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《数学物理方法》课程教学大纲（72 学时）（理论课程）一课程说明（一）课程概况课程中文名称：《数学物理方法》课程英文名称：Mathematics physics method课程编码：3910252114开课学院：理学院适用专业/开课学期：物理学/第 4 学期学分/周学时：4 学分/周4 学时《数学物理方法》是物理学本科专业的必修专业主干课，通过该课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，培养学生用数学方法和物理规律解决各类物理实际问题的能力，为后续课程的学习打下良好的基础。
本课程是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理学专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
（二）课程目标通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。
要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。
了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。
（三）学时分配二教学方法和手段1.本课程课堂讲授约需 72 课时。
2.学生在学习过程中应注重各专题所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。
3.在学习过程中，应以推荐教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
第二篇 数学物理方程第七章数学物理定解问题在科学技术和生产实际中常常要求研究某个物理量(电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂质浓度)在空间的某个区域的分布情况，以及它们怎样随着时间而变化。
这些问题中的自变数不仅有时间，而且还有空间坐标。
如波动微分方程222221t yu x y ∂∂=∂∂静电势的微分方程(Poisson 方程) 22222222,zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇-=∇其中ερϕ由Maxwell 方程组导出的平面电磁波波动微分方程222222200221,......t B u x B t E x E zz y y ∂∂=∂∂∂∂=∂∂εμ描述微观粒子运动规律的Schrödinger 方程()ϕϕϕr U mt i +∇-=∂∂222 弄清楚物理量在空间的分布规律和在时间中的变化规律，就是物理课程中的物理规律，它是解决物理问题的依据。
物理规律反映的是同一类物理现象的共同规律，即普遍性或共性。
解决具体问题时，还要考虑物理问题的个性。
要考虑所研究区域的边界条件(‘环境’)和初始条件(‘历史’)。
边界条件和初始条件在数学上合称为定解条件。
物理规律用数学的语言‘翻译’出来，就是物理量u 在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u 在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程。
数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。
数学上叫泛定方程。
在给定的定解条件下求解数学物理方程，就叫做数学物理定解问题或简称为定解问题。
§7.1 数学物理方程的导出(一) 均匀弦的微小横振动有一根完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一平面上振动。
取弦的平衡位置为x 轴，且令端点坐标为x=0与x=l 。
设u(x,t)是坐标为x 的弦上一点在t 时刻的(横向)位移。
在弦上隔离出长为dx 的一小段(弦元)。
弦元足够小，可以把它看成是质点。
![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter22](https://img.taocdn.com/s1/m/abb24fad31126edb6e1a105c.png)
一、课程名称《数学物理方法》二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握数学物理方法的基本概念、基本原理和基本方法，提高学生运用数学工具解决物理问题的能力。
2. 过程与方法：通过实例分析和课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学物理方法的兴趣，培养学生严谨求实的科学态度和团队合作精神。
三、教学内容1. 课程概述（1）数学物理方法的基本概念（2）数学物理方法的发展历程（3）数学物理方法的应用领域2. 常微分方程（1）常微分方程的基本概念（2）常微分方程的解法（3）常微分方程的应用3. 偏微分方程（1）偏微分方程的基本概念（2）偏微分方程的解法（3）偏微分方程的应用4. 变分法（1）变分法的基本概念（2）变分法的应用5. 线性代数（1）线性代数的基本概念（2）线性代数在物理中的应用6. 复变函数（1）复变函数的基本概念（2）复变函数在物理中的应用四、教学过程1. 导入新课（1）回顾所学知识，激发学生学习兴趣。
（2）提出问题，引导学生思考。
2. 讲授新课（1）讲解数学物理方法的基本概念、基本原理和基本方法。
（2）结合实例，讲解数学物理方法的应用。
3. 课堂讨论（1）分组讨论，解决实际问题。
（2）分享讨论成果，互相学习。
4. 练习与巩固（1）布置课后作业，巩固所学知识。
（2）检查作业完成情况，解答学生疑问。
5. 总结与反思（1）总结本节课所学内容。
（2）反思学习过程，提出改进措施。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性等。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 考试成绩：通过考试评估学生对数学物理方法的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数学物理方法》2. 辅助教材：《高等数学》、《线性代数》等3. 教学课件4. 在线资源：相关网站、学术论文等注：本教案模板仅供参考，具体教学内容和教学方法可根据实际情况进行调整。
第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数：()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w，级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么，∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。
这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。
2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数ε，必有N 存在，使得n>N时，,1ε<∑++=pn n k kw其中，p 为任意正整数。
3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。
◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。
4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。
