4.5.1函数的零点与方程的解（二）同步练测考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．(]4,16B ．[)4,+∞C ．(),4-∞-D ．[)16,4--二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．参考答案：1．B【解析】由题意知,αβ是二次函数236y x x =+-的两个零点，故,αβ是2360x x +-=的两个根，则2360αα+-=，且+3αβ=-，则236αα+=且3βα=--，故22233(3)5αβαααα-=-++=+-=-=，故选：B 2．B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增，又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，，所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，.故选：B 3．B【解析】函数()23x f x x a =++在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知(0)(1)0f f ⋅<，即()()150a a ++<，解得51a -<<-所以实数a 的取值范围是(5,1)--，故选：B 4．A【解析】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，当1x ≤-时，()113x f x +=-在(],1-∞-上单调递减，[)()0,1f x Î；当10-<≤x 时，()131x f x +=-在(]1,0-上单调递增，(]()0,2f x Î；当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，()f x ∈R ；由()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a ∈，故选：A.由图像可知01a b <<<<由()()f a f b =得lg a =联立2y x y x =⎧⎨=-⎩，得由图象可知，直线9．BCf x对应的二次方程根的判别式【解析】函数()可观察出①当1a >时，方程(f ()220()xf a a R --=∈有方程()1f t =-的解为1(0,1)t t =∈，2(,0)t t =∈-∞，即1()f x t =，2()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和1y t =，2y t =的图象，由图可知函数()y f x =和1y t =，2y t =有4个交点，所以函数[()]1y f f x =+有4个零点.当0a ≤时，方程()1f t =-的解为3(0,1)t t =∈，即3()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和3y t =的图象，由图可知函数()y f x =和3y t =有1个交点，所以函数[()]1y f f x =+有1个零点.故选：AD13．1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-，故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∵()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个，故答案为：114．(]()1,34,+∞ 【解析】由于4y x =-在R 上只有一个零点4，函数243y x x =-+在R 上的两个零点为1和3，若4λ>,此时4y x =-在x λ≥上没有零点，函数243y x x =-+在x λ<上的两个零点为1和3，满足题意，当34λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1和3，不满足题意，舍去当13λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1，满足题意，当1λ≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上没有零点，不满足题意，舍去，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭点212,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点⎛⎝由图象可知，-当0a >时，12116a a <<，解得111612a <<；当a 11,⎛⎫⎧⋃。
指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称定义图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况变化对图象的影响指数函数函数且叫做指数函数图象过定点，即当时，.非奇非偶在上是增函数在上是减函数在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小 .对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点奇偶性图象过定点，即当非奇非偶时，.单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，逐渐减小 .逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向指数函数习题一、选择题aa ≤ b，则函数 f ( x ) ＝1?2x 的图象大致为 ()1．定义运算 a ?b ＝>b a b2．函数 f ( x ) ＝ x 2－bx ＋ c 满足 f (1 ＋ x ) ＝f (1 － x ) 且 f (0) ＝3，则 f ( b x ) 与 f ( c x ) 的大小关系是()xxA ． f ( b ) ≤ f ( c ) x xB ． f ( b ) ≥ f ( c )xxC ． f ( b )> f ( c )D ．大小关系随 x 的不同而不同3．函数 y ＝ |2 x － 1| 在区间A ． ( － 1，＋∞ )C ． ( － 1,1)( k － 1， k ＋ 1) 内不单调，则 k 的取值范围是 ()B ． ( －∞， 1)D ． (0,2)4．