高考试题汇编---定积分与微积分微积分定理

考点15 定积分与微积分基本定理1．由曲线围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】封闭图形的面积为.选A.2．如图所示，平面直角坐标系中，阴影部分是由抛物线及线段围成的封闭图形，现在在内随机的取一点，则点恰好落在阴影内的概率为A． B． C． D．【答案】D3．用表示，b两个数中的最大数，设，那么山函数的图象与X 轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．【答案】A4．等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵（x+sinx）′=1+cosx，∴．故选：D．5．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为.则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：.6．一物体在变力F(x)=5-（F的单位：N,x的单位：m）的作用下，沿与力F成30°的方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时力F(x)所做的功为（）A． B． C． D．【答案】D7．如图所示，在椭圆内任取一个点，则恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求椭圆面积的，由知，，而表示与围成的面积，即圆面积的概率，故选：A．8．设＝，则的展开式中常数项是（）A． 160 B．－160 C．－20 D． 20【答案】B9．设，则等于（）A． B． C． 1 D．【答案】D【解析】由题故选：D．10．设，则二项式展开式的常数项是（）A． 160 B． 20 C． -20 D． -160【答案】A11．已知实数满足不等式组其中则的最大值是A． B． 5 C． 20 D． 25【答案】D【解析】，画出表示的可行域如图，表示的可行域内的点到原点距离的平方，由图可知，点到原点距离最大，由，得，的最大值为，故选D.12．已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B13．设，则等于( )A． B． C． D． 0【答案】C【解析】,故选C. 14．曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A15．如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是A ．B ．C ． 2D ． 【答案】D16．＝________．【答案】【解析】根据题意得 =.故答案为：.17．设，则=____________.【答案】【解析】. 18．由函数及轴围成的封闭图形的面积是________.【答案】19．若，则的展开式中常数项为______________．【答案】240【解析】展开式的通项公式为令，即.的展开式中，常数项是故答案为240.20．由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：.21．____________．【答案】22．设，则二项式的展开式中含项的系数为______．【答案】192【解析】的通项公式为令，故含项的系数为故答案为.23．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为_______．【答案】24．已知函数f（x）=sin cos+cos2+m的图象过点（，0）．（1）求实数m值以及函数f（x）的单调递减区间；（2）设y=f（x）的图象与x轴、y轴及直线x=t（0＜t＜）所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t 的函数S（t）的解析式．【答案】（1），单调递减区间是，k∈Z；（2）．【解析】（1）f（x）=sin cos+cos2+m==．∵f（x）的图象过点（，0），∴，解得．∴f（x）=，由，得，k∈Z．故f（x）的单调递减区间是，k∈Z；（2）由（1）得，f（x）=．∴===．∴（）．25．已知函数，.（1）求函数图象经过点的切线的方程.（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.【答案】(1) 切线方程为或(2)所以所求的面积为.。

第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a＝22x2sinxdx，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()xdx， b＝ e dx， c＝000A ．a<c<b B． a<b<c C． c<b<a D ．c<a<b2．由曲线 y＝ x2， y＝ x3围成的封闭图形面积为 ()练习、设点 P 在曲线 y＝ x2上从原点到A(2,4)挪动，假如把由直线OP，直线 y＝x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2.以下列图，当 S1＝ S2时，点 P 的坐标是 () 4， 164， 164， 154， 13A. 3 9B. 59C. 37D. 573．