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第二章二次函数
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是()
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)
C．y＝1
x2D．y＝(x－1)
2－x2
2．关于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()
A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点
3．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是－3，那么m的值等于()
A．10 B．4 C．5 D．6
4．如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()
图1
A．x＜－2 B．－2＜x＜4
C．x＞0 D．x＞4
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：
则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3
B ．1.3＜x ＜1.4
C ．1.4＜x ＜1.5
D ．1.5＜x ＜1.6
6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )
图2
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．如图3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－5
2，y1，C ⎝⎛⎭
⎫－1
2，y2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )
图3
A ．②④
B ．①④
C ．①③
D ．②③
8．如图4，正三角形ABC 的边长为4，P 为BC 边上的任意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D .设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )
图4
图5
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．
10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．
11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
12．如图6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.
图6
13．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C 的坐标为____________________________________________．
图7
三、解答题(本大题共4小题，共48分)
14．(10分)如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的表达式；
(2)记抛物线与y轴的交点为D，连接BD，CD，BC，求△BCD的面积．
图8
15．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图9所示．
(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价x的范围．
图9
16．(12分)如图10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .设运动时间为t (0＜t ＜10
3
)秒，解答下列问题：
(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？
(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．
图10
17．(14分)如图11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；
(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．
图11
答案
1．B.2．C 3．D. 4．B. 5． C. 6． D 7．B. 8．C. 9． y ＝－2(x ＋1)2－3 10．(－1，0) 11． ＞ 12． 18
13． (1＋7，3)或(2，－3)
14．解：(1)由题意，得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，
4a ＋2b ＋2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，
b ＝－1，
∴抛物线的表达式为y ＝1
2
x 2－x ＋2.
(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)． ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，
∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝1
2
×2×4＝4.
15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；
(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
