三角形网格下二维浅水方程的 高分辨率格式

二维浅水波方程
二维浅水波方程（2D shallow water wave equation）是描述水波在水平平面上传播和演化的方程。

其数学表达形式为：
∂h/∂t + ∂(hu)/∂x + ∂(hv)/∂y = 0，
∂(hu)/∂t + ∂(hu^2)/∂x + ∂(huv)/∂y + gh(∂h/∂x) + fhv = 0，
∂(hv)/∂t + ∂(huv)/∂x + ∂(hv^2)/∂y + gh(∂h/∂y) + fhu = 0。

其中，h是水深，u和v分别是水平和垂直方向的水速，t是时间，x和y是水平和垂直方向的空间坐标，g是重力加速度，f是科氏力参数（因地球自转而引起的离心力）。

这个方程组描述了水深变化、水平和垂直速度的变化以及重力和离心力对水波运动的影响。

这些方程在海洋动力学和水工学等领域中被广泛应用，用来模拟洋流、风浪和海啸等现象。

松虎航道整治工程水流数学模型的建立与应用简秋敏;刘轶;李子龙;邹振华;肖潇【摘要】为研究松虎航道整治工程对河道水位、流场等水流条件的影响，基于浅水方程，利用有限体积法进行离散，采用非结构三角形网格，建立了二维水流数学模型。

根据实测的水文和地形资料，对模型进行水面线和流速相关验证。

验证结果表明，所建立的模型能够较好反映松虎航道水流运动规律。

同时，计算分析的流速分布等水流特性也可证明松虎航道整治工程治理措施的有效性。

【期刊名称】《水利水电快报》【年(卷),期】2016(037)007【总页数】6页(P27-31,43)【关键词】航道整治;水面线;流速;数学模型;模型验证;松虎航道【作者】简秋敏;刘轶;李子龙;邹振华;肖潇【作者单位】长江水利委员会水文局长江中游水文水资源勘测局，湖北武汉430012;杭州市千岛湖原水股份有限公司，浙江杭州 311799;长江水利委员会水文局长江中游水文水资源勘测局，湖北武汉 430012;长江水利委员会水文局长江中游水文水资源勘测局，湖北武汉 430012;长江水利委员会水文局长江中游水文水资源勘测局，湖北武汉 430012【正文语种】中文【中图分类】U617.6河道演变松虎航道是松滋河东支与虎渡河汇合后的合称，是洞庭湖区重要的水运通道之一。

松虎航道始于新开口经小河口于肖家湾汇入澧水洪道，承接部分长江洪水进入洞庭湖，其分流与调蓄作用对长江中游地区防洪起着十分重要的作用。

但是，松虎航道地形复杂，河道形态变化多样，浅滩、分汊河段交错，为了能使松虎航道等级提升到1 000 t级航道标准，应保持航道路线及航槽的位置不变。

因分汊河段的通航汊道稳定，整治工程主要利用疏浚和切滩对航道进行扩建。

本文针对该工程情况，利用二维水流数学模型[1-5]进行模拟研究，探索整治工程的合理性。

河段位置示意见图1。

1.1 基本控制方程采用基于水深平均的平面二维数学模型来描述水流运动，直角坐标系下水流运动的控制方程如下。

大连理工大学硕士学位论文浅水间断流动数值模拟及其在溃坝水流问题中的应用姓名:刘刚申请学位级别:硕士专业:水力学及河流动力学指导教师:金生20090625大连理工大学硕士学位论文摘要现代浅水流动数值模拟的一个主要方向是利用齐次浅水方程和方程在数学形式上的相似性,借用计算气体动力学的高性能算法,并结合浅水流动的特殊性建立适合与模拟溃坝、涌潮等有间断或弱间断纯在的流动数值模拟。

