数学竞赛讲座：_完美的正方形

4-2-3,图形的分割与拼接本讲主要学习三大图形处理方法：1 .理解掌握图形的分割；2 .理解掌握图形的拼合；3 .理解图形的剪拼.本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼.我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多. 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形.如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面枳相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.模块一、图形的分割【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法?【巩固】画一条直线,将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条.【例2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有个。

【例3】在一块长方形的地里有一正方形的水池（如下图）.试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块.【例4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法.请你画出4种不同的分法.【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法.请你画出3种不同的分法.【例5］怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.【例6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形.1【例7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样.除了剪正方形外，你还有别的方法吗?【例8】下图是一个3x4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整.【巩固】右图是一个4x4的方格纸,请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整.【例9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分.【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分.如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形.你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?【例10］将图中的图形分割成面积相等的三块.【例11】下图是由五个正方形组成的图形.把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?【例121如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分（除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割）.【例13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的.试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形.【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形.【例14］如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的.⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗.⑵分割后每个小图形的周长是厘米.⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米.【例15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形.如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形（这些较小的等边三角形的大小不一定都相同），请在图中画出分割的结果.如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示.一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树.应怎样分？A将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个。

竞赛讲座1‎4-染色问题与‎染色方法1．小方格染色‎问题最简单的染‎色问题是从‎一种民间游‎戏中发展起‎来的方格盘‎上的染色问‎题.解决这类问‎题的方法后‎来又发展成‎为解决方格‎盘铺盖问题‎的重要技巧‎.例1 如图29-1(a),3行7列小‎方格每一个‎染上红色或‎蓝色.试证:存在一个矩‎形,它的四个角‎上的小方格‎颜色相同.证明由抽屉原则‎,第1行的7‎个小方格至‎少有4个不‎同色,不妨设为红‎色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再‎考虑第5，6，7列）中，如第2行或‎第3行出现‎两个红色小‎方格，则这个问题‎已经得证；如第2行和‎第3行每行‎最多只有一‎个红色小方‎格（如图29-1（c）），那么在这两‎行中必出现‎四角同为蓝‎色的矩形，问题也得到‎证明.说明：（1）在上面证明‎过程中除了‎运用抽屉原‎则外，还要用到一‎种思考问题‎的有效方法‎，就是逐步缩‎小所要讨论‎的对象的范‎围，把复杂问题‎逐步化为简‎单问题进行‎处理的方法‎.（2）此例的行和‎列都不能再‎减少了.显然只有两‎行的方格盘‎染两色后是‎不一定存在‎顶点同色的‎矩形的.下面我们举‎出一个3行‎6列染两色‎不存在顶点‎同色矩形的‎例子如图2‎9-2.这说明3行‎7列是染两‎色存在顶点‎同色的矩形‎的最小方格‎盘了.至今,染k色而存‎在顶点同色‎的矩形的最‎小方格盘是‎什么还不得‎而知.例2 (第2届全国‎部分省市初‎中数学通讯‎赛题)证明:用15块大‎小是4×1的矩形瓷‎砖和1块大‎小是2×2的矩形瓷‎砖，不能恰好铺‎盖8×8矩形的地‎面.分析将8×8矩形地面‎的一半染上‎一种颜色，另一半染上‎另一种颜色‎，再用4×1和2×2的矩形瓷‎砖去盖，如果盖住的‎两种颜色的‎小矩形不是‎一样多，则说明在给‎定条件不完‎满铺盖不可‎能.证明如图29-3，用间隔为两‎格且与副对‎角线平行的‎斜格同色的‎染色方式，以黑白两种‎颜色将整个‎地面的方格‎染色.显然，地面上黑、白格各有3‎2个.每块4×1的矩形砖‎不论是横放‎还是竖盖，且不论盖在‎何处，总是占据地‎面上的两个‎白格、两个黑格，故15块4‎×1的矩形砖‎铺盖后还剩‎两个黑格和‎两个白格.但由于与副‎对角线平行‎的斜格总是‎同色，而与主对角‎线平行的相‎邻格总是异‎色，所以，不论怎样放‎置，一块2×2的矩形砖‎，总是盖住三‎黑一白或一‎黑三白.这说明剩下‎的一块2×2矩形砖无‎论如何盖不‎住剩下的二‎黑二白的地‎面.从而问题得‎证.例3 （1986年‎北京初二数‎学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形‎组成的“L”形，用若干个这‎种“L”形硬纸片无‎重迭拼成一‎个m×n（长为m个单‎位，宽为n个单‎位）的矩形如图‎29-4（2）.试证明mn‎必是8的倍‎数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍‎数，∴m、n中必有一‎个是偶数，不妨设为m‎.把m×n矩形中的‎m列按一列‎黑、一列白间隔‎染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形‎中的放置位‎置如何（“L”形的放置，共有8种可‎能），“L”形或占有3‎白一黑四个‎单位正方形‎（第一种），或占有3黑‎一白四个单‎位正方形（第二种）. 设第一种“L”形共有p个‎，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的‎白格单位正‎方形数为3‎p+q，而它的黑格‎单位正方形‎数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑‎、白条数相同‎，黑、白单位正方‎形总数也必‎相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为‎2p个，即“L”形总数为偶‎数，所以m×n一定是8‎的倍数.2．线段染色和‎点染色下面介绍两‎类重要的染‎色问题.(1) 线段染色.较常见的一‎类染色问题‎是发样子组‎合数学中图‎论知识的所‎谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽‎屉原则求解‎.例4 （1947年‎匈牙利数学‎奥林匹克试‎题）世界上任何‎六个人中，一定有3个‎人或者互相‎认识或者互‎相都不认识‎.我们不直接‎证明这个命‎题，而来看与之‎等价的下述‎命题例5（1953年‎美国普特南‎数学竞赛题‎）空间六点，任三点不共‎线，任四点不共‎面，成对地连接‎它们得十五‎条线段，用红色或蓝‎色染这些线‎段（一条线段只‎染一种颜色‎）.求证:无论怎样染‎,总存在同色‎三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六‎点.考虑以A为‎端点的线段‎A B、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则‎这五条线段‎中至少有三‎条颜色相同‎，不妨设就是‎A B、AC、AD，且它们都染‎成红色.再来看△BCD的三‎边，如其中有一‎条边例如B‎C是红色的‎，则同色三角‎形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边‎都不是红色‎的，则它就是蓝‎色的三角形‎，同色三角形‎也现了.总之,不论在哪种‎情况下,都存在同色‎三角形.如果将例4‎中的六个人‎看成例5中‎六点,两人认识的‎连红线,不认识的连‎蓝线,则例4就变‎成了例5.例5的证明‎实际上用染‎色方法给出‎了例4的证‎明.例6 (第6届国际‎数学奥林匹‎克试题)有17位科‎学家,其中每一个‎人和其他所‎有人的人通‎信,他们的通信‎中只讨论三‎个题目.求证:至少有三个‎科学家相互‎之间讨论同‎一个题目.