解析】log2 32－4log2 3＋4＝log2 3－22＝2－log2 3.∴原式＝2－log2 3＋log2 3－1＝2－2log2 3.【答案】2－2log2 312．设a表示的小数部分，则log 2a(2a＋1)的值是________．3－51 3＋5【解析】＝，3－543＋5 5－1可得a＝－1＝.4 4【答案】－13．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·(log a b＋log b a)的值为________.【解析】原方程可化为：2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0.1所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.2又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，则lg a＝t1，lg b＝t2，即lg a＋lg b＝2，1lg a·lg b＝.2lg(ab)·(log a b＋log b a)lg b2＋lg a 2＝(lg a＋lg b)·lg a·lg blg a＋lg b2－2lg a·lg b＝(lg a＋lg b)·lg a·lg b122－2 ×2 ＝2×＝12，12即lg(ab)·(log a b＋log b a)＝12.【答案】124．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计1约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.3010，lg33≈0.4771)1【解】假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，31根据题意得：0.75x＝，31 lg 3 lg 3∴x＝log0.75 ＝－＝－≈4.3 lg 3－lg4 lg 3－2lg 21故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.3。

实数指数幂及其运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列各式正确的是( )A.－2＝－3B.4a4＝aC.22＝2D.3－3＝2【解析】由于－2＝3，4a4＝|a|，3－3＝－2，故A、B、D错误，故选C.【答案】 C2．以下说法正确的是( )A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N＋)D．a的n次方根是n a【解析】由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故A错；由于负数的偶次方根无意义，故B错；C显然正确；当a<0时，只有n为大于1的奇数时n a才有意义，故D 错．【答案】 C3．下列各式运算错误的是( )A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18【解析】对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.【答案】 C4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )A.x＋1x－1B.x＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1D ．5－2x【解析】 ∵2－x 有意义， ∴2－x ≥0，即x ≤2.x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝x －2－x －2＝|x －2|－|x －3| ＝2－x －(3－x ) ＝2－x －3＋x ＝－1. 【答案】 C 二、填空题6．化简3aa ＝________. 【解析】.【答案】7．已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b＝________.【导学号：97512038】【解析】 32a －b＝32a 3b ＝a 23b＝2215＝20. 【答案】 20 8.3－3＋45－4＋35－3＝________.【解析】 3－3＝－6，45－4＝|5－4|＝4－5， 35－3＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 【答案】 －6 三、解答题【解】【解】[能力提升]1．设a 12－a -12＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2【解析】 将a 12－a -12＝m 平方得(a 12－a -12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋2.【答案】 C2．已知a ＝3，则的值为________.【导学号：97512039】【解析】【答案】 －13．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2. 由a ＋b ＝6，得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 【答案】 164．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －yx ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 【导学号：97512040】【解析】 (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝x ＋y2x －y－x －y 2x －y＝4xyx －y. 将x ＝12，y ＝23代入上式得：412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.(2)∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b .⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －b a ＋b ＝15＝55.。

指数函数与对数函数的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是( )A．(0，＋∞)B．(9，＋∞)C．(10，＋∞) D．(－∞，＋∞)【解析】∵f(x)＝3x＋9>9，∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B.【答案】 BA．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．b<a<c【解析】∵x>1，∴c<a<b.故选C.【答案】 C3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( ) A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)C．f(2x)＝2e x(x∈R)D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0)【解析】由y＝e x得f(x)＝ln x，∴f(2x)＝ln 2x＝ln 2＋ln x(x>0)．【答案】 D4．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为( )A．x＝2－y B．x＝y－2C．y＝2－x(x∈R) D．y＝x－2(x∈R)【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)．【答案】 D5．已知函数y ＝log 3(3－x )(0≤x <3)，则它的反函数是( ) A ．y ＝3－3x(x ≥0) B ．y ＝3＋3x(x ≤1) C ．y ＝3＋3x (x ≥0)D ．