(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值理

专题能力训练8　利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x ,a ∈R .(1)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间;(2)已知f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f (x )=(2+x+ax 2)·ln(1+x )-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f (x )<0;当x>0时,f (x )>0;(2)若x=0是f (x )的极大值点,求a.3.已知函数f (x )=ax+x ln x 的图象在x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a 的值;(2)若f (x )≤kx 2对任意x>0成立,求实数k 的取值范围;(3)当n>m>1(m ,n ∈N *)时,证明:.nm mn>m n4.设函数f (x )=ax 2-a-ln x ,其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性;(2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>-e 1-x 在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数).1x 5.设函数f (x )=a ln x ,g (x )=x 2.12(1)记g'(x )为g (x )的导函数,若不等式f (x )+2g'(x )≤(a+3)x-g (x )在x ∈[1,e]内有解,求实数a 的取值范围;(2)若a=1,对任意的x 1>x 2>0,不等式m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立.求m (m ∈Z ,m ≤1)的值.6.已知函数f (x )=-2(x+a )ln x+x 2-2ax-2a 2+a ,其中a>0.(1)设g (x )是f (x )的导函数,讨论g (x )的单调性;(2)证明:存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f (x )=x 3+x 2+ax+1(a ∈R ).13(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x 0∈,使得f (x 0)=f .(0,12)∪(12,1)(12)专题能力训练8　利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解 (1)由f'(x )=ln x-2ax+2a ,可得g (x )=ln x-2ax+2a ,x ∈(0,+∞).则g'(x )=-2a=,1x 1-2ax x 当a ≤0时,x ∈(0,+∞)时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增;当a>0时,x时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增,x 时,函数g (x )单调递减.∈(0,12a)∈(12a ,+∞)所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g (x )单调增区间为,单调减区间为(0,12a)(12a,+∞).(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a ≤0时,f'(x )单调递增,所以当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x )在区间内单调递增,1212a (0,12a )可得当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,x时,f'(x )>0.∈(1,12a)所以f (x )在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题(1,12a )意.③当a=时,=1,f'(x )在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,1212a 所以当x ∈(0,+∞)时,f'(x )≤0,f (x )单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x )>0,f (x )单调递增,1212a ∈(12a,1)当x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a 的取值范围为a>12.2.解 (1)当a=0时,f (x )=(2+x )ln(1+x )-2x ,f'(x )=ln(1+x )-,x1+x设函数g (x )=f'(x )=ln(1+x )-,则g'(x )=,x1+x x(1+x )2当-1<x<0时,g'(x )<0;当x>0时,g'(x )>0.故当x>-1时,g (x )≥g (0)=0,且仅当x=0时,g (x )=0,从而f'(x )≥0,且仅当x=0时,f'(x )=0.所以f (x )在(-1,+∞)内单调递增.又f (0)=0,故当-1<x<0时,f (x )<0;当x>0时,f (x )>0.(2)①若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f (x )≥(2+x )·ln(1+x )-2x>0=f (0),这与x=0是f (x )的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h (x )==ln(1+x )-f (x )2+x +ax22x2+x +ax2.由于当|x|<min时,2+x+ax 2>0,故h (x )与f (x )符号相同.{1,1|a |}又h (0)=f (0)=0,故x=0是f (x )的极大值点当且仅当x=0是h (x )的极大值点.h'(x )=11+x ‒2(2+x +ax 2)-2x (1+2ax )(2+x +ax 2)2=x 2(a 2x 2+4ax +6a +1)(x +1)(ax 2+x +2)2.若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x )>0,故x=0不是h (x )的极大值点.6a +14a {1,1|a |}若6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0,故当x ∈(x 1,0),且|x|<min 时,h'(x )<0,所以{1,1|a |}x=0不是h (x )的极大值点.若6a+1=0,则h'(x )=x 3(x -24)(x +1)(x 2-6x -12)2.则当x ∈(-1,0)时,h'(x )>0;当x ∈(0,1)时,h'(x )<0.所以x=0是h (x )的极大值点,从而x=0是f (x )的极大值点.综上,a=-16.3.解 (1)∵f (x )=ax+x ln x ,∴f'(x )=a+ln x+1.又f (x )的图象在点x=e 处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e +1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f (x )=x+x ln x ,若f (x )≤kx 2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.≥1+lnxx 令g (x )=,则问题转化为求g (x )的最大值,g'(x )==-1+lnxx 1x·x -(1+lnx )x 2lnxx2.令g'(x )=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x )>0,∴g (x )在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x )<0,∴g (x )在区间(1,+∞)内是减函数.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=1,∴k ≥1即为所求.(3)证明:令h (x )=,则h'(x )=xlnx x -1x -1-lnx(x -1)2.