证明用平面上无‎三点共线的‎17个点A‎1,A2,…，A17分别‎表示17位‎科学家.设他们讨论‎的题目为x‎,y,z,两位科学家‎讨论x连红‎线,讨论y连蓝‎线,讨论z连黄‎线.于是只须证‎明以这17‎个点为顶点‎的三角形中‎有一同色三‎角形. 考虑以A1‎为端点的线‎段A1A2‎,A1A3,…，A1A17‎，由抽屉原则‎这16条线‎段中至少有‎6条同色，不妨设A1‎A2，A1A3，…，A1A7为‎红色.现考查连结‎六点A2，A3，…，A7的15‎条线段，如其中至少‎有一条红色‎线段，则同色（红色）三角形已出‎现；如没有红色‎线段，则这15条‎线段只有蓝‎色和黄色，由例5知一‎定存在以这‎15条线段‎中某三条为‎边的同色三‎角形（蓝色或黄色‎）.问题得证.上述三例同‎属图论中的‎接姆赛问题‎.在图论中,将n点中每‎两点都用线‎段相连所得‎的图形叫做‎n点完全图‎,记作k n.这些点叫做‎“顶点”，这些线段叫‎做“边”.现在我们分‎别用图论的‎语言来叙述‎例5、例6.定理1 若在k6中‎，任染红、蓝两色，则必有一只‎同色三角形‎.定理2 在k17中‎,任染红、蓝、黄三角，则必有一只‎同色三角形‎.（2）点染色.先看离散的‎有限个点的‎情况.例7 （首届全国中‎学生数学冬‎令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这‎些数排成一‎行，使得两个1‎之间夹着一‎个数，两个2之间‎夹着两个数‎，…，两个198‎6、之间夹着一‎千九百八十‎六个数？请证明你的‎结论.证明将1986‎×2个位置按‎奇数位着白‎色，偶数位着黑‎色染色，于是黑白点‎各有198‎6个.现令一个偶‎数占据一个‎黑点和一个‎白色，同一个奇数‎要么都占黑‎点，要么都占白‎点.于是993‎个偶数，占据白点A‎1=993个，黑色B1=993个.993个奇‎数，占据白点A‎2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A‎=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1‎986个矛‎盾.故这种排法‎不可能.“点”可以是有限‎个，也可以是无‎限个，这时染色问‎题总是与相‎应的几何问‎题联系在一‎起的.例8 对平面上一‎个点，任意染上红‎、蓝、黑三种颜色‎中的一种.证明:平面内存在‎端点同色的‎单位线段.证明作出一个如‎图29-7的几何图‎形是可能的‎,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是‎边长为1的‎等边三角形‎，CG=1.不妨设A点‎是红色，如果B、E、D、F中有红色‎，问题显然得‎证.当B、E、D、F都为蓝点‎或黄点时，又如果B和‎D或E和F‎同色，问题也得证‎.现设B和D‎异色E和F‎异色,在这种情况‎下,如果C或G‎为黄色或蓝‎点,则CB、CD、GE、GF中有两‎条是端点同‎色的单位线‎段，问题也得证‎.不然的话,C、G均为红点‎，这时CG是‎端点同色的‎单位线段.证毕.还有一类较‎难的对区域‎染色的问题‎，就不作介绍‎了.练习二十九‎1．6×6的方格盘‎，能否用一块‎大小为3格‎，形如的弯角‎板与11块‎大小为3×1的矩形板‎，不重迭不遗‎漏地来铺满‎整个盘面.2．（第49届苏‎联基辅数学‎竞赛题）在两张19‎82×1983的‎方格纸涂上‎红、黑两种颜色‎，使得每一行‎及每一列都‎有偶数个方‎格是黑色的‎.如果将这两‎张纸重迭时‎，有一个黑格‎与一个红格‎重合，证明至少还‎有三个方格‎与不同颜色‎的方格重合‎.3．有九名数学‎家，每人至多会‎讲三种语言‎，每三名中至‎少有2名能‎通话，那么其中必‎有3名能用‎同一种语言‎通话.4．如果把上题‎中的条件9‎名改为8名‎数学家，那么，这个结论还‎成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名‎科学家，每人至多会‎讲3种语言‎，每3名中至‎少有2名能‎通话，那么其中必‎有r名能用同‎一种语言通‎话.6．（1966年‎波兰数学竞‎赛题）大厅中会聚‎了100个‎客人，他们中每人‎至少认识6‎7人，证明在这些‎客人中一定‎可以找到4‎人，他们之中任‎何两人都彼‎此相识.7．（首届全国数‎学冬令营试‎题）用任意方式‎给平面上的‎每一个点染‎上黑色或白‎色.求证：一定存在一‎个边长为1‎或的正三角‎形，它三个顶点‎是同色的.练习二十九‎１．将１、４行染红色‎、２、５行染黄色‎、３、６行染蓝色‎，然后就弯角‎板盖住板面‎的不同情况‎分类讨论．２．设第一张纸‎上的黑格Ａ‎与第二张纸‎上的红格Ａ‎′重合．如果在第一‎张纸上Ａ所‎在的列中，其余的黑格‎（奇数个）均与第二张‎纸的黑格重‎合，那么由第二‎张纸上这一‎列的黑格个‎数为偶数，知必有一黑‎格与第一张‎纸上的红格‎重合，即在这一列‎，第一张纸上‎有一方格Ｂ‎与第二张纸‎上不同颜色‎的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上‎各有一个方‎格Ｃ、Ｄ，第二张纸上‎与它们重合‎的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别‎与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学‎家用点Ａ１‎，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话‎，就用线连结‎，并涂某种颜‎色，以表示不同‎语种。

