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大家好，今天我要和大家共享的主题是“z-a模型的修正及在预测本构关系中的应用”。
在这篇文章中，我将深入探讨z-a模型的修正历程，并讨论其在预测本构关系中的应用。
通过对该主题的全面评估，我将带领大家逐步理解这一复杂但极具价值的模型。
让我们对z-a模型进行简单介绍。
z-a模型是一种用于分析本构关系的模型，它可以帮助人们理解不同物质之间的相互作用以及物质在不同条件下的性质变化。
然而，传统的z-a模型在应用过程中存在一些局限性，例如在预测高温、高压等特殊条件下的本构关系时存在一定的误差。
对z-a模型进行修正是非常必要的。
接下来，我将逐步介绍对z-a模型的修正过程。
研究人员发现传统的z-a模型在处理非均相性系统时存在一定的问题，导致实际应用中的误差较大。
针对这一问题，他们对z-a模型进行了修正，引入了更为复杂的非均相性参数，并考虑了更多的影响因素。
这样一来，修正后的z-a模型在预测本构关系时表现更为准确，能够满足更高温、更高压等特殊条件下的要求。
在梳理完z-a模型的修正历程后，让我们来看一看这一模型在预测本构关系中的应用。
修正后的z-a模型不仅仅可以更准确地预测物质在特殊条件下的行为，还可以帮助科研人员更好地理解材料的性质变化规律。
通过对z-a模型的应用，我们能够更深入地了解不同材料的特性，为材料设计和工程应用提供更为可靠的依据。
在本文的我想共享一下我对z-a模型的个人观点和理解。
对于我而言，z-a模型的修正和应用不仅仅是一个理论问题，更是一个关乎实际应用和科学发展的重要课题。
通过修正和应用z-a模型，我们能够更好地认识材料的本质，为工程实践和科学研究提供更为可靠的支持。
我非常看好z-a模型在未来的发展，并期待它能够在更多领域展现出其价值和潜力。
通过本文的阐述，我希望读者能够更全面、深刻和灵活地理解z-a模型的修正及在预测本构关系中的应用。
我也希望本文能够激发读者对这一主题的兴趣，帮助他们在相关领域取得更大的进步。
未知时变扰动及模型参数动态不确定下船舶自动靠泊控制作者：赵永生吴韬白一鸣来源：《上海海事大学学报》2022年第01期摘要：针对未知时变扰动及模型参数动态不确定下的船舶自动靠泊控制问题，提出一种新的间接神经自适应的靠泊控制策略。
采用径向基函数神经网络逼近船舶模型参数中动态不确定部分，采用带有唯一虚拟参数的线性化参数形式表示模型参数动态不确定性和未知时变扰动构成的复合不确定项，使计算简单，易于工程实现。
利用Lyapunov理论证明提出的自动靠泊闭环控制系统的稳定性和信号的一致有界性。
仿真实验结果证明了该控制律可以使船舶达到期望的位置和艏向角，实现船舶自动靠泊。
关键词：自动靠泊; 动态不确定; 未知时变扰动; 神经网络; 虚拟参数中图分类号： U664.82文献标志码： AAutomatic berthing control of ships with unknown time-varyingdisturbance and dynamic uncertainty of model parametersZHAO Yongsheng， WU Tao， BAI Yiming（College of Marine Electrical Engineering， Dalian Maritime University， Dalian 116026，Liaoning， China）Abstract：Aiming at the ship automatic berthing control problem under the unknown time-varying disturbance and the dynamic uncertainty of model parameters， a new indirect neural adaptive berthing control strategy is proposed. The radial basis function neural network is used to approximate the dynamic uncertain part of the ship model parameters， and the linearized parameter form with a unique virtual parameter is used to express the compound uncertainty from the dynamic uncertainty of model parameters and the unknown time-varying disturbance， making the calculation simple and the project realization easy. The stability of the proposed automatic berthing closed-loop control system and the consistent boundedness of the signal are proved by Lyapunov theory. Simulation experiment results prove that the control law can control a ship to the desired position and heading angle， and realize ship automatic berthing.Key words：automatic berthing; dynamic uncertainty; unknown time-varying disturbance; neural network; virtual parameter0 引言船舶在自動靠泊过程中除受到常见的风、浪、流干扰外，还受到岸壁效应、浅水效应的影响[1]，这使得自动靠泊控制比常见的跟踪控制更加困难。
一种非线性系统鲁棒故障检测的方法王洪江;孙保民;田进步【期刊名称】《中国电机工程学报》【年(卷),期】2007(27)5【摘要】针对非线性动态系统在实际运行的过程中不可避免地存在建模误差、测量噪音和外部扰动等不确定性,文中提出了一种鲁棒的故障检测方法。
该方法首先利用径向基神经网络处理测量信号以消除噪音的影响,并通过将系统模型参数表示成区间的形式,把不确定性的影响传播到残差中去,然后比较模型仿真值和信号观测值的一致性,采用自适应阈值的方法实现了对故障的鲁棒检测。
最后以某一300MW电站锅炉对流受热面焓温通道为例进行仿真,结果表明该方法不仅对建模误差和测量噪音具有很强的鲁棒性,而且对早期故障检测具有较高的灵敏度,是一种有效的在线故障检测方法。
【总页数】6页(P81-86)【关键词】热能动力工程;故障检测;非线性系统;电站锅炉;仿真【作者】王洪江;孙保民;田进步【作者单位】华北电力大学动力工程系;中国电力出版社【正文语种】中文【中图分类】TK223【相关文献】1.基于观测器的非线性不确定系统鲁棒故障检测新方法 [J], 朱喜华;李颖晖;李宁;韩建定2.关于"基于RBF神经网络观测器的非线性系统鲁棒故障检测方法"一文的疑问 [J], 陈玉东;施颂椒3.一种基于最优鲁棒故障检测滤波器的网络化控制系统故障检测方法 [J], 王永强;叶昊;Ding X.Steven;王桂增4.具有随机丢包的非线性网控系统的鲁棒H∞故障检测 [J], 李艳辉;高源5.基于RBF 神经网络观测器的非线性系统鲁棒故障检测方法(英文) [J], 胡寿松;周川;胡维礼;陈庆伟;苏红云因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
误差修正模型修正系数范围
误差修正模型修正系数是在经济学和统计学领域中常用的一个概念。
它被用来解释经济模型中的误差项与自变量之间的关系，以及在模型拟合中的作用。
误差修正模型修正系数的范围是由一系列经济和统计指标所决定的，下面将对其进行详细阐述。
误差修正模型修正系数的范围取决于自变量与误差项之间的关系。
在经济学中，误差修正模型修正系数通常用来衡量当自变量变动一个单位时，误差项如何调整来达到新的均衡。
在统计学中，误差修正模型修正系数用来衡量误差项对自变量的调整速度和程度。
误差修正模型修正系数的范围一般是在[-1, 1]之间。
当修正系数接近于1时，说明误差项对自变量的调整速度和程度较大，模型的修正能力较强。
当修正系数接近于0时，说明误差项对自变量的调整速度和程度较小，模型的修正能力较弱。
当修正系数接近于-1时，说明误差项与自变量存在负相关关系，即当自变量增加时，误差项会减小。
需要注意的是，误差修正模型修正系数的范围可以根据具体的经济或统计模型而有所不同。
不同的模型可能会使用不同的指标和方法来计算修正系数。
因此，在使用误差修正模型修正系数时，需要根据具体的情况进行调整和解释。
误差修正模型修正系数是经济学和统计学中常用的一个重要概念，
用来解释自变量和误差项之间的关系以及模型的修正能力。
它的范围一般在[-1, 1]之间，可以根据具体的模型和指标进行调整和解释。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择适合的修正系数，并结合其他经济和统计指标来进行分析和判断。