y ＝3－3x(x ≤1)【解析】 由y ＝log 3(3－x )，得3－x ＝3y，∴x ＝3－3y ， ∴有f －1(x )＝3－3x，排除B 、C ， ∵原函数中0≤x <3，∴0<3－x ≤3， ∴y ＝log 3(3－x )≤1，所以f －1(x )的定义域为x ≤1，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2(x >0)，则f (4)＝________. 【解析】 设f (4)＝b ，则4＝f －1(b )＝b 2且b >0，∴b ＝2. 【答案】 27．已知函数y ＝a x＋b 的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由函数y ＝a x＋b 的图象过点(1,4)，得a ＋b ＝4.由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a 0＋b ＝2，因此a ＝3，b ＝1.【答案】 3 18．已知函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x >0)互为反函数，则f (－2)＝________. 【解析】 法一：由题意，f (x )＝3x ，∴f (－2)＝3－2＝19.法二：函数y ＝f (x )与g (x )＝log 3x (x >0)互为反函数，∴求f (－2)即解方程log 3x ＝－2，故x ＝3－2＝19.【答案】 19三、解答题9．求函数y ＝2x＋1(x <0)的反函数．【解】 因为y ＝2x ＋1,0<2x <1，所以1<2x＋1<2. 所以1<y <2.由2x＝y －1，得x ＝log 2(y －1)． 所以f －1(x )＝log 2(x －1)(1<x <2)．10．已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0，且a ≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．【解】(1)要使函数有意义，必须a x－1>0，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x＝log a(a y＋1)．∴f－1(x)＝log a(a x＋1)．由f(2x)＝f－1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2.[能力提升]A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】 C2．设函数f(x)＝log a(x＋b) (a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】 f (x )＝log a (x ＋b )的反函数为f －1(x )＝a x －b ，又f (x )过点(2,1)，∴f －1(x )过点(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，a ＝－2，又a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴a ＋b ＝4. 【答案】 B3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，e x，x ≥0的反函数是________．【解析】 当x <0时，y ＝x ＋1的反函数是y ＝x －1，x <1； 当x ≥0时，y ＝e x的反函数是y ＝ln x ，x ≥1.故原函数的反函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥1.【答案】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥1【解】 设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2. 当x ∈R 时，t 有最小值，为2.由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.设u (x )＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，则f (x )＝log a u (x )．∵u (x )＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，0<a <1， ∴f (x )＝log a u (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32上是增函数． ∴f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32，无单调减区间．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

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3.2。

2 对数函数1．理解对数函数的概念、图象及性质．（重点)2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．（难点）［基础·初探］教材整理1 对数函数的概念阅读教材P102“对数函数”前两个自然段，完成下列问题．一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量,函数的定义域为(0，＋∞)．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）（1)函数y＝log x错误!是对数函数．（）（2)函数y＝2log3x是对数函数．（)(3）函数y＝log3（x＋1）的定义域是（0，＋∞）．（）【解析】（1）×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x〉0，所以（1）错；(2）×.在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须是1，所以（2)错；(3)×。

由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1,＋∞)，所以（3）错．【答案】(1）×（2)×(3）×教材整理2 对数函数的图象和性质阅读教材P103“表2”以下至P103“例1”以上部分，完成下列问题．对数函数y＝log a x在底数a〉1及0〈a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞）值域:R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0在(0,＋∞)上是增函数在（0，＋∞)上是减函数函数y＝log(3a－1）x是(0，＋∞）上的减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意可得0〈3a－1〈1,解得错误!<a<错误!，所以实数a的取值范围是错误!.【答案】错误![小组合作型]对数函数的概念(1）下列函数表达式中,是对数函数的个数有( ）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）；③y＝log8x;④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2）；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2（x＋1）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2)若对数函数f（x）的图象过点（4,－2）,则f（8)＝________。

