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2021年高中数学三角函数与解三角形多选题100附解析

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2021年高中数学三角函数与解三角形多选题100附解析

一、三角函数与解三角形多选题

1．在ABC中，下列说法正确的是（ ）

A．若AB，则sinsinAB

B．存在ABC满足coscos0AB

C．若sincosAB，则ABC为钝角三角形

D．若2C，则22sinsinsinCAB

【答案】ACD

【分析】

A项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；

B项，由AB和余弦函数在0,递减可判断；

C项，显然2A，分02A和2A两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；

D项，根据2AB和正弦函数的单调性得出0sincosAB和0sincosBA，再由放缩法可判断.

【详解】

解：对于A选项，若AB，则ab，则2sin2sinRARB，即sinsinAB，故A选项正确；

对于B选项，由AB，则AB，且,0,AB，cosyx在0,上递减，于是coscosAB，即coscos0AB，故B选项错误﹔

对于C选项，由sincosAB，得coscos2AB，cosyx在0,上递减，

此时：若02A，则2AB，则2AB，于是2C；

若2A，则coscos2AB，则2AB，

于是2AB，故C选项正确；

对于D选项，由2C，则2AB，则022AB，sinyx在0,2递增，于是sinsin2AB， 即0sincosAB，同理0sincosBA，

此时，

22sinsin()sincoscossinsinsinsinsinsinsinCABABABAABBAB

所以D选项正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.

2．设函数2sin1xfxxx，则（ ）

A．43fx B．5fxx

C．曲线yfx存在对称轴 D．曲线yfx存在对称中心

【答案】ABC

【分析】

通过22sinsin11324xxfxxxx可发现函数yfx具有对称轴及最大值，

再利用函数对称中心的特点去分析yfx是否具有对称中心，再将5fxx化为

32sin555xxxx，通过数形结合判断是否成立.

【详解】

函数解析式可化为：22sinsin11324xxfxxxx，

因为函数sinyx的图象关于直线12x对称，且函数21324yx的图象也关于直线12x对称，故曲线yfx也关于直线12x对称，选项C正确；

当12x时，函数sinyx取得最大值1，此时21324yx取得最小值34，

故14334fx，选项A正确；

若5fxx，则32sin555xxxx，

令32555gxxxx，则221510553210gxxxxx恒成立，

则gx在R上递增，又00g， 所以当0x时，00g；当0x时，0gx；

作出sinx和32555xxx的图象如图所示：

由图象可知32sin555xxxx成立，即5fxx，选项B正确；

对于D选项，若存在一点,ab使得fx关于点,ab对称，则2faxfaxb，

通过分析发现faxfax不可能为常数，故选项D错误.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.

3．ABC中，2BC，BC边上的中线2AD，则下列说法正确的有（ ）

A．ABAC为定值 B．2210ACAB

C．co415sA D．BAD的最大值为30

【答案】ABD

【分析】

A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出cosA范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出cosBAD的最小值即可.

【详解】

对于A，22413ABACADDBADDBADDB，ABAC为定值，A正确；

对于B，coscosADCADB2222222cos2cosACABADDCADDCADCADDBADDBADB 2222ADDBDC

2221110，故B正确；

对于C，由余弦定理及基本不等式得224242122bcbccosAbcbcbc（当且仅当bc时，等号成立）,由A选项知cos3bcA，22coscos1133cosAAA，

解得3cos5A，故C错误；

对于D，2222213233cos4442cccBADccc（当且仅当3c时，等号成立），因为BADABD，

所以(0,)2BAD，又3cos2BAD，所以BAD的最大值30，D选项正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.

4．已知函数()sinfxx（其中，0，||2），08f，3()8fxf恒成立，且()fx在区间,1224上单调，则下列说法正确的是（ ）

A．存在，使得()fx是偶函数 B．3(0)4ff

C．是奇数 D．的最大值为3

【答案】BCD

【分析】

根据3()8fxf得到21k，根据单调区间得到3，得到1或3，故CD正确，代入验证知fx不可能为偶函数，A错误，计算得到B正确，得到答案.

【详解】

08f，3()8fxf，则3188242kT，kN，

故221Tk，21k，kN，

08f，则()sn08ifx，故8k，8k，kZ，

当,1224x时，,246xkk，kZ，

()fx在区间,1224上单调，故241282T，故4T，即8，

0243，故62，故3，

综上所述：1或3，故CD正确；

1或3，故8k或38k，kZ，fx不可能为偶函数，A错误；

当1时，(0)sinsin8fk，33sinsin4488fkk，故3(0)4ff；

当3时，3(0)sinsin8fk，

393sinsin4488fkk，故3(0)4ff，

综上所述：3(0)4ff，B正确；

故选：BCD.

【点睛】

本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且::4:5:6abc，则下列结论正确的是（ ）

A．sin:sin:sin4:5:6ABC B．ABC是钝角三角形

C．ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若6c，则ABC外接圆半径为877

【答案】ACD

【分析】

由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D.

【详解】

解：由::4:5:6abc，可设4ax，5bx，6cx，0x，

根据正弦定理可知sin:sin:sin4:5:6ABC，选项A描述准确； 由c为最大边，可得2222221625361cos022458abcxxxCabxx，

即C为锐角，选项B描述不准确；

2222222536163cos22564bcaxxxAbcxx，

291cos22cos121cos168AAC，

由2A，C0,，可得2AC，选项C描述准确；

若6c，可得61672sin71164cRC，

ABC外接圆半径为877，选项D描述准确.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.