设函数 f ( x ) ＝ln [( x －1)(2 －x)] 的定义域是 ，函数 ( ) ＝ lg(x － 2x －1) 的定义域是 ，Ag xaB若 ?，则正数a 的取值范围 ()ABA ． a >3B ． a ≥ 3C ． a > 5D ． a ≥ 5．已知函数 f (x ＝ 3－ a x －3， x ≤ 7，若数列 { a n 满足 a n ＝ f (n )(n ∈ * ，且 {a n }是递5 ) a x － 6， x >7. } N) 增数列，则实数a 的取值范围是 ()A ． [ 9， 3)B ． ( 9， 3) 44C ． (2,3)D ． (1,3)2x16．已知 a >0 且 a ≠ 1，f ( x ) ＝ x － a ，当 x ∈ ( － 1,1) 时，均有 f ( x )< 2，则实数 a 的取值范围 是( )1 1 A ． (0 ， 2] ∪ [2 ，＋∞ ) B ． [ 4， 1) ∪ (1,4]11C ． [ 2， 1) ∪ (1,2]D ． (0 ， 4) ∪ [4 ，＋∞ )二、填空题xa7．函数 y ＝ a ( a >0，且 a ≠ 1) 在 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，则 a 的值是 ________．8．若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 ________．| x|的定义域为9． (2011 ·滨州模拟 ) 定义：区间 [x 1，x 2 ]( x 1<x 2) 的长度为 x 2－ x 1. 已知函数 y ＝ 2 [a ， b] ，值域为 [1,2] ，则区间 [a ， b] 的长度的最大值与最小值的差为 ________．三、解答题10．求函数y＝2x2 3x 4 的定义域、值域和单调区间．11．(2011 ·银川模拟 ) 若函数y＝a2x＋ 2a x－1( a>0 且a≠ 1) 在x∈ [－ 1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x) ＝ 3x，(a＋ 2) ＝ 18， (x) ＝λ·3ax－4x的定义域为 [0,1] ．f g(1)求 a 的值；(2) 若函数g( x) 在区间 [0,1] 上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1. 解析：由? ＝ a a≤ b x2x x≤0，b a>b x>0 .1答案： A2. 解析：∵f (1 ＋x) ＝f (1 －x) ，∴f ( x) 的对称轴为直线x＝1，由此得 b＝2.又 f (0)＝3，∴c＝3.∴f ( x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．x≥2x≥ 1，∴ (3 x) ≥(2 x) ．若 x≥0，则3f f若 x<0，则3x<2x<1，∴f (3x)> f (2x)．∴f (3x)≥ f (2x)．答案： A3.解析：由于函数 y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间 ( k－ 1，k＋ 1) 内不单调，所以有答案： Ck－1<0<k＋1，解得－1<k<1.4.解析：由题意得： A＝(1,2)x x>1x x>1在(1,2)上恒成立，即，a－ 2且 a>2，由 A? B知 a－ 2x x上恒成立，令x x xln a－2xln2>0 ，所以函数a－2 － 1>0 在 (1,2)u( x)＝a－ 2－ 1，则u′( x) ＝au ( x ) 在 (1,2) 上单调递增，则 u ( x )> u (1) ＝ a － 3，即 a ≥ 3.答案： B*f ( n ) 为增函数，5. 解析： 数列 { a } 满足 a ＝ f ( n )( n ∈ N ) ，则函数nna >18－ 6－ ) × 7－ 3，所以 3－ a >0注意 a>(3，解得 2<a <3.aa8－6> 3－ a × 7－3答案： C1 2x1 21 x x21的图象，6. 解析： f ( x )<? x －a < ? x － <a ，考查函数 y ＝ a与 y ＝x － 2222当 a >1 时，必有 a－1≥1，即 1<a ≤ 2，21 1当 0<a <1 时，必有 a ≥ ，即 ≤a <1，2 2 1 综上， 2≤ a <1 或 1<a ≤ 2. 答案： C7. 解析： 当 a >1 时， y x在 [1,2] 上单调递增，故 2a3x＝ a a － a ＝ ，得 a ＝ . 当 0<a <1 时， y ＝ a2 22a在 [1,2] 上单调递减，故 a －a ＝ 2，得 a ＝ 2. 故 a ＝2或 2.1131 3答案： 2或28. 解析： 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．x＋1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果x＋ 1 与直线 y ＝ b曲线 | y | ＝ 2 | y | ＝ 2没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [－ 1,1] ．答案： [－ 1,1]9. 解析： 如图满足条件的区间 [a ， b] ，当 a ＝－ 1， b ＝ 0 或 a ＝ 0， b ＝ 1 时区间长度最小，最小值为 1，当 a ＝－ 1，b ＝ 1 时区间长度最大，最大值为2，故其差为 1.答案： 110. 解： 要使函数有意义，则只需－ x 2－3x ＋ 4≥ 0，即 x 2＋ 3x －4≤ 0，解得－ 4≤ x ≤ 1.∴函数的定义域为 { x | －4≤ x ≤ 1} ．223225 令 t ＝－ x － 3x ＋ 4，则 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ ) ＋4，2253∴当－4≤ x ≤ 1 时， t max ＝ 4 ，此时 x ＝－ 2， t min ＝ 0，此时 x ＝－ 4 或 x ＝1.∴0≤t ≤ 25 . ∴0≤ －x 2－ 3x ＋ 4≤ 5 .4 2∴函数 y ＝ ( 1)x 23 x4的值域为 [ 2 ， 1] ．8223 225由 t ＝－ x － 3x ＋ 4＝－ ( x ＋ )＋4( － 4≤ x ≤ 1) 可知，23当－ 4≤ x ≤－ 2时， t 是增函数，3当－ 2≤ x ≤1 时， t 是减函数．根据复合函数的单调性知：y ＝ ( 1 )x 23 x 4在 [ － 4，－ 3 3] 上是减函数，在 [ － ，1] 上是增函数．