3.2.1 第1课时 对数的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是________．(填序号)【解析】 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．【答案】 ①②2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是________．(填序号)①100＝1与lg 1＝0；④log 77＝1与71＝7.【解析】 由log 39＝2，得32＝9，所以③不正确．【答案】 ③3．若10α＝2，β＝lg 3，则100α－12β＝________. 【解析】 ∵β＝lg 3，∴10β＝3.【答案】 434．(1)若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.(2)若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________．【解析】 (1)由题意得，log x 9＝2，∴x 2＝9，∴x ＝±3，又∵x >0，∴x ＝3.(2)∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2.∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1.【答案】 (1)3 (2)15．方程9x －6·3x －7＝0的解是________．【解析】 设3x ＝t (t >0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.【答案】 x ＝log 37【解析】 由题意得，log 3(log 2 x )＝1，即log 2 x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，【答案】 247．若已知集合M ＝{2，lg a }，则实数a 的取值范围是________.【解析】 因为M ＝{2，lg a }，所以lg a ≠2.所以a ≠102＝100.又因为a ＞0，所以0＜a ＜100或a ＞100.【答案】 (0,100)∪(100，＋∞)8．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为________．【解析】 令t ＝10x ，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3.【答案】 lg 3二、解答题9．求下列各式中的x .(1)log x 27＝32；(2)log 2 x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2 x )＝0；(5)x ＝log 27 19.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)－12＝2－1. (4)由log 5(log 2 x )＝0，得log 2 x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 27 19，得27x ＝19， 即33x ＝3－2，∴x ＝－23. 10．计算下列各式：[能力提升]1．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中，正确的是________．(填序号)①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a.【解析】 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ，所以b ＝(a c )5＝a 5c .【答案】 ①2．如果点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(0，－1)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 易知lg a ＝0，lg b ＝1，∴a ＝1，b ＝10.【答案】 1 10【答案】 －47164．已知log a b ＝log b a (a ＞0，a ≠1；b ＞0，b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b .【证明】 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t＝a ，当t ＝1时，a ＝b ；当t ＝－1时，a ＝1b ，所以a ＝b 或a ＝1b .。

3.2.2 对数函数1．理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数函数的概念阅读教材P 102“对数函数”前两个自然段，完成下列问题．一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( )【解析】 (1)×.对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)×.在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 对数函数的图象和性质阅读教材P 103“表2”以下至P 103“例1”以上部分，完成下列问题．对数函数y ＝log a x 在底数a >1及0<a <1这两种情况下的图象和性质如下表所示：函数y ＝log(3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23[小组合作型](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ； ⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.【精彩点拨】 (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．【自主解答】 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12，【答案】 (1)B (2)－31．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[再练一题]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.【答案】 4(1)3(2)函数f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)的定义域为______．A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【精彩点拨】 (1)结合对数函数的定义2x －1>0.(2)(3)不仅要符合对数的定义，而且还要保证二次根式开方有意义，分母不为0等条件的限制．【自主解答】 (1)∵2x －1＞0，∴x ＞12，∴函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12.(2)函数式若有意义，需满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，2－x ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，取交集可得：x ∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 (2)(－1,2) (3)B求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为：要保证根式有意义；要保证分母不为0；要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[再练一题]2．函数f (x )＝3－x ＋lg(x ＋1)的定义域为( ) A ．[－1,3) B ．(－1,3) C ．(－1,3]D ．[－1,3]【解析】 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1>0，解得－1＜x ≤3，∴f (x )的定义域为(－1,3]． 【答案】 C 3．函数y ＝log 3x －的定义域为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【解析】 要使函数y ＝log 3x －有意义，有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，log 3x －，解得x ≥1，所以函数f (x )的定义域是[1，＋∞)，故选A. 