2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B (或l )上收敛。
3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是，在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε，必有()εN 存在，使得()εN n >时，(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。
第八章 分离变数(傅里叶级数)法§8.1 齐次方程的分离变数法(二) 例题例1 关于第二类齐次边界条件的问题 p185()()()()()()19.1.8....0............18.1.8........ (00)17.1.8..........00002l x x u x u u u u a u t t t lx xx x xx tt <<=====-====ψϕ第一步：分离变量()()()()20.1.8...............,t T x X t x u =()()()()()()22.1.8,......0,.....0021.1.8................02='='=''-''t T l X t T X T X a T X()()()23.1.8,......0,.....00='='l X X()λ-=''=''''=''XX T a T X X T a T XT a 22221.1.8得两边同除以()()()()()25.1.8.................0;23.1.8,......0,.....0024.1.8....,.........02=+''='='=+''T a T l X X X X λλ 构成本征值问题 第二步：求解本征值问题(8.1.23)和(8.1.24)()()()()()的解是方程于是得根据无意义。
得出24.1.8,0,023.1.8,,0,0,00000>==+==≡<λλλC x X D x D C x X x X ()x C x C x X λλsin cos 21+=()确定，即由积分常数23.1.8,21C C()cos sin 0212=+-=l C l C C λλλλ()，即于是无意义。
《数学物理方法》电子教案
李高翔吴少平
第一篇复变函数论
第一章复变函数和解析函数
思考：复变函数和实变函数的区别和联系。
实变函数：实变量的函数。
例：x,y—实变量；f(x,y) —实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。
实数→实变量→实变函数
复数→复变量→复变函数
§1.1 复数 （复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数
在实数范围内：方程
当
时，没有实根。
→扩大数域，引进复数
02
=++c bx ax 042
<−=Δac b
设1Z =11x +iy 2Z 22=（x +iy ）,
则：以下的交换律、结合律、分配律成立
1221Z Z Z Z +=+ (加法交换律)
1221Z Z Z Z = (乘法交换律)
123123()()Z Z Z Z Z Z ++=++ (加法结合律)
123123()()Z Z Z Z Z Z = (乘法结合律)
1231323()Z Z Z Z Z Z Z +=+ (分配律)
§ 1.2 复变函数
复数 → 复变量 → 复变函数
一、复变函数的定义
定义:设E 为一复数集，如果E 上每一个复数z 有唯一确定的w 与之对应,则称在E 上确定了一个单值函数。
记为：w=f(z)w :z 的函数；z :w 的自变量(或宗量)
)
(E z ∈
如果对于自变量Z，对应着两个和两个以上的w，则称在E上确定了一个多值函数。
因为z=x+i y，所以复数的实部和虚部应是x,y的函数。
即
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。
→实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。
1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足|z-a|<ε的点的集合。
点a的无心邻域：0<|z-a|<ε（不包含a点）2．内点：若某点的ε邻域中所有的点属于D，则该点称为D的内点。
3．边界点：若某点不属于D，但其ε邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。
4．外点：若某点不属于D，且其ε邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。
单连通区域和复连通区域 (1)边界由一条闭合曲线L 组成； (2)边界由两条不相连接的闭合曲线 和 组成； (3)边界由三条不相连接的闭合曲线 ， 和 组成。
定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目n。
n=1：单连通区域 n>1：复连通区域 区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。
连续变形：变形时不能通过不属于D 的区域。
降低连通阶数的方法：
做割线将两条边界线连接起来。
用处：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。
1L 2L 3L 1L 2L
三、复变函数的几何意义——由z平面到w平面的映射单值实变量函数y=f（x），可表示为平面上的一条曲线。
单值复变量函数：自变量z=x+iy，复变函数w=f（z）=u+iv
四个实变量：x,y,u,v不能用二维、三维空间中的几何图形表示z，f（z）
办法：可用z平面上的点（x,y）表示自变量z的值，而用另一个w平面上的点（u,v）表示复变函数w=f（z）
=u+iv的值。
对应关系f（z）：从z平面到w平面的一个映射——复变函
数的几何意义
四、初等复变函数（类型，性质）
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数
初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项复合而得到
实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性,有限性, …
对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心：
实变函数的公式能否推广？
新的性质？
补充：全微分、高阶全微分
一元函数y=f(x)，y关于x微分的特性：
1.它与自变量的改变成正比；
2.当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量更高阶的无穷小。
定理：若 及 在点(x ,y )及某一邻域内存在，且在这
一点它们都连续，则函数u =f (x ,y )在该点可微。
),('y x f x ),('y x f y 证明：已设 存在，当 充分小时，应用中值定理： 在点(x ,y )连续)],(),([)],(),([),(),(y x f y x x f y x x f y y x x f y x f y y x x f u −Δ++Δ+−Δ+Δ+=−Δ+Δ+=Δ'',y x f f y x ΔΔ,)1),(0(),(),(212'1'<<ΔΔ++ΔΔ+Δ+=Δθθθθx y x x f y y y x x f u x y '',y x f f ⇒
β
θα
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