22 233∴函数的单调增区间是 [ － 2， 1] ，单调减区间是 [ － 4，－ 2] ． 11. 解： 令x22tt >0y＝ t＋ 2t1＝ ( t＋ 1)2，其对称轴为t ＝－ 1.该二次函数a ＝ ，∴ ，则－－在[ － 1，＋ ∞ ) 上是增函数．x12①若 a >1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴t ＝ a ∈ [ a ， a ] ，故当 t ＝ a ，即 x ＝1 时， y max ＝a ＋ 2a － 1＝14，解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ．②若 0<a <1，∵x ∈ [ － 1,1] ，∴ ＝ x∈1 1＝－时，a [ a ， ] ，故当 t ＝ ，即 1t a ax12y max ＝ (a ＋ 1) － 2＝ 14.11∴a ＝3或－ 5( 舍去 ) ．1综上可得 a ＝ 3 或 3.12. 解： 法一： (1) 由已知得 a2 aa ＝log 32.3 ＋＝ 18? 3 ＝ 2?(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4 x ，设 0≤ x 1<x 2≤ 1，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以 g ( x ) － g ( x ) ＝ (2 x － 2x )( λ－ 2x － 2x )>0 恒成立，即 λ<2x ＋ 2x 恒成立．1 2 1 2 2 1 2 1由于 2x 2＋ 2x 1>2 ＋ 2 ＝ 2，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.法二： (1) 同法一．(2) 此时 g ( x ) ＝ λ·2x － 4x ，因为 g ( x ) 在区间 [0,1] 上是单调减函数，所以有 g ′( x ) ＝ λln2 ·2x － ln4 ·4x ＝ ln2 [－ 2 ·(2x )2＋ λ·2x] ≤0 成立．x2 设 2 ＝ u ∈ [1,2] ，上式成立等价于－2u＋ λu ≤0 恒成立．因为 u ∈ [1,2] ，只需 λ≤2u 恒成立，所以实数 λ的取值范围是λ≤ 2.对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知 3a2 ，那么 log3 8 2log 3 6 用 a 表示是（）A 、 a 2B 、 5a2C 、 3a (1 a)2D 、 3a a 22、 2log a (M 2N ) log a Mlog a N ，则M的值为（）A 、1NB 、4C 、1D 、 4 或 1413 、 已 知 x 2 y 2 1, x0, y 0 ， 且 log a (1 x) m,log a n,则 log a y 等 于1 x（）A 、 m nB 、 m nC 、 1m nD 、 1m n224、如果方程 lg 2 x (lg5lg 7)lgx lg5 glg 7 0 的两根是 ,，则 g的值是（）A 、 lg5 glg 7B 、 lg35C 、 35D 、13515、已知 log 7[log 3 (log 2 x)] 0，那么 x2等于（ ）A 、1B 、13 C 、1D 、1322 2336、函数 ylg2 1 的图像关于（）1 xA 、 x 轴对称B 、 y 轴对称C 、原点对称D 、直线 yx 对称7、函数 ylog (2 x 1) 3x2 的定义域是（）A 、 2,1 U 1,B 、 1,1 U 1,32C 、 2,D 、 1,328、函数 ylog 1 (x 2 6x17) 的值域是（）2A 、 RB 、 8,C 、, 3D 、 3,9、若 log m 9 log n 9 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ ）A 、 m n 1B 、 n m 1C 、 0 n m 1D 、 0 m n 110、 log a 2 1，则 a 的取值范围是（）3A 、 0, 2U 1,B 、 2,C 、 2,1D 、 0, 2U 2,3333 311、下列函数中，在 0,2 上为增函数的是（）A 、 ylog 1 ( x1)B 、 y log 2 x 2 12C 、 ylog 2 1D 、 ylog 1 ( x 2 4x 5)x212、已知 g( x) log a x+1 ( a 0且a 1) 在 10， 上有 g( x)0 ，则 f ( x)a x 1 是（ ）A 、在 ,0上是增加的 B 、在 ,0 上是减少的C 、在, 1 上是增加的D 、在,0 上是减少的二、填空题13、若 log a 2 m,log a 3 n, a 2 m n 。
指数基础训练(一)选择题1．下面四个式子中正确的是[ ]2．a ∈R ，下列各式中正确的是[ ]3．计算(－2)101＋(－2)100所得的结果是[ ]A ．2100B ．－1C ．(－2)100D ．－2100[ ][ ](二)填空题A a 1B C a R D |a|0．＝．＝．当∈时＝．＝()()||--33263a a a nnnnnnA B (a)aC aD (a )(a )2(n m)43342．＝．＝．＝．＝a aa n mn n2552-()4m n 0．如果＞＞，则＝m n n mn mn m A (m n)B (m n)C (m n )D (m n)n mm nn mm n．－．－．．--5a 3a a 12．已知＋＝，则＋＝112a-A 5BCD ．．．－．±55512(3)(3)20002002．化简－＝．．＋－＝．a b a b a b a b 222222---+(三)解答题参考答案(一)选择题1．(D)．解：(A)中，当a=0时，a °没有意义．(B)中的等式左边为正数，而右边为负数，∴等式不成立．(C)中当n 为大于1的偶数且a 为负数时，等式右边无意义，因此等式不成立．(D)成立．数运算也是错的，∴(B)错．(C)中，当a ＜0时，n 为大于1的偶数时，3．(D)．解原式=(－2)×(－2)100＋(－2)100=(－2＋1)×(－2)100=－(－2)100(二)填空题34．化简＋＝．．化简＝．112307210233--a bb aa b 12a (21)(a a )3(a a )3a 111312x ．化简：．设＝－，求－＋－的值．．若＝－，求的值．x x x x x x xx a aa a x x x x-+++++---++----11111223131313133334a 112b 1312P 5x 3x x 1212121212121212121232322．