No34 一元二次不等式及其解法(3)
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一元二次不等式及其解法(三)全篇
课后作业
1．教材 80 页 A 组 5、练习册 133 页 3、4 2．预习 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区
域
用二次函数图象分析解决有关问题；另一方面还应依具体情 景，选择不同的字母作为自变量，再利用图象分析解决问题．
复习回顾
1.三个二次关系： (1)从函数的观点来看： 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a>0)的图象在 x轴上方 部分的点的横坐标 x 的集合；ax2 ＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图 象在 x轴下方 部分的点的横坐标 x 的集合． (2)从方程的观点来看： 一元二次方程的根是二次函数的图象与 x轴交点 的横坐标，一元 二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是 大于大根 ，
根据 x 的实际意义，知 0<x≤8， 所以 0<x≤2 为所求．
小结 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时 要弄清题意，准确找出其中不等关系，再利用一元二次不等 式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
达标检测
1．不等式xx－ ＋23>0 的解集是
( C)
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
有两相异实根 x1,2 ＝－b± b2－4ac
2a
有两相等实根 x1＝x2
＝－ b
没有实根
(a>0)的根
2a (x1<x2)
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
{x|x<x1，或x>x2}
{x∈R|x≠－2ba}
R
ax2＋bx＋c<0
一元二次不等式及其解法
例1．解不等式：
（1）x2－2x+3>0；（2）x2－2x+3<0. 解: ∵△=(－2)2－4×1×3<0 ∴（1）x2－2x+3>0的解集 为实数集R ； （2）x2－2x+3<0无解， 即它的解集为空集.
-1 O -1 y 3 2 1 1 2 3 x
例2．解下列不等式： （1）x2+4x+4 >0. （2）x2+4x+4 <0. 解: ∵△=42－4×4=0
是
输出区间 (, x1 ) ( x2 ,)
输出区间 ( ,)
输出区间 b b (, ) ( ,) 2a 2a
结束
∴ x2+4x+4=(x+2)2 ∴（1）x2+4x+4>0的解集 为实数集{x∈R|x≠ － 2}； -2 （2）x2+4x+4<0的解集 为空集.
-1 O
y 3 2 1 x
1
-1
小组讨论：解一元二次不等式的一般步骤。
（1）将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）； （2）计算Δ=b2-4ac； （3）若Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0） 的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0） 没有实数根； （4）根据图象写出一元二次不等式的解集。
数的最高次数为2的整式不等式，叫做一 元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a，b，c均为常数。 也可以是 ≥ 2 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0)， 或≤ 一元二次不等式 f(x)>0或f(x)<0 (a≠0) 的解集与二次函数f(x)之间有什么样的关系？ f(x)>0 (a≠0)的解集：是使二次函数f(x)的函 数值为正值时的自变量x的取值的集合。 f(x)<0 (a≠0)的解集：是使二次函数f(x)的函 数值为负值时的自变量x的取值的集合。 f(x)=0 (a≠0) 的解集：是使二次函数f(x)的函 数值为零时的自变量x的取值的集合。
一元二次不等式及其解法
定二次方程根的个数；
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
一元二次不等式的解法全
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
数学讲义：第3章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案
高中数学课程
1．含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根 的大小)． 2．解含参数的一元二次不等式 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 与等于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.
∴7m－6<0，解得
6 m<7.
∴0<m<67.
当 m＝0 时，－6<0 恒成立．
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6，∴m<0.
高中数学课程
综上所述，m 的取值范围为－∞，67. 法二：f(x)<－m＋5 恒成立，
高中数学课程
综上所述，
当－2<a<0 时，解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，解集为{x|x＝－1}；
当 a<－2 时，解集为x－1≤x≤2a
.
不等式恒成立问题
【例 3】 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
.
