数学期望(二维)

数学期望的性质利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =.性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则()()d E CX Cxf x x +∞-∞=⎰()d C xf x x +∞-∞=⎰().CE X =性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则()()()E X Y E X E Y +=+.证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和()Y f y ,则()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则()()()E XY E X E Y =.证明 因为X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足(,)()()X Y f x y f x f y =,所以()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()E X E Y =.性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,,,n X X X 相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X =。

例4.22 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为21(1)1,1,(,)40x y x y f x y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，其他.试验证()()()E XY E X E Y =,但X 和Y 是不独立的.解 因为()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰112111(1)d d 4xy x y x y --=⋅-⎰⎰0=， ()E X =112111(1)d d 4x x y x y --⋅-⎰⎰0=， ()E Y =112111(1)d d 4y x y x y --⋅-⎰⎰19=-，所以()()()E XY E X E Y =.X和Y的边缘概率密度()X f x 和()Y f y 分别为12111(1)d 11,11()(,)d 4200X x y y x x f x f x y y +∞--∞⎧⎧--<<-<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，，其他， 121111(1)11(1)d ,11()(,)d 23400,Y y y x y x y f y f x y x +∞--∞⎧⎧--<<--<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰，，，，其他，其他，由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,因而X和Y 不独立.例4.23 设i X ～n i p B ,,2,1),,1( =，i X 的分布律为：其中10<<p ，且n X X X ,,,21 相互独立。

《概率论与数理统计》第四章 随机变量的数字特征考点33 离散型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是离散型随机变量,概率分布为P {X =x i }=p i ,i =1,2,…。

则∑∞==1)(i i ip x X E 为X 的数学期望(或均值)。

2.常用离散型随机变量的数学期望（1）两点分布：X ∼B(1,p),0<p<1，则E(X)=p 。

（2）二项分布：X ∼B(n,p)，其中0<p<1，则E(X)=np 。

（3）泊松分布:X ∼P(λ)，其中λ>0，则E(X)=λ。

考点34 连续型随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.设X 是连续型随机变量，则称⎰∞∞-=dx x f x X E )()(为X 的数学期望。

2. 常用连续型随机变量的数学期望（1）均匀分布若X~U[a,b],即X 服从[a,b]上的均匀分布,则； 21)()(b a dx a b x dx x xf X E b a +=-==⎰⎰+∞∞- （2）指数分布若X 服从参数为λ的指数分布，则 ； /1)(0λλλ⎰+∞-==dx e x X E x 正态分布若X 服从),(2s µN ，则.)(μ=X E考点35 二维随机变量的数学期望（★★二级考点，选择、填空、计算、综合）1.二维离散型随机变量的数学期望：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为p ij ,i=1,2,⋯，j=1,2,⋯.则：.),()],([11åå¥=¥==i j ij j i p y x g Y X g E2. 二维连续型随机变量的数学期望：设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则:. ),(),()],([dxdy y x f y x g Y X g E òò¥¥-¥¥-=考点36 数学期望的性质（★★★一级考点，选择、填空）(1).设C 是常数，则E(C)=C;E(C)=C ×1=C(2).若k 是常数，则E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4).设X,Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);考点37 方差的概念（★★二级考点，选择、填空）1.方差的概念:设X 是一随机变量，若E [X -E (X )]2 存在,则称其为X 的方差，记成Var(X )，即Var(X )=E {[X -E (X )]2} 并称)(X Var 为X 的标准差。

第四章 数字特征前面我们介绍了随机变量及其分布，对于一个随机变量，只要知道了它的分布（分布函数或分布律、分布密度），它取值的概率规律就全部掌握了。

但在实际问题中，一个随机变量的分布往往不易得到，且常常只需知道随机变量的某几个特征就够了。

例如检查棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度和纤维长度与平均长度的偏差大小，这些数字反映了随机变量的一些特性，我们称能够反映随机变量特征的数字为随机变量的数字特征。