【答案】 A[探究共研型]探究1 a log a (2x －1)＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？【提示】对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)；在f(x)＝log a(2x－1)＋2中，令2x－1＝1，即x＝1，则f(x)＝2，所以函数f(x)＝log a(2x－1)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,2)．探究2 从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？【提示】当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．图3­2­1【提示】作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(1)已知a＞0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )(2)作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．【精彩点拨】(1)根据函数y＝a x与y＝log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，从而对选项进行判断即得．(2)作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后对其进行适当变换，分步骤进行．【自主解答】(1)∵函数y＝a x与y＝log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x 对称．再由函数y＝a x的图象过(0,1)，y＝log a x的图象过(1,0)，排除选项A、B，从C、D选项看，y＝log a x递减，即0＜a＜1，故C正确．【答案】 C(2)第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4)1．根据所给的函数解析式选择函数的对数函数的图象时，如果所给的函数的底数不确定，就要对其进行分类讨论，并结合排除法得出选项．2．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．[再练一题]4．函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是( )【解析】 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是增函数，∴C 满足条件，故选C.【答案】 C1．已知函数f (x )＝11－x 的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅【解析】 由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 【答案】 C2．若f (x )是对数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝________. 【解析】 设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (2)＝【答案】A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【解析】 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．【答案】 D4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域是________.【导学号：97512051】【解析】 ∵3x ＋1>1，且y ＝log 2x 在(1，＋∞)上单调递增，∴log 2(3x＋1)>log 21＝0，故函数f (x )的值域是(0，＋∞)．【答案】 (0，＋∞)5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．【解】(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。

对数的运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 2log 510+ log 50.25 =( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】 2log 510+ log 50.25 = log 5100+ log 50.25 = log 5(100 x 0.25) = log 525= 2. 【答案】 C2. 若lg a , lg b 是方程3x 2+ 6x + 1 = 0的两个实根，则 ab 的值等于( )A. 2B.2 1 _C.而D. 10【解析】 T ig a , lg b 是方程3x 2 + 6x + 1= 0的两个实根，由韦达定理得：lg a + lg1b =— 2 ,.•• ab = 100.故选 C.【答案】 C匚x.2 , x <1,3. 已知函数 f (x )= ] x _], x > 1, 则 f (log 27)=( )77A. 16B・87D.2—Z 、【解析】因为 Iog 27>1，所以 f (log 27) = f (log 27 — 1) = f log 22 = f log 22- 1 =7 f log 24 .而logz所以丿|1阻"J =才咗=£【答案】7 C .4 A. lg 3 1 C.lg 3B. —lg 31 D.—|g 3十lo 乐5= 10忌2+b 曲5 = b 瓯10=【答案】 C5.已知2a = 3b = k （k z 1），且2a + b = ab,则实数k 的值为（ ）【导学号：60210084】A. 6B. 9C. 12D.18【解析】•/ 2a = 3b = k (k z 1), • ■- a = log2k ,b = log3k ,11…a = logk2, b = logk 3,2 12a + b = ab ,「. b + a = 2log k 3 + log k 2 = log k 9+ log k 2 = log k i8= 1 ,•'• k = 18.【答案】 D 二、填空题16•已知 3a = 2,3 b = 5,贝U 3“b = __________ .1 1【解析】 T 3 = 2,3 b= 5,两边取对数得 a = log 32, b = log 35=— log 35,2a — b• 2a — b = 2log 32 + log 35 = log 320,「. 3 = 20.【导学号：97512049】100(対％)- log,8 • log^ 巧=l 严—1()小1 lg 3 3 9 3lg2 lg 44 2lg 31 lg 3 39 1 =—一 _ = 2 2lg 2 4 4 '【答案】lg(1 — x ) + lg(1 — y ) = lg[(1 — x )(1 — y )] = lg(1 — x — y + xy ) = lg 1 = 0.【解析】【答案】207 •计]00（去【解析】lg 8 lg 9&已知 x , y € (0,1)，若lg x + lg y = lg( x + y )，则 lg(1 — x ) + lg(1 — y )=【解析】 lg( x + y ) = lgx + lg y = lg( xy )? x + y = xy ,【答案】0三、解答题29•求值：(1)lg 5 2+ 3lg 8 + lg 5 • lg 20 + (lg 2) 2;(2)log 89 • log 2732 - ( 3 - 1)lg 1+ log 535 - log 57.2 2【解】⑴原式=2lg 5+ 2lg 2 + 2lg 5lg 2 + (lg 5) + (lg 2) = 2(lg 5 + lg 2) + (lg5+ lg 2) 2= 2+ 1 = 3., __ lg 9 lg 32 35 2lg 3(2)log 89 • log 2732 —( 3 —1)^ 1+ log 535 —log 57 = g 8x lg 27 —1 + log5 7 = 3© 25lg 2 10x3lg 3 - 1+ 1 =10. 