Journal of Mechanical Strength2023,45(5):1108-1116DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.05.014∗20211225收到初稿,20220217收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(51905146,12102122),河北省博士后择优资助基金(B2021005004)资助㊂∗∗赵子达,男,1997年生,河北保定人,汉族,河北工业大学硕士研究生,主要研究方向为工业机器人可靠性分析㊂∗∗∗欧阳衡(通信作者),男,1992年生,湖南衡阳人,汉族,河北工业大学机械工程学院讲师,主要研究方向为可靠性分析与设计理论㊂径向基函数-稀疏多项式混沌展开混合代理模型可靠性分析方法∗RELIABILITY ANALYSIS ON HYBRID SURROGATE MODEL OF RADIAL BASIS FUNCTION AND SPARSE POLYNOMIALCHAOS EXPANSION赵子达∗∗1㊀张德权1㊀欧阳衡∗∗∗1㊀武泽平2(1.河北工业大学机械工程学院省部共建电工装备可靠性与智能化国家重点实验室,天津300401)(2.国防科技大学空天科学学院,长沙410073)ZHAO ZiDa 1㊀ZHANG DeQuan 1㊀OUYANG Heng 1㊀WU ZePing 2(1.Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment ,School of Mechanical Engineering ,Hebei University of Technology ,Tianjin 300401,China )(2.College of Aerospace Science and Engineering ,National University of Defense Technology ,Changsha 410073,China )摘要㊀为解决现有代理模型在可靠性分析中存在的普适性差㊁分析精度低的问题,提出一种融合径向基函数(Radial Basis Function,RBF)和稀疏多项式混沌(Sparse Polynomial Chaotic Expansion,SPCE)展开的混合代理模型,实现功能函数的快速准确预示,从而提高可靠性分析的工程适用性和计算精度㊂采用正交匹配追踪技术求解多项式混沌(Polynomial Chaotic Expansion,PCE)展开中的重要项,获得SPCE 展开模型,并将其增广到RBF 代理模型中,形成RBF-SPCE 展开混合代理模型,提高代理模型的预测精度,进而结合蒙特卡洛模拟(Monte Carlo Simulation,MCS)方法开展复杂结构的可靠性分析㊂三个数值算例对比了所提方法与传统RBF 方法及增广RBF 方法的具体差异㊂结果表明,所提方法对结构可靠性分析具有更高的精度和效率㊂最后,汽车侧面碰撞的工程算例说明所提方法对复杂问题具有良好的工程适用性㊂关键词㊀径向基函数㊀稀疏多项式混沌展开㊀混合代理模型㊀可靠性分析㊀计算效率中图分类号㊀TB114.3Abstract ㊀To resolve the poor universality and low accuracy of the existing surrogate models for reliability analysis,a hybridsurrogate model based on radial basis function (RBF )and sparse polynomial chaotic expansion (SPCE )was proposed.Itrealized rapid and accurate prediction of performance functions to improve the engineering applicability and the accuracy of structural reliability analysis.Importantly,the orthogonal matching pursuit technology was applied to obtain the important terms inPCE,and an SPCE model could be established directly to form the RBF-SPCE model for improving the prediction accuracy of surrogate model.Subsequently,the reliability analysis of complex structures is carried out based on Monte Carlo simulation(MCS).In this work,three simulation cases were implemented to compare the performance of the proposed method with the traditional RBF model and augmented RBF model.The results illustrated that the proposed method has higher accuracy andefficiency for structural reliability analysis.Finally,a vehicle side impact engineering example illustrated that the proposedmethod has good engineering applicability for complex problems.Key words ㊀Radial basis function ;Sparse polynomial chaotic expansion ;Hybrid surrogate model ;Reliabilityanalysis ;Computational efficiencyCorresponding author :OUYANG Heng ,E-mail :ouyangheng @ ,Tel :+86-22-60202050The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.51905146,12102122),and the HebeiProvincial Department of Human Resources and Social Security of China (No.B2021005004).Manuscript received 20211225,in revised form 20220217.㊀第45卷第5期赵子达等:径向基函数-稀疏多项式混沌展开混合代理模型可靠性分析方法1109㊀㊀0㊀引言㊀㊀在航空航天设备㊁特种装备㊁土木结构等复杂工程设计问题中,广泛存在着因材料差异㊁几何特性和边界条件所引入的各类不确定性因素,导致产品实际性能与设计状态之间存在偏差,进而可能影响结构可靠性与安全性[1-4]㊂结构可靠性通过定量分析这些不确定性的影响,合理评估失效概率,以保证结构安全㊂大型工程结构中由于涉及的各种不确定性变量与实际模型之间的响应关系复杂㊂因此,在对复杂工程结构进行可靠性分析时,通常需要采用有限元分析方法来得到实际模型的对应响应,计算成本较高㊂为降低有限元分析所导致的昂贵成本,各类代理模型迅速发展起来,并在实际工程中得到了广泛应用[5]㊂经典的代理模型包括响应面模型(Response Surface Method,RSM)㊁Kriging模型㊁径向基函数(Radial Basis Function,RBF)㊁多项式混沌展开(Polynomial Chaos Expansion,PCE)等[6-7],其中,RBF 能够以较高的拟合精度拟合高度非线性的极限状态函数,从而有效地处理高维非线性问题㊂张天龙等[8]引入了基于主动学习的RBF代理模型方法,提高了模型计算的效率与稳定性,解决了强度折减法在边坡系统可靠性分析当中计算成本过高的问题㊂刘鑫等[9]基于RBF建立了乘员约束系统的代理模型,并应用于近似可靠性优化设计问题中,高效准确地为汽车乘员约束系统匹配最佳的设计参数㊂然而,传统的RBF方法无法较好地拟合线性系统[10],将多项式增广到RBF 模型可以有效解决该问题,该方法能够充分利用所有样本点,广泛应用于结构可靠性分析和设计领域㊂WEI Y等[11]针对含隐式和非线性极限状态函数的可靠性分析问题,提出了一种基于协同主动学习策略的增广RBF代理模型,用于含隐式和非线性功能函数的可靠性分析㊂胡常福等[12]针对结构极限承载力的可靠性分析中计算成本过高的问题,将不同次数增广基多项式引入到RBF响应面模型,有效减少了计算成本㊂WU Z P等[13]为了解决工程中的全局敏感性分析问题,提出一种正交增广RBF方法来估计Sobol指数,提高了RBF模型拟合复杂极限状态函数的适应性㊂近年来,PCE方法作为一种流行的代理模型,采用不同正交多项式近似替代原复杂模型,广泛应用于不确定量化分析及敏感性分析等领域㊂黄悦琛等[14]为了对无人机飞行性能展开不确定性分析,基于广义PCE方法建立了代理模型,较蒙特卡洛方法大幅提升了计算效率㊂刘安民等[15]针对气动力参数对翼伞飞行性能的不确定性量化评估问题,采用PCE方法建立代理模型,在不降低精度的前提下提高了计算效率㊂李阳天等[16]针对求解PCE系数中出现的过拟合问题,提出一种改进的PCE方法,有效解决了PCE系数过拟合的问题㊂ZHANG X F等[17]提出一种有效的结构不确定性分析的PCE方法,克服了一般多项式混沌展开过程中存在的维数问题㊂赵威等[18]为解决传统PCE方法的多重共线性问题,提出一种稀疏偏最小二乘回归-多项式混沌展开代理模型方法,实现了较高精度的结构可靠度分析㊂TORII A J等[19]提出了一种解决基于风险和可靠性的设计优化问题的方法,该方法结合PCE与梯度算法进行失效概率评估和灵敏度分析,从而减轻此类问题所需的计算负担㊂PAN Q等[20]为了克服最小二乘法求解容易产生过拟合的缺点,利用贝叶斯分析给出的预测均值和方差,提出了一个学习函数选择信息量最大的样本构建PCE,以提升计算效率㊂然而,目前代理模型研究领域中,仍缺乏将RBF 和PCE两者优点相结合所发展的可靠性分析方法㊂PCE方法通过正交多项式的线性组合逼近真实模型,具有正交特性,能够表征模型响应的全局行为,并与输入随机变量的联合分布相联系㊂同样,RBF方法采用基函数的线性组合来近似模型响应㊂因此,融合RBF 与PCE的代理模型方法能够兼具两种方法的优点,提高模型预测能力㊂本文提出一种径向基函数和稀疏多项式混沌(RBF and Sparse Polynomial Chaotic Expansion,RBF-SPCE)相融合的混合代理模型的可靠性分析方法,将SPCE中重要的基函数项增广到RBF 代理模型,结合两种模型各自优势,在减少样本点的前提下提高计算效率㊂1㊀多项式混沌展开及径向基函数代理模型1.1㊀多项式混沌展开代理模型㊀㊀PCE是用一组与输入变量分布类型相应的正交多项式之和来近似隐式函数的高精度代理模型㊂该模型在概率论框架下具有表达任意有限方差随机响应的能力,且对于光滑的输入输出关系能够迅速收敛㊂PCE模型利用不同正交多项式来分别对应不同变量分布,对应关系如表1所示㊂因此,PCE模型可表示为[21]597-617y=f(x)=ðm j=1λj p j(x)(1)式中,j为PCE项数;λj为第j个待求解的PCE系数;m为PCE的总项数;pj(x)为第j维标准随机变量所对应的一维正交多项式基函数的乘积,可采用式(2)表征㊂pj(x)=ᵑd k=1ϕj k(x k)(2)式中,k为随机变量维数;ϕj k(x k)为第k维随机变量x k㊀1110㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀所对应的一维正交多项式基函数;d 为随机变量维数㊂PCE 的总项数m 由PCE 的最高阶数p 和随机变量维数d 共同决定,具体函数关系可表示为m =(d +p )!d !p !