本章将介绍几个最常用的数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数。

第一节 数学期望一、离散型随机变量的数学期望数学期望反映的是随机变量取值的集中位置的特征，能够满足这一要求的自然是随机变量的平均取值，那么这个平均取值如何得到呢？怎样定义，我们先看一个例题例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：4092115201519118⨯+⨯+⨯+⨯=a8.194092140152040151940118=⨯+⨯+⨯+⨯=若令X 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则X 的分布律为于是，X 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为4092140152040151940118)(⨯+⨯+⨯+⨯==a X E8.19==∑ii i p x定义1：设X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==}{， ,2,1=i如果级数 绝对收敛，则此级数为X 的数学期望（或均值），记为 E(X)，即 ∑=ii i p x X E )(意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值。

如果级数 不绝对收敛，则称数学期望不存在。

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数为X1，乙中的环数为X2，已知 X1和X2的分布律分别为：问谁的平均击中环数高？解：甲的平均击中环数为 E(X1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均击中环数为 E(X2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均击中环数高于乙的平均击中环数。

数字特征：数学期望（均值）随机变量的数学期望【引⼊】⼀射⼿进⾏打靶练习，规定射⼊区域e2得2分，射⼊区域e1得1分，脱靶，即射⼊区域e0，得0分。

射⼿⼀次射击得分数X是⼀随机变量。

设X的分布律为P{X=k}=p k,k=1,2,…现在射击N次，其中得0分的有a0次，得1分的有a1次，得2分的有a2次，a0+a1+a2=N。

他射击N次得分的总和为a0×0+a1×1+a2×2 。

于是平均⼀次射击的得分数为总分总次数=a0×0+a1×1+a2×2N=0a0N+1a1N+2a2N=2∑k=0ka kN这⾥，a k/N是事件X=k的频率。

在第五章将会讲到，当N很⼤时，a k/N在⼀定意义下接近于事件{X=k}的概率p k。

就是说，在试验次数很⼤时，随机变量X的观察值的算术平均2∑k=0ka kN在⼀定意义下接近于2∑k=0kp k，我们称2∑k=0kp k为随机变量X的数学期望或均值，⼀般有以下的定义。

【定义】设离散性随机变量X的分布律为P{X=x k}=p k,k=1,2,… 若级数∞∑k=1x k p k绝对收敛，则称级数∞∑k=1x k p k的和为随机变量X的数学期望，记为E(X) 。

即：E(X)=∞∑k=1x k p k设连续型随机变量X的概率密度为f(x) ，若积分∫∞−∞xf(x)dx绝对收敛，则称积分∫∞−∞xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X) 。

即：E(X)=∫∞−∞xf(x)dx数学期望简称期望，⼜称为均值。

数学期望E(X) 完全由随机变量X的概率分布所确定。

若X服从某⼀分布，也称E(X) 是这⼀分布的数学期望。

【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】泊松分布设X∼π(λ) ，求E(X) 。

解：X的分布律为P{X=k}=λk e−λk!,k=0,1,2,…,λ>0X的数学期望为E(X)=∞∑k=0kλk e−λk!=λe−λ∞∑k=1λk−1(k−1)!=λe−λ·eλ=λ即E(X)=λ【例7】均匀分布设X∼U(a,b) ，求E(X) 。

概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。

例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。

X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。

试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。

W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。

第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。

教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。

教学难点：随机变量函数的数学期望。

教学时数：2学时 教学过程：一、知识要点回顾1. 随机变量X 的数学期望()E X对离散随机变量 ()()i i iE X x p x =∑若1,2,i=，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。

对连续随机变量 ()()E Xxf x d x+∞-∞=⎰假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。

2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。

对离散随机变量 [()]()()i i iE g X g x p x =∑对连续随机变量 [()]()()E g Xg x f x d x+∞-∞=⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元实函数。