由(2)知,x ≥1+ln x (x>0),∴h'(x )≥0,∴h (x )是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h (n )>h (m ),即,nlnn n -1>mlnmm -1∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m ,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n ,∴ln n mn +ln m m >ln m mn +ln n n .整理,得ln(mn n )m >ln(nm m )n .∴(mn n )m >(nm m )n ,∴nm mn>m n.4.解 (1)f'(x )=2ax-(x>0).1x=2ax 2-1x 当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x )=0,有x=12a.此时,当x 时,f'(x )<0,f (x )单调递减;∈(0,12a)当x时,f'(x )>0,f (x )单调递增.∈(12a,+∞)(2)令g (x )=,s (x )=e x-1-x.1x ‒1ex -1则s'(x )=e x-1-1.而当x>1时,s'(x )>0,所以s (x )在区间(1,+∞)内单调递增.又由s (1)=0,有s (x )>0,从而当x>1时,g (x )>0.当a ≤0,x>1时,f (x )=a (x 2-1)-ln x<0.故当f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.1212a 由(1)有f <f (1)=0,而g >0,(12a)(12a)所以此时f (x )>g (x )在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h (x )=f (x )-g (x )(x ≥1).≥12当x>1时,h'(x )=2ax--e 1-x >x->0.1x +1x 21x +1x 2‒1x =x 3-2x +1x 2>x 2-2x +1x 2因此,h (x )在区间(1,+∞)单调递增.又因为h (1)=0,所以当x>1时,h (x )=f (x )-g (x )>0,即f (x )>g (x )恒成立.综上,a∈[12,+∞).5.解 (1)不等式f (x )+2g'(x )≤(a+3)x-g (x ),即a ln x+2x ≤(a+3)x-x 2,12化简,得a (x-ln x )x 2-x.≥12由x ∈[1,e]知x-ln x>0,因而a 设y=,≥12x 2-xx -lnx .12x 2-xx -lnx 则y'=(x -1)(x -lnx )-(1-1x )(12x 2-x)(x -lnx )2=(x -1)(12x +1-lnx)(x -lnx )2.∵当x ∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,12∴y'>0在x ∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a ≥y min =-,12即实数a 的取值范围是[-12,+∞).(2)当a=1时,f (x )=ln x.由m [g (x 1)-g (x 2)]>x 1f (x 1)-x 2f (x 2)恒成立,得mg (x 1)-x 1f (x 1)>mg (x 2)-x 2f (x 2)恒成立,设t (x )=x 2-x ln x (x>0).m2由题意知x 1>x 2>0,则当x ∈(0,+∞)时函数t (x )单调递增,∴t'(x )=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.≥lnx +1x 因此,记h (x )=,得h'(x )=lnx +1x -lnxx 2.∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h (x )在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h (x )的最大值.由此可得h (x )max =h (1)=1,故m ≥1,结合已知条件m ∈Z ,m ≤1,可得m=1.6.(1)解 由已知,函数f (x )的定义域为(0,+∞),g (x )=f'(x )=2(x-a )-2ln x-2,(1+a x)所以g'(x )=2-2x +2a x 2=2(x -12)2+2(a -14)x 2.当0<a<时,g (x )在区间内单调递增,14(0,1-1-4a2),(1+1-4a2,+∞)在区间内单调递减;(1-1-4a 2,1+1-4a2)当a时,g (x )在区间(0,+∞)内单调递增.≥14(2)证明 由f'(x )=2(x-a )-2ln x-2=0,解得a=(1+a x)x -1-lnx1+x-1.令φ(x )=-2ln x+x 2-2x-2(x +x -1-lnx 1+x -1)(x -1-lnx 1+x -1)(x -1-lnx 1+x -1)2+x -1-lnx 1+x -1.则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.e (e -2)1+e-1(e -21+e-1)2故存在x 0∈(1,e),使得φ(x 0)=0.令a 0=,u (x )=x-1-ln x (x ≥1).x 0-1-ln x 01+x -10由u'(x )=1-0知,函数u (x )在区间(1,+∞)内单调递增.1x ≥所以0==a 0<<1.u (1)1+1<u (x 0)1+x -1u (e )1+e-1=e -21+e -1即a 0∈(0,1).当a=a 0时,有f'(x 0)=0,f (x 0)=φ(x 0)=0.由(1)知,f'(x )在区间(1,+∞)内单调递增,故当x ∈(1,x 0)时,f'(x )<0,从而f (x )>f (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0,从而f (x )>f (x 0)=0.所以,当x ∈(1,+∞)时,f (x )≥0.综上所述,存在a ∈(0,1),使得f (x )≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f (x )=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解 (1)f'(x )=x 2+2x+a ,方程x 2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a ,①当a ≥1时,Δ≤0,则f'(x )≥0,此时f (x )在R 上是增函数;②当a<1时,方程x 2+2x+a=0两根分别为x 1=-1-,x 2=-1+,1-a 1-a 解不等式x 2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,1-a 1-a 解不等式x 2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,1-a 1-a 此时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),1-a 1-a 单调递减区间为(-1-,-1+).1-a 1-a 综上所述,当a ≥1时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-1-a 1-a ,-1+).1-a 1-a (2)f (x 0)-f +ax 0+1--a -1(12)=13x 30+x 2013·(12)3‒(12)2·12=+a 13[x 3-(12)3]+[x 20-(12)2](x 0-12)=13(x 0-12)(x 20+x 02+14)+(x 0-12)·+a +x0+(4+14x 0+7+12a ).(x 0+12)(x 0-12)=(x 0-12)·(x 203+x 06+11212+a )=112(x 0-12)x 20若存在x 0,使得f (x 0)=f ,则4+14x 0+7+12a=0在内有解.∈(0,12)∪(12,1)(12)x 20(0,12)∪(12,1)由a<0,得Δ=142-16(7+12a )=4(21-48a )>0,故方程4+14x 0+7+12a=0的两根为x 1'=x'2=x 20-7-21-48a 4-7+21-48a4.由x 0>0,得x 0=x'2=,-7+21-48a4依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-,-7+21-48a421-48a 2512712又由得a=-,-7+21-48a 4=1254故要使满足题意的x 0存在,则a ≠-54.综上,当a 时,存在唯一的x0满足f (x 0)=f ,当a ∈(-2512,-54)∪(-54,-712)∈(0,12)∪(12,1)(12)时,不存在x0满足f (x 0)=f ∈(-∞,-2512]∪(-54)∪[-712,0)∈(0,12)∪(12,1)(12).。