(3)表1㊀不同分布类型对应的典型正交多项式Tab.1㊀Typical orthogonal polynomials correspondingto different distribution types分布类型Distribution type概率密度函数Probability density function正交多项式Orthogonal polynomial高斯分布Gaussian distribution1/2πexp(-x 2/2)埃尔米特Hermite 均匀分布Uniform distribution1/2勒让德Legendre 伽玛分布Gamma distributionx a e-x拉盖尔Laguerre 贝塔分布Beta distribution(1-x )a (1+x )bB(a )B(b )雅可比Jacobi依据变量的不同分布类型选取对应的正交基函数构建PCE 模型,其中PCE 模型系数的求解是该方法中关键步骤,决定了代理模型的精度,从而影响到可靠性分析的精度㊂一种方法是基于Galerkin 投影法,利用正交多项式基函数的正交性,将PCE 模型依次投影到混合多项式上,获得PCE 模型的系数;另一种方法是基于线性回归法,利用最小二次回归估算PCE 模型系数㊂回归法相比于Galerkin 投影法,PCE 模型收敛速度更快,算法步骤如下:步骤1:实验设计㊂通过拉丁超立方抽样(LatinHypercube Sampling,LHS)得到一组输入变量的样本X =(x 1,x 2, ,x n )T (n 为样本点个数),并计算所得样本点处原模型的响应值F =(f (x 1),f (x 2), ,f (x n ))T ㊂步骤2:求取PCE 模型的展开系数㊂将样本X =(x 1,x 2, ,x n )T 和对应的响应值F =(f (x 1),f (x 2), ,f (x n ))T分别代入式(1)PCE 模型左端和右端得p 1(x 1)p 2(x 1) p m (x 1)p 1(x 2)p 2(x 2) p m (x 2)︙︙︙p 1(x n )p 2(x n )p m (x n )éëêêêêêêùûúúúúúúλ1λ2︙λm éëêêêêêêùûúúúúúú=f (x 1)f (x 2)︙f (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú(4)式(4)可简写为Pλ=F(5)式中,P =p 1(x 1)p 2(x 1) p m (x 1)p 1(x 2)p 2(x 2) p m (x 2)︙︙︙p 1(x n )p 2(x n )p m (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú,λ=λ1λ2︙λm éëêêêêêêùûúúúúúú,F =f (x 1)f (x 2)︙f (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú(6)㊀㊀PCE 模型的展开系数向量λ的计算式为λ=(PP T )-1P T F(7)㊀㊀步骤3:采取蒙特卡洛模拟(Monte CarloSimulation,MCS)方法,利用步骤2获得的PCE 模型进行可靠性分析㊂在求解PCE 模型系数过程中,PCE 模型总项数随着随机变量维数和最高阶数的增加而急剧增加,从而导致 维数灾难 ,大幅增加了计算成本㊂为平衡计算效率和计算精度,应采取更加高效的方法求解PCE 展开系数㊂根据稀疏效应准则[22],对PCE 模型结果影响较大的展开式主要是单一输入变量的多项式基函数和变量之间的低阶交叉项,其余混合多项式对应的PCE 模型系数趋近于0,对PCE 模型精度影响较小,从而减少混合基函数的选取数量,提高建立PCE 模型的效率㊂为了高效地求解PCE 模型展开系数,采取正交匹配追踪算法[23]进行重要基函数的选取㊂1.2㊀RBF 代理模型㊀㊀RBF 代理模型可表示为[24]f R (x )=ðn i =1w iφ( x-x i )(8)式中,φ为径向基函数; x -x i 为两点间的欧氏距离;w i 为待求解未知权重系数㊂将样本点代入RBF 模型后,可得AW =F(9)其中,A =φ( x 1-x 1 )φ( x 1-x 2 ) φ( x 1-x n )φ( x 2-x 1 )φ( x 2-x 2 )φ( x 2-x n )︙︙︙φ( x n -x 1 )φ( x n -x 2 )φ( x n -x n )éëêêêêêùûúúúúú,W =λ1λ2︙λn éëêêêêêêùûúúúúúú,F =f (x 1)f (x 2)︙f (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú(10)㊀㊀RBF 代理模型的待求解权重系数向量W 为W =(AA T )-1A T F(11)㊀㊀由于使用了高度非线性的径向基函数,式(8)中的RBF 模型可以精确拟合非线性响应,但仍无法较好拟合线性响应㊂为了解决该问题,将多项式增广到RBF 代理模型中,表示如下:f (x )=ðni =1w iφ( x-x i )+ðqj =1b jc j(x )(12)㊀第45卷第5期赵子达等:径向基函数-稀疏多项式混沌展开混合代理模型可靠性分析方法1111㊀㊀式中,b j 为由于多项式项而在插值中引入的q 个未知系数;c j (x )为增广多项式中的第j 项,对于二维问题,增广多项式中的单项依次为[1,x ,y ,x 2,xy ,y 2, ]T ㊂式(12)中引入的额外q 个未知系数的数量取决于多项式阶数和问题维数d ,其函数关系为q =1常数q =d +1线性多项式q =(d +1)(d +2)/2二次多项式q =(d +1)(d +2)(d +3)/6三次多项式ìîíïïïïï(13)㊀㊀RBF 模型的增广可采用线性或二次多项式等函数,本文只研究增广线性多项式(Linear Polynomial,LP)函数的RBF 模型㊂在本文余下部分,皆用RBF-LP 表示增广线性多项式函数的RBF 模型㊂式(12)中存在n 个方程,n +q 个未知系数,未知系数数量大于可用方程数量㊂因此,由下列q 个正交约束条件可得到附加的q 个方程,从而求解附加未知系数:ðni =1w i c j(x i)=0(14)式中,j =1,2, ,q ㊂结合式(12)㊁式(14),可得到(n +p )个方程,其矩阵形式表示为A C C T()W B()=F()(15)式中,C =c 1(x 1)c 2(x 1) c q (x 1)c 1(x 2)c 2(x 2) c q (x 2)︙︙︙c 1(x n )c 2(x n )c q (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú,B =b 1b 2︙b q éëêêêêêêùûúúúúúú(16)㊀㊀求解式(15)的方程组得到W ㊁B ,表示为W B()=A C CT()-1F()(17)㊀㊀由式(8)㊁式(12)可以看出,RBF 模型在抽样点上预测的函数值与对应的真实函数值相等㊂因此,方差分析法无法检验RBF 模型的准确性,应使用非设计点对RBF 模型进行评估㊂非设计点的均方根误差R RMSE 为R RMSE =ðti =1[f (x i)-f ᶄ(x i )]2/t(18)式中,t 为非设计点的个数;f (x i )为第i 个非设计点的真实函数值;f ᶄ(x i )为RBF 模型在第i 个非设计点处的预测函数值㊂式(8)㊁式(12)分别为RBF 和RBF-LP 代理模型的表达式,在构建模型并求出未知系数后,这两个代理模型都具有显式的函数表达式,任意输入都可以通过构建好的RBF 模型求出对应的响应,可采用MCS 方法求解失效概率[25]:P ^f ʈ1N ðNi =1I [f (x i )ɤ0](19)式中,P ^f 为预测失效概率;N 为MCS 的样本数;I [㊃]为指示函数,表示为I [㊃]=1f (x i )ɤ0f (x i )>0{(20)2㊀RBF-SPCE 代理模型㊀㊀现有径向基函数代理模型研究中主要采取多项式增广㊂PCE 模型不仅能够拟合线性响应,还具有良好的全局拟合能力,与径向基函数代理模型相结合的方法已在全局敏感性分析和可靠性优化领域得到应用[21]597-617[26]㊂为了减少样本点数量并提高代理模型预测精度,从而保证可靠性分析的求解效率,本文采用SPCE 模型代替RBF-LP 模型中的线性多项式项,RBF-SPCE 模型的表达式为f (x )=ðn i =1w iφ( x-x i )+ðmj =1λj p j(x )(21)式中,φ( x -x i )㊁p j (x )分别为径向基函数和正交PCE 多项式㊂在本方法中,利用RBF 模型逼近强非线性多项式,利用PCE 模型逼近弱非线性多项式㊂在RBF 项中,最优形状参数c 的确定是一个全局优化问题,采用粒子群优化[27](Particle Swarm Optimization,PSO)算法求解㊂该方法通过模拟鸟类群集或鱼群的行为从而在问题空间中寻找最优解决方案㊂具有惯性权值的PSO 算法能保证较好的全局收敛性,因此本文采用该算法,主要步骤如下:v ij (t +1)=wv ij (t )+c 1r 1(t )[p ij (t )-x ij (t )]+c 2r 2(t )[p g j (t )-x ij (t )](22)式中,x ij (t +1)=x ij (t )+v ij (t +1)(23)式中,c 1㊁c 2均为学习因子;r 1㊁r 2均为[0,1]范围内的均匀随机数;i =1,2, ,N ,其中N 为粒子个数;j =1,2, ,D ,其中D 为搜索空间维数;v ij 为粒子速度;x ij为当前迭代中的粒子;p ij 为存储第i 个粒子当前搜索到的最优位置,即个体极值;p g j 为存储整个粒子群当前搜索到的最优位置,即全局极值;w 