对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j ijE g XY g x y p x y =∑∑对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d xd y+∞+∞-∞-∞=⎰⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）(), ()E c c c =为常数()(), ()E c X c E X c =为常数()(), (,)E a X b a E X b a b +=+为常数()()()E X Y E X E Y +=+11()()nni i i i i i E c X c E X ===∑∑若,X Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y =。

第四章随机变量的数字特征第一节随机变量的数学期望一、内容精要（一）离散型随机变量的数学期望1.定义2.一维离散型随机变量函数的数学期望3.二维离散型随机变量函数的数学期望（二）连续型随机变量的数学期望1.定义2.一维连续型随机变量函数的数学期望3.二维连续型随机变量函数的数学期望（三）随机变量数学期望的性质及常用结论二、 常考题型分析（一） 分布律或概率密度函数已知，求随机变量或其函数的数学期望1. 离散型例1 {}()21=1,2,,.2kX P X k k EX EX ⎛⎫== ⎪⎝⎭设分布律为求和例2 ()(),,.XX B n p E e 设求例3 X Y 随机变量与的概率分布分别为011233X P101111333Y P- {}()()22=1,+.P X Y E XY E X Y =且求和例4 ()12,,max ,,2133X Y X U X Y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设与独立同分布且分布律为记 ()()()min ,.1,;2.V X Y EU EV E X Y =-求2. 连续型例5 ()()1121,0,21,01,211,1,2x x e x X F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩设随机变量的分布函数为 ()()2,.E X E X 试求例6 ()()()10.30.7,2x X F x x x -⎛⎫=Φ+ΦΦ⎪⎝⎭设随机变量的分布函数为其中为 (),___________.E X =标准正态分布函数则例7 [],0,1,X Y 设与独立同服从上的均匀分布求()()()()()1;2;3.E X Y E XY E X Y +-例8 ,12,X Y λλ==设与相互独立且分别服从参数和的指数分布令()()()()max ,,min ,,.U X Y V X Y E U V E UV ==+求和例9 ()0,1,.n X N E X EX 若,求例10 ()()2,,,max ,,X Y N U X Y μσ=设与相互独立且分别服从正态分布令()min ,,.V X Y EU EV =求和例11 ()()()2221212,,;,;0.X Y N E XY μμσσ 设随机变量,求（二） 求随机试验中随机变量的数学期望例12 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求()1X 乙箱中次品件数的数学期望；()2.从乙箱中任取一件产品是次品的概率例13 ()01,p p <<某流水生产线上每个产品不合格的概率为各产品合格与否,.相互独立当出现一个不合格产品时即停止检修设开机后第一次停机时已生产的产品()()2,,.X E X E X 的个数为求（三） 利用分割原理求解数学期望例14 2011,设有人在某个层楼的底层乘电梯上楼电梯在中途只下不上,每个()211,,乘客在哪一层到层下是等可能的且乘客之间相互独立试求电梯需停次数.的数学期望例15 1010,2.10X 将双不同型号的鞋随意分成堆每堆只以表示堆中恰好配,.EX 成一双鞋的堆数试求例16 已知编号为1,2,3,4的4个袋子各有3个白球,2个黑球,先从1,2,3号袋()4,___________.X E X =中任取一球放入号袋中,记4号袋中的白球数为则例17 (),01,p p X <<一射手进行独立重复射击已知每次击中目标的概率为令(),___________.n E X =为第次击中目标所进行射击的次数则（四） 数学期望的应用例18 0.2,假设一部机器在一天内发生故障的概率为机器发生故障时全天停,5,10止工作若一周个工作日里无故障可获利润万元;发生一次故障仍可获得利润5万元;发生两次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内利润的期望是多少？