矩阵性质资料

酶释　专题研究　随　尽瞧　畦震　瞻　熊随　匡瞧　◎邓俊兰　（南阳师范学院数学与统计学院４７３０６１）　给定一个ｎ阶方阵Ａ＝（ａ　）…，则Ａ的伴随矩阵Ａ　＝　（』４　）　＝（Ａ　，）…，其中　，是方阵Ａ的元素ｎ　的代数余子　式Ａ　伴随矩阵Ａ　是由方阵４唯一确定的，它们之间有很　多必然联系，使得伴随矩阵在矩阵理论中占有十分重要的　地位，因此，研究伴随矩阵的性质也就十分必要了．本文首　先研究了伴随矩阵的基本性质、运算性质以及引申性质，接　着探讨了一些特殊矩阵的伴随矩阵．　一、伴随矩阵　的基本性质及推论　１．基本性质ＡＡ　＝Ａ　Ａ＝Ｉ４ＩＥ．　注意上面的恒等式对于任意方阵（不论可逆与否）都　成立，它是伴随矩阵的基本性质，在有关伴随矩阵的运算和　理论中起着十分重要的作用，从它可以容易推出以下两条　推论．　２．推论１：Ａ可逆时，　＝ｌＡｌ　‘。．　３．推论２：ｌ　Ｉ＝ｌＡ　Ｉ一‘．　二、伴随矩阵Ａ　的运算性质　１．　为任意常数，（Ｍ）　＝　一　Ａ　．　证明设Ａ＝（ａ“）…，（　）　＝（６　）…，则ｂ　为行列　式ＩＭ　Ｉ中划去第　行第ｉ列的代数余子式（ｎ一１阶行列式），　如果每行提出公因子　后，有ｂ　：　Ａ　，（ｉ，　＝１，２，…，ｎ），　由此证得（Ｍ）　＝　一　．　２．（ＡＢ）　＝Ｂ　Ａ　．　证明　（１）当Ａ，Ｂ均可逆时，ＡＢ也可逆，由推论１可　得：（ＡＢ）　＝ＩＡＢＩ（ＡＢ）－　＝（１曰ｌ　。。）（ＩＡＩ　）＝Ｂ　Ａ　．　（２）当Ａ，Ｂ至少有一个不可逆时，考虑矩阵Ａ　＝Ａ—　ｘＥ，Ｂ。＝Ｂ—ｘＥ，因　，　只有有限个特征值，则使Ｉ　４　Ｉ＝０，　ｌＢ。Ｉ＝０的　只有有限个，可取充分大的　，使ｌ　Ａ　１≠０，　１Ｂ。Ｉ≠０，由（１）得（Ａ。Ｂ。）　＝Ｂｌ＊Ａ　，即［（Ａ—　Ｅ）（Ｂ—　Ｅ）］　＝（Ｂ—ｘＥ）　（Ａ—　Ｅ）　，上式两端的矩阵元素都为　的多项式，则多项式相等意味着　取任意值时都相等，特别　地对　＝０也成立，即（ＡＢ）　＝Ｂ　Ａ　．　３．（　）　＝（Ａ　）　．　证明因Ａ　＝（０　）　：（Ａ　）　＝（　），则　（Ａ　）　＝（Ａ，　）　＝（Ａ　），而　（　）　＝（ｎ　）　＝（　）　＝（　），故（Ａ　）　：（　）　．　４・Ａ可逆时，（　）一＝（Ａ　）　Ａ・　证明　因Ａ可逆时，Ａ　＝ｌＡ　ＩＡ～，则　（Ａ一　）　＝ＩＡＩ　一　（１Ａ一　ｌＡ）＝Ｅ，　故（　）～＝（Ａ　）　．　又（　）～＝（…　）　Ａ，　．　ｔ　１０１　ｔ　●　－　●　●　即（，４　）‘。＝（Ａ　）　・　５．（Ａ　）　＝ＪＡ　ｌ　一　Ａ．　证明　（１）当　可逆时，　（Ａ　）　＝（１Ａ　ＩＡ一　）　＝ＩＡ　Ｉ　。。（Ａ一　）　＝ＩＡ　Ｉ＂ｉ　ＩＡ　Ａ・　（２）当Ａ不可逆时，　（』４）≤ｎ一１，ｌＡ　Ｉ＝０，南推论３，得　（Ａ　）＜ｎ一１，进而Ｒ（（Ａ　）　）＝０，则（Ａ　）　＝０，也满足　（Ａ　）　＝Ｉ　Ｉ　Ａ．综上得证．　三、伴随矩阵Ａ　的引申性质　１．若方阵Ａ为可逆阵／对称阵／上（下）三角阵／幂零　（幂等）矩阵／正交阵，则伴随矩阵　也为可逆阵／对称阵／　上（下）三角阵／幂零（幂等）矩阵／正交阵．　２．若ｎ阶方阵Ａ为反对称阵，则当ｎ为奇数时伴随矩　阵　为对称阵，当ｎ为偶数时伴随矩阵　为反对称阵．　３．若方阵Ａ为正定阵，则伴随矩阵Ａ　也为正定阵．　４．４与Ｂ等价／相似／合同，则伴随矩阵Ａ　与Ｂ　也等　价／相似／合同．　从上面的性质可以看出，因为伴随矩阵Ａ　是由方阵４　唯一确定的，所以，伴随矩阵　对方阵Ａ的很多性质都具　有继承性．　四、特殊矩阵的伴随矩阵　ｒ　Ａ２　（　＝　。Ａ　３．Ａ和Ｃ分别为ｍ和ｎ阶方阵，Ｂ为ｍ×ｎ阶矩阵，则　（　＝　Ａ＊ｃＢＣ　）．　４．Ａ和Ｃ分别为ｍ和ｎ阶方阵，Ｂ为ｎ×ｍ阶矩阵，则　ＣＩＡ　＊～０．ｃ　）．　，　数学学习与研究２０１０．１７　