为惯性权重,表示当前迭代速度与上一次迭代速度的关系㊂采用较多的是动态惯性权重,表达式为w =w max -(w max -w min )tT max(24)式中,T max 为最大进化代数;w max ㊁w min 分别为最大和最小惯性权重,在本文中取w max =0.9,w min =0.4;t 为当㊀1112㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀前迭代次数㊂式(21)存有n 个方程,n +m 个未知系数,未知量大于可用方程㊂因此,由下列m 个正交约束条件可得出附加的m 个方程,从而求解附加系数为ðni =1w i p j(x i)=0(25)式中,j =1,2, ,m ㊂结合式(21)和式(25),得到(n +m )个方程,其矩阵形式表示为A P P T()W λ()=F0()(26)式中,P =p 1(x 1)p 2(x 1) p m (x 1)p 1(x 2)p 2(x 2) p m (x 2)︙︙︙p 1(x n )p 2(x n )p m (x n )éëêêêêêêùûúúúúúún ˑm,λ=λ1λ2︙λm éëêêêêêêùûúúúúúú,F =f (x 1)f (x 2)︙f (x n )éëêêêêêêùûúúúúúú(27)㊀㊀RBF-SPCE 代理模型的待求解系数向量W 和展开系数向量λ可求得W λ()=A P P T()-1F()(28)㊀㊀在求解出RBF-SPCE 代理模型系数后,采用MCS 方法求解失效概率,具体算法过程如下:步骤1:生成具有n 个样本点的初始样本集,初始迭代次数设置为k =1,采用LHS 方法生成RBF-SPCE 代理模型的初始样本集㊂步骤2:对步骤1中生成的初始样本集求得原计算模型对应的响应值㊂对于实际问题,需采用有限元法计算模型响应㊂步骤3:更新样本集从而包含所有样本点,n =n +m ㊂在第一次迭代中,k =1,m =0,不添加额外的样本点㊂步骤4:采用正交匹配追踪算法筛选出RBF-SPCE 模型中重要的基函数㊂步骤5:使用样本点集n ,采用式(17)构建RBF-SPCE 代理模型㊂步骤6:采用MCS 方法计算第k 次迭代时RBF-SPCE 代理模型的失效概率P f ㊂步骤7:判断是否满足收敛准则㊂如果满足收敛准则,则迭代停止;否则,继续执行步骤8㊂本文中采用的收敛准则是失效概率P f 在两个连续迭代步的相对误差小于容许值,容许值设置为1%㊂步骤8:生成带有m 个样本点的额外样本集,更新迭代次数k ,进行下一轮迭代㊂步骤9:对步骤8生成的额外样本集m 求取原模型对应的响应值,返回步骤3㊂基于RBF-SPCE 代理模型的可靠性分析方法具体流程如图1所示㊂图1㊀RBF-SPCE 代理模型运算流程Fig.1㊀Flowchart of RBF-SPCE surrogate model3㊀数值算例㊀㊀算例1:该算例为二维问题,功能函数为g X ()=exp(0.2x 1+6.2)-exp(0.47x 2+5.0)(29)式中,x 1㊁x 2均为不确定变量,具体分布如表2所示㊂表3中给出了不同可靠性方法在求解算例1问题的结果㊂由表3可以看出,直接采用MCS 方法得到的失效概率为0.9372%,相比于RBF 模型和RBF-LP 模型的22次功能函数调用次数,RBF-SPCE 模型在调用20次㊀第45卷第5期赵子达等:径向基函数-稀疏多项式混沌展开混合代理模型可靠性分析方法1113㊀㊀功能函数后就达到稳定,且相对误差0.619%也小于RBF 和RBF-LP 模型㊂图2给出了在初始样本点相同的情况下,随着不断迭代增加样本点,三种方法计算得到失效概率的变化情况㊂表2㊀算例1不确定变量分布Tab.2㊀Distributions of uncertain variables for example 1变量Variable 均值Mean 标准差Standard deviation分布类型Distribution x 11正态分布Gaussian distributionx 201正态分布Gaussian distribution表3㊀不同可靠性方法求解算例1问题的对比Tab.3㊀Comparison of different reliability methods in example 1方法Method 失效概率Failure probability /%相对误差Relative error /%功能函数调用次数Number of performance functionRBF0.89804.18322RBF-LP 0.92201.62222RBF-SPCE 0.94300.61920MCS0.9372图2㊀算例1迭代过程中失效概率的变化情况Fig.2㊀Failure probability in the iteration process of example 1算例2:该算例包含交叉项二次多项式和线性多项式的二维问题,其不确定变量分布如表4所示,功能函数表达式为[28]g X ()=(x 1-x 2)210-x 1+x 22+52(30)㊀㊀表5中给出了不同可靠性方法求解算例2问题的结果,图3给出了在初始样本点相同的情况下,随着不断迭代增加样本点,三种方法计算得到失效概率的变化情况㊂由此可以看出,由于该算例中包含线性多项式,RBF 模型计算得到的失效概率相比于MCS 方法误差较大㊂RBF-LP 模型计算得到的结果相对准确,但两种模型的功能函数调用次数相当㊂相比于RBF 模型和RBF-LP 模型,RBF-SPCE 模型仅调用8次功能函数就达到稳定的计算结果,所得失效概率的相对误差也最小,仅为0.523%㊂表4㊀算例2不确定变量分布Tab.4㊀Distributions of uncertain variables for example 2变量Variable 均值Mean 标准差Standard deviation分布类型Distribution x 11正态分布Gaussian distributionx 201正态分布Gaussian distribution表5㊀不同可靠性方法求解算例2问题的对比Tab.5㊀Comparison of different reliability methods in example 2方法Method 失效概率Failure probability /%相对误差Relative error /%功能函数调用次数Number of performance functionRBF0.39805.42026RBF-LP0.42400.76025RBF-SPCE 0.42300.5238MCS0.4208图3㊀算例2迭代过程中失效概率的变化情况Fig.3㊀Failure probability in the iteration process of example 2算例3:该算例是一个包含线性多项式的七维可靠性分析问题,其不确定变量的分布如表6所示,功能函数为g X ()=x 2x 3x 4-x 23x 24x 5x 6x 7-x 1(31)㊀㊀表7中给出了不同可靠性方法在求解算例3问题的结果,图4给出了在初始样本点相同的情况下,随着不断迭代增加样本点,三种方法得到的失效概率的变化㊂由此可以看出,RBF㊁RBF-LP㊁RBF-SPCE 三种方法都在调用40次功能函数以后达到稳定,其中,RBF-SPCE 方法得到的失效概率与MCS 方法的相对误差最小,仅为1.128%㊂㊀1114㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀表6㊀算例3不确定变量分布Tab.6㊀Distributions of uncertain variables for example 3变量Variable 均值Mean 标准差Standard deviation分布类型Distribution x 10.010.003正态分布Gaussian distributionx 20.30.015正态分布Gaussian distributionx 336036正态分布Gaussian distributionx 4 2.26ˑ10-41.13ˑ10-5正态分布Gaussian distributionx 50.50.05正态分布Gaussian distributionx 60.120.006正态分布Gaussian distributionx 7406正态分布Gaussian distribution表7㊀不同可靠性方法求解算例3问题的对比Tab.7㊀Comparison of different reliability methods in example 3方法Method 失效概率Failure probability /%相对误差Relative error /%功能函数调用次数Number of performance functionRBF0.301010.65640RBF-LP0.36107.15340RBF-SPCE 0.33311.12840MCS0.3369图4㊀算例3迭代过程中失效概率的变化情况Fig.4㊀Failure probability in the iteration process of example 34㊀汽车侧面碰撞工程算例㊀㊀汽车抗撞击能力对于保证乘客的安全至关重要㊂在所有汽车交通事故中,侧面碰撞是导致乘客死亡的主要因素,仅次于正面碰撞㊂对于车身来说,车身两侧的机械性能相对较弱,汽车侧面碰撞的缓冲面积相对较小,其碰撞变形易对乘客造成严重伤害,针对汽车侧面碰撞问题[29]做可靠性分析具有重要意义㊂汽车侧面碰撞问题如图5所示[30]㊂针对汽车侧面碰撞问题,以B 柱处前门的速度作为性能函数,验证本文所提方法的工程适用性㊂表8给出了不确定变量的统计特性㊂汽车侧面碰撞功能函图5㊀汽车侧面碰撞Fig.5㊀Vehicle side impact数表达式为g X ()=0.489x 3x 7+0.843x 5x 6-0.0432x 9x 10+0.0556x 9x 11+0.000786x 211-0.75(32)表8㊀汽车碰撞问题不确定变量分布Tab.8㊀Distributions of uncertain variablesfor vehicle side impact变量描述Variable description变量Variable 均值Mean 标准差Standard deviation分布类型DistributionB 柱内侧B-pillar innerx 110.05正态分布Gaussian distribution B 柱加固件B-pillar