2.7直角三角形全等的判定 课件.ppt

（5）一直角边及斜边对应相等；是（HL）
（6）两锐角对应相等；
不是
例1：已知：如图，D是BC上一点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF。 求证：DE=DF，AD平分∠BAC A
证明：∵ DE⊥AB，DF⊥AC（？）
∴△ADE和△ADF是
E
F
直角三角形
B
D
C
又∵AE=AF，AD=AD，
三问
三答
邹忌“入朝”是如何“讽”齐 王的？ 纳谏的结果如何？
三思 三比 三赏 三变
整齐美
☻：比较“三问”、“三答”有何不同？
“我孰与城北徐 公美？”
“君美甚，徐公何 能及君也？”
“吾孰与徐公 美？”
“徐公何能及君 也。”
“吾与徐公孰 美？”
“徐公不若君之美 也。”
对象不同
身份不同
语气不同
臣之妻私臣 臣之妾畏臣 臣之客欲有求于臣
第二天
不若：
不如
孰视之：
仔细地看
暮寝而思之： 晚上躺着想这件事
蔽甚矣： 蒙蔽很深了
善： 好
面刺： 当面指责
谤讥： 在这里指议论
市朝： 公共场合
门庭若市： 门前、院内像集市一样，形
容人很多
时时而间进：有时候，偶尔有人进谏
期年： 满一年
思
☼邹忌在什么前提下“讽”齐王的？
考
面对妻、妾与客的赞美，邹忌 态度如何？
有斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等。
简写成：“斜边、直角边” 或
“HL” “HL”
思考：
满足下列条件的两个直角三角形是否全等？
为什么？
是
（1）一锐角及这个锐角的对边对应相等；（AAS）

的两个直角三角形全等.
驶向胜利 的彼岸
2、如图，AC=AD，
∠C=∠D=Rt∠ ，你能
说明∠ABC与∠ ABD
相等吗？
C
A
B
D
3、如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，
∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明
理由。
A
3
B
1
C
4
E
2
D
4、如图，AB⊥BD于点B， CD⊥BD于点D，P是BD上一点， 且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
•
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
增加∠ABC=∠BAD ; C
D
增加∠CAB=∠DBA ;
A
B
如图，已知P是∠AOB内
部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，

⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. 现象： 两个直角三角形能重合。 说明： 当一个直角三角形的一条直角边和 斜边确定后， 那么它的形状和大小 也被确定.
∟ ∟
M
B´ B´
C´ ´
判定公理：
有斜边和一条直角边对应相等的 条件1 条件2
∟ C´
M
B´
亲自实践
把你所画的三角形撕出来， 与原三角形进行比较，看是否 能重合？
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画 一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画 ⑴ 作∠MC´N=90°; B
A
∟ C N A´ A´
SA 可判定全等； 则利用 A AS 可判定全等； 则利用 A AS 可判定全等；
则利用 A
AS 可判定全等；
⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
AS
可判定全等；
情境问题2:
A D
B
C
E
F
如果工作人员只带了一条皮尺，能 完成这项任务吗？
情境问题2:
工作人员是这样做的，他测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分 对于两个直角三角形，若满足 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 一条直角边和一条斜边对应相等时， 形是全等的”。你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
通过刚才的探索，发现工作人员 的做法 是完全正确的。
两个直角三角形全等.
前提
直角三角形全等的判定方法：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A' A

好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你

直角三角形全等的判定
探究新知
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（2） AC = BD （ HL）；
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS）； D
C
（4） ∠DBA = ∠CAB （AAS）．
A
B
继续探究
问题3 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m， 请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月7日 星期三2 021/7/ 72021/ 7/72021 /7/7
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年7月 2021/7 /72021 /7/7202 1/7/77 /7/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021/7/ 72021/ 7/7July 7, 2021
证明：∴ ∠ABC =∠DEF （全等三角形对应角相等）． ∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？ （3）角平分线的性质定理的掌握与应用