由三条直线 x＝ 0、 x＝ 2、 y＝ 0和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为()418A ．4 B.3 C. 5D． 64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A ．0B ．2C． 2＋ 2cos1D． 2－ 2cos15．曲线 y＝ cosx(0≤ x≤2π)与直线 y＝ 1 所围成的图形面积是()3πA ．2πB． 3π C. 2D．π6．函数 F(x)＝x t(t－ 4)dt 在[ － 1,5] 上()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－32 3C．有最小值－32，无最大值 D ．既无最大值也无最小值3n n2n 2＋ n，函数 f(x)＝x13，则 x 的取值范围是 ()7．已知等差数列 { a } 的前 n项和 S＝t dt，若 f(x)< a1A.3，＋∞B ．(0， e21)－ D ．(0， e11)C． (e 11， e)68．以下列图，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝ sinx(0≤ x≤ π)与 x 轴围成以下列图的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是 ()123πA. πB.πC.πx＋2 －2≤ x<09．函数 f(x)＝π的图象与 x 轴所围成的图形面积S 为()2cosx 0≤x≤231A. 2B． 1C． 4 D.210．设函数 f( x)＝ x－[ x] ，此中 [x] 表示不超出 x的最大整数，如 [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝ 1， [1] ＝ 1.又函数xg(x)＝－3，f(x)在区间 (0,2)上零点的个数记为 m，f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为n，则n g(x)dx 的值是 ()m5457A．－2B．－3C．－4D．－611．甲、乙两人进行一项游戏竞赛，竞赛规则以下：甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c 可以相等 )，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx＋ c＝ 0 有实根，则甲获胜，不然乙获胜，则在一场竞赛中甲获胜的概率为()1213A. 3B.3C.2D.412．已知正方形四个极点分别为O(0,0)， A(1,0)， B(1,1) ，C(0,1)，曲线 y＝ x2(x≥ 0)与 x 轴，直线 x＝ 1构成地域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在地域M 内的概率是 () 1112A. 2B.4C.3D.5二、填空题13．已知函数 f(x)＝ 3x2＋ 2x＋ 1，若 1 －1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.14．已知 a＝∫π)6的睁开式中含x2项的系数是 ________．20(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－1x15．抛物线 y2＝ 2x 与直线 y＝ 4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝ 1围成的封闭图形的面积为4，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线32x－ y＋ 6＝ 0，则 l 的方程为 ______ ．17．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2＋ bx(a， b∈ R)的图象以下列图，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成地域 (图中暗影部分 )的面积为1，则 a 的值为 ________．12三、解答题18．以下列图，在区间[0,1] 上给定曲线y＝ x2，试在此区间内确立t 的值，使图中暗影部分的面积S1＋S2最小．1、 [答案 ]D[分析 ]a ＝2 1 22＝ 2， b ＝2 xx 02＝ e 2－ 1>2， c ＝22＝ 1－xdx ＝ 2x |0 e dx ＝ e |sinxdx ＝－ cosx|cos2∈(1,2)，∴ c<a<b.1 1 1 7 A. 12B.4C.3D.122、[答案 ]A[分析] y ＝ x2得交点为 (0,0) ， (1,1)．由y ＝ x 31 1 1∴ S ＝1(x 2－x 3)dx ＝3x 3－ 4x 401＝ 12.练习； [答案 ]A[ 分析 ] 设 P(t ， t 2)(01＝ t2t 3 ； S 22 2≤ t ≤ 2)，则直线 OP ： y ＝ tx ，∴ S(tx － x )dx ＝ 6＝ (xt34，∴ P 4，16－tx)dx ＝ 8－ 2t ＋t，若 S 361＝ S 2，则 t ＝33 9.x402＝4.3、[答案 ]A[分析]S ＝ 2x 3dx ＝ 44、[答案 ] B[分析 ]1(sinx ＋ 1)dx ＝ (－ cosx ＋ x)|－ 11＝ (－ cos1＋ 1)－ (－ cos(－ 1)－1)＝ 2.5、[ 答案 ] A[分析]2π2π如右图， S ＝ ∫ 0 (1－ cosx)dx ＝ (x － sinx)|0 ＝ 2π.6、[答案 ]B[分析 ]F ′(x) ＝ x(x － 4)，令 F ′ (x)＝ 0，得 x 1＝ 0， x 2 ＝ 4，∵ F(－ 1)＝－ 7， F(0)＝ 0，F(4)＝－ 32， F(5)＝－250，最小值为333 .