reinforcementx 210.05正态分布Gaussian distribution地板侧面内侧Floor side innerx 310.05正态分布Gaussian distribution横梁Cross membersx 410.05正态分布Gaussian distribution车门防撞梁Door beamx 510.05正态分布Gaussian distribution门带加固件Door belt line reinforcementx 610.05正态分布Gaussian distribution车顶纵梁Roof railx 710.05正态分布Gaussian distributionB 柱内侧材料Material of B-pillar innerx 80.30.006正态分布Gaussian distribution地板侧面内侧材料Material of floor side innerx 90.30.006正态分布Gaussian distribution障碍高度Barrier heightx 10010正态分布Gaussian distribution撞击位置Barrier hitting positionx 11010正态分布Gaussian distribution表9中给出了RBF 模型㊁RBF-SPCE 模型以及MCS 方法在求解汽车侧面碰撞问题的结果,直接采用MCS 方法得到的失效概率为0.0107%㊂由表9可以㊀第45卷第5期赵子达等:径向基函数-稀疏多项式混沌展开混合代理模型可靠性分析方法1115㊀㊀看出,RBF方法在调用12次功能函数的情况下,失效概率为0.0140%,与MCS 方法的相对误差较大,为30.841%㊂而RBF-SPCE 模型在调用10次功能函数的情况下就达到稳定的结果,且计算得到的失效概率为0.0111%,相对误差3.738%远小于RBF 模型㊂图6给出了在初始样本点相同的情况下,随着不断迭代,增加样本点的失效概率变化情况㊂表9㊀不同可靠性方法求解汽车侧面碰撞问题的对比Tab.9㊀Comparison of different reliability methodsfor vehicle side impact方法Method 失效概率Failure probability /%相对误差Relative error /%功能函数调用次数Number of performance functionRBF0.014030.84112RBF-SPCE 0.01113.73810MCS0.0107图6㊀汽车侧面碰撞问题迭代过程中失效概率的变化情况Fig.6㊀Failure probability in the iteration process of vehicle side impact5㊀结论㊀㊀本文以RBF 与SPCE 展开的正交组合为基础,提出一种可有效解决结构可靠性分析问题的混合代理模型㊂1)该方法SPCE 展开增广到RBF 代理模型中,一定程度上弥补了RBF 拟合线性响应能力差的问题,将RBF 的局部拟合能力与SPCE 展开的全局拟合能力有机结合,在降低计算成本的同时提高了代理模型的预测精度㊂2)数值算例表明,与现有方法相比,本文所提方法在处理高维㊁强非线性问题时呈现出较高的计算效率和计算精度㊂3)汽车侧面碰撞的工程算例表明,本文所提方法可准确预测汽车侧面碰撞问题的失效概率,有效减少了有限元分析所需的样本点,表明本文方法具有良好的工程适用性㊂参考文献(References )[1]㊀OUYANG H,LIU J,HAN X,et al.Correlation propagation foruncertainty analysis of structures based on a non-probabilisticellipsoidal model[J].Applied Mathematical Modelling,2020(88):190-207.[2]㊀刘㊀俊,安子军.基于改进的响应面法的双激波套筒活齿传动接触疲劳强度模糊可靠性分析[J].机械强度,2020,42(6):1362-1368.LIU Jun,AN ZiJun.Fuzzy reliability analysis of contact fatiguestrength of double shock sleeve movable teeth transmission based onan improved RSM [J].Journal of Mechanical Strength,2020,42(6):1362-1368(In Chinese).[3]㊀OUYANG H,LIU J,HAN X,et al.Non-probabilistic uncertaininverse problem method considering correlations for structural parameter identification [J ].Structural and MultidisciplinaryOptimization,2021:1-16.[4]㊀白㊀斌,张俊一,周㊀策,等.基于T-S 模糊故障树的工业机器人可靠性分析[J].机械强度,2021,43(6):1348-1358.BAI Bin,ZHANG JunYi,ZHOU Ce,et al.Reliability analysis ofindustrial robot using T-S fuzzy fault tree[J].Journal of MechanicalStrength,2021,43(6):1348-1358(In Chinese).[5]㊀李永欣,常㊀涛,杨立明,等.基于组合代理模型的三角履带轮多工况疲劳优化[J].机械强度,2021,43(5):1088-1094.LI YongXin,CHANG Tao,YANG LiMing,et al.Fatigueoptimization of triangle track wheel under multi-working conditions based on ensemble of surrogate model [J].Journal of MechanicalStrength,2021,43(5):1088-1094(In Chinese).[6]㊀韩忠华.Kriging 模型及代理优化算法研究进展[J].航空学报,2016,37(11):3197-3225.HAN ZhongHua.Kriging surrogate model and its 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第21卷第11期2022年11月Vol.21No.11Nov.2022软件导刊Software Guide基于RBF神经网络算法的农田土壤CO2排放评估杨文丽，燕振刚（甘肃农业大学信息科学技术学院，甘肃兰州730070）摘要：基于RBF神经网络算法，建立农田土壤CO2排放预测模型，以解决农田土壤CO2排放预测较为困难的问题。
将土壤含水量、温度、有机碳、铵态氮、硝态氮含量作为输入信号，玉米生长期内土壤CO2排放通量为输出信号，建立基于RBF神经网络算法的农田土壤CO2排放预测模型，并选择多元线性和非线性回归模型，对该预测模型的有效性进行评估。
结果表明，5-46-1的RBF神经网络结构能够较好地预测农田土壤CO2排放，其CO2排放通量实测值为0.903（kg/m2），预测值为0.854（kg/m2）；RBF神经网络预测模型的相关系数（R2=0.975）高于其他模型（线性和非线性回归模型），其均方误差（RMSE=0.091）、平均绝对误差（MAE=0.048）均低于其他模型。
研究表明，RBF神经网络算法预测性能明显优于其他预测模型，且精度较高，能够较好地预测土壤CO2排放通量。
关键词：RBF神经网络；预测模型；回归模型；CO2排放；农业信息化DOI：10.11907/rjdk.212612开放科学（资源服务）标识码（OSID）：中图分类号：TP399文献标识码：A文章编号：1672-7800（2022）011-0007-05Farmland Soil CO2Emission Assessment Based on RBF Neural NetworkYANG Wen-li，YAN Zhen-gang（College of Information Science and Technology，Gansu Agricultural University，Lanzhou730070，China）Abstract：A prediction model of farmland soil CO2emission was established based on RBF neural network algorithm to solve the difficult prob⁃lem of farmland soil CO2emission prediction.The soil moisture content，temperature，organic carbon，ammonium nitrogen，nitrate nitrogen content as the input signal，the maize growth period of soil CO2flux for the output signal，based on RBF neural network algorithm of farmland soil CO2emissions prediction model，and select multiple linear and nonlinear regression model，to evaluate the effectiveness of the proposed prediction model.The results showed that the RBF neural network structure of5-46-1could better predict soil CO2emission.The measured value of CO2emission flux was0.903（kg/m2），and the predicted value was0.854（kg/m2）.The correlation coefficient（R2=0.975）of RBF neu⁃ral network prediction model is higher than that of other models（linear and nonlinear regression models），and the mean square error（RMSE= 0.091）and mean absolute error（MAE=0.048）of RBF neural network prediction model are lower than that of other models.The prediction per⁃formance of RBF neural network algorithm is significantly better than other prediction models，and its accuracy is good，and it can better pre⁃dict soil CO2emission flux.Key Words：RBF neural network；prediction model；regression model；CO2emissions；agricultural informatization0引言受工业革命的影响，全球生产活动不断增加，大气中的温室气体储量逐年增长［1］，由此导致全球变暖，引起各国和环境组织的高度重视［2］。
