高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 圆的方程(第1课时)学案(无答案)苏教版必修2(2

1 2.2.3圆与圆的位置关系

锁定目标 找准方向 备 注

学习目标： 1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；

2．了解用代数法研究圆的关系的优点。

自我构建 快乐无限

[知识梳理]

1．圆与圆之间有 ， ， ， ， 五种位置关系．

2.设两圆的半径分别为12,rr，圆心距为d，

当 时，两圆外离；

当 时，两圆外切；

当 时，两圆相交；

当 时，两圆内切；

当 时，两圆内含．

3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？

合作探究 携手共进

例1：判断下列两圆的位置关系：

2222(1)(2)(2)1(2)(5)16xyxy与

2222(2)6706270xyxxyy与

例2：求过点(0,6)A且与圆22:10100Cxyxy切于原点的圆的方程．

分析：如图，所求圆经过原点和(0,6)A，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．

2

例3：已知圆221:2280Cxyxy与圆222:210240Cxyxy相交于,AB两点．（1）求直线AB的方程；

（2）求经过,AB两点且面积最小的圆的方程；

（3）求圆心在直线yx上，且经过,AB两点的圆的方程．

拓展提升 学以致用

1．已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16xy相切，则动圆圆心的轨迹方程(动圆圆心坐标所满足的关系式)为 ．

2．已知动圆0264222mmymxyx恒过一个定点,这个定点的坐标是______ ．

- 1 - 第1课时 圆的标准方程

学

习 目 标 核 心 素 养

1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)

2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)

3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过学习本节内容来提升学生的数学运算和直观想象核心素养.

1．圆的定义及标准方程

(1)圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．

(2)圆的标准方程

圆 特殊情况 一般情况

圆心 (0，0) (a，b)

半径 r(r>0) r(r>0)

标准方程 x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝r2

备注 确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径

2.点与圆的位置关系

设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内

d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r

1.思考辨析

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． ( )

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4. ( )

(4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上． ( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．

[答案] (2，－3)，2

3．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________． - 2 - 2或－2 [把点P(－1，3)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2，∴m＝2或－2.]

求圆的标准方程

【例1】 求下列各圆的标准方程．

(1)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5，1)；

(2)以P1(1，2)，P2(－3，4)为直径的端点；

(3)与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)两点且半径为5.

2.2.1 第一课时 圆的标准方程

[学业水平训练]

1．圆心为C(6,5)，且过点B(3,6)的圆的标准方程为________．

解析：由圆心为C(6,5)，可设圆的标准方程为(x－6)2＋(y－5)2＝r2，又该圆过点B(3,6)，则(3－6)2＋(6－5)2＝10，故所求圆的标准方程为(x－6)2＋(y－5)2＝10.

答案：(x－6)2＋(y－5)2＝10

2．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是________．

解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而AP的最小值为82＋－2－5＝10－5＝5.

答案：5

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为________．

解析：已知圆心坐标是(－2,0)，其关于原点对称的点是(2,0)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.

答案：(x－2)2＋y2＝5

4．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是________．

解析：设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，则a＋02＝2⇒a＝4，b＋02＝－3⇒b＝－6.

所以M(4,0)，N(0，－6)．

因为圆心为(2，－3)，

故r＝－2＋－3－2＝13.

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝13

5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程是________．

解析：将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5

6．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．

解析：由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2.

课题：2.2.1 圆的方程（第1课时）

班级 姓名 学号 组别

学习目标

1．认识圆的标准方程,并掌握推导圆的方程的思想方法；

2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；

3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.

学习重点

圆的标准方程的推导步骤以及根据具体条件正确写出圆的标准方程

学习难点

运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题

学习过程

※复习回顾 (复习回顾上节课的重点、难点)

※预习检测

一．阅读教材P107-108，完成下列问题：

1、曲线的方程实质上是求曲线上 任意一点的坐标

所满足的等量关系；

2、圆是

的集合；定点是 定长是 ．

3、写出建立圆心在原点(0,0)，半径为r的圆的方程的四个步骤：

4、同理可求得：以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程为： ． 5、单位圆是指圆心为 ，半径为 的圆；其方程为： ．

6、你所知道的圆中与弦、切线有关的几何性质

．

二．课前练习

1. 分别写出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：

⑴22(2)(3)7xy； ⑵22(5)(4)18xy；

⑶22(1)3xy； ⑷22144xy；