【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ；(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．⌒ ⌒⌒⌒注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．3166．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数． 9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ． (1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB= ．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形． ①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系⌒⌒是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根． (1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒ ⌒参考答案。

初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。

我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。

若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。

这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。

于是有x=12， y＝6。

例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。

总共可以获利:（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。

【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．(全国初中数学联赛题)思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16(“TI”杯全国初中数学竞赛题)思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CDPCPD PB．思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°． 由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．(北京市竞赛题)2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++ = ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个(2000年太原市竞赛题)4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．31 C ． 32D ．437．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心． 8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ． 求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECHBD BH =(陕西省竞赛题)9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，(全国初中数学联赛题)10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC += (国家理科实验班招生试题)参考答案。

2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．2．（4分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．3．（4分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为．4．（4分）如图，∠POQ=90°，边长为2的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，则A到OP的距离分别为．5．（4分）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM的度数是．6．（4分）已知：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF 分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=度．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=，则BC边的长为．8．（4分）如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．9．（4分）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为．二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．（5分）将一个正方形分割成n个小正方形（n＞1），则n不可能取（）A．4 B．5 C．8 D．911．（5分）如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若S EFGH=，则|b﹣a|等于（）A．B．C．D．12．（5分）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°13．（5分）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．14．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C．D．15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE的延长线与DF相交于G，则下列结论错误的是（）A．BE=DF B．BG⊥DFC．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG=90°16．（5分）如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为（）A．10 B．11 C．12 D．1517．（5分）在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．三、解答题（共11小题，满分0分）18．如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，DG⊥EF 于G，求证：DG=DA．19．（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB边上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．20．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P（如在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图（1）、（2））探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．21．如图，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BE．22．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP=EF．23．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．24．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．25．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．26．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？27．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB=2，则△OAB的面积为．28．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形参考答案一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．75°；2．；3．15°；4．；5．55°；6．100；7．5；8．；9．7cm；二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．B；11．D；12．B；13．A；14．C；15．C；16．C；17．；三、解答题（共11小题，满分0分）18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．1；28．；。