Journal of Mechanical Strength2023,45(2):255-261DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.001∗20210626收到初稿,20210728收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(51768035),甘肃省高校协同创新团队项目(2018C-12)资助㊂∗∗孙永朋,男,1993年生,甘肃通渭人,汉族,兰州交通大学硕士研究生,主要研究方向为模型修正㊂∗∗∗彭珍瑞,男,1972年生,甘肃民勤人,汉族,兰州交通大学教授,博士,博士研究生导师,主要研究方向为结构动力学与模态分析,主持国家自然科学基金两项以及甘肃省㊁兰州市项目,发表论文100余篇㊂基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正∗STOCHASTIC MODEL UPDATING BASED ON THE KRIGING MODEL AND WAVELET PACKET ENERGY SPECTRUM孙永朋∗∗㊀彭珍瑞∗∗∗㊀白㊀钰(兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)SUN YongPeng ㊀PENG ZhenRui ㊀BAI Yu(School of Mechanical Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 730070,China )摘要㊀针对随机模型修正精度和效率低的问题,提出一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法㊂首先,假设模型待修正参数和响应特征均服从正态分布,将不确定性的模型修正转化为均值和标准差的修正;其次,将待修正参数作为Kriging 模型输入,加速度频响函数经过小波包分解后提取的结点能量作为输出,引入政治优化算法优化相关系数以构造Kriging 模型;然后,将最小化试验响应与预测响应之差的绝对值作为修正均值的目标函数,最小化交叉熵作为修正标准差的目标函数,通过政治优化算法先后修正参数均值和标准差;最后,以空间桁架结构为例,选取弹性模量和密度为待修正参数验证该方法的可行性㊂结果表明,所提方法能够有效地修正结构参数均值和标准差,修正后的参数均值㊁标准差的误差分别低于0.1%㊁3.5%㊂关键词㊀模型修正㊀加速度频响函数㊀交叉熵㊀小波包能量谱㊀Kriging 模型中图分类号㊀TH113.1Abstract ㊀Aiming at the low accuracy and efficiency of stochastic model updating,a stochastic finite element modelupdating method based on the Kriging model and wavelet packet energy spectrum was proposed.Firstly,assume that the parameters and response characteristics of the model to be updated obey normal distributions,the uncertainty model updating was transformed into the updating of mean and standard deviation.Secondly,the parameters to be updated were taken as inputs of Kriging model,the node energies extracted by the acceleration frequency response function after wavelet packet decomposition were taken as the outputs,the political optimizer algorithm was introduced to optimize the correlation coefficient to construct Kriging model.Then,minimize the absolute value of the difference between the test response and the predicted response as the objective function for updating mean,and minimize the cross entropy as the objective function for updating standard deviation,and updated the parameters mean and standard deviation through the political optimizer algorithm.Finally,taking a space truss structure as the example,the elastic modulus and density were selected as the parameters to be updated to verify the feasibility of the proposed method.The results show that the proposed method can effectively update the mean and standard deviation of structural parameters,and errors of the updated mean and standard deviation are less than 0.1%and 3.5%,respectively.Key words㊀Model updating ;Acceleration frequency response function ;Cross entropy ;Wavelet packet energy spectrum ;Kriging modelCorresponding author :PENG ZhenRui ,E-mail :pzrui @ ,Tel :+86-931-4955789,Fax :+86-931-4955789The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.51768035),and the Collaborative Innovation Team Project of Universities in Gansu Province (No.2018C-12).Manuscript received 20210626,in revised form 20210728.0㊀引言㊀㊀近几十年来,模型修正方法在结构动力学领域逐渐成为研究热点,在结构损伤识别㊁健康监测和寿命预测等领域取得了广泛应用㊂根据是否考虑结构参数和响应的不确定性,结构动力学模型修正可分为确定性方法和不确定性方法两类[1]㊂确定性模型修正只能依据某次特定情形下的试验数据进行修正,并没有考㊀256㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀虑其他情况下的试验结果,导致无法完整地描述结构的实际状况[2]㊂但在工程实际中,由于结构材料㊁几何尺寸㊁试验测试和环境噪声等的影响,不确定性问题普遍存在㊂因此,考虑不确定性的模型修正方法更具有研究意义[3-4]㊂在模型修正过程中,使用代理模型可以有效地减少因调用有限元模型而产生的计算成本,是提高模型修正效率的有效途径[5]㊂代理模型主要有径向基函数(Radial Basis Function,RBF)㊁Kriging模型㊁支持向量回归机(Support Vector Machine,SVM)㊁多项式混沌展开(Polynomial Chaos Expansions,PCE)和神经网络(Neural Networks,NNs)等[6]㊂Kriging模型不仅可以对非线性函数良好的近似能力给出参数预估值,还可以给出预估值的误差估计,因此在结构优化设计和结构响应预测等领域被广泛应用[7]3197-3225㊂近年来,不确定性模型修正引起了学者的广泛关注,并取得了一定的成果㊂方圣恩等[8]建立了一种逐步修正参数均值㊁标准差的随机模型修正框架,有效地简化了修正过程㊂HUA X G等[9]将改进的摄动技术与基于灵敏度的模型修正方法相结合,利用不确定模态数据进行随机模型修正㊂ZHAI X等[10]利用结构静态响应数据,基于高级蒙特卡洛仿真与改进的响应面模型修正了航空发动机定子系统㊂蒋伟等[11]提出了基于多链差分进化算法的贝叶斯有限元模型修正方法,为解决传统贝叶斯算法在高维参数下采样率低㊁收敛难的问题提供了一种新手段㊂陈辉等[12]利用混合摄动-伽辽金法推导随机模型修正方程,改善了不完备测量模态导致结构参数随机的情况㊂秦仙蓉等[13]将岸桥结构作为研究对象,实测模态数据作为响应,利用代理模型有效地修正了结构参数均值和标准差㊂HOKMABADY