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg 2疋0.301 0 , lg 1.08〜0.033 4，精确到1年).【解】设经过x年国民生产总值为2015年的2倍.经过1年，国民生产总值为a(1 + 8%),经过2年，国民生产总值为a(1 + 8%f,经过x年，国民生产总值为a(1 + 8%/ = 2a,/• 1.08x= 2，两边取常用对数，得x • lg 1.08 = lg 2.lg 2 0.301 0二x= lg 1.08 ~ 0.033 4 ~ 9.故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍.［能力提升］81. 已知2x= 3, log 4^= y，贝U x+ 2y 的值为()A. 3B. 8C. 4D. log 4888 2log【解析】由2 = 3,得x= log 23. - - x + 2y = log 23 + 2log 43= log 23 + log 24=log 23+ (3log 22 —log 23) = 3.【答案】A1 12. 设2 = 5 = m 且a+ b= 2,贝U m=( )【导学号：97512050】A. 10B. 10C. 20D. 100a b []【解析】由2 = m,5 = m得a= log 2m b= log 5m1 1 11a= log m2,b= log m5, —a+ b= log m2 + log m5 = log m10= 2，二m = 10.又T m>0, —rn=10.【答案】A3. 如果方程(lg x)2+ (lg 7 + lg 5)lg x + lg 7 • lg 5 = 0 的两根是a ,UaB =2 __________________________________________【解析】方程(lg x) + (lg 7 + lg 5)lg x + lg 7 • lg 5 = 0可以看成关于lg x的二次方程.•/ a，B是原方程的两根，.••lg a , lg B可以看成关于lg x的二次方程的两根.由根与系数的关系，丄得lg a + lg B =—(lg 7 + lg 5) = lg 35，1lg a B = lg a + lg B = lg 35,1••• a B = 35.1【答案】354. 已知lg a, lg b 是方程2x2—4x + 1 = 0 的两个根，求lg(ab) • (log a b+ log b a)的值.【解】由题设，得lg a+ lg b = 2, lg a • lg b=|4g b lg a)所以lg( ab) • (log a b + log b a) = (lg a + lg b) •lg a + lg b = (lg a + lga 2+b 2b)• lg a • lg b12 —a+ lg b 2—2lg a • lg b 2 —” 2=(l g a+ * l 2g b)•lg a • lg b =2X1 = 12・2。

3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算法则思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝________________；(2)log a M N＝________________；(3)log a M n ＝________(n ∈R )．知识点二 自然对数1．定义：以无理数e ＝________为底的对数叫做自然对数．2．记法：log e N ＝________.知识点三 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表和自然对数表，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？梳理 对数换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 特别地，log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷10012－； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －0.06413.类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y3z.反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a(MN)≠log a M·log a N，log a(M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练2 已知y>0，化简log ax yz.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1．log 513＋log 53等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．log 51032．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．log 29×log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．44．lg 0.01＋log216的值是________．log2＋(－9.8)0＝________.5．log327＋lg 25＋lg 4＋771．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N)．答案精析问题导学知识点一思考 有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N ，可以当公式直接进行对数运算． 梳理(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M知识点二(1)2.718 28… (2)ln N知识点三思考1 设法换为同底．思考2 把3x＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论． 梳理1题型探究例1 解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332 ＝2log 33＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13. (3)lg 10333232234lg()lg(3210)101212lg lg 1010⨯⨯÷== ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6. 跟踪训练1 解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4) ＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝(lg 2514)÷1012()2⨯－＝lg 102÷10－1 ＝2×10＝20.(3)原式＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·3lg 22lg 3＝34. (4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013＝2＋12－410＝2110. 例2 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0， ∴y >0，z >0.log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz . 解 ∵x yz>0，y >0，∴x >0，z >0. ∴log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z . 例3 解 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 跟踪训练3 解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 当堂训练1．A 2.B 3.D 4.2 5.132。