∴最大值为－ 323.7、[答案 ]1D ； [分析 ] f(x)＝ xdt ＝ lnt|1x ＝ lnx ， a 3＝ S 3－ S 2＝ 21－ 10＝ 11，由 ln x<11 得， 0<x<e 11.t18、[ 答案 ] A[分析]由图可知暗影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得πS ＝ sinxdx＝－ cosx|0π＝－ (cos π－ cos0)＝ 2，再依据几何概型的算法易知所求概率P ＝ S ＝ 2 1＝ .S 矩形OABC 2π π9、[答案 ]C[分析 ]面积 S ＝∫ππ－ 2f(x)dx ＝－ 2(x ＋ 2)dx ＋ ∫ 02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2210、 [答案 ] A[分析] 由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0，f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， [x] ＝1，f(x)＝ x － 1，因此当 x ∈ (0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f( x)与 g( x)的图象可知两个函数有4 个交点，因此 m ＝1，n＝4，则 n g(x)dx ＝ 4－x dx ＝ －x 253 614＝－ .m1211、[答案 ]A ； [分析 ] 方程 x 2＋ 2bx ＋ c ＝0 有实根的充要条件为＝ 4b 2－ 4c ≥ 0，即 b 2≥c ，1 2b db1由题意知，每场竞赛中甲获胜的概率为p ＝1× 1＝ .312、 [答案 ] C ；[分析 ]1 21301＝1，故所求如图，正方形面积 1，地域 M 的面积为 S ＝ x dx ＝ 3x |31概率 p ＝ .31－ 1f(x)dx ＝－ 1(3x 2 3213、 [答案]－1 或3；[分析]∵＋2x ＋ 1)dx ＝ (x ＋ x111－ 1f(x)dx ＝ 2f(a)，∴21 ＋x)|－＝ 4，6a ＋ 4a ＋ 2＝ 4，∴ a ＝－ 1 或 .1314、 [答案 ]－ 192；[分析 ] 由已知得 a ＝ ∫π π π π20(sinx ＋ cosx)dx ＝(－ cosx ＋ sinx)| 0＝ (sin － cos )－ (sin0222－cos0)＝2，(2x －16的睁开式中第 r ＋ 1 项是 T ＋ 1＝(－1)r×C r × 26－ r ×x 3－ r ，令 3－ r ＝ 2 得， r ＝1，故其 )r6x系数为 (－ 1)1× C 61× 25＝－ 192.y 2＝ 2x215、 [答案 ]18[分析 ] 由方程组y ＝ 4－ x解得两交点 A(2,2)、 B(8，－ 4)，选 y 作为积分变量x ＝ y、 x ＝ 42－ y2－ 4[(4 － y)－y223∴ S ＝]dy ＝ (4y － y － y )|－4 2＝ 18.2 2 616、 [答案 ]16x－ 8y＋1＝ 0[分析 ]由题意知12，∴ a＝ 1，0axdx＝3设 l： y＝ 2x＋b 代入y2＝ x 中，消去y 得， 4x2＋ (4b－1)x＋ b2＝0，由＝0 得， b＝ 1，8∴ l 方程为 16x－ 8y＋ 1＝ 0.17、 [答案 ]－1[分析 ] f ′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax＋ b，∵ f ′ (0) ＝ 0，∴ b＝ 0，∴ f(x) ＝－ x3＋ ax2，令 f(x) ＝0，得 x＝0 或 x＝a(a<0) ．S 暗影＝－0(－ x3＋ ax2)dx＝1a4＝1，∴ a＝－ 1.a121218、 [分析 ]由题意得2t 2 2 3S1＝ t·t－x dx＝ t ，3S2＝1x2dx－t23－ t2＋1，因此41≤ t≤ 1)．2(1－ t) ＝ t3S＝ S1＋ S2＝ t3－ t2＋ (0333t又 S′ (t)＝ 4t2－ 2t＝4t t－1，令 S′(t)＝ 0，得 t＝1或 t＝0. 2211由于当 0< t< 时， S′( t)<0；当<t≤ 1 时， S′ (t)>0.22因此 S(t)在区间0，1上单调递减，在区间1， 1 上单调递加．因此，当t＝1时， S min＝1.2224。

