新高中数学三角函数与解三角形多选题100及答案

新高中数学三角函数与解三角形多选题100及答案

一、三角函数与解三角形多选题

1．已知函数()sin()(0)fxx满足00112fxfx，且()fx在00,1xx上有最小值，无最大值.则（ ）

A．0112fx B．若00x，则()sin26fxx

C．()fx的最小正周期为3 D．()fx在(0,2019)上的零点个数最少为1346个

【答案】AC

【分析】

根据正弦函数图象的对称性可判断A；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6xkkZ，0(1)2,6xkkZ，两式相减可求出，进而求得周期，从而可判断B和C选项；因为3T，所以函数()fx在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f，进而可判断D．

【详解】

解：由题意得，()fx在00,1xx的区间中点处取得最小值，

即0112fx，所以A正确；

因为00112fxfx，

且()fx在00,1xx上有最小值，无最大值，

所以不妨令052,6kkZ，

012,6xkkZ，

两式相减得，23，

所以23T，即B错误，C正确；

因为3T，

所以函数()fx在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，

当(0)0f，即k时，

()fx在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345个，即D错误.

故选:AC.

【点睛】 本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．

2．已知函数()(|sin|cos)(sincos)fxxxxx，xR，则（ ）

A．fx在0,3上单调递减 B．fx是周期为2的函数

C．fx有对称轴 D．函数fx在(0,2)上有3个零点

【答案】BD

【分析】

先判断出fx是周期为2的函数，再在给定的范围上研究fx的单调性和零点，从而可判断BCD的正误，再利用反证法可判断C不正确.

【详解】

因为(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))fxxxxxfx，

故fx是周期为2的函数，故B正确.

当0,3x时，22()sincoscos2fxxxx，

因为220,3x，而cosyu在20,3为增函数，

故()cos2fxx在0,3为增函数，故A错误.

由(sincos)(sincos)002xxxxx可得4x或34x或74x，故D正确.

若fx的图象有对称轴xa，因为fx的周期为2，故可设0,2a，

则2fxfax对任意的xR恒成立，

所以02ffa即1(|sin2|cos2)(sin2cos2)aaaa①，

也有222ffa即1(|cos2|sin2)(cos2sin2)aaaa②，

也有222ffa即1(|cos2|sin2)(cos2sin2)aaaa③，

由②③可得cos2sin20cos2sin2cos2sin2aaaaaa ，

故sin20a，由①②可得cos21a，故π2a或32a.

若π2a，则21313136222222f， 而2713131362222226ff，

若32a，则21913131362222226ff

这与2fxfax对任意的xR恒成立矛盾，

故D不成立.

故选：BD.

【点睛】

方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.

3．已知函数fx的定义域为D，若对于任意abcDfafbfc，，，，，分别为某个三角形的边长，则称fx为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ）

A．4sinfxx B．22sin10cos13fxxx

C．tan2xfx D．sin2230,34fxxx，

【答案】AD

【分析】

结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若fx为 “三角形函数”则maxminminfxfxfx恒成立，即maxmin2fxfx恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可.

【详解】

解:①4sinfxx，则max415fx，min413fx

则maxmin2fxfx恒成立,则A满足条件

②22532cos10cos112cos22fxxxx

当0,2x时，0cos1x当cos0x时，函数fx取得最小值min11fx,当cos1x时，函数fx取得最大值，max23fx

则maxmin2fxfx不恒成立，则B不满足条件

③tan,00,2xfx，则不满足条件maxmin2fxfx恒成立，故C不是 ④sin2233fxx

0,4x，52,336x，则

maxsin231232fx，min51sin232362fx

则min2143fx，则maxmin2fxfx恒成立，故D满足条件

故选AD

【点睛】

本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为maxmin2fxfx恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.

4．下列结论正确的是（ ）

A．在三角形ABC中，若AB，则sinsinAB

B．在锐角三角形ABC中，不等式2220bca恒成立

C．若sin2sin2AB，则三角形ABC为等腰三角形

D．在锐角三角形ABC中,sinsincoscosABAB

【答案】ABD

【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，利用锐角△ABC这个条件,可得2AB，结合三角函数的单调性比较sinA与cosB大小即可判断D．

【详解】

ABC中，ABab，由sinsinabAB，得sinsinAB，A正确；

在锐角三角形ABC中，222222cos0,02bcaAbcabc，B正确；

ABC中，若sin2sin2AB，则22AB或22180AB，即AB或90AB，ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；

在锐角三角形ABC中,2AB,

022AB,

sinsin2AB,即sincosAB，同理：sincosBA

sinsincoscosABAB，D正确.

故选：ABD. 【点睛】

关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.

5．已知函数()2sin0,0fxx的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．23 B．()fx的最小正周期为

C．()fx的图象关于直线12x对称 D．()fx的图象关于点5,06对称

【答案】BCD

【分析】

利用图象，把0,3代入求利用周期求出2，从而2n2)3(sifxx，研究对称轴和对称中心.

【详解】

由图可知2sin3，所以3sin2，根据图象可知0x在()fx的单调递增区间上，又0，所以3，A项错误；

因为()2sin3fxx，所以结合图像，由五点法得33，解得2，则()fx的最小正周期2T，B项正确；

将12x代入2n2)3(sifxx，得2sin21263f，所以()fx的图象关于直线12x对称，C项正确﹔

将56x代入可得552sin0633f，所以点5,06是()fx图象的一个对称中心，D项正确.

故选：BCD.

【点睛】

求三角函数解析式的方法：

(1)求A通常用最大值或最小值；

(2)求ω通常用周期；

()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.

6．如图，已知函数sin0,0,2fxAxA的图象与x轴交于点A，B，若7OBOA，图象的一个最高点42,33D，则下列说法正确的是（ ）

A．4

B．fx的最小正周期为4

C．fx一个单调增区间为24,33

D．fx图象的一个对称中心为5,03

【答案】BCD

【分析】

先利用7OBOA设0OAx，得到点A处坐标，结合周期公式解得选项A错误，再利用最高点42,33D解出0x得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD正确.

【详解】

由7OBOA，设0OAx，则07OBx，06ABx，

选项A中，点A0,0x处，0sin0x，则00x，即0x，