H等[14]在时程分析基础上,利用数学函数对影响参数不确定性的因素进行校正,构建了一种同时考虑结构和参数不确定性的模型修正策略㊂上述模型修正方法都是基于模态参数的修正方法㊂然而,对试验模态参数进行识别出现的误差,有时可能会大于模型参数误差本身,但是基于频响函数(Frequency Response Function,FRF)的方法无需模态识别即可进行模型修正,既避免了模态分析带来的误差,又可以利用频响函数的互易性使各点间的数据进行相互检验,因此基于频响函数研究不确定性模型修正是极其必要的[15-16]㊂此外,模型修正的关键是得到全面㊁稳定的信号特征㊂由小波变换发展而来的小波包分解是一种更加精细的信号分解方法,能在整个频带内对信号进行分解㊂小波包分解后,提取某一层信号的结点能量谱可以更完整㊁详尽地反映结构信息㊂罗辉等[17]306-314将小波包能量谱的变化作为损伤指标,基于互信息建立了一种快速判断结构损伤程度的新框架㊂郭伟超等[18]利用小波包变换对信号进行分解,通过主成分分析对关键频带能量谱进行降维,有效地改善了常见的时频域分析方法无法准确反映信号故障特征的问题㊂综上所述,提出一种基于Kriging模型和小波包能量谱的随机模型修正方法㊂首先,以待修正参数为输入,加速度FRF经过小波包分解后计算得到的结点能量为输出,构建Kriging模型代替有限元模型进行计算,通过政治优化(Political Optimizer,PO)算法寻得Kriging模型的最优相关系数值;其次,利用交叉熵(Cross Entropy,CE)衡量两个概率密度函数(Probability Density Function,PDF)之间的相似性,将最小化交叉熵作为目标函数,通过PO先后修正参数均值和标准差;最后,利用空间桁架结构验证该方法的可行性㊂1 小波包能量谱㊀㊀与小波变换相比,小波包分解能够在去噪㊁滤波㊁故障诊断以及非平稳信号的特征提取等方面为信号提供一种更精细的分析方法,它不仅对信号低频进行分解,也对信号高频进行分解[19]㊂信号x(t)的r层小波包分解可表示为x(t)=ð2r-1s=0x r,s(t)=ðɕl=-ɕc r,s,lφr,s,l(t)(1)式中,c r,s,l为小波包系数;φr,s,l(t)为小波包,c r,s,l=ʏ+ɕ-ɕx(t)φr,s,l d t;r㊁s㊁l分别为尺度参数㊁平移参数和调整参数,且均为正整数㊂信号x(t)的3层小波包分解过程如图1所示㊂图1㊀3层小波包分解过程Fig.1㊀Process of3-layer wavelet packet decomposition 信号经过小波包分解后得到的结点能量与小波包系数相比,更具有鲁棒性[17]306-314㊂对原始信号x(t)经过r层分解后得到2r个子频带,其中,第u个子频带的能量为G u=ð|f u|2,u=0,1,2, ,2r-1(2)式中,f u为经过r层分解后原始信号的第u+1个子频带,即结点u+1㊂则原始信号的小波包能量谱可表示为G r=[G0,G1,G2, ,G2r-1]T(3)㊀㊀小波包分解后提取的能量谱可按结点能量大小从大到小排列㊂由于能量较小的小波包成分易受噪声干㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正257㊀㊀扰,因此可以忽略这些成分[20]㊂选择结点能量占比较大的前m 个频带近似表示原始信号㊂调整参数的引入,避免了小波包分解出现小波变换时间分辨率高㊁频率分辨率低的现象,因此选取基函数为Daubechies 小波族的db5,分解层数r 取为5[21]1088-1101㊂尽管加速度FRF 较模态参数可以更全面地反映信号特征,但存在频率点及频率区间选择困难的问题㊂将加速度FRF 通过傅里叶逆变换为时域的加速度脉冲信号,利用小波包变换对该信号进行5层小波包分解,提取小波包结点能量作为代理模型的输出,也作为加速度FRF 的响应特征进行模型修正,可避开频率点和频率区间的选择㊂2㊀Kriging 模型的构造2.1㊀Kriging 模型㊀㊀Kriging 模型是一种基于插值理论的代理模型,由线性回归和随机过程两部分组成[7]3197-3225,其表达式为Y =f T (x i )β+z (x i )(4)式中,f T (x i )β为线性回归模型,f (x i )为多项式函数,β为回归模型系数;z (x i )~N (0,σ2)为随机过程,σ2为过程方差㊂通过最小二乘法可求得β和σ2的估计值分别为β=(F T R -1F )-1F T R -1E (5)σ2=1n(E -Fβ)T R (E -Fβ)(6)式中,F 为样本向量所构成的矩阵;E 为样本响应的列向量;R 为空间相关矩阵,元素R ij =R (x i ,x j )(i ,j =1,2, ,n );n 为样本数㊂β和σ2皆为相关系数θ的函数,未知数θ的值决定Kriging 模型的预测精度㊂2.2㊀政治优化器㊀㊀PO 是受多阶段政治过程启发,由ASKARI Q等[22]105709提出的全局优化算法㊂该算法提出基于最近历史的位置更新策略(Recent Past-based Position Updating Strategy,RPPUS),使候选人能够与一对独特的更优解进行交互,以便基于最近位置探索最优区域,避免陷入局部最优,相比其他算法,准确性较高,收敛较快,提高了寻优效率㊂因此本文采用PO 进行寻优来提高模型的修正精度㊂算法流程如下:(1)政党组成和选区分配㊂人口P 划分为w 个政党,每个政党的第j 个党员都从选区C j 参加竞选㊂设政党数㊁选区数和每个政党的候选人数相同㊂大选决定政党领袖及选区获胜者,如式(7)所示:q =arg min f (p ji ),∀i ɪ{1,2, ,w }p ∗i =p q i p ∗={p ∗1,p ∗2,p ∗3, ,p ∗w }c ∗={c ∗1,c ∗2,c ∗3, ,c ∗w }ìîíïïïïïï(7)式中,q 为适应度值;p ∗i 为第i 政党的领袖;p ∗为政党领袖集合;c ∗j 为第j 选区获胜者,即议员;c ∗为选区获胜者集合㊂(2)竞选活动㊂提高候选人竞选表现,利用RPPUS 更新候选人位置,详见文献[22]105709㊂(3)政党转换㊂每个党员p j i 都以概率τ与随机选择的某政党p v 中好感度最低党员p q i 交换㊂τ=0.9,为政党转换率㊂(4)选举㊂评估所有选区候选人的好感度并宣布获胜者,如式(8)所示:q =arg min 1<i <wf (p j i )c ∗j =pj q{(8)式中,c ∗j 为第j 选区C j 的获胜者㊂(5)议会事务㊂党内选举结束,政府成立㊂每个议员c ∗j 根据某随机选择的议员c ∗v 对其好感度的影响更新其位置㊂2.3㊀Kriging 模型的构造及检验㊀㊀在构造Kriging 模型时,由于相关系数θ影响模型预测精度,需要先优选θ值㊂采用拉丁超立方抽样法,在待修正参数上下20%区间内抽取样本,将其按一定比例分为训练集和测试集,并计算相应的响应特征㊂建立目标函数o θ=ðLl =1ðki =1(y i -y ^i )(9)式中,y^i 为Kriging 模型预测的测试集结点能量;y i 为测试集有限元模型加速度FRF 经过5层小波包分解后提取的结点能量;k 为测试集样本数;L 为响应特征数㊂利用PO,以最小化式(9)迭代求解Kriging 模型最优θ值,建立Kriging 模型㊂利用均方根误差RMSE 和决定系数R 2作为评价准则,校验所构建Kriging 模型的精度㊂RMSE 可表示为e RMSE=1k y -f ðki =1(y ^i -y i )2(10)㊀㊀R 2表示为R 2=1-ðki =1(y ^i -y i )/ðki =1(y i -y -fi )(11)式中,y -f为测试集有限元模型响应特征平均值㊂RMSE 的值越接近于0,R 2值越接近于1,表明Kriging 模型预测响应与有限元模型的计算响应差异越小,所构建Kriging 模型的精度越高;反之,精度越低㊂3㊀交叉熵㊀㊀交叉熵作为一种信息熵,用来衡量两个概率分布之间的相似性[21]1088-1101㊂在连续变量R 上,对于服从正态分布的两个概率密度函数p (x )和q (x ),交叉熵㊀258㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀的定义为H(p,q)=ʏp(x)lg1q(x)d x(12)㊀㊀在离散变量上的定义为H(p,q)=ðp(x)lg1q(x)(13)式中,p(x)为试验分布;q(x)为预测分布㊂均值为λ㊁标准差为δ2的服从正态分布的概率密度分布f(x)的表达式为f(x)=1δ2πe-(x-λ)22δ2(14)㊀㊀对于试验分布p(x)~N(λ1,δ21)和预测分布q(x)~N(λ2,δ22)的概率密度函数,其交叉熵由定义得H(p,q)=12lg(2πδ22)+δ21+(λ21-λ22)2δ22(15)㊀㊀由式(15)可知,q(x)越逼近于p(x),H越逼近于0;反之,H越大㊂4㊀模型修正过程㊀㊀首先,计算有限元模型FRF,进行小波包分解,提取第5层结点能量作为响应特征;其次,利用PO优化Kriging模型的相关系数,构造尽可能准确的Kriging模型代替有限元模型进行计算;最后,采用PO分步求解参数均值和标准差,使有限元模型的响应均值与标准差和仿真试验模型的响应均值与标准差的误差趋于最小㊂具体修正过程如下:第一步,修正参数均值㊂以最小化式(16)为目标,利用PO迭代寻优,对参数均值进行修正㊂o g=ðe i=1|g^i-g t i|(16)式中,g^i为Kriging模型预测的第5层小波包结点能量;g t i为试验加速度FRF经小波包5层分解后提取的结点能量平均值;e为小波包第5层结点能量个数㊂第二步,修正参数标准差㊂此阶段,将交叉熵作为目标函数,依据已修正均值,在每次迭代中随机生成1500组服从正态分布的样本,通过已建立的Kriging 模型预测样本响应,以最小化Kriging模型预测响应与试验响应两者之间的交叉熵为目标,利用PO迭代修正参数标准差㊂模型修正流程如图2所示㊂5㊀数值算例㊀㊀选择图3所示空间桁架结构验证本文所提方法㊂该桁架结构包含66个杆单元㊁28个节点和48个自由度,其中杆单元横截面积为0.0001m2㊂桁架节点铰接,约束条件为4个支座固定(节点1㊁8㊁9㊁16),每个节点只考虑Y向和Z向的平动自由度,激励点和测点分别图2㊀模型修正流程Fig.2㊀Flow