2019年高考模拟数学（理科）模拟试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知复数z 满足
53i 1
z
z -+，则z =（ ）
A ．
135 B C D 2．已知集合{}
220A x x x =--<，{}
1B x x m =-<<，A B A =I ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,+∞
B ．()1,2-
C ．[)2,+∞
D ．(]1,2-
3．已知正项数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且12a =，21a =，348a a +=，
5617a a +=，则78a a +=（ ）
A ．33
B ．34
C ．38
D ．35
4．下图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天
B ．这15天日平均温度的极差为15℃
C ．由折线图能预测16日温度要低于19℃
D ．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数 5．函数cos sin 24πy x x ?
?
=+
+ ??
?
的最大值为（ ） A ．
98 B ．0
C ．
78
D ．
1716
6．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≤时，()()3
ln 1f x x x =-+-，设()
()0.2
0.2a f
-=，
()5log 2b f =-，()0.53c f -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
D ．9
8．已知抛物线C ：()2
20x py p =>，过点10,2P ??- ???
作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，
若直线AB 经过抛物线C 的焦点，则抛物线C 的方程为（ ） A ．2
8x y =
B ．2
4x y =
C ．2
2x y =
D ．2x y =
9．河南新高考方案即将实施，两名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中各选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则这两名同学所选科目恰有一门相同的概率为（ ） A ．
320
B ．
310
C ．
920
D ．
940
10．已知函数()2log 1f x x =+的定义域为[]1,2，()()()
22g x f x f x m =++，若存在实数a ，b ，
(){}c y y g x ∈=，使得a b c +<，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．74
m <-
B ．2m <
C ．3m <
D ．14
m <
11．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，双曲线()22
2210,0x y m n m n
-=>>的一
条渐近线与椭圆交于点P ，且满足12PF PF +，已知椭圆的离心率15
7e =
，则双曲线的离心率2e =（ ） A ．
257
B ．
75
C ．
43
D ．
2524
12．已知函数()2e e x
x f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(],0-∞
B ．[)0,+∞
C ．()()0,11,+∞U
D ．(]{},01-∞U
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x ，y 满足220,210,20,x y x y x y -+≥??-+≤??+-≤?
则22
2x y y ++的取值范围为__________．
14．已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r ，PC PA PB λμ=+u u u
r u u u r u u u r ，
则λμ+=__________．
15．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．
16．数列{}n a 中，112a =
，()()
()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n
n a n n λ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 三、解答题：共70分．
17．在ABC △中，(
)(
)2sin cos sin C A A C A C +-+=（1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，3AD =，2BD =，求cos C 的值．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △为正三角形，CD CB =，120BCD ∠=?，M 为线
段PA 的中点．（1）求证：DM P 平面PBC ；（2）若2AB PB PD ===，PA =DM 与平
面PAB 所成角的正弦值．
19．微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：
（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高； （2）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取3人，求至少2人步数多于1.2万步的概率； （3）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过0.8万步的有X 人，超过1.2万步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．
20．已知长为3的线段AB 的两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上移动，2AM MB =u u u u r u u u r
．
（1）求点M 的轨迹G 的方程．
（2）过()0,1Q 作互相垂直的两条直线分别与轨迹G 交于A ，B 和C ，D ，设AB 中点为R ，CD 中点为
S ，试探究直线RS 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．
21．已知函数()ln e f x x x =+，
（1）若()f x ax ≥恒成立，求实数a 的最大值； （2）设函数()()1
2e 21x F x f x x x -=--+，求证：()0F x >．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α=+??
=?
（t 为参数，0πα≤<），在以坐标原点为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
212
3sin ρθ
=+．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB
+的值．
23．[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；
（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．
数学（理科）A 卷参考答案
13．4,85
??????
14．1- 1516．289,
3??
-????
17．解：（1）由题意知，2sin cos sin cos sin cos C A A C C A B +-=
即sin cos sin cos A C C A B ++=
即sin B B =
所以2sin 3πB ?
?+
= ??
?sin 3πB ??+= ??
?． 又4,334πππB ??
+
∈ ???，所以233ππB +=，3
πB =． （2）在ABD △中，由正弦定理得
sin sin AD BD
B BAD
=∠，
所以sin BAD ∠=
cos BAD ∠=，
sin 2333BAC ∠=?=，2
1cos 2133BAC ??∠=?-= ? ???
，
所以211
cos cos 323πC BAC ????=-∠=-?=
? ?????
． 18．（1）证明：取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，则MN PB P ． 又CD CB =，120BCD ∠=?，所以30CBD ∠=?，BC AB ⊥． 又AD AB ⊥，所以BC DN P ．
又MN DN N =I ，PB BC B =I ，
所以平面DMN P 平面PBC ． 所以DM P 平面PBC ．
（2）连接AC ，AC BD O =I ，
则O 为BD 中点，BD AC ⊥，BD PO ⊥．
又OA OP ==
PA =
PO AO ⊥．
又AO PO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．
以O 为坐标原点，OA u u u r ，OB uuu r ，OP uuu r
为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
()0,1,0D -
，)A
，(P ，()0,1,0B
，M ??