6．已知函数fx的定义域为D，若对于任意abcDfafbfc，，，，，分别为某个三角形的边长，则称fx为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ）

A．4sinfxx B．22sin10cos13fxxx

C．tan2xfx D．sin2230,34fxxx，

【答案】AD

【分析】

结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若fx为 “三角形函数”则maxminminfxfxfx恒成立，即maxmin2fxfx恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可.

【详解】

解:①4sinfxx，则max415fx，min413fx

则maxmin2fxfx恒成立,则A满足条件

②22532cos10cos112cos22fxxxx

当0,2x时，0cos1x当cos0x时，函数fx取得最小值min11fx,当cos1x时，函数fx取得最大值，max23fx

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新高中数学《三角函数与解三角形》专题解析

一、选择题

1．已知ππ43πsin()cos(),0,3252则2πcos()3等于（ ）

A．52 B．35- C．45 D．35

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据等式化简，得到4sin65，再利用诱导公式化简2cos3求值.

【详解】

解析：∵ππ43sincos325

133343sincossinsincos22225

433sin65

∴π4sin65().

又2ππππcoscossin32()())6(6，

∴2π4co(s35).

故选：C

【点睛】

本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a﹣ccosB）sinA＝ccosAsinB，则△ABC的形状一定是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由(cos)sincossinacBAcAB变形可得sinsinaAcC，进而由正弦定理可得22ac，即ac，即可得答案．

【详解】

根据题意，在ABC中，(cos)sincossinacBAcAB， 变形可得：sincossincossin(cossincossin)sin()sinaAcBAcABcBAABcABcC，

即有sinsinaAcC，

又由正弦定理可得22ac，即ac.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．

3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc满足，222bcabc，0ABBCuuruuruu，32a，则bc的取值范围是( )

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一、选择题

1、（2022海淀一模第7题）已知角的终边绕原点O逆时针旋转2π3后与角的终边重合，且cos()1，则的取值可以为

(A) π6 (B) π3 (C) 2π3 (D) 5π6

2、（2022年海淀一模第9题）在ABC△中，π=4A，则“2sin2B”是“ABC△是钝角三角形”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3、（2022丰台一模第6题）在△ABC中，7cos423Bab,,，则A

（A）6 （B）3 （C）56 （D）6或56

4.（2022西城一模第8题）将函数sin(2)yx的图象向右平移a个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a个单位所得函数图象关于y轴对称，其中02≤≤，0a，则

（A）6 （B）3 （C）8 （D）4

5、（2022西城一模第10题）如图，曲线C为函数5sin(0)2yxx≤≤的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动. 两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)mn，乙粒子的坐标为(,)uv，若记()nvfm，则下列说法中正确的是

（A）()fm在区间(,)2上是增函数

（B）()fm恰有2个零点

（C）()fm的最小值为2 （D）()fm的图象关于点5(,0)6中心对称 6、（2022东城一模第5题）已知3sin5，则sin2tan

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【高中数学】高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点

一、选择题

1．已知函数f（x）＝2x－1，2cos2,0?2,0axxgxxax（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）

A．1,2 B．2,3 C．1,1,22U D．371,,224U

【答案】C

【解析】

【分析】

对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.

【详解】

当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数gx的值域为[0,++∞），满足题意.

当a＜0时，y=22(0)xax的值域为（2a,+∞）, y=cos20axx的值域为[a+2,-a+2],

因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,

所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,

由题得2a＜1，即a＜12，即a＜0.

当a＞0时，y=22(0)xax的值域为（2a,+∞）,y=cos20axx的值域为[-a+2,a+2],

当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222aaaa.

当0＜a＜23时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜12.所以0＜a＜12.

综合得a的范围为a＜12或1≤a≤2，

故选C.

【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2．△ABC中，已知tanA=13，tanB=12，则∠C等于（ ）

A．30° B．45° C．60° D．135°

【答案】D

【解析】

【分析】 利用三角形内角和为180o，可得：tantan()tan(+)CABAB，利用两角和公式和已知条件，即可得解.

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【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)

一、选择题

1．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且222bcabc若2sinsinsinBCA，则ABC的形状是（）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．

【详解】

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且b2+c2＝a2+bc．

则：2221222bcabccosAbcbc，

由于：0＜A＜π，

故：A3．

由于：sinBsinC＝sin2A，

利用正弦定理得：bc＝a2，

所以：b2+c2﹣2bc＝0，

故：b＝c，

所以：△ABC为等边三角形．

故选C．

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

2．已知函数sin3cosfxaxx的一条对称轴为56x，函数fx在区间12,xx上具有单调性，且12fxfx，则下述四个结论：

①实数a的值为1；

②1,xfx和22,xfx两点关于函数fx图象的一条对称轴对称；

③21xx的最大值为，

④12xx的最小值为23．

其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据56x是函数fx的一条对称轴，确定函数fx，再根据函数fx在区间12,xx上具有单调性，得到21xx的最大值为2T，然后由12fxfx，得到11,xfx和22,xfx两点关于函数fx的一个对称中心对称求解验证.

【详解】

∵56x是函数fx的一条对称轴，∴53fxfx，