用函数模型解决实际问题_教学课件

函数应用
设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011 年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面 积y与x的函数关系式是( )
x
A．y＝0.9550·m
x
B．y＝(1－0.0550)·m C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m
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【解析】设每年的冰雪覆盖面积减少率为 a. ∵50 年内覆盖面积减少了 5%，
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变式训练
3.
年份
2008 2009 2010 2011
x(年份－2008) 0
1
2
3
生产总值y 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398
画出散点图，写出一个 近似函数关系式．
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解：画出散点图如图所示，从图形可以看出， 四个点近似地落在一条直线上，设所求函数为 y＝kx＋b，选择两点(0,8.2067)和(3,10.2398) 代入， 列方程组8.2067＝0×k＋b，
1
∴(1－a)50＝1－5%，解得 a＝1－0.9550.
∴从 2011 年起，经过 x 年后，冰雪覆盖面积
1
x
y＝m[1－(1－0.9550)]x＝m·0.9550.
【答案】 A
【名师点睛】 本题用指数型函数来揭示了
冰雪面积与年限的函数关系．
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变式训练
1．已知某类学习任务的掌握程度 y 与学习时
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题型三 函数模型的拟合
例3 (本题满分12分)为了估计山上积雪融 化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个 观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面 积y，现有连续10年的实测资料，如下表所 示.
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年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
10.2398＝3k＋b. 解得 b＝8.2067，k＝0.6777， 因此，所求近似函数关系式为 y＝0.6777x＋ 8.2067.
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备选例题
1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时 间的关系如图： (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积 的实际意义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为2012 km，试将汽车行驶这段 路程时汽车里程表读数s表示为时间t的函数.
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制 作 200 把 椅 子 所 需 时 间 为 函 数 Q(x) ＝ 200
1030－x ＝302－0 x(0≤x≤30，且 x∈N＋)， 完成全部任务所需时间为 y(x)＝max{P(x)， Q(x)}． 当 P(x)＝Q(x)时，用时最少，即 y(x)取得最小 值． 由170x0＝302－0 x，解得 x＝12.5.
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新知初探·思维启动
1．实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联 系，许多联系可以用函数刻画，用__函__数__的 观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
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做一做 1.一辆匀速行驶的火车90min行驶了180 km, 则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间 的函数关系式为( ) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 答案：D
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(2)当x>10时，y－z＝－16x<0，即y<z. 所以公司员工少于6人时，到乙商场购买合 算；恰为6人时，到甲、乙两商场一样；超 过6人时，到甲商场购买合算． 【名师点评】 充分理解题意，列出函数关 系式，然后分类加以比较，最后下结论．
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变式训练 2．某旅游公司有客房300间，每间日房租为 20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提 高租金，如果每间客房增加2元，客房出租 就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将 房间租金提高多少时，每天客房的租金总收 入最高？
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因为 x∈N＋，比较 y(12)与 y(13)，
P(12)
＝
100 7×12
≈1.19
，
Q(12)
＝
200 1030－12
≈1.11，
所以 y(12)＝1.19.
P(13)
＝
100 7×13
≈1.10
，
Q(13)
＝
200 1030－13
≈1.18，
所以 y(13)＝1.18.
因为 y(12)>y(13)，所以用 13 名工人制作课桌，
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可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合
程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪
深度与灌溉面积的关系.
9分
(3)由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当
积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公
顷.
12分
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名师微博 以积雪深度为横坐标，以灌溉面积为纵坐标 描点. 【思维总结】 对于此类实际应用问题，关 键是建立适当的函数关系式，再解决数学问 题，最后验证并结合问题的实际意义作出回 答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解 题．
【解】 (1)描点作图如下：
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4分 (2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条 直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最 大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
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取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， 代入y＝a＋bx，得 21.1＝a＋10.4b，
45.8＝a＋24.0b， 用计算器可算得 a≈2.4，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型 y＝2.4＋1.8x， 作出函数图像如图②，
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【解】 设共买单放机 x(台)，在甲、乙商场 购买这些单放机分别需 y(元)、z(元)． 则 y＝4800x－，4xx∈x，10x，∈＋[1∞，1且0]x且为x整为数整，数， z ＝56x(x≥1，且 x 为整数)． (1)当 1≤x≤10 时，y－z＝4x(6－x)．所以当 1≤x≤6 时，y>z；当 x＝6 时，y＝z；当 6<x≤10 时，y<z.