简单已测：424次正确率：91.8 %1.定积的值是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：D 解析：，故选：．⼀般已测：3296次正确率：69.9 %2.计算（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：B解析：选⼀般已测：4642次正确率：87.5 %3.若,,则,,的⼤⼩关系为( )A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、定积分的常⽤结论答案：B解析：由于,,,且,所以，故选.⼀般已测：3883次正确率：75.3 %4.若,则( )2xdx ∫0212342xdx =x =4∫202∣∣∣∣20D (1−cos x )dx =∫− 2π2ππ+2π−2π−2(1−cos x )dx=(x −sin x )∫− 2π2π =π−2.∣∣∣∣ 2π− 2πB .S = x dx 1∫122S = dx 2∫12x 1S =e dx 3∫12x S 1S 2S 3S <S <S 123S <S <S 213S <S <S 231S <S <S321S = x dx = x ∣ = − = 1∫12231312383137S = dx =lnx ∣ =ln 22∫12x 112S = e dx =e ∣ =e −e 3∫12x x 122ln 2< <e −e 372S <S <S 213B f (x )=x +2 f (x )dx 2∫01 f (x )dx=∫01A.B.C.D.考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：被积函数的原函数、微积分基本定理答案：B解析：令(常数),则,所以,解得,故选:.中等已测：4750次正确率：71.2 %5.在如图所⽰平⾯直⻆坐标系中,正⽅形的边⻓为,曲线是函数图象位于正⽅形内的部分,直线恰好是函数在处的切线,现从正⽅形内任取⼀点,那么点取⾃阴影部分的概率等于（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：曲边梯形的⾯积、定积分的⼏何意义答案：D解析：正⽅形的边⻓为,由函数,得,则,得.⼜当时,,可得,曲线的解析式为,阴影部分⾯积.点取⾃阴影部分的概率等于.故选:.−1−31 311f (x )dx =m ∫01f (x )=x +2m 2m = f (x )dx =( x +2mx ) = +2m ∫01313∣∣0131m =− 31B OABC 1m y =a (x −1)+b 2AC y=a (x −1)+b 2x =0P P1213141 61∵OABC 1,∴S =1正方形OABC y =a (x −1)+b 2y =2a (x −1)′y ∣ =−2a =−1′x =0a =21x=0y =a +b =1b = 21∴m y = (x −1)+ 21221∴S = [ (x −1)+ −(−x +1)]dx = x dx = x ∣=∫0121221∫012126130161∴P 61D⼀般已测：4665次正确率：92.6 %6.已知,则⼆项式的展开式中的系数为（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的性质解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：C 解析：,的展开式的通项公式为,令得,,展开式中的系数为.⼀般已测：2948次正确率：92.5 %7.实数使得复数是纯虚数,则的⼤⼩关系是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、⽤所求定积分的⼏何意义求定积分知识点：定积分的概念、复数的概念答案：C解析：,它为纯虚数,所以,表⽰单位圆的四分之⼀的⾯积为,所以,应选.中等已测：3726次正确率：56.3 %8.若，则=（ ）A.B.a = dx ∫ e 1e x1(1− )x a 5x −316080−80−160∵a= dx =lne −ln =2∫ e 1e x 1e 1∴(1−)=(1−)xa 5x25T=C (−2)x r +15r r −r −r=−3r =3∴x −3C (−2)=−80533a1−i a +i b = xdx ,c= dx ∫01∫011−x 2a ,b ,c a <b <c a <c <b b <c <a c <b <a= = 1−i a +i1−i 1+i ()()a +i 1+i ()()2a −1+a +1i ()a =1,b = xdx = ∣ = ,c = dx ∫012x 20121∫011−x 2 4πb <c <a C f x + f x dx =x ()∫01() f x dx ∫01()41 21C.D.考点：⽤定义求定积分、利⽤定积分的性质解题知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：A 解析：由，则，则，，则，故选A ．⼀般已测：2708次正确率：72.5 %9.⼀个⼈骑⻋以⽶/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽⻋,当他离汽⻋⽶时，交通信号灯由红变绿,汽⻋开始做变速直线⾏驶(汽⻋与⼈的前进⽅向相同),若汽⻋在时刻的速度⽶/秒，那么此⼈（ ）．A.可在秒内追上汽⻋B.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶C.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶D.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶考点：⼆次函数的单调性、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：微积分基本定理、基本积分公式答案：D解析：设该⼈骑⻋⾏驶距离和汽⻋⾏驶距离的差为，则，所以，所以该⼈不能追上汽⻋，但其间最近距离为⽶⼀般已测：391次正确率：82.7 %10.