设＝，＝，计算＝的值．．若＝，求的值．()()()()a b a b a b a b x x x +--++-+++++-------11112232(D)(A)a 0a 0．．解：中，当≥时，而不是，运算错，当＜a a a 252552=时，无意义，∴错．中，当时，无意义，若＞时，指a a nm 52(A)(B)a =0a 0-a n没有意义，∴错，成立．(C)(D)4(C)=m n n m =m n =m n =(m n )n m n m n m m n n m (n m)n m ．．解：原式．------5(B)(a a)=a a 2=5a a=5122112．．解：＋＋＋．∴＋．---1212(三)解答题12b =(a b)(a b)(a b)(a b)=a =2b．．解：原式－＋－－－＋＋＋－－a b a b b a b ()2526=(3)(3)(3)=[(3200020002．－．解：原式＋－－222＋－－－222)(3)](3)=526200023=(6)=62．－．解：原式－＋－－＋62552552()－－262=4a 0b 0=a ．．解：由已知式知道＞，＞，原式××167783441838a b b b aab ==-a bba b 78187781．1x 1=(x ) (x ) x 1=(x )(x )=13231313．解：∵－－＋＋，∵＋＋－＋，原式11111313x x x 1x x 1x x x =x x (x 1)=x 13231313231323131313－＋－＋－－－－＋－．()112a =(21)=(a a )(a a )3]=(a a 131121．解：∵－，原式－［－＋－---)(a 1a )=a a =21(21)=221331＋＋－－－－－．---3=(a )(a 1)=a a 1x 2x 2x 2x．解：原式＋－＋＋＋－，把已知a a a a x x x x----2a =212212x －代入，结果为－．4．解：∵＋＋－－，－－＋－()()a b a b a b a b a b a ba b a b 121211212111--====原式化简－－×－．==3aba=3227232指数·提升训练(一)选择题1．下面四个式子中正确的是[ ]2．a ∈R ，下列各式中正确的是[ ]3．计算(－2)101＋(－2)100所得的结果是[ ]A ．2100B ．－1C ．(－2)100D ．－2100[ ][ ](二)填空题5=3x x =7x x=47)122．解：∵＋，∴＋，＋，＋＋x xx x x 1212323212122-----=((x )=18=2050=1--＋，原式．x 125A a 1B C a R D |a|0．＝．＝．当∈时＝．＝()()||--33263a a a nnnnnn A B (a)aC aD (a )(a )2(n m)43342．＝．＝．＝．＝a aa n mnn2552-()4m n 0．如果＞＞，则＝m n n mn mn m A (m n)B (m n)C (m n )D (m n)n mm nn mm n．－．－．．--5a 3a a 12．已知＋＝，则＋＝112a-A 5BCD ．．．－．±555(三)解答题参考答案(一)选择题1．(D)．解：(A)中，当a=0时，a °没有意义．(B)中的等式左边为正数，而右边为负数，∴等式不成立．(C)中当n 为大于1的偶数且a 为负数时，等式右边无意义，因此等式不成立．(D)成立．数运算也是错的，∴(B)错．(C)中，当a ＜0时，n 为大于1的偶数时，3．(D)．解原式=(－2)×(－2)100＋(－2)100=(－2＋1)×(－2)100=－(－2)10012(3)(3)20002002．化简－＝．．＋－＝．a b a b a b a b 222222---+34．化简＋＝．．化简＝．112307210233--a bb aa b 12a (21)(a a )3(a a )3a 111312x．化简：．设＝－，求－＋－的值．．若＝－，求的值．x x x x x x xx a a a a x xx x-+++++---++----11111223131313133334a 112b 1312P 5x 3x x 1212121212121212121232322．设＝，＝，计算＝的值．．若＝，求的值．()()()()a b a b a b a b x x x +--++-+++++-------11112232(D)(A)a 0a 0．．解：中，当≥时，而不是，运算错，当＜a a a 252552=时，无意义，∴错．中，当时，无意义，若＞时，指a a nm 52(A)(B)a =0a 0-a n没有意义，∴错，成立．(C)(D)4(C)=m n n m=m n =m n =(mn )n m n m n m m n n m (n m)n m ．．解：原式．------(二)填空题(三)解答题5(B)(a a)=a a 2=5a a=5122112．．解：＋＋＋．∴＋．---121212b =(a b)(a b)(a b)(a b)=a =2b．．解：原式－＋－－－＋＋＋－－a b a b b a b ()2526=(3)(3)(3)=[(3200020002．－．解：原式＋－－222＋－－－222)(3)](3)=526200023=(6)=62．－．解：原式－＋－－＋62552552()－－262=4a 0b 0=a ．．解：由已知式知道＞，＞，原式××167783441838a b b b aab ==-a bba b 78187781．1x 1=(x ) (x ) x 1=(x )(x )=13231313．解：∵－－＋＋，∵＋＋－＋，原式11111313x x x 1x x 1x x x =x x (x 1)=x 13231313231323131313－＋－＋－－－－＋－．()112a =(21)=(a a )(a a )3]=(a a 131121．解：∵－，原式－［－＋－---)(a 1a )=a a =21(21)=221331＋＋－－－－－．---3=(a )(a 1)=a a 1x 2x 2x 2x ．解：原式＋－＋＋＋－，把已知a a a a x x x x----2a =212212x －代入，结果为－．4．解：∵＋＋－－，－－＋－()()a b a b a b a b a b a ba ba b 121211212111--====原式化简－－×－．==3aba=32272325=3x x =7x x =47)122．