，
DM =??
u u u u r
，()AB =u u u
r
，(AP =u u u r ．
设平面PAB 的法向量(),,n x y z =r
，
由0,
n AB y n AP ??=+=???=+=??r u u u r
r u u u r
得()
n =r ． 设直线DM 与平面PAB 所成角为θ，则
sin cos ,DM n θ===u u u u r r
． 19．（1）如右图，
（2）由题意知，步数多于1.2万步的频率为
14，所以步数多于1.2万步的概率为1
4
． 设“至少2人步数多于1.2万步”为事件A ，
()23
23
1315C 44432
P A ????
=+=
? ?????． （3）由题意知，步数不超过0.8万步的概率为
14，步数多于1.2万步的概率为1
4
，步数在0.8万步和1.2万步之间的概率为
1
2
． 当0X Y ==或1X Y ==，0ξ=，()2
12
11130C 2448P ξ??
==+??= ???
， 当1X =，0Y =或0X =，1Y =，1ξ=，()1
2111
1C 2422
P ξ==?
??=， 当2X =，0Y =或0X =，2Y =，2ξ=，()2P ξ=2
11248??
=?= ???
，
则ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为()31130128284
E ξ=
?+?+?=． 20．解：（1）设(),M x y ，由2AM MB =u u u u r u u u r 得()3,0A x ，30,2y B ??
???
，
3AB ==，整理得点M 的轨迹G 的方程为22
14
y x +=．
（2）若直线AB 斜率存在且不为0．设直线AB 的方程为1y kx =+，
与椭圆方程2
2
14
y x +=联立得()224230k x kx ++-=， 显然0?>，设A ，B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，AB 中点R 坐标为()00,x y ， 则120224x x k x k +-=
=+，002
4
14y kx k
=+=+，
即224,44k
R k k -??
?
++??
． 同理可得，2224,1414k k S k k ??
?
++??
， ()222222
44411445144RS
k k k k k k k k k k --++==+++． 直线RS 的方程为()222414454k k y x k k k -??-=+ ?++??
， 整理得()2414
55
k y x k
-=
+．
当直线AB 斜率不存在或为0时，直线RS 即为y 轴，也过点40,5?? ???
．
综上，直线RS 过定点40,5?? ???
．
21．解：（1）由题意()0,x ∈+∞，原不等式可化为ln e
x x a x
+≤
， 令()ln e x x x x ?+=
，则()2e
x x x
?-'=， 由()0x ?'<得()x ?在()0,e 上单调递增减； 由()0x ?'>得()x ?在()e,+∞上单调递增． 所以()()min e 2x ??==，所以2a ≤．
（2）由（1）知，()2f x x ≥，只需证21
21
2e x x x x -+-≥．
令()21
212e x x x g x x -+-=-，则()21211
32e 3
2e e x x x x x g x ----+-'=-=， 令()1
22e
3x h x x -=+-，()12e 20x h x x -'=+>，()h x 在()0,+∞上单调递增，
注意到()10h =，所以当()0,1x ∈，()0h x <，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞，()0h x >，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上单调递增．
所以()()min 10g x g ==，
∴21
21
2e x x x x -+-≥，当且仅当1x =时等号成立．
而()2f x x ≥，当且仅当e x =时等号成立．
所以()21
21
0e x x x f x -+--
>，从而()0F x >． 22．解：（1）曲线2
2
123sin ρθ
=
+，即222
3sin 12ρρθ+=， 由于2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=，
所以2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=． （2）将1cos sin x t y t αα
=+??
=?代入22
3412x y +=中，
得()
223sin 6cos 90t t αα++?-=，
()2236cos 363sin 0αα?=++>，设两根分别为1t ，2t ，则
1226cos 3sin t t αα-+=
+，122
9
03sin t t α
-=<+， ∴
12121212
11MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t ++-+===?，
12t t +=
==212
3sin α
=
+．
所以21212212
11
43sin 933sin t t MA MB t t αα
-++===+．
23．解：（1）当2x ≥时，34-≥，7
3
x ≥
．
当
1
22
x <<时，14x +≥，3x ≥，无解； 当12x ≤
时，334x -+≥，13
x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ?
≤-
??
或73x ?≥??
． （2）()min 13
22
f x f ??==
?
??，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()2
2
2
2
22212323a b c a b c ++++≥++，
∴2
2
2
9
14
a b c ++≥
． 当且仅当23b c a =
=，即314a =，37b =，9
14
c =时，等号成立．
∴222a b c ++的最小值为914
．