曲线积分与曲面积分总结笔记

曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系

作者：李雪峰

来源：《文理导航·教育研究与实践》 2018年第12期

【摘要】定积分、重积分、曲线与曲面积分是积分学的重要组成部分，它们之间有着千丝万缕的联系。本文将重点阐述曲线、曲面积分与定积分、重积分的关系。

【关键词】曲线积分；曲面积分；定积分；重积分；关系从定义上看，它们都是通过“大化小，常代变，近似和，取极限”这四步得到一个特殊和式极限的形式，而这一形式可以统一写成：

前面我们分别介绍了第一类曲线积分与定积分，第二类曲线积分与定积分、二重积分，第一类曲面积分与二重积分，第二类曲面积分与二、三重积分的关系。而书中又介绍了两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系，还有斯托克斯公式又说明了曲线与曲面积分的关系。

综上所述，充分说明了虽然曲线、曲面积分与定积分、重积分它们有着不同的定义、积分域与计算方法，但同时又有着密不可分的关系。它们之间的转化真是妙趣无穷。

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学（第六版）下册[M].北京：高等教育出版社，2007

目录

1对弧长的曲线积分

（扩展）对弧长曲线积分的应用

2对坐标的曲线积分

3格林公式及其应用

4对面积的曲面积分

课后典型题

1对弧长的曲线积分

之前已经学过计算曲线长度的积分

（1）对于y=y(x)，有21'()dsyxdx

（2）对于参数方程()()xxtyyt 有22'()'()dsxtytdt

（3）对于极坐标方程是()rr，转成直角坐标()cos()sinxryr ，则'()'cossin'()'sincosxrryrr。代入

2222'()'()=()'()dsxtytdtrrd

上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：01(,)lim(,)niiiiLfxydsfs

计算步骤

1画出图形

2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）

3由L类型写出对应ds的表达式

4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如，L的方程y=k,则()LLfxdskdsks （保留。还不太懂）

参数方程

设曲线有参数方程()()xxtLyyt ，则有：

显式方程

设曲线为L：y=y(x) ，则有： 设曲线为L：x=x(y) ，则有：

第十章 曲线积分与曲面积分

一、 基本内容要求

1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量；

2． 掌握线、面积分的计算法；

3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；

4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；

5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；

6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。

二、 选择

1．设OM是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=dseomyx22不相等的积分是：（ ）

A)dxex2102 B) dyey2102

C)dtet20 D) drer210

2．设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=Lxdyydx等于（ ）

A)0 B)-1 C)2 D)-2

3．设L为下半圆周)0(222yRyx，将曲线积分I= dsyxL)2(化为定

积分的正确结果是：（ ）

A) dtttR)sin2(cos02 B) dtttR)sin2(cos02

C) dtttR)cos2sin(02

D) dtttR)cos2sin(2322

曲线、曲面积分

一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

（一）第一类曲线积分的性质

①LLLdsyxgkdsyxfkdsyxgkyxfk),(),()],(),([2121；

②21,),(),(),(21LLLdsyxfdsyxfdsyxfLLL

（二）第一类曲线积分的计算（这里主要就是记住弧长微分的表达式dttztytxds)()()(222）

设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为ttytxL),(),(:，则

dtttttfdsyxfL)()()](),([),(22

其中)(),(tt在],[上有一阶连续导数且0)()(22tt

注 1：若曲线L由方程bxaxy),(确定，则

baLdxxxxfdsyxf)(1))(,(),(2

注 2：若曲线L由极坐标方程),(rr表示，则

drrrrfdsyxfL)()()sin,cos(),(22

【例】计算Ldsyx22，其中L为曲线yyx222

【详解】曲线L可参数化：,sin1,cos:yxL此时的变化范围为：,20

ddds22cossin，故

Ldddsyx20202222sin12)1(sincos

202cos2sin2d

22208])2cos2(sin)2sin2(cos[2dd

（三）计算第一类曲线积分的步骤

1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程） 2、利用公式dttztytxds)()()(222求出弧长微分ds的值