解：∵＋，∴＋，＋，＋＋x xx x x 1212323212122-----=((x )=18=2050=1--＋，原式．x 125指、对数及其函数提升训练姓名 学号一、选择题1．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a9D ．613121a a a =÷2．下列命题中，正确命题的个数为 （ ）①n n a =a ②若a ∈R ，则（a 2－a+1）0=1 ③y x y x +=+34334 ④623)5(5-=-A ．0B ．1C ．2D ．33．若a 2x=2－1，则xx x x a a a a --++33等于 （ ）A ．22－1B ．2－22C ．22+1D ．2+14．已知031log 31log >>b a ，则a 、b 的关系是 （ ）A ．1＜b ＜aB ．1＜a ＜bC ．0＜a ＜b ＜1D ．0＜b ＜a ＜15．若log a b ·log 3a=5，则b 等于 （ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．536．已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．37．下列说法中，正确的是 （ ） ①任取x ∈R 都有3x>2x②当a>1时，任取x ∈R 都有a x>a －x③()xy -=3是增函数④y=2|x|的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y 轴 A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤8．函数y=)12(log 21-x 的定义域为 （ ）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（ 21，1] D ．（－∞，1） 9.若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤110、函数y=lg （x+12－1）的图象关于 （ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y=x 对称二、填空题11、若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x 。
2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22xy -=B．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D4．已知a ＝512，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．18.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109310.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）16．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101xf x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101xg x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）22.（本小题满分12分）已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x【答案】D 【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22x y -=B ．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=【答案】A 【解析】A ，y ＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y (－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y [0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为11x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝113x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D【答案】B 【解析】由2log 3x =知328x ==，所以()1131331222x---===，故选B ．4．已知a＝12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n【答案】D 【解析】∵0＜512-＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ），∴m ＜n ，故选D ．5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【答案】D 【解析】作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时，则实数k 的取值范围是(0,1]故选D6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B 【解析】因为函数x y a =的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x y a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故11m -<-，0m <，故选：B ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．1【答案】A 【解析】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4y x=交点P 的横坐标；又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；因为函数x y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，又4y x=的图像关于直线y x =对称，因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y .