选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析:选D.根据利润增长趋势,符合对数型函数.
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典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 指数函数型应用题
例1 2011年11月28日，世界气候大会在南 非德班开幕，报道了“全球变暖使北冰洋冬 季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%”, 如果按此速度，
解：(1)阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＝220. 阴影部分的面积表示汽车在 3 小时内行驶的路程为 220 km. (2)根据图示，有 s＝
50 t＋20120≤t<1 80t－1＋20621≤t<2 . 90t－2＋21422≤t≤3
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2．学校请了30名木工制作200把椅子和100 张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子 所用工时数之比为10∶7，则这30名工人应 当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能 最快完成全部任务？ 解：完成全部任务的时间，就是两组中需要 时间较多的那组所用的时间，因此要想最快 完成任务,两组所用的时间之差为零或最小.
间 t( 单 位 时 间 ) 之 间 的 关 系 为 y ＝ f(t) ＝
1 1＋a×2－bt
·100%
，
我
们
称
这
一
函
数
关
系
为
“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项任
务有如下两组数据：
t＝4，y＝50%；t＝8，y＝80%. 试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系
式 f(t)．
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解：由题意得
1＋a1·2－4b·100%＝50%， 1＋a1·2－8b·100%＝80%
a·2－4b＝1， ⇒a·2－8b＝14，
解得：a＝4，b＝0.5.
所以“学习曲线”的关系式为
f(t)＝1＋4×1 2－0.5t·100%.
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题型二 分段函数模型应用题
例2 有一批单放机原价为每台80元，甲、 乙两个商场均有销售，甲商场的优惠办法是: 买1台每台少收4元，买2台每台少收8元，买 3台每台少收12元，…，以此类推，直到减 到半价为止；乙商场的优惠办法是：一律按 原价的70%销售．某公司要为每位员工买1 台单放机，问到哪个商场购买比较合算？
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实际问题的函数建模
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学习目标
学习导航
生活 实例
―了―解→
数学建模过程，感受函 数与现实世界的联系
―理―解→
函数建模 的思想
―掌―握→
构造函数模型来 解决实际问题
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重点难点 重点：将实际问题抽象为数学问题，并利用 函数模型解决． 难点：选择合适的函数模型，并正确地运用 函数性质解决问题．
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
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(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化 的图像； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数 模型y＝f(x)，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪 深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ 【思路点拨】 首先根据表中数据作出散点 图，然后通过观察图像判断问题所适用的函 数模型．
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解：设客房租金每间提高2x元时，客房租金 总收入为y元，由题意得y＝(20＋2x)(300－ 10x) ＝－20x2＋400x＋6000 ＝－20(x－10)2＋8000(0 ≤x<150，x∈N)， 则当x＝10时，y有最大值为8000， 即将客房租金提高到20＋2×10＝40(元/间) 时，每天客房租金总收入最高为8000元．
17 名工人制作椅子能最快完成任务．
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方法Baidu Nhomakorabea悟
方法技巧 1．函数应用题的解题步骤是： ①仔细阅读，审清题意； ②引进数学符号，建立数学模型； ③利用数学的方法将得到的常规函数问题( 即数学模型)予以解答，求得结果； ④再将所得结论转译成具体问题的解答．
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2．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或 曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实 际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不 漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实 际应用中，这种情况一般不会发生．因此， 使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,
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2．用函数建模解决实际问题 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过 程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的 过程．
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做一做 2.某公司为了适应市场需求对产品结
构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,
后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型
来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可
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设x名工人制作课桌，(30－x)名工人制作椅 子． 因为一个工人制作一张课桌所用时间与制作 一把椅子所用时间之比为10∶7，所以一个 工人制作7张桌子和制作10把椅子所用的时 间相等， 不妨设这个时间为 1 个单位时间，则制作 100 张课桌所需时间为函数 P(x)＝170x0(0≤x≤30， 且 x∈N＋)，
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使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟 合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合 曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进 行预测和控制，为决策和管理提供依据．
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失误防范 建立函数模型求解问题时，要考虑全面，既 要考虑函数的性质，又要考虑实际问题的现 实意义，即函数的定义域．