利用数学期望的定义可以证明

利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质：

设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则

性质1.E(c)=c；

性质2.E(aξ)=aE(ξ)；

性质3.E(a+ξ)=E(ξ)+a；

性质4.E(aξ+b)=aE(ξ)+b；

性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)．

例3.5.7设随机变量X的概率分布为:

P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.

求E(X),E(3X+2)．

解. ∵P(X=k)=0.2 k=1,2,3,4,5

∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知

E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3，

E(3X+2)=3E(X)+2=11．

例3.5.8. 设随机变量X的密度函数为:

求E(X),E(2X-1)．

解.由连续型随机变量的数学期望的定义可知

=-1/6+1/6=0．

∴E(2X-1)=2E(X)-1=-1．

我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.