故选：A8.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】：：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <，因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，综上所述：a b c <<.故选：A ．9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．10.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ．12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】D 【解析】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.【答案】1+-m n m【解析】因为31log 10=n，所以11lg 3=n ，得到lg3n =.5lg 6lg 2lg 3log 6lg 5lg10lg 21++===--m nm .故答案为：1+-m n m14．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.【答案】2【解析】设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫++=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为215.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n<，由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.16．若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(](],10,1-∞- 【解析】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-；②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤；③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞- .故答案为：(](],10,1-∞- .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．【解析】解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x 和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为[2,16]，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】（1）因为函数()2xf x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤，所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【解析】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .（2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <，∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101x f x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101x g x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）定义域为()0,x ∈+∞.值域为R .（Ⅱ）0t ≥【解析】（Ⅰ）∵1010x ->，∴01010x >，∴()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.又∵1010x ->，∴()f x 的值域为R .（Ⅱ）()()()()()lg lg 1101l 0101g 1x x xg x f x =-+=--+1012lg lg 1101101x x x ⎛⎫-⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∵100x >，∴1011x +>，∴202101x <<+，∴220101x -<-<+，∴2011101x <-<+，∴2lg 10101x ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，∴()g x 的值域为(),0-∞.∵关于x 的不等式()g x t <恒成立，∴0t ≥.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年.【解析】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年22.（本小题满分12分）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．【答案】（1）20；（2）见答案（3）1008【解析】（1）函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴220a a +=，得4a =或5a =-（舍去）．（2）由（1）知4()42xx f x =+，∴1144444()(1)442424224x x xx x x x x f x f x --+-=+=+++++2044421422444242x x x x x x =+=+=+⋅+++．（3）由（2）知12016(()120172017f f +=，22015()(120172017f f +=， ，10081009()(120172017f f +=，∴123201612016(()(([()(201720172017201720172017f f f f f f ++++=+ 2201510081009[(()][(()]11110082017201720172017f f f f +++++=+++=。