甲、⼄两⼈从同⼀起点出发按同⼀⽅向⾏⾛，已知甲、⼄⾏⾛的速度与⾏⾛的时间分别为，(如图)，当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻( )A.甲⼄两⼈再次相遇B.甲⼄两⼈加速度相同12fx +f x dx =x ()∫01()f x =x − f x dx ()∫01() fx dx = x − f x dx dx∫01()∫01(∫01())= xdx − f x dx dx = − f x dx ∫01∫01[∫01()]21∫01()∴ f x dx = − f x dx ∫01()21∫01() f x dx =∫01()41625t v (t )=t 716147S (t )S (t )= 6−t dt =6t −t ∫0t()212S (t ) =S (6)=36−18=18max 7v =甲t v =t 乙2C.甲在⼄前⽅D.⼄在甲前⽅考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：定积分的物理意义、变速运动问题答案：C解析：由，得，解得(舍)，或．由．．所以当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻甲在⼄前⽅．故选：．中等已测：1818次正确率：73.8 %11.已知，若函数满⾜，则称为区间上的⼀组``等积分''函数，给出四组函数：①②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在.其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、微积分基本定理答案：C解析：本题是新定义问题，主要考查对定义的理解和定积分的计算.对于①，⽽,所以①是⼀组“等积分”函数；对于②，,⽽,所以②不是⼀组``等积分''函数；对于③，函数的图像是以原点为圆⼼，为半径的半圆，故,⽽,所以③是⼀组``等积分''函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利⽤奇函数的图像关于原点对称和定积分的⼏何意义，可以求得函数的定积分,所以④是⼀组``等积分''函数.故选.简单已测：3293次正确率：86.3 %12..v =v 甲乙 =t t 2t =0t =1 dt = t ∣ = ∫01t 32 230132 t dt = t ∣= ∫0123130131C a <b f (x ),g (x ) f (x )dx = g (x )dx ∫a b∫a bf (x ),g (x )[a ,b ]f (x )=2∣x ∣,g (x )=x +1;f (x )=sinx ,g (x )=cosx f (x )=,g (x )= πx 1−x 2432f (x ),g (x )[−1,1][−1,1]1234f x dx = 2x dx = 2−x dx + 2xdx =2,∫−11()∫−11∣∣∫−10()∫01g x dx = x +x ∣ =2∫−11()(212)−11 f (x )dx = sinxdx =0∫−11∫−11 g x dx = cos xdx =2sin 1≠0∫−11()∫−11f (x )1 f x dx = dx = ∫−11()∫−111−x 22πg x dx = πx ∣ = ∫−11()413−112πf (x ),g (x )[−1,1] f (x )dx = g x dx =0∫−11∫−11()C (sinx +cosx )dx =∫− 2π2π考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、被积函数的原函数答案：解析：；故填.⼀般已测：4543次正确率：94.5 %13..考点：利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：解析：函数即：，表⽰以为圆⼼，为半径的圆在轴上⽅横坐标从到的部分，即四分之⼀圆，结合定积分的⼏何意义可得．故答案为．⼀般已测：2478次正确率：65.4 %14.⼀辆汽⻋在⾏驶中由于遇到紧急情况⽽刹⻋，以速度⾏驶⾄停⽌，在此期间汽⻋继续⾏驶的距离是.考点：定积分在求⾯积中的应⽤、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的物理意义、基本积分公式答案：解析：本题考查定积分的概念.令，化为,⼜,解得.汽⻋继续⾏驶的距离.⼀般已测：4698次正确率：91.6 %15.若正实数满⾜,则的最⼩值为.考点：利⽤基本不等式求最值、利⽤公式求定积分知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：解析：由题意得;即,所以(当且仅当时等号成⽴).所以,即的最⼩值为.简单已测：1192次正确率：87.8 %16.有⼀⾮均匀分布的细棒，已知其线密度为，棒⻓为，则细棒的质量.