竞赛讲座17-数学归纳法基础知识数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．（2）第二数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立；②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当l n ,,3,2,1 =时，)(,),3(),2(),1(l P P P P 成立，②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．（2）反向数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果①)(n P 对无限多个正整数n 成立；②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．例题分析例1．用数学归纳法证明：313)2311()711)(411)(11(+>-++++n n （1,*≥∈n N n ） 例2．已知对任意*N n ∈，1≥n ，0>n a 且22133231)(n n a a a a a a +++=+++ ，求证：n a n =．例3．如果正整数n 不是6的倍数，则11986-n 不是7的倍数．例4．设n a a a ,,,21 都是正数，证明n n n a a a na a a 2121≥+++． 例5．已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，对于区间],[b a 内的任意两数dc ,均有)]()([21)2(d f c f d c f +≤+．求证：对于任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，均有 )]()()([1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ． 例6试证：对一切大于等于1的自然数n 都有2sin 2212sin cos 2cos cos 21ααααα+=++++n n ． 例7试证：对一切自然数n （1≥n ）都有222n n >+．例8．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形．例9．设10<<a ，a a +=11，a a a nn +=+11，求证：对一切N n ∈均有1>n a 例10．已知121==a a ，n n n n a a a 1212)1(-++-+=，求证：对一切N n ∈，n a 都是整数． 例11．设nn f 131211)(++++= ，是否存在关于正整数n 的函数)(n g 使等式]1)()[()1()2()1(-=-+++n f n g n f f f 对于2≥n 的一切自然数都成立？并证明你的结论．例12．设整数数列}{n a 满足11=a ，122=a ，203=a ，且n n n n a a a a -+=+++12322．证明：任意正整数n ，141++n n a a 是一个整数的平方．例13．设n x x x ,,,21 为正数（2≥n ），证明：1212212121432222322121-≤++++++++--n x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n ． 例14．已知11=a ，211nn n a a a +=+（1,*≥∈n N n ），求证：309000>a ． 例15．整数列}{n a （1,*≥∈n N n ）满足7,221==a a ，且有221121≤-<--+n n n a a a ．求证：2≥n 时，n a 是奇数．训练题1．证明N n ∈时，153222221-+++++n 能被31整除．2．设n 不小于6的自然数，证明：可以将一个正三角形分成n 个较小的正三角形．3．用数学归纳法证明：221412111<++++-n 4．设n 为自然数，求证：2131211222<++++n ． 5．对于自然数n （3≥n ），求证：n n n n )1(1+>+．6．已知121==a a ，n n n n a a a 1212)1(-++-+=，求证：对于一切*N n ∈，n a 是整数． 7．设有n 2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲戴盆望天的球数p 不小于乙堆的球数q ，则从甲堆拿q 个球放堆乙堆，这样算是挪动一次．证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆．8．已知数列}{n a 满足：31=a ，82=a ，202453)(4221+-+=+--n n a a a n n n （3≥n ），试证：n n n a 22+=．。

完美正方巧妙构造——例析一类形外正方形问题的解法谢文剑以三角形或梯形中的若干条边为边向外作正方形构成的图形中，证明线段、角或面积之间的关系，此类题目常见于竞赛和中考题中，根据已知条件，通过仔细的观察和分析，充分利用正方形边角的性质，通过旋转、平移等变换，找出全等三角形，巧妙构造基本图形，是解决这类问题的有效手段．一、利用旋转平移变换，构造全等三角形利用正方形的边长相等，角为90°进行旋转，找出全等三角形，从而找出解决的桥梁．例1 （2002年某某省竞赛试题）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB 为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGBH，过C作CK⊥AB，分别交AB和GH于D、K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）（A）S1=S2（B）S1＞S2（C）S1＜S2（D）不能确定分析：连结FB、GC，AF∥EB，AG∥CK，则有S正方形AFCE=2S△FAB，S矩形AGKD=2S△ACG，而△ACG可由△FAB绕A点顺时针旋转90°而得，它们是全等三角形，S△ACG=S△FAB，所以可得S1=S2，故选（A）。

例2 （2003年市竞赛题）如图2，以△ABC的三边为边，向形外分别作正方形ABDE、CAFG、BCHK，连接EF、GH、KD，求证：以EF、GH、KD为边可构成一个三角形，并且所构成的三角形面积等于△ABC的面积的3倍。

分析：可以利用正方形的对边平行而且相等，作出一个以EF、GH、KD为边的三角形，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F、G重合于I，△DBI ≌△AEF，△BIK≌△HCG，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，因此可拼成一个三角形，然后再证明S△DIK=3S△ABC，把△GCH绕C点旋转90°，得到△BCG′，可得A，C，G ′在一条直线上，且C 为AG ′的中点。

第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。