专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1。

已知函数f（x)的导函数为f'(x），且满足f（x)=af’（1）x+ln x，若f'=0,则a=(）A.-1B.—2 C。

1 D.2w3。

若定义在R上的函数f（x）满足f(0)=—1，其导函数f'(x)满足f’(x）〉k>1，则下列结论中一定错误的是()A。

f B.fC.f D。

f4.已知常数a,b，c都是实数，f（x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f’(x），f'(x)≤0的解集为{x|—2≤x≤3}.若f（x）的极小值等于—115,则a的值是（)A.-B。

C。

2 D.55.（2018全国Ⅲ,理14)曲线y=（ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为—2,则a= 。

6.在曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.7.设函数f（x)=a e x++b(a〉0）.（1)求f(x）在［0,+∞）上的最小值;(2)设曲线y=f(x）在点（2，f（2）)处的切线方程为y=x，求a，b的值。

8.设函数f(x)=x e a—x+bx,曲线y=f(x）在点（2,f（2）)处的切线方程为y=(e—1）x+4。

（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间.9。

（2018全国Ⅰ，理21）已知函数f(x)=—x+a ln x.(1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x)存在两个极值点x1，x2，证明:<a—2.10.已知函数f（x）=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a〉0.(1）求函数f（x）的单调区间；(2)若函数f(x）在区间（-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围；（3)当a=1时,设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m(t）,记g （t)=M（t)-m(t),求函数g（t)在区间[—3,-1]上的最小值。

二、思维提升训练11。

已知定义在R上的函数f(x）的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'（x）〈0，则下列结论正确的是（）A.e2f(2）>e3f(3)B.e2f（2)<e3f(3）C.e2f（2)≥e3f（3）D。