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分2(sinx +cosx )dx =−cosx +sinx ∣ ∫− 2π 2π()−2π2π=1+1=22 ( )dx ∫121−(x −1)2=4πy=1−(x −1)2(x −1)+y =1(x ≥1,y ≥0)22(1,0)1x 12 ( )dx = ×π×1=∫121−(x −1)24124π 4πv (t )=7−3t +1+t 254+25ln 5v (t )=7−3t + =01+t253t −4t −32=02t >0t =4S = (7−3t + )dt =(7t − t +25ln (1+t ))∣ =4+25ln 5∫041+t 2523204m ,n + = (x +)dx m 2n 1∫−22π14−x 2log (m +2n )22(x + )dx = dx = × π×2=2∫−22π14−x 2π1∫−224−x 2π1212 + =2m 2n 1m +2n =(m +2n )( + )= + +2≥2 +2=4m 12n 1m 2n 2n m × m 2n 2n m m =2n log m +2n ≥log 4=22()2log (m +2n )22ρx =x ()32M =(1)(2)知识点：定积分的物理意义、定积分的常⽤结论答案：解析：依题意有：.⼀般已测：3051次正确率：65.2 %17.在区间上给定曲线.试在此区间内确定点的值,使图中的阴影部分的⾯积与之和最⼩,并求最⼩值．考点：导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤、定积分在求⾯积中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、微积分基本定理答案：时,最⼩,且最⼩值为解析：⾯积等于边⻓分别为与的矩形⾯积去掉曲线与轴、直线所围成的⾯积,即.的⾯积等于曲线与轴,,围成的⾯积去掉矩形边⻓分别为,⾯积,即.所以阴影部分的⾯积．令,得或.时,；时,；时,.所以当时,最⼩,且最⼩值为.⼀般已测：401次正确率：92.8 %18.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：函数单调性和导数的关系、利⽤导数求函数的最值(1)答案：单调调增区间是,单调递减区间是．解析：依题意得,,定义域是．,令,得或； 令得,且函数定义域是,函数的单调增区间是,单调递减区间是．(2)答案：最⼤值是,最⼩值是．解析：由(1)知函数在区间上为减函数,区间上为增函数, 且,在上的最⼤值是,最⼩值是．4x dx= ∣ =4∫0234x 402[0,1]y =x 2t S 1S 2t=21S (t )41S 1t t 2y =x 2x x =t S =t ⋅t − x dx = t 12∫0t 2323S 2y =x 2x x =t x =1t 21−t S = x dx −t (1−t )= t −t + 2∫t 122323231S (t )=S +S = t −t + (0≤t ≤1)12343231S (t )=4t −2t =4t (t − )=0′221t =0t = 21t =0S (t )= 31t = 21S (t )= 41t =1S (t )= 32t = 21S (t )41F (x )= (t +2t −8)dt ,(x >0)∫0x2F (x )F (x )[1,3](2,+∞)(0,2)F (x )= (t +2t −8)dt =( t +t−8t )∣ = x +x −8x ∫0x 231320x 3132(0,+∞)(1)F (x )=x +2x −8′2F (x )>0′x >2x <−4F (x )<0,′−4<x <2(0,+∞)∴F (x )(2,+∞)(0,2)F (3)=−6F (2)=− 328F (x )(0,2)(2,3)F (1)=− ,F (2)=− ,F (3)=−6320328∴F (x )[1,3]F (3)=−6F (2)=− 328(1)(2)中等已测：3275次正确率：52.7 %19.已知⼆次函数，直线，直线(其中，为常数)，若直线,与函数的图象以及,、轴与函数的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所⽰.求,,的值；求阴影⾯积关于的函数的解析式.考点：求函数解析式的常⽤⽅法、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：⼆次函数的解析式、⼆次函数的图象(1)答案：, , 解析：由图形可知⼆次函数的图象过点，，并且的最⼤值为，则解得，函数的解析式为.(2)答案：解析：由得,,,,直线与的图象的交点坐标为由定积分的⼏何意义知：.f (x )=ax +bx +c 2l :x =21l :y =−t +8t 220≤t ≤2t l 1l 2f (x )l 1l 2y f (x )a b c S t S (t )a=−1b =8c =0(0,0)(8,0)f (x )16 ⎩⎨⎧c =0,a ⋅8+b ⋅8+c =02=164a 4ac −b 2 ⎩⎨⎧a =−1b =8c =0∴f (x )f (x )=−x +8x 2S (t )=− t +10t −16t + 3432340{ y =−t +8t 2y =−x +8x2x −8x −t (t −8)=02∴x =t 1x =8−t 2∵0≤t ≤2∴l 2f (x )(t ,−t +8t )2S (t )= −t +8t −−x +8x dx + [(−x +8x )−(−t +8t )]dx ∫0t [(2)(2)]∫t 222=[(−t +8t )x −(− +4x )]∣ +[(− +4x )−(−t +8t )x ]∣ 23x 320t 3x 322t 2=− t +10t −16t + 3432340。