(2)原不等式等价于 3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程 3x2－6x＋2＝0，得 x1＝
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
解之得 4<x≤5
∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}
2013-1-21
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
6
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例3.解关于x的不等式：
loga (4 3x x ) loga (2x 1) loga 2, (a 0, a 1)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
2013-1-21
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
当0<a<1时有
1 x 2 2 x 1 0 2 2 x4 1 x 4 4 3 x x 0 4 3 x x 2 2(2 x 1) x 3或x 2 1 ∴当a>1时不等式的解集为 { x | < x < 2} 2 当0<a<1时不等式的解集为 { x | 2 < x < 4}
2013-1-21
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
1 log a x 4或 log a x 2
x a 或0 x a
4
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 11
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
课堂练习 <<教材>> P.80
练习2
书面作业
<<教材>> P.80 习题3.2 A组3 B组1.2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
5
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例2. 解不等式
logx3 ( x 1) 2
x 1 0 或 0 x 3 1 x 1 ( x 3) 2
∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}
2013-1-21
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6
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例3.解关于x的不等式：
loga (4 3x x ) loga (2x 1) loga 2, (a 0, a 1)
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2013-1-21
§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
当0<a<1时有
1 x 2 2 x 1 0 2 2 x4 1 x 4 4 3 x x 0 4 3 x x 2 2(2 x 1) x 3或x 2 1 ∴当a>1时不等式的解集为 { x | < x < 2} 2 当0<a<1时不等式的解集为 { x | 2 < x < 4}
2013-1-21
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12
1 log a x 4或 log a x 2
x a 或0 x a
4
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§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
课堂练习 <<教材>> P.80
练习2
书面作业
<<教材>> P.80 习题3.2 A组3 B组1.2
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§3.2.3一元二次不等式及其解法(三)
例2. 解不等式
logx3 ( x 1) 2
x 1 0 或 0 x 3 1 x 1 ( x 3) 2
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
课前自主预习
课堂互动探究
第4课：一元二次不等式(3)
k的取值范围是 k | k 1
例3 在R上定义运算＊：x＊y=x(1-y)，若不等 式(x-a) ＊(x+a)≤1对任意x∈ R恒成立，求a的 取值范围.
[思路分析]： ( x a) * ( x a) ( x a)(1 x a) 1 a2 a 1 x2 x ∴ 对一切 x∈ R 恒成立。 则
集为 R，则 a 的取值范围是
。
练习：
不等式(a - 2)x2 + 2(a - 2)x – 4 < 0对一切 实数x恒成立，则a的取值范围是____。
练习：
1. 解不等式
1 x
2
x 20
x 0
2 x
2. 关于x的不等式a x2 +4x –a 2 > 0的解集 为A , 2∈A , 则a的取值范围是____.
2 x t x 1 0 ，即 t 2 x x 1 ，
故原问题等价于 t
2 x x 1 对 x [0,1] 恒成立。
设
x 1 s, 则x s 2 1 ，所以
2
2 x x 1 2s s 2(1 s 2 ) ，
a a 1 ( x x) min
2 2
1 4
1 3 a ∴ 2 2
不等式恒成立问题的处理策略
常用方法之一是:
分离变量a和x.
f(x) min(x∈D)≥a;
1.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立
2.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立
最常用方法之二:
f(x) max(x∈D)≤a;
一元二次不等式及其解法
新沂市第三中学 张树康 2013.5.5
基础练习： 解不等式：
例3 在R上定义运算＊：x＊y=x(1-y)，若不等 式(x-a) ＊(x+a)≤1对任意x∈ R恒成立，求a的 取值范围.
[思路分析]： ( x a) * ( x a) ( x a)(1 x a) 1 a2 a 1 x2 x ∴ 对一切 x∈ R 恒成立。 则
集为 R，则 a 的取值范围是
。
练习：
不等式(a - 2)x2 + 2(a - 2)x – 4 < 0对一切 实数x恒成立，则a的取值范围是____。
练习：
1. 解不等式
1 x
2
x 20
x 0
2 x
2. 关于x的不等式a x2 +4x –a 2 > 0的解集 为A , 2∈A , 则a的取值范围是____.