专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ()A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x sin xC.f(x)=D.f(x)=2.已知a=21.2,b=,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a3.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()4.函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-B.-C.-D.-6.(2018全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.507.已知a>b>1,若log a b+log b a=,a b=b a,则a= ,b= .8.若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是.10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于.11.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .12.若不等式3x2-log a x<0在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练13.函数y=的图象大致为()14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=若f(-5)<f(2),则a 的取值范围为()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(2,+∞)15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则(x i+y i)=()A.0B.mC.2mD.4m16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为.18.若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+219.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.A解析函数f(x)=在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.A解析∵b==20.8<21.2=a,且b>1,又c=2log52=log54<1,∴c<b<a.3.D解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=时,y=-+2>2.排除C.故选D.4.D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].5.A解析∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-6.C解析∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.42解析设log b a=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+,解得t=2,则a=b2.由a b=b a,得b2b=,即得2b=b2,即b=2,∴a=4.8.1解析∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),因此ln(+1)-ln a=ln(+1),于是ln a=0,∴a=1.9解析由题意知a>0,又lo a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(lo a).∵f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a10.-解析根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-,所以f(3)+f=0+=-11.2解析f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解由题意知3x2<log a x在x内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=log a x的图象.观察两函数图象,当x时,若a>1,函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=log a x的图象必须过点或在这个点的上方,则log a,所以a,所以a<1.综上,实数a的取值范围为a<1.二、思维提升训练13.D解析y=为奇函数,排除A项;y=cos 6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧附近时,可保证2x-2-x>0,cos 6x>0,则此时y>0,故选D.14.B解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)<f(2)可化为f(5)<f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B.15.B解析由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称.则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(x i,y i),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足x i+x'i=0,y i+y'i=2,所以(x i+y i)=x i+y i=0+2=m.16解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<故答案为17.-10解析∵f=f,∴f=f,=-a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.19.解 (1)∵f(x)=e x-,且y=e x是增函数,y=-是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又对一切x∈R恒成立,0,∴t=-即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.。

（1）函数是R上的单调函数，则实数的取值范围为A．B．C．D．（2）函数的单调递减区间是______________．【参考答案】（1）C；（2）．【试题解析】（1）由题意，得，故在R上恒成立，∴，∴．故选C．（2）令，由，解得，而的图象的对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，又，且，故函数的单调递减区间是．【名师点睛】（1）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是不恒等于的参数的取值范围．（2）对于复合函数的单调性，根据其单调性规则进行判断即可（同增异减）．1．若函数在上可导，且满足，则一定有A．函数在上为增函数B．函数在上为减函数C．函数在上为增函数D．函数在上为减函数2．已知函数，则不等式的解集为______.3．已知函数，，，函数在处与直线相切．（1）求实数，的值；（2）判断函数在上的单调性．1．【答案】A【名师点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，属于基础题，解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性，本题的难点在于构造合适的函数，着重考查了分析问题和解答问题的能力．2．【答案】（0，2）【解析】由函数的解析式可得：，由于，当且仅当，即时等号成立，据此可得：，则函数是上的单调递减函数，注意到，则题中的不等式等价于，结合函数的单调性脱去符号有：，解得，即不等式的解集为.【名师点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．3．【答案】（1），；（2）在上单调递增，在上单调递减．【解析】（1）由可得，因为函数在处与直线相切，所以，解得．。

专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1。

设f（x）=x ln x-ax2+(2a-1）x,a∈R。

(1）令g（x)=f’（x），求g（x）的单调区间;（2)已知f(x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.2。

（2018全国Ⅲ，理21）已知函数f（x）=（2+x+ax2)·ln（1+x）-2x。

(1)若a=0，证明:当—1〈x〈0时,f（x）〈0;当x>0时，f（x)〉0;(2)若x=0是f（x）的极大值点,求a。

3。

已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1）求实数a的值;(2）若f（x)≤kx2对任意x〉0成立,求实数k的取值范围;（3)当n〉m>1(m,n∈N*)时,证明：。

4.设函数f(x)=ax2—a—ln x,其中a∈R。

(1）讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值,使得f（x)>-e1-x在区间(1,+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

5。

设函数f(x)=a ln x，g(x）=x2.（1)记g’(x)为g(x)的导函数，若不等式f（x)+2g'（x）≤（a+3)x—g(x)在x∈［1,e］内有解，求实数a的取值范围；（2）若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g（x1）—g(x2)]>x1f(x1）-x2f（x2）恒成立。

求m（m ∈Z,m≤1）的值。

6.已知函数f（x）=-2（x+a）ln x+x2-2ax—2a2+a，其中a〉0。

(1)设g（x）是f（x）的导函数,讨论g（x）的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x）≥0在区间(1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间(1，+∞）内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x）=x3+x2+ax+1(a∈R).(1）求函数f（x）的单调区间；(2）当a<0时，试讨论是否存在x0∈，使得f（x0）=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解（1）由f'（x)=ln x—2ax+2a,可得g(x)=ln x—2ax+2a，x∈(0,+∞）。