3.2.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在同一坐标系中，函数y ＝log 3 x 与y ＝log 13 x 的图象关于________对称．【解析】 y ＝log 13x ＝－log 3 x 与y ＝log 3 x 的图象关于x 轴对称．【答案】 x 轴2．若y ＝(log 12 a )x在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题知0<log 12a <1，即log 121<log 12a <log 1212，∴1>a >12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a<1)的图象大致为________．(填序号)【解析】 将g (x )＝log a x 的图象不动，并将之关于y 轴对称到y 轴左侧，再上移1个单位，即得f (x )的图象．【答案】 ①4．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,3a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于________．【解析】 ∵a ∈(0,1)，∴f (x )max ＝log a a ＝1，f (x )min ＝log a 3a ， 由题知log a 3a ＝13，∴a ＝133＝39.【答案】395．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．【解析】 x ≥1时，f (x )≤0，x <1时，0<f (x )<2，故f (x )的值域为(－∞，2)．【答案】 (－∞，2) 6．函数f (x )＝lg (4x－2x ＋1＋11)的最小值是________．【解析】 4x－2x ＋1＋11＝(2x )2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，∴f (x )≥lg 10＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3 x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．【解析】 法一：分别做出f (x )，g (x )，h (x )的图象(图略)，通过作y ＝a (a <0)可以看出x 2<x 3<x 1.法二：由题知f (x 1)＝a ＝ln x 1，∴x 1＝e a，同理x 2＝10a，x 3＝3a，结合指数函数y ＝e x，y ＝10x ，y ＝3x 的图象可知，x 2<x 3<x 1.【答案】 x 2<x 3<x 18．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．【解析】 由题知－2≤log 2 x <2，∴log 2 2－2≤log 2 x <log 2 22，故14≤x <4.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 二、解答题9．(1)若log a 34<1(a >0，a ≠1)，求实数a 的取值范围；(2)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域.【解】 (1)log a 34<1，即log a 34<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数， 由log a 34<log a a ，得a >34，故a >1.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，由log a 34<log a a ，得a <34，故0<a <34.综上，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <34或a >1. (2)由0≤log 12(3－x )≤1得，log 121≤log 12 (3－x )≤log 1212， 所以12≤3－x ≤1，解得2≤x ≤52.所以函数y ＝f (log 12(3－x ))的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52. 10．设函数y ＝f (x )满足lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式； (2)求f (x )的值域；(3)讨论f (x )的单调性．(不用证明) 【解】 (1)∵lg y ＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x ＞0，y ＞0，，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞0.又∵lg y ＝lg[3x (3－x )]， ∴y ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ， 即f (x )＝－3x 2＋9x (0＜x ＜3)．(2)∵－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274且0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，即函数f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，274.(3)∵f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，且0＜x ＜3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3上单调递减． [能力提升]1．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图3­2­2，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是下列中的________．(填序号)图3­2­2【解析】 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1，故g (x )＝a x＋b 的图象为④. 【答案】 ④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由题知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a >1，a －－1≤log a 1＝0⇒2<a ≤3.【答案】 (2,3]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________.【解析】 ∵f (log 2 a )＋f (log 12a )＝f (log 2 a )＋f (－log 2 a )＝2f (log 2 a )≤2f (1)，∴f (log 2 a )≤f (1)，由f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴－1≤log 2 a ≤1，即log 2 12≤log 2 a ≤log 2 2，∴12≤a ≤2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 4．已知函数f (x )＝log 121－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，即log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax，解得a＝－1或a＝1(舍)．所以a＝－1.(2)f (x)＋log12(x－1)＝log121＋xx－1＋log12(x－1)＝log12 (1＋x)，当x＞1时，log12(1＋x)＜－1.∵当x∈(1，＋∞)时，f (x)＋log12(x－1)＜m恒成立，∴m≥－1.即实数m的取值范围[－1，＋∞).。