2 x t x 1 0 ，即 t 2 x x 1 ，
故原问题等价于 t
2 x x 1 对 x [0,1] 恒成立。
设
x 1 s, 则x s 2 1 ，所以
2
2 x x 1 2s s 2(1 s 2 ) ，
a a 1 ( x x) min
2 2
1 4
1 3 a ∴ 2 2
不等式恒成立问题的处理策略
常用方法之一是:
分离变量a和x.
f(x) min(x∈D)≥a;
1.若f(x)≥a(x∈D) 恒成立
2.若f(x)≤a(x∈D) 恒成立
最常用方法之二:
f(x) max(x∈D)≤a;
一元二次不等式及其解法
新沂市第三中学 张树康 2013.5.5
基础练习： 解不等式：
一元二次不等式的解法(第三课时)
题型与解法
（二）二次不等式的恒成立 例1 已知关于x下列不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ∈R都成立 ≥0对任意x ≥ 0恒成立， ≥0的解集为R 试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
①当a=2时，y=1符合题意； ②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
解： (3) ∵两根都小于1,
0 m 1 2 f (1) 0
m 6或m 2 即 m 2 2 m 4 0
x=m/2
x1
x2 1
∴ m≤ -6.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 t;3.
x2
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
题型与解法
（一）含参数的二次不等式 例5 解关于x下列不等式：a2x2 – ax – 2 >0.
例6 解关于x下列不等式：x2 +ax +4 >0.
例7 解关于x下列不等式：ax2 – (a+1)x +1 >0.
题型与解法
归纳小结 （一）含参数的二次不等式 解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论，逐步解决。
一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。
解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。
本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。
1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。
我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。
2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。
通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。
3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。
通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。
4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。
通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。
综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。
在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。
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§3.2 一元二次不等式及其解法(3)
学习目标:
1、熟练一元二次不等式的解法，掌握不等式解集为空集或实数集R 的研究方法；
2、了解不等式与函数的关系，掌握不等式恒成立的等价转化方法.
一、自主学习案 1、关于x 的不等式2
0x x c ++>的解集是R 的条件是（ ）
A ．14c <
B ．14c ≤
C ．14c >
D ．14
c ≥ 2、若方程2
0x mx n ++=有两个不相等的实根121,2x x =-=，则关于
x 的不等式
20x mx n ++<的解集是________________
3、关于x 的不等式2
10kx kx +-≥的解集是空集，则实数k 的取值范围是________________ 4、已知函数()2sin 1,f x x =+ 若不等式()f x a >的解集为R ，则实数a 的取值范围是________
二、合作探究案
例1、已知函数2
()ln()f x ax x a =-+的定义域为,R 求实数a 的取值范围.
变式1：关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对于x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
变式2：关于x 的不等式2240tx tx ++<解集为空集，求实数t 的取值范围.
主备_张银蛮_ 审批_唐欣杨_ 评价：□非常适合 □适合 □不适合
小结不等式解集为R 的求解方法：
例2、已知函数2
()48f x x x =-++，集合2{|650}A x x x =-+≤，若不等式()f x a ≥对任意x A ∈都
成立，求实数a 的取值范围.
变式3：已知集合2{|650}A x x x =-+≤，2
{|480}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求实数a 的取值范围.
变式4：若不等式2
sin2x x k >+对[0,]2
x π
∈恒成立，求实数k 的取值范围.
小结不等式恒成立的求解方法：
课堂小结：
(1)一元二次不等式解集为R 的问题（对x R ∈都成立）：
当0a ≠时，①20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为0
0a >⎧⎨
∆<⎩；
②20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为0
a <⎧⎨
∆<⎩
(2) 不等式()f x a >、()f x a <恒成立问题：
三、巩固案
1、关于x 的不等式2
0x x c -+->的解集是空集的条件是（ ）
A ．14c <
B ．14c ≤
C ．14c >
D ．14
c ≥
2、若不等式2
3
208
kx kx +-
<对任意x R ∈都成立，则实数k 的取值范围是________________ 3、已知函数
2()2.f x x x a =-+
(1)当2a =时，解关于x 的不等式：()6f x x <+；
(2)若不等式()6f x x <+对任意[1,5]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.
主备_张银蛮_ 审批_唐欣杨_ 评价：□非常适合 □适合 □不适合
4、已知0a >且1a ≠，若不等式97
44
x
a -<对任意[2,2]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.。