本文在前人研究的基础上,采用高性能格式有限体积方法,建立了一套基于非结构化网格三角形的二维浅水流动数值模拟。

在模型的空间离散过程中,本文应用迎风有限体积方法,建立了二维带源项浅水的高精度、高分辨率非结构化网格模型,并成功应用于复杂地形下间断流和溃坝波的数值模拟。

采用非结构化网格技术,以格式的近似解为基础,建立了二维带源项浅水方程的通量平衡求解格式。

提出了特征分解和迎风处理源项的方法,平衡了非平底时界面通量,保证了非平底坡浅水方程计算的和谐性、增加了格式的稳定性。

方程中通量梯度项与源项的平衡,使模型可以适合复杂地形下浅水流动问题和间断问题的求解,并最终建立了和谐的.格式的有限体积模型。

动边界是浅水模拟中一个关键性难题。

本文提出了一种处理带有干湿界面的非恒定浅水流动的无质量误差方法。

采用适当的干湿界面处理技术以满足静水问题,同时对有干湿界面的复杂地形的非恒定流达到无质量误差。

将本文建立的非结构网格迎风格式的有限体积模型对间断水流中一些经典的或有解析解的算例,比如问题、二维局部溃坝问题、倾斜水跃问题、二维非平底溃坝问题以及有激波混合流问题等,进行数值模拟。

所有计算结果符合其物理意义,与解析解吻合较好,在间断附近陡峭,不含非物理的伪振荡,验证了本文模型的正确性与适用性。

模型也成功应用于实际水流、溃坝的数值模拟中,验证了该格式具有相容性好、物理意义更为清晰,编程易于实现等优点。

所有研究成果表明,本文建立的数学模型具有较好的水流模拟性能,具有广泛的应用前景。

二维浅水方程
二维浅水方程是一类描述水波传播的偏微分方程，也可用于模拟洪水、海啸等自然灾害。

该方程的基本形式为：
$$begin{aligned}
frac{partial h}{partial t}+
abla cdot left(hboldsymbol{u}right)=0,
frac{partial boldsymbol{u}}{partial t}+boldsymbol{u}cdot abla boldsymbol{u}+g
abla h=0,
end{aligned}$$
其中$h$为水深，$boldsymbol{u}$为水平速度，$g$为重力加速度。

这两个方程可以看作是质量守恒和动量守恒的表述，描述了水体在流动过程中的行为。

二维浅水方程的求解是一个复杂的数值计算问题，需要运用数值方法和计算机模拟技术。

常用的求解方法包括有限差分法、有限体积法、有限元法等。

这些方法都需要根据具体问题的特点来选取适当的离散格式，以保证数值解的精度和稳定性。

二维浅水方程在自然灾害预测、海洋工程、水资源管理等领域有广泛的应用。

许多研究者也在不断地改进和完善求解方法，以适应更加复杂的实际问题。

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基于无结构化网格浅水方程的隐式解法唐岳灏【摘要】In order to improve the numerical stability of shallow water equation calculated by Finite Volume Method, by emplo-ying Roe's approximate Riemann solution to calculate the interface flux and TVD-MUSCL Format to reconstruct the conservation variable, a high efficient implicit computation scheme is derived. On the basis of the unstructured grids, this format improves the computation accuracy to grade 2. It computes the velocity gradient by the area weight and satisfies the stationary hydraulic pres-sure equilibrium by handling the bed slope term. In order to use the implicit scheme for the time integration, the full resolution form of Jacobian matrix is analytically derived, which was solved by Newton-Raphson algorithm iteratively. By the comparison with various numerical studies on dam-breaking cases, this computation method is proved to be stable, compatible and efficient with the capability of accurately capturing the shock wave in dam-breaking problems.%为提高有限体积法计算浅水方程的数值稳定性，采用Roe方法近似Riemann解计算界面通量，利用TVD-MUSCL格式对守恒变量进行重构，推导并建立了高效的隐式计算格式。

