2006-2009年数二考研真题

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim55x x xx y x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A]（A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<（D ）0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数（9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31--（C ）ln 21--（D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e+= g (1)= ln 21--（10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--=（C ）23xy y y xe '''+-=（D ）23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A ）(,)xf x y dy ⎰（B ）(,)f x y dy ⎰（C ）(,)yf x y dx ⎰（D ）(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则（B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = （16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1lim n n x +→∞存在，并求极限；（2）计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==33110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f y x y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积.解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+（III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+===+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 02007年考研数学二真题解析一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→（B ）A. 1-B.lnC. 1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D.2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为 （D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散 （7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x →-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y→-=C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦ （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于 （B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， （B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16.(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1）.(13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-.(15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y =,则1222(,)(,)z z y y x x y xx y f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x . 【详解】：设(),y f t =则1()t f y -=.则原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t t yf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+c o s s i n '()s i n c o sx x f x x x -=+ （18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ； （Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e eπ=（19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】： 设dy p y dx '==，则dpy dx''=代入得： 22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+设x u p= 则()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp ⇒=1u p c ⇒=+即21x p c p =+ 由于(1)1y '= 故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求0x dzdx=，202x d zdx =.【详解】：11y y xe --=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- （当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dx y y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)（本题11分）设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f ag a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=. 【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得. （22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D = ,且1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰(1)(2)121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换220221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dtt πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=+⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=⎰⎰(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ== 当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)T k -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)T α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TTαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P d i a g P d i a g -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= ()A 2()vf u ()B 2()vf u u()C ()vf u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C【详解】()()()()()()aaa aa xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638.(7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】5325y x x =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)21)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A = 32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--====方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+ 4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+， 即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a a a a A r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,TTk k + 为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.2009年全国硕士研究生入学统一考试知疑真情制作数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。