易拉罐的优化设计说明
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易拉罐形状和尺寸的最优设计
组员：邢登峰，娜，梦云
摘要
研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2
()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减体积，得用料模型：
2min (,)
(,)0.0
0s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩
用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型
圆台面积
2
()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467,h=1.93时，s=45.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐最优设计数学建模
问题重述
在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：
1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说
明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
一、问题的提出
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：
1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2. 设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3. 设易拉罐的中心纵断面如图⑴所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测
量的易拉罐的形状和尺寸。
4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
二、模型假设
1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；不考虑具体的用料（假设为铝材），
也不考虑易拉罐的工艺过程。
2、易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。
3、实际测量允许有一定的误差。
4、问题二中的假设：
①在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；
②假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；
三．模型的假设与求解
问题一：
我们测得355ml 易拉罐（雪碧）尺寸如下（单位mm ）：(以后尺寸均以其为基本单位)
问题二：
本题建立在易拉罐是一个正圆柱体的基础之上，如图（2）
假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同。
1．符号说明：
r ：易拉罐的半径；
h ：易拉罐的高；
v ：易拉罐体积（容积）；
sv ：易拉罐所用材料的体积；
b ：易拉罐除顶盖外的厚度；
α：顶盖厚度参数，即顶盖厚度b α。
（2）
2．问题分析与模型
由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去部体积（见图2）。
易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料
2222
sv=(()-r )(h+(1+)b)+b r r b b r ππαπαπ++
将上式化简，并以,b α为参数，看作,r h 为自变量。
有2223(,)2(1)2(1)(1)sv r h rhb r b r b h b b παππαππα=+++++++
作简化，因为b r ，则23,b b 很小，所以可将带23,b b 的项忽略。
有2(,)(,)2(1)sv r h s r h rhb r b ππα≈=++
记2(,)g r h r h v π=-（v 是已知的，即罐容积一定）。
得数学模型
min (,)s r h
2(,)0.00g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩
3．模型求解
由约束条件2(,)0g r h r h v π=-=，得2v h r
π=，代入目标函数 22(,())(1)v s r h r b r r πα⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
令'322(1)0b s r v r
απ⎡⎤=+-=⎣⎦
得r =因为''3242(1)0(0)v s b r r πα⎡⎤=++> >⎢⎥⎣
⎦
所以r = 又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。
又由于2(1(1)v h r r ααπ===+=+，则由对问题二的前一解的结论，4h r =，得41α=+，
结论：3α=。
4．结果分析
易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（3α=），与我们对355ml 可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。
问题三：
本题建立在易拉罐上面是一个正圆台，下面是一个正圆柱体的基础之上，如图（3）
1．符号说明
R ：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）；
r ：易拉罐正圆台上底半径；
h1：易拉罐正圆柱体高；
V1：易拉罐正圆柱体容积；
h ：易拉罐正圆台高；
V：易拉罐正圆台容积。
3．问题分析与模型
因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。
所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。
以常见的可口可乐等355ml易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=355ml.
于是问题三转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V一定，底半径R一定时，其上底半径r和高h为何值（或r与h比例是多少）正圆台的表面积最小，如图（4）：
（4）
求正圆台的面积得模型：
正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积
222222(1()3
3()(S r r R V h r rR R V h r rR R r r R ππππππ=++=
++ =++ ++即代入有S=
用数学软件求S 的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm ），
得： 当r=1.467cm,h=1.93cm 时，
结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：①总高度与底直径之比为2：1， ②正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h ：2r ≈2：3），相应易拉罐上下底直径之比为2:21:2r R ≈。
问题四：新设计
现今常见的易拉罐都是圆柱形，对于一定容积的柱体，以正圆柱体的表面积最小，且圆柱形的外形也较为美观。
但易拉罐流行至今几十年都是圆柱形，也太常见有审美疲劳。
因而我们考虑易拉罐基本造型有一个较大的变化，如创新设计为了正四方柱体、正三面柱体、球体等。
其实我们都知道球体是更省料的，像太白酒等酒的瓶子就是这样。
假设瓶口直径为20，瓶颈高30（类似于矿泉水瓶口的设计），设球的半径为R,
则：
S=S 1+S 2=4πR 2+Фπh
得S=28624.708mm 2
该值远小于以上计算结果，故此种设计更优。