基于Roe格式黎曼近似解的二维FVM模型汪梅华;张铭;柳杨;乌景秀【摘要】提出一种基于黎曼近似解Godunov格式的二维FVM模型求解口门区二维通航水力特性,并采用Roe格式计算界面通量.采用水面坡度代表源项中压力项的作用,有利于复杂地形条件计算的稳定性;通过对斜底单元干湿特性的合理划分,确保计算单元的水量和动量平衡及数值计算精度.利用该模型计算分析了衢江梯级塔底枢纽上下游口门区及引航段发电及泄洪条件下的通航水力特性,结果表明Roe格式的有限体积方法计算复杂地形条件下的水流流场稳定性好、计算精度高,为合理制定衢江梯级枢纽调度规则提供数据支持.【期刊名称】《水利水运工程学报》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】8页(P27-34)【关键词】山溪型航道;有限体积法;Roe格式;二维水力计算模型【作者】汪梅华;张铭;柳杨;乌景秀【作者单位】衢州市港航管理局,浙江衢州324002;南京水利科学研究院,江苏南京210029;南京水利科学研究院,江苏南京210029;南京水利科学研究院,江苏南京210029【正文语种】中文【中图分类】TV135.4金沙江、乌江、西江、衢江等为我国重要通航水运要道，一大批通航枢纽已陆续建成并投入运行[1-3]。

西部航道具有显著的山溪型航道特征，河道地形复杂，水力特性敏感，电站调峰或大坝泄洪对航运的影响十分突出，枢纽瞬时下泄流量的快速改变恶化枢纽附近口门区、上下游引航道、连接段及下游航道通航水力学条件[4-6]，对枢纽下游航运带来安全隐患。

本文提出一种基于黎曼近似解Godunov格式的二维FVM模型求解口门区二维通航水力特性，并采用Roe格式计算界面通量。

该模型源项中采用水面坡度代表压力项的作用，避免了对底坡项的复杂处理，有利于复杂地形条件下计算的稳定性；通过对斜底单元干湿特性的合理划分，实现水位和水深合理转换；基于物理通量严格守恒，确保计算单元的水量和动量平衡及数值计算精度[9-11]。

1.浅水方程推导将三维的基本方程沿水深积分平均，即可得到沿水深 平均的平面二维流动基本方程。

定义水深为H=c-z 。

,歹、乙）为基准面下液面水位和 河床高程定义沿水深平均流速匕为：5=丄『^>H "o引用莱布尼兹公式却:狞烽小屠几签 自由表面及底部运动学条件=空=冬+叱;|< dt dt dx=互二血+西匚 dtdt dx x &以X 方向为例三维流动的运动方程沿水深平均为X —+ h 仏 cy <<+运T1r v n cy <=类似，可以得到代如竹6HU x Uy祐—一L z - 一鬲一_§你比j d2u v d2U~d （-- 、 d ,---- 、d （-- 、1 dp ^d2u x-・・、. v 叫、丿n八施W"）坛曲”别沁“万乔5龙+肩+廿）比" 非恒定项积分£敎冷帥-知0HU x朗一=——一—你dt dt对流项积分首先将时均流速分解为兀=式中s为垂线平均流速，A坷为时均流速匚与垂线平均流速S的差值。

+聪匚dx x xu x u s dz, = P (t/v + Aw v)(t/v + Aw v)dz=[(S匕+ △匚瓯+ 2U庖⑷J®二叫S+J* 4：^x dz = P xx HUp x「Aw v Aw v tZz式中，久i+皂― ，是由于流速沿垂线分布不均匀而引入的HU X U X修正系数，类似于水力学中的动量修正系数，其数值一般在1.02-1.05,可以近似取1.0,因此^du x u x^_dHU x U x & Jdz = ------ -^-u.u rdx dx dx x xL如—=c^~dy UxUy上几式相加，并利用底部及自由表面运动学条件可得§ ___ 6 ______ e +去U 叫）+咅他竹）+王（叫M z ）战 dHU v dHUU v dHU x U xdtdx压力项积分将万二Qg （孑-Z ）代入上式后化简得:=PgH g + pgH J = pgH 二ox oxex扩散项积分M （勢+襄+襄）心气（学+摯比 dr 0）厂 dz ：汰勿-H上式右边后两项分别为由底部创而阻力和表而风阻力引起的阻力项。