例19 ,525游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光电梯于每个整点的第分钟、分X X 钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第分钟到达底层侯梯处,且在[]0,60,.上服从均匀分布求该游客等候时间的数学期望第二节随机变量的方差一、内容精要（一）随机变量方差的定义（二）方差的计算1.定义法2.公式法3.方差的性质4.常见随机变量的方差二、 常考题型分析（一） 公式法例1 []2,2.U -设随机变量在区间上服从均匀分布随机变量 1,11,1,U X U -≤-⎧=⎨>-⎩若，若 1,11,1,U Y U -≤⎧=⎨>⎩若，若().D X Y +求例2 X Y 随机变量与的概率分布分别为124599X P128199Y P124411999XY P().D X Y +求例3 ()()()0,1,1,0,1,1X Y 设随机变量和的联合分布在以点为顶点的三角形,.U X Y =+区域上服从均匀分布试求随机变量的方差（二） 性质法例4 ()212,,,,n X X X X N μσ 设是来自总体的一个简单随机样本,记样本均()11,1,2,,,.ni i i i i X X Y X X i n DY n ===-=∑ 值为记求三、 综合题分析例5 ()1cos ,0,220,,x x X f x X others π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩设随机变量的概率密度为对独立地重 24,,.3Y Y π复观察次用表示观察值大于的次数求的数学期望例6 ()()22,,,.X Y N D X Y D X Y μσ--若和相互独立且均服从求和第三节协方差,相关系数及其它数字特征一、内容精要（一）协方差与相关系数1.协方差2.相关系数3.协方差矩阵4.协方差及相关系数的性质5.不相关定义6.不相关的等价叙述（二）随机变量的矩二、 常考题型分析（一） 计算协方差和相关系数1. 公式法例1 6,箱内有个球其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机(),.Cov X Y 的取出2个球,记X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数,求的概率分布例2 100,某箱装有件产品其中一、二和三等品分别为80,10和10件,现在从中1,,1,2,3.0,,i i X i others ⎧==⎨⎩若抽到等品随机抽取一件,记()121X X 试求：随机变量与的联合分布； ()122.X X 随机变量与的相关系数2. 性质法例3 ,,n X Y 将一枚硬币重复掷次以与分别表示正面向上和反面向上的次数____________.X Y 则与的相关系数等于例4 ()212,,,,n X X X X N μσ 设是来自总体的一个简单随机样本,记样本均()()111,1,2,,,,.ni i i n i X X Y X X i n Cov Y Y n ===-=∑ 值为记求协方差例5 0.9,0.4,X Y Z X Y Z =-设随机变量与的相关系数为若则与的相关系数为___________.（二） 与相关性和独立性有关的问题例6 ,,A B 设是两个随机事件随机变量1,,1,,A X A ⎧=⎨-⎩若出现若不出现 1,,1,B Y B ⎧=⎨-⎩若出现若不出现..X Y A B 试证明随机变量和不相关的充分必要条件是与相互独立例7 ()()()()121,,,,,2X Y f x y x y x y ϕϕ=+⎡⎤⎣⎦设二维随机变量的密度函数为其 ()()12,,,x y x y ϕϕ中和都是二维正态分布的密度函数且它们对应的二维随机变量的相11,,33关系数分别是和-它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零方差都是1.()()()121,;X Y f x f x X Y ρ求随机变量和的密度函数和及和的相关系数()2X Y 问和是否独立？为什么？例8 ()212,,,,,X Y N Z aX bY Z aX bY μσ=+=-设相互独立且均服从令其中()212,,,,,X Y N Z aX bY Z aX bY μσ=+=-设相互独立且均服从令其中三、 综合题分析例9011344XP011122Y P()1,=,,.8Cov X Y X Y 且求的联合分布律例10 ()()12,,,01,1,2.i X X X B i p p i <<= 设随机变量与相互独立121120,1,1,1,X X Y X X +=⎧=⎨+≠⎩令 212210,2,1, 2.X X Y X X -=⎧=⎨-≠⎩()12,,.p Cov Y Y 试确定的值使最小。