矩阵的基本性质和运算法则

矩阵是线性代数中的一个重要概念，是一个由数数组成的矩形阵列。矩阵不仅有丰富的应用，比如在物理、经济、统计等领域中，还有着自身的基本性质和运算法则。下面我们来谈谈矩阵的基本性质和运算法则。

一、矩阵的基本性质

1.维数和元素

矩阵的维数是指矩阵有多少行和多少列。用矩阵的行数和列数来表示，如m×n的矩阵表示有m行，n列。矩阵中的元素就是矩阵中的每一个数。

2.矩阵的转置

矩阵的转置就是将矩阵的行和列交换，所得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。如下所示：

3 2 1 3 5 A = 5 4 6 A^T = 2 4

7 8 9 1 6

矩阵的转置可以表示为Aij = Aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n。

3.矩阵的行列式

矩阵的行列式是矩阵的一个标量值，它是由矩阵的元素按照某一特定的规律计算得到的。矩阵的行列式常用来描述矩阵线性方程组的解的情况。如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵是一个奇异矩阵。

二、矩阵的运算法则

1.矩阵的加法

矩阵的加法必须满足两个矩阵的维数相同，即都是m×n的矩阵才能进行加法运算。对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为C=A+B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相加得到矩阵C。如下所示：

1 2 4 5 5 7

C = 3 4 + D = 1 3 = E = 4 7

6 7 5 4 11 11

2.矩阵的减法

矩阵的减法也必须满足两个矩阵的维数相同。对于矩阵A和矩阵B，它们的差可以表示为C=A-B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相减得到矩阵C。如下所示：

矩阵秩的性质大全及证明

矩阵的秩是指矩阵中最多能线性无关的列（或行）的数量。下面是矩阵秩的一些性质和证明：

秩加性性质

如果有两个矩阵 $A$ 和 $B$，则有：

$$\text{rank}(A+B) \leq \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$$

证明：设 $A$ 的秩为 $r_A$，$B$ 的秩为 $r_B$。则存在 $r_A$ 个线性无关列 $a_1, a_2, \dots, a_{r_A}$ 和 $r_B$ 个线性无关列 $b_1,

b_2, \dots, b_{r_B}$，使得 $A$ 和 $B$ 分别可以写成如下形式：

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_{r_A} & * & \dots & *

\end{bmatrix}$$

$$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \dots & b_{r_B} & * & \dots & *