观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几 何图形吗？
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
请同学们把一块三角尺按在纸板上， 画下图形后，比较观察这两个三角形 有何关系？从同一张底片冲洗出来的 两张尺寸相同的照片上的图形，放在 一起也能够完全重合吗？
全等三角形的概念
全等三角形： 能够完全重合的两个三角
全等三角形对应角相等．
B
C
请说出目前判定三角形全 等的4种方法：
SAS，ASA，AAS，SSS
问题 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画 一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC， A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到 Rt△ABC上，你发现了什么？
F
C
B
E
L
从上面的图形中可以看出，若已知 ∠A=60°，∠B=80°，相信你一 定可以求出△ABC的各个角的大小： ∠D=__6_0_°_，∠E=_8_0_°_， 40° ∠F=___．
已知：如图，△ABC ≌△DEF． （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm ； （2）若∠A =100°，则：
C1
比眼力：找全等．
8
Ⅰ 30o
9
8Ⅱ 30o
5
8 30o
8Ⅲ
5 30o
Ⅴ 8
8Ⅵ 30o8
8 Ⅶ
30o 9
Ⅳ8 5
8 Ⅷ
5
如图，有一池塘，为测量池塘两端A、B的距
离，设计了如下方案：如图，先在平地上取 一个可直接到达A、B的点C，再连结AC、
BC并分别延长AC至D、BC至E，使CD=CA，
CE=CB，最后测得DE的距离即为AB的 长．你知道其中的道理吗？

1、画∠DC/ E= 900 . 2、在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3、以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/. 4、连结B/A/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
2020/12/10
11
探究反映的规律是： 有斜边和一条直角边
对应相等的两个直角三角 形全等(简写成“斜边、 直角边”或“HL”）。
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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12
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
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13
巩
固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD。 习 求证∠1=∠2 。
A
12
B
D
C
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14
巩 固 练 习
2.如图，C是路段AB的中点，两人 从C同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E
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1
复习
讲授新课 巩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习
评价
小结
作业布置
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2
判定两个三角形全等 要具备什么条件?
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3
边边边：
三边对应相等的两个 三角形全等。
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4
边角边：
有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等。
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AC=BD ∴ RT Δ ACE ≌ RT Δ BDF（HL） ∴ CE=DF（全等三角形对应边相等）
第11页
做一做
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来.
增加AC=BD;
C
D
增加BC=AD;
增加∠ABC=∠BAD ;
增加∠CAB=∠DBA ;
由例题你得到了什么结论
第9页
角内部，到角两边距离相等点 ，在这 个角平分线上
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC中点，DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，则AB=AC。 说明理由。 解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知） ∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义） ∵ DE=DF（已知） ∵ BD=CD（中点意义） ∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL） ∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等） ∴ AB=AC（等角对等边）
学习目标
• 1.会用“HL”判定两个直角三角形是否全等。 • 2.已知斜边及一直角边，会用尺规画直角三角形。 • 学习重点： • 了解直角三角形全等特殊方法“HL”。并会应用。 • 学习难点： • 已知斜边及一直角边长，画直角三角形。
第2页
抢答
1、全等三角形对应边 ----相---等--,，对应 角----相---等---2、判定三角形全等方法有：
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
分析：首先作出边BC,由∠C为直角能够作出另 一直角边所在射线，由AB=c能够确定点A。
第7页
a
c
画法：1.画∠MCN=90 °.
N
2.在射线CM上取CB=a.
A

《三角形全等的判定》
知识回顾
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
A
2.三边分别相等的两个三角形全等(可以
简写成“边边边”或“SSS”).
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，B
C
AB=A'B'，
A'
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C' (SSS). B'
C'
3.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“边角边”或“SAS”）.
A
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′，
B
C
A'
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). B'
C'
4.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“角边角”或者“ASA”）.
FE
BE=CF，
A
B
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF.
随堂练习
1.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，
有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′， AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，
∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的
需寻找的条件
可证直角与已知锐角的夹边对 应相等或者与锐角（或直角）
的对边对应相等
可证一直角边对应相等或证一 锐角对应相等

（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中 两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五 边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什 么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？
练一练 1.如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明 △AEB △ADC．
解： BD＝CE， BD－ED＝CE－ED（等式的性质）
即BE＝CD． 在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，(已知) AE＝AD，(已知) BE＝CD，(已证) △AEB △ADC(SSS)
2、如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两 点，且AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由.
有一个角对应相等的三角形 不一定全等
做一做 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 每种情况下作出的三角形一定全等吗？
两个条件（两个角） (2)三角形的两个角分别是：30°，50°；
30°
不一定全等
两个条件（两条边） (3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
不一定全等 两个条件不能保证三角形全等.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等 (“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
数学表达式： 在△ABC和△A'B'C'中
例题 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等 吗？为什么？
动手做一做
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动 其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？