chart of model updating如图3中节点23和节点17所示㊂将所有杆的弹性模量E㊁密度ρ的均值和标准差作为桁架结构待修正参数㊂试验模型㊁有限元模型的参数设置如表1所示㊂图3㊀空间桁架模型结构图Fig.3㊀Structure of space truss model表1㊀待修正结构参数均值和标准差Tab.1㊀Mean and standard deviation of structuralparameters to be updated弹性模量Elasticmodulus E/GPa密度Densityρ/(kg/m3)均值Mean标准差Standarddeviation均值Mean标准差Standarddeviation试验值Test value190 1.7780035有限元值Finite element value210 7020 由表1可知,待修正参数弹性模量E和密度ρ的有限元值均值与试验值均值的初始误差分别为9.5%和-10%㊂将模型的加速度FRF进行5层小波包分解后,可得到各个结点的信号特征,提取结点能量的小波㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正259㊀㊀包能量谱㊂图4给出了试验模型加速度FRF 经过5层小波包分解后,第5层结点1的信号特征㊂图4㊀第5层小波包分解结点1信号特征Fig.4㊀Signal characteristics of node 1after 5-layerwavelet packet decomposition采用拉丁超立方抽样法抽取500组样本,按4ʒ1的比例分为训练集和测试集,依据2.3节所述方法构造Kriging 模型㊂政治优化算法参数设置:政党数w =8,政党转换率τ=0.9㊂通过PO 对θ进行迭代寻优,所得最优值为0.3591㊂然后,由式(10)㊁式(11)可得均方根误差RMSE 的值为2.7306ˑ10-4,R 2值为0.9998,表明构建的Kriging 模型预测精度高,可以代替有限元模型进行迭代计算㊂使用表1中试验弹性模量E ㊁密度ρ的均值和标准差随机抽取150组样本,计算相应有限元模型的加速度FRF,提取经5层小波包分解后的结点能量,得到仿真试验响应的均值,根据式(16),通过PO 经100次迭代,修正参数均值;然后,根据修正后的参数均值在每次迭代过程中随机生成1500组样本,通过所建立的Kriging 模型预测样本响应,利用PO 经150次迭代,修正参数标准差,修正结果如表2所示㊂图5给出了参数均值迭代收敛曲线,其中纵坐标表示经过标准化的参数均值修正值㊂表2㊀修正前后结构参数均值和标准差Tab.2㊀Initial and updated mean and standard deviationof the structural parameters弹性模量Elastic modulus E /GPa 密度Density ρ/(kg /m 3)均值Mean标准差Standard deviation 均值Mean 标准差Standard deviation 试验值Test value 190 1.7780035有限元值Finite element value 210 7020 修正值Updated value 189.85 1.667795.3333.94修正前误差Pre-updating error /%9.50 10.00 修正后误差Updated error /%0.082.340.063.03㊀㊀由表2可知,修正后弹性模量E ㊁密度ρ的均值误差均低于0.1%,标准差误差均低于3.5%,表明本文所提随机模型修正方法具有较高的修正精度㊂利用表2中修正后的参数均值计算加速度FRF,将其进行5层小波包分解并提取结点能量,对结点能量按从大到小顺序排序,提取能量占比较大的前10个结点绘制能量谱㊂图6给出了试验模型㊁有限元模型和修正后模型的参数均值对应的FRF 曲线,图7给出了小波包结点能量谱㊂图5㊀参数均值迭代曲线Fig.5㊀Iteration curves of parametermean图6㊀FRF 曲线Fig.6㊀Curves of frequency responsefunctions图7㊀第5层小波包结点能量谱Fig.7㊀Node energy spectrum of 5-layer wavelet packet由图6可知,修正后的FRF 曲线与试验模型FRF 曲线基本重合;由图7可知,有限元模型小波包能量谱与试验模型小波包能量谱相差较大,修正后小波包能量谱与试验模型的小波包能量谱基本一致,验证了本文所提方法的有效性㊂㊀260㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀㊀㊀利用修正后参数均值和标准差随机生成150组样本,提取其小波包结点能量,进一步评估本文所提随机模型修正方法的修正效果㊂图8给出了加速度FRF 经5层小波包分解后,结点5㊁9试验模型和修正后模型的结点能量分布云图和95%置信椭圆图㊂图9给出了第5层小波包结点1㊁2㊁5和9修正前后结点能量的PDF 曲线㊂由图8可知,置信椭圆修正前后基本一致,修正值和试验值的置信椭圆中心偏移较小,由于置信椭圆能够直观反映标准差修正误差,表明修正后的参数均值和标准差与试验模型的较为接近;由图9可知,修正值与试验值的PDF 曲线基本重合㊂上述结果均表明了所提随机模型修正方法取得了很好的效果㊂图8㊀结点能量分布云图及95%置信椭圆Fig.8㊀Distribution nephogram and 95%confidenceellipse of nodeenergy图9㊀第5层小波包结点1㊁2㊁5和9结点能量PDF 曲线Fig.9㊀Node energy PDF curves of 5-layer waveletpacket node 1,2,5and 9为进一步验证本文所提随机模型修正方法的修正精度和效率,分别将加速度FRF 和经过5层小波包分解后提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,修正结果如表3所示㊂由表3可知,与加速度FRF 直接作为响应特征相比,将加速度FRF 经过5层小波包分解后,提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,不仅提高了修正精度,而且缩短了构建Kriging 模型的时间以及总运行时间,提高了模型修正效率㊂上述分析均基于CPU 为Intel(R)Core(TM)i7-7700HQ,主频为2.80GHz,Matlab2018b 平台运行㊂表3㊀不同响应特征修正结果对比Tab.3㊀Comparison of different characteristic responseupdating results加速度FRFAcceleration FRF小波包结点能量Node energy of wavelet packetE 均值误差Error of E mean /%0.100.08ρ均值误差Error of ρmean /%0.070.06E 标准差误差Error of E standard deviation /% 5.33 2.34ρ标准差误差Error of ρstandard deviation /%5.56 3.03构建Kriging 模型时间Time to construct Kriging model /s380116总运行时间Total running time /min41306㊀结论㊀㊀本文针对模型修正精度和效率低的问题,提出了一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法,通过构建的精确Kriging 模型对参数均值和标准差进行修正,选用空间桁架结构进行验证,修正效果良好,得到结论:1)利用小波包能量谱能够有效地对加速度FRF进行不同频带分解的特性,将其作为FRF 的特征响应,不仅可以保留FRF 的关键信息,且能够避免FRF 频率点及频率区间的选择难题,减少了修正时间㊂2)利用PO 优选Kriging 模型相关系数值,使建立的具有良好预测能力和拟合效果的Kriging 模型能够代替有限元模型进行计算,提高了修正效率㊂3)利用交叉熵能够有效地衡量两个样本响应概率分布之间相似性的特性,并结合PO 修正参数标准差,提高了模型修正精度㊂参考文献(References )[1]㊀BI S,PRABHU S,COGAN S,et 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一种基于径向基函数的模型参考自适应控制的研究文章介绍了基于RBF（径向基函数）神经网络的辨识，实现单神经元PID 模型的自适应控制。
采用RBF神经网络，是由于其结构简单，应用成熟，具有万能逼近性；采用单神经元构成的PID自适应器是因为其具备适应性强，结构简单，有学习的功能。
我们通过RBF神经网络的辨识后进行单神经元PID的自适应控制，随时对参数进行学习与修改，以求达到所要的效果。
标签：RBF神经网络；单神经元PID；辨识；自适应控制引言近年来，模型参考自适应控制，作为一种重要的自适应控制，它已具有较成熟的分析综合理论和方法，并在实践中被越来越广泛地使用。
于此同时，PID因其良好的可靠性和自适应性，也随之迅速发展。
但是，未知特性（如不确定性、随机性）的外界干扰，对于PID控制的参数变化的影响很大，使其控制效果不佳。
这样，单单用PID控制已远远不能满足要求。
随着人工神经网络的不断发展，它能充分应对系统参数较大的情况，能充分展现系统的参数结构，将它与PID控制结合起来，能很好地解决PID控制中的不能，促进两者的共同发展。
本文采用RBF神经网络进行系统辨识，优点在于其有简单的结构和很强的适应能力，拥有自我的学习能力。
而且运用单神经元作为控制器的PID控制，也考虑了其简单、易实现性。
在通过仿真实践证明，这种方法在信息的采集、动态特性和在线辨识都有很好的效果。
1 RBF神经网络辨识RBF神经网络是由J.Moody和C.Darken在20世纪80年代提出，它是具有单隐层的三层前馈网络。
它由输入到输出的映射是非线性的，而隐含层空间到输出空间的映射是线性的，这样能大大加快学习速度并避免局部出现的小问题。
RBF神经网络输入层向量记为X（k），该层第i层节点的输入为xi（k），（1<i<m）；隐层径向基向量为H（k），该层第j节点的输出为hj（k），（1<j<m）；隐层与输出层的权向量为W（k），该层第j节点与输出层节点的联接权值wj（k），（1<j<n）。