\end{bmatrix}$$

其中星号表示可以是任意列。由于 $a_1, a_2, \dots, a_{r_A}$ 和 $b_1,

b_2, \dots, b_{r_B}$ 都是线性无关的，所以 $A+B$ 中前

$r_A+r_B$ 列是线性无关的。因此 $\text{rank}(A+B) \leq r_A+r_B =

\text{rank}(A)+\text{rank}(B)$。

秩乘法性质

如果有两个矩阵 $A$ 和 $B$，则有：

$$\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$$

证明：设 $A$ 的秩为 $r_A$，$B$ 的秩为 $r_B$。则存在 $r_A$ 个线性

矩阵的基本性质

矩阵𝑨的第𝑨第𝑨列的元素为A𝑨𝑨。我们𝑨𝑨或（𝑨）表𝑨×𝑨的单位矩阵。

1.矩阵的加减法

（1）𝑨=𝑨±𝑨,对应元素相加减

（2）矩阵加减法满足的运算法则

a.交换律：𝑨+𝑨=𝑨+𝑨

b.结合律：(𝑨+𝑨)+𝑨=𝑨+（𝑨+𝑨）

c. 𝑨+𝑨=𝑨

d. 𝑨−𝑨=𝑨

2.矩阵的数乘

（1）𝑨=𝑨𝑨，各元素均乘以常数

（2）矩阵数乘满足的运算法则

a.数对矩阵的分配律：𝑨(𝑨+𝑨)=𝑨𝑨+𝑨𝑨

b.矩阵对数的分配律：(𝑨+𝑨)𝑨=𝑨𝑨+𝑨𝑨

c.结合律： (𝑨𝑨)𝑨=𝑨(𝑨𝑨)

d. 𝑨?𝑨=𝑨

3.矩阵的乘法 （1）𝑨=𝑨𝑨×𝑨𝑨𝑨×𝑨，左行右列对应元素相乘后求和为C的第𝑨行第𝑨列的元素

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有𝑨𝑨=𝑨𝑨=𝑨

b.分配律：𝑨(𝑨+𝑨)=𝑨𝑨+𝑨𝑨

c.结合律： (𝑨𝑨)𝑨=𝑨(𝑨𝑨)

d.数乘结合律：𝑨(𝑨𝑨)=𝑨(𝑨𝑨)

4.矩阵的转置𝑨𝑨, (𝑨𝑨)𝑨𝑨=A𝑨𝑨

（1）矩阵的幂：𝑨1=𝑨, 𝑨2=𝑨𝑨,…, 𝑨𝑨+1=𝑨(𝑨𝑨)

（2）矩阵乘法满足的运算法则

a. (𝑨𝑨)𝑨=𝑨

b. (𝑨+𝑨)𝑨=𝑨𝑨+𝑨𝑨

c. (𝑨𝑨)𝑨=𝑨(𝑨𝑨)

d. (𝑨𝑨)𝑨=𝑨𝑨𝑨𝑨

5.对称矩阵：𝑨𝑨=𝑨即a𝑨𝑨=a𝑨𝑨；反对称矩阵：𝑨𝑨=−𝑨即a𝑨𝑨=−a𝑨𝑨

（1）设𝑨,𝑨为（反）对称矩阵，则𝑨±𝑨仍是（反）对称矩阵。

（2）设𝑨,𝑨为对称矩阵，则𝑨𝑨或𝑨𝑨仍是对称矩阵的充要条件𝑨𝑨=𝑨𝑨。 （3）设𝑨为（反）对称矩阵，则𝑨